Karmaşık Sayılar

1. KARMAŞIK
(COMPLEX)
SAYILAR

2. Karmaşık sayılara neden ihtiyaç duyuyoruz?
Karmaşık sayılarla uğraşmanın en zor yanı onlara neden ihtiyacımız olduğunu
anlamaktır. Karmaşık sayıları tanımlamadan önce geriye dönüp yeni sayılara olan
ihtiyaçları daha basit örneklerle anlatmaya çalışalım.
İlk önce doğal sayıları öğrendik (0,1,2, …). Bu sayılar sayesinde “kaç tane”
sorusuna cevap verebiliyorduk. Onları işlemlere soktuk; toplama ve çıkarmayı
öğrendik. Bunlar çok işimize yaradı fakat çıkarma işleminde bazı sayıları işleme
soktuğumuzda sonuçların doğal sayılarla ifade edilemeyeceğini gördük (3-5, 2-3, …).
Böylece negatif sayıları bulduk. Artık çıkarma işlemleri sonuçsuz kalmıyordu. Bu
sayılar sadece bazı matematik problemlerinde değil, günlük hayatta da –hava
sıcaklığı gibi- kullanılıyordu.
Bölme işlemleri yapmaya başladık fakat bazen, hatta çoğu zaman tam sayılarla
ifade edemedik sonuçlarımızı(3:5, …). Yeni sayılara ihtiyacımız vardı yine. Bu kez de
rasyonel sayılar çıktı karşımıza.
Bu hikaye böyle uzayıp gider. Kareköklü sayılar, değişik hesaplamalar… Fakat
biz bunlara değinmeyeceğiz. Artık yeni sayılara neden ihtiyaç duyduğumuzu biliyoruz.
Bizi kompleks sayıları kullanmaya iten ise, sonucunu diğer sayılarla ifade
edemediğimiz denklemlerdir. Reform dönemlerinde bulunan bu sayılar gerçek kabul
edilmez. İşlemlerde kolaylık sağlaması için bulunmuşlardır.

3. Bir eşitlik verilse: Bir başka eşitlik:
x² - 1 = 0 x² + 1 = 0
Bu eşitliğin 2 çözümü vardır; x = -1 ve x = 1. Grafiği inceleyelim.
Bunu koordinat düzleminde gösterecek
olursak;
Grafikten de anlaşılacağı
gibi denklem için x
değeri olmadığından
çözüm yoktur.

4. Değer lendir me
İki denklemi bir de tablo üzerinde görelim:
1. DENKLEM 2. DENKLEM
x²-1 = 0 x²+1 = 0
x² = 1 x² = -1
1. denklem çözülür; çünkü 1’in kökleri vardır (1
ve -1).
2. Denklem çözülemez; çünkü -1’in karekökü
yoktur. Başka bir deyişle kendisiyle
çarpımı -1 olan bir sayı yoktur.

5. “i” Sayısı
Tanım:
Bu tanıma göre: Bu bilgi ile i’nin diğer kuvvetlerini bulabiliriz.
ÖRNEK:
i³ = i². i = -i
“i” sayısını diğer sayılarla çarpıp toplayabilsek de çoğunu gerçek sayı haline getiremeyiz.
ÖRNEK:
1. 4i
2. 3+2i
3. 8-i
(-i)² = -1 eşitliğini ele alırsak sonucun gerçek sayı olduğunu görürüz ve bunun sebebi ise; i² ve
-i²’nin -1’e eşit olmasıdır. Her ikisi de 2. denklemin çözümleridir.

6. Karmaşık Sayılar
A ve b birer reel sayı olmak üzere z = a+bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (complex)
sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi C şeklinde gösterilir:
z = a + bi karmaşık sayısında:
a = karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı = Re(z)
b = karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı = İm(z)
ÖRNEK:
i² = -1 ve z = 3 – 4i ise,
Re(z) = 3 Re(z) = -4
ÖRNEK:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin köklerini bulalım: Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
∆ = b² - 4ac
= (-2)² - 4 . 1 . 5
= -16’ dır.

