İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK

2. İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK
İŞLEM :
5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu
halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilisi
biçiminde yazalım.
Şimdi bu ikiliyi 8’e eşleyen bir f fonksiyonu düşünebilirsiniz. f(5,3) = 5+3 olur.
Reel sayılar kümesinde yaptığımız, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
işlemleri reel sayılar kümesinin kartezyen çarpımının bir alt kümesinden reel
sayılar kümesine birer fonksiyondur.
Tanım : Boş olmayan A,B,C kümeleri verilmiş olsun AxB nin bir alt kümesinden
C ye tanımlı her fonksiyona işlem denir.
AxA nın bir alt kümesinden A’ya tanımlı her fonksiyona A kümesinde bir işlem
denir. İşlemi göstermek için
*, +, -, ,⊕,⊗,∆ ... gibi işaretler kullanılır.

3. Örnek : A={ -1,0, 1}
AxA={ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,1) }
f:AxA A fonksiyonu;
f(x,y)= x.y olsun.
Bu fonksiyon A kümesinde tanımlı bir işlemdir. Bu işlemi ⊕ ile
gösterirsek,
x ⊕y =x.y dir.
Tablodan -1⊕-1 = 1, 0 ⊕1= 0,
0 ⊕0=0 olduğunu bulunuz.

4. Örnek :
Reel sayılar kümesinde , x #y =2x-2y+xy olmak üzere, # işlemi
tanımlanıyor.
a. (2 #3) #4 işleminin sonucu nedir?
b. (2 #x) #2=16 eşitliğini sağlayan x değeri nedir?
Çözüm :
a. 2#3= 4-3.3 +2.3 =1 olduğundan;
( 2 #3 ) #4= 1 #4= 2-12+4= -6
b. 2 #x=4-3x+2x=4-x olduğundan;
(2 #x) #2= (4-x) #2
=2(4-x)-6+( 4-x) #2
=8-2x-6+8-2x
=-4x+10 -4x+10=16
-4x=6
x=-6/4 bulunur.

5. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ :
A boş olmayan bir küme ve ⊗, A’ da tanımlı bir işlem olsun;
 ∀x, y ∈ A için x ⊗ y ∈A ise A kümesi ⊗ işlemine göre kapalıdır.
 ∀x,y ∈ A için x ⊗ y= y ⊗ x ise işlemin değişme özelliği vardır.
 ∀x,y,z ∈ A için (x ⊗ y) ⊗ z=x ⊗(y ⊗ z) ise işlemin birleşme özelliği
vardır.
 ∀x ∈ A için x ⊗ e= e ⊗ x=x olacak şekilde bir e ∈ A varsa e’ ye etkisiz
eleman denir.
 A kümesinin ⊗ işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. ∀x ∈ A için
x ⊗ x-1= x-1 ⊗x=e olacak şekilde bir x-1∈A varsa x-1 ‘e x’in ⊗ işlemine göre
tersi denir.
 * A da tanımlı bir işlem olsun.
∀x,y,z ∈ A için, x ⊗(y*z)= (x ⊗y)*(z ⊗x) eşitlikleri sağlanıyorsa ⊗ işlemini
* işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.

6. Örnek :
Z ‘ de ⊗ işlemi ∀x,y,z ∈ A için ;
x ⊗y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor. ⊗ işlemine göre Z kümesi
kapalımıdır.
Çözüm :
∀x,y,z ∈ A için, x ∀x,y,z ∈ A için y∉ Z dir. Çünkü toplamı çift olan sayıların
ikiye bölümü tam sayıya karşılık gelirken, toplamı tek olan sayıların ikiye
bölümü tam sayı değildir. Mesela;
2,7 ∈z için 2 ⊗7= (2+7) /2= 9 / 2 ∉Z dir.

7. Örnek :
⊗ a b c d e
a d e a b c
b e a b c d
c a b c d e
d b c d e a
e c d e a b
KÖŞEGEN
A= { a,b,c,d,e} kümesinde ⊗ işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanıyor.
 A kümesi ⊗ işlemine göre kapalı mıdır?
 ⊗ işlemi değişme özelliğine sahip midir?
 ⊗ işlemine göre etkisiz eleman nedir?
 b’ nin tersi nedir?

8. Çözüm :
 ⊗ işlemine göre A kümesinin herhangi iki elemanının sonucu yine A
kümesinin bir elemanı olduğu için A kümesi kapalıdır.
 ∀ x,y ∈A için x ⊗y=y ⊗x olduğundan ⊗ işlemi değişmelidir.
 ∀ x ∈A için x ⊗c=c ⊗x=x olduğu için c etkisiz elemandır. Gerçekten
a ⊗c=a, b ⊗c=b, c ⊗c=c, d ⊗c=d, e ⊗c=e dir.
 b’nin tersi olsun.
b ⊗x=c olmalıdır.
x=d olduğu tabloda görülür.

9. Örnek:
∀x,y∈R için x ⊗y=x+y+2xy işlemi tanımlanıyor.
1. ⊗ işlemi değişmeli midir?
2. ⊗ işlemine göre etkisiz eleman nedir?
3. ⊗ işlemine göre a∈R olmak şartıyla a’nın tersi nedir?
Çözüm:
 x ⊗y= x + y+ 2xy = y + x + 2yx = y ⊗x
O halde ⊗ değişmelidir.
 Etkisiz eleman e olsun. x ⊗e = x olmalıdır.
x+e+2xe = x
e+2xe =0
e(1+2x) =0
1+2x≠0 ise e=0 dır. Bu durumda etkisiz eleman 0’dır.

