Denklemler

1. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
TANIM:a,b,c sabit birer gerçel sayı (a≠0) olmak üzere, ax2+bx+c=0 biçimindeki
eşitliklere ikinci dereceden denklemler denir.
Denklemi saglayan x1,x2 gerçel sayılarına,denklemin gerçel kökleri denir.
Ax2+bx+c=0 denkleminin kökleri:
-b±√b2+4ac
X 1,2=  dır.
2a

2. ÇÖZÜM FORMÜLÜN SADELEŞTİRİLMESİ:
Ax2+bx+c=0denkleminde b bir çift sayı ise işlemlerde kolaylık sağlaması
bakımından
b
B1= 
2
olmak üzere diskriminant
Λ 1 =(b1)2 –ac alınır. Bu durumda kökler
-b1±√Λ 1
x1,2= 
a
buna yarım formül denir.

3. İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEME DÖNÜŞEBİLEN DENKLEMLER:
ÖRNEK:x4-5x2+4=0denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
X2=U dönüşümü yapalım
X4=(x2)2=U olur.
X4-5x2+4=0⇒U2-5U+4=0
(U-4) (U-1) =0
U=4,U=1
U=4 için x2=4 U=1 için x 2=1
X=±2 x=±1
ÇÖZÜM{-2,-1,2,1}dir.

4. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI
ARASINDAKİ BAGINTILAR:
Ax2+bx+c=0denkleminin kökleri
-b+√b2-4c -b+√b2-4ac
X1=  ,x2= 
2a 2a
-b+√b2-4ac -b-√b2-4ac
x1+x2=  + 
2a 2a
-2b
x1+x2= 
2a
b
x1+x2=  
a

5. -b+√b2-4ac -b-√b2-4ac
x1,x2=  . 
2a 2a
b2-(b2-4ac)
x1x2= 
4a2
4ac
x1x2= 
4a2
c
x1x2= 
a
Bu tip sorular bu iki temel bağıntıya bağlıdır.

6. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR:
Ax3+bx2+cx+d=0
b
X1+X2+X3=  
A
c
X1X2+X1X3+X2X3= 
A
d
X1X2X3=  
A

7. ÖRNEK: x3-x3-4x+4=0 denkleminin kökleri x1,x2,x3 olduguna göre aşagıdaki
ifadelerin değerlerini bulunuz.
A)x1+x2+x3
B)x1x2+x1x3+x2x3
ÇÖZÜM:
A=1 , b=-1 , c=-4 , d=4
b
A) x1+x2+x3=   =1
A
c
B) x1x2+x1x3+x2x3+x2x3=  =-4
A

8. KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİN YAZILIŞI:
Kökleri x1 , x2 , x3 ............................... , xn olan n dereceden bir denklem , a≠0
olmak üzere :
A(x-x1) (x-x2) (x-x3)..............(x-xn) = 0
Şeklinde yazılabilir.
Kökleri x1 , x2 olan ikinci dereceden denklem a≠0 olmak üzere
A(x-x1) (x-x2) = 0 dır.
Burada a=1 olarak alınıp parantezler açılırsa denklem
X2-(x1+x2) x+x1x2 şeklinde yazılır.

9. 1
ÖRNEK: kökleri x1=3 , x2=  olan ikinci derecede denklemi yazınız.
3
ÇÖZÜM:
1 10
S=x1+x2=3+  = 
3 3 3
1
P = x1x2=3.  = 1
3
10
x2-Sx+p=0⇒x2 -  x+ 1=0
3
⇒3x2-10x+3=0 olur.

10. 1
ÖRNEK: kökleri x1=3 , x2=  olan ikinci derecede denklemi yazınız.
3
ÇÖZÜM:
1 10
S=x1+x2=3+  = 
3 3 3
1
P = x1x2=3.  = 1
3
10
x2-Sx+p=0⇒x2 -  x+ 1=0
3
⇒3x2-10x+3=0 olur.