7. O halde, verilen denklemin kökleri,
İki Karmaşık Sayının Eşitliği
Reel ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan karmaşık sayılar eşittir.
z1 = a + bi
z2 = c + di
a = c ve b = d olmak üzere,
z1 = z2 dir.

8. Bir Karmaşık Sayının Eşleniği
Z = a + bi karmaşık sayısı için, z’ = a – bi sayısına z nin eşleniği denir.
ÖRNEK:
1. z = 4 + İ ise z’ = 4 – i dir.
2. z = -8 + 2i ise z’ = -8 – 2i dir.
3. z = 5 ise z’ = 5 tür.
4. z = 2i ise z’ = -2i dir.
Rasyonel kat sayılı, ax² + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri z = m +
ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan z = m – ni sayısıdır.

9. Dört İşlem
 Toplama İşlemi
Karmaşık sayılar toplanırken reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır;
ÖRNEK:
z1 = 2 – i
z2 = -3 + 4i
ise
z1+ z2 = (2 – 3) + (-1 + 4)i = -1 + 3i dir.
 Çıkarma İşlemi
Karmaşık sayılarda çıkarma işlemi yapılırken reel kısımları ve sanal kısımları kendi aralarında
çıkarılır.
ÖRNEK:
z1 = 2 – 1
z2 = -3 + 4i
İse
z1 – z2 = (2 + 3) – (-1 – 4)i = 5 – 5i

10.  Çarpma İşlemi
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i² = 1 göz önüne alınarak reel sayılardakine benzer şekilde
yapılır.
ÖRNEK:
z1 = 2 – i
z2 = -3 + 4İ
ise
z1. z2 = (2 – i).(-3 + 4i)
= -6 + 8i + 3i – 4i²
= -6 + 11i + 4
= -2 + 11i olur.
ÖRNEK:
(2 – 1)³ . (2 – i)³ işleminin sonucunu bulunuz.
(2 – 1)³ . (2 – i)³ = [(2 – 1).(2 – i)]³
= [2² + 1²]³
= [4 + 1]³
= 125

11.  Bölme İşlemi
Pay ile paydanın paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır.
ÖRNEK:
z1 = 2 + i
z2 = 1 – 2i ise z1 in z2 ye bölümünü bulunuz.

12. Karmaşık Düzlem ve Bir Karmaşık Sayının Görüntüsü
Karmaşık düzlemde x ekseni reel eksen, y ekseni imajiner eksen alınır.
z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü (a,b) noktasıdır.
ÖRNEK:
z = 3 + 2i karmaşık sayısının karmaşık
düzlemdeki görüntüsü (3,2) noktasıdır.

13. Bir Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü)
Karmaşık düzlemde bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın
başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının butlak değeri (modülü) denir ve l z l
şeklinde gösterilir.
Mutlak Değerle İlgili Özelikler
 I z l = I –z I = I z’ I = I –z’ I
 I z1.z2 I = I z1l . l z2 l
 I z ª I = I z Iª
 z . z’ = I z I²
 I z1I – I z2 I ≤ I z1± z2 I ≤ I z1 I + I z2 I

14. Karmaşık Sayı ve Çember İlişkisi
 I z – z0 I = r şartını sağlayan z karmaşık sayılarının kümesi z 0 sabit noktasına r birim
uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi z 0 ve yarıçapı r olan çemberdir.
 I z – z0 I < r ifadesi merkezi r0, yarıçapı r olan çemberin iç bölgesindeki noktaların kümesini
gösterir.
 I z – z0 I > r ifadesi merkezi r0, yarı çapı r olan çemberin dış bölgesindeki noktaların
kümesini gösterir.
ÖRNEKLER:

16. ÇÖZÜMLERİ
GÖRMEK
İÇİN
TIKLAYIN
BAŞA DÖN