10.  a’nın tersi a-1 olsun.
a ⊗a-1=0 olmalıdır.
a+a-1 + 2a.a-1=0
a-1(1+2a)=-a
a-1 =-a/(1+2a) bulunur.
Örnek :
♥ işlemi R+ da tanımlı bir işlem olmak üzere, 1/m ♥ n2 = m.n ise
4♥ 9 neye eşittir?
Çözüm :
4 ♥9= 1/ (1/4) ♥ 32 =1/4. 3 = 3/4‘ tür.

11. Örnek :
R2 de tanımlanan (a,b)Ω (c,d) =( a+c,b+d) işleminin etkisiz elemanı
nedir?
Çözüm :
Etkisiz eleman (x. Y) olsun. İşlem değişme özelliğine sahip olduğu için;
(a,b) Ω(x,y)=(a,b) olmalıdır.
(a+x,b+y)= (a,b) ise
a+x=a ve b+x= b
x=0 , y=0 bulunur.
Demek ki etkisiz eleman (0,0) ‘dır.

12. MODÜLER ARİTMETİK :
Z ‘ de β ={ x,y} : m(x-y)}, m≠1 ve m ∈Z+ bağıntısı denklik bağıntısıdır.
O halde ∀(x ,y)∈ β için x ≡y (mod m)
Örnek :
Z de β={ x,y : 5 (x-y)} denklik bağıntısını inceleyelim.
Çözüm :
β, farklı 5’e bölünen tamsayı ikililerinden oluşmaktadır. Yani (1,6),
(74, 69) ...
β denklik bağıntısı olduğu için ∀x(x,y) ∈ β için x≡y (mod 5)
Mesela;
(1,6)∈ β olduğu için 1≡6 (mod 5)
(74, 69) ∈ β olduğu için 74 ≡69 (mod 5).....

13. Z’ de m=5 modülüne göre β ‘nın denklik sınıflarını ( kalan sınıfları)
oluşturalım.
0={....., -10 , -5, 0, 5,10,.....}
1={....., -9 , -4, 1, 6, 11,.....}
2={....., -8 , -3 , 2, 7,12.....}
3={....., -7, -2 , 3, 8, 13,......}
4={....., -6 , -1, 4, 9, 14,......}
5 modülüne göre kalan sınıflarıdır.
Z/m={ 0,1 ,2, 3........... (m-1)} dir.
ÖZELLİKLER :
x≡y ( mod m) ve u= v olsun.
 x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir.
 x-y , (u-v) m2 ye tam olarak bölünür.

14.  x+ u ≡ y+v (mod m)
 x-u ≡y-v (mod m)
 x.u ≡y. v ( mod m)
 c.x ≡c.y (mod m) , c ∈Z
 xn ≡y-n ( mod m ) , n ∈Z+
Z/m ‘ de Toplama ve Çıkarma :
∀ x ,y ∈Z/m için
1. x +y = x+y
2. x . y = x.y

15. Örnek :
Z/5 de 4. ( 2+ 4) +3 işleminin sonucu nedir?
Çözüm :
4. ( 2+ 4) +3 =4. ( 2+ 4)+ 3
=4. 6+ 3
=4. 1+ 3
=4+3
=7 = 2

16. Örnek :
71962 ≡x ( mod 11) ise x nedir?
Çözüm :
710= 1 dir. Buna göre ,
71964 ≡(710)196 . 72 ≡ 11196 . 72 ≡ 5 (mod 11)
MATEMATİK SİSTEMLER :
Tanım:
A boş olmayan bir küme olmak şartıyla ⊗ A ‘ da tanımlı bir işlem
olsun . ( A, ⊗) ikilisine bir matematik sistem denir. * ‘ da A ‘ da
tanımlı bir işlem ise ( A, ⊗,*) üçlüsüne de bir matematik sistem denir.

17. Tanım :
G, boş olmayan bir küme olmak şartıyla ⊗ A da tanımlı bir işlem olsun.
(G, ⊗) sistemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa grup adını alır.
• Kapalılık özelliği;
• Birleşme özelliği;
• Etkisiz eleman özelliği ;
• Ters eleman özelliği ;
Tanım :
(G, ⊗) grubu değişme özelliği sağlıyorsa değişmeli grup adını alır. Örneğin
(Z, +), (R, .), (Z/5, +) sistemleri birer değişmeli gruptur fakat ( N, +), (Z, .)
(Z/4, .) sistemleri birer değişmeli grup değildir.

18. Tanım :
(H, ⊗, &) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa halka
adını alır.
1. (H, ⊗) değişmeli gruptur.
2. H kümesi & işlemine göre kapalıdır.
3. & işlemine göre birleşme özelliği vardır.
4. & işleminin ⊗ işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
Tanım :
(H, ⊗,&) halka olmak şartıyla;
1. & işlemi değişme özelliğine sahipse, (H, ⊗,&) değişmeli halka
adını alır.
2. & işleminde etkisiz eleman özelliği varsa (H, ⊗,&) birimli halka
adını alır.

19. Örnek :
(Z, +, .) değişmeli ve birimli halkadır.
Tanım :
(C, ⊗,&) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bir cisim adını
alır.
1. (C, ⊗) sistemi değişmeli grup ve birim elemanı e’ dir.
2. (C-{e}, &) sistemi değişmeli gruptur.
3. & işleminin ⊗ işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
Tanım :
( C, ⊗,&) bir cisim olsun. & işleminin değişme özelliği varsa ( C, ⊗,&)
Sistemi değişmeli cisim adını alır.