8. SINIF MATEMATİK CANAVARI

1. 2012-2013
8. SINIF MATEMATİK CANAVARI
YAZAR: FURKAN AYDIN
http://matematik-canavari.blogspot.com/
Bu kaynak ücretsiz olarak sunulmuştur.
Parayla satılmaz. Öğrencilere yardımcı
olmak üzere ders kitapları referans
alınarak hazırlanmıştır.

2. 8. SINIF KONULARI
1.BÖLÜM ....................................................................................................................................................
8.1.1.Üslü Sayılar - Bilimsel Gösterim ...................................................................................................1
8.1.2.Kareköklü Sayılar .........................................................................................................................5
8.1.3.Gerçek Sayılar - İrrasyonel Sayılar ...............................................................................................9
2.BÖLÜM ....................................................................................................................................................
8.2.1. Özel Örüntüler (Sayı Dizileri) - Fraktallar ................................................................................. 11
8.2.2. Özdeşlikler, Çarpanlara Ayrılma .............................................................................................. 15
8.2.3. Doğrusal Denklem Sistemleri - Eşitsizlikler .............................................................................. 21
8.2.4. Koordinat Düzleminde Öteleme ve Yansıma .......................................................................... 29
3.BÖLÜM ....................................................................................................................................................
8.3.1.Üçgende Kenar Bağıntıları ........................................................................................................ 31
8.3.2.Üçgen Çizimi ve Üçgende Yardımcı Elemanlar ........................................................................ 33
8.3.3.Üçgende Eşlik ve Benzerlik ....................................................................................................... 35
8.3.4.Pisagor Bağıntısı - Özel Üçgenler .............................................................................................. 41
8.3.5.Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar- Doğrunun Eğimi ............................................................ 48
4.BÖLÜM ....................................................................................................................................................
8.4.1. Üçgen Prizma ........................................................................................................................... 52
8.4.2. Dikdörtgenler Prizması - Kare Prizması - Küp .......................................................................... 56
8.4.3. Piramitler ................................................................................................................................. 60
8.4.4. Koni .......................................................................................................................................... 64
8.4.5. Küre ......................................................................................................................................... 68
8.4.6. Çok Yüzlüler ve Yapıların Görünümleri - Perspektif................................................................. 72
1

3. 5.BÖLÜM ....................................................................................................................................................
8.5.1. Kombinasyon - Permütasyon .................................................................................................. 75
8.5.2. Olasılık - Olay Çeşitleri ............................................................................................................. 82
8.5.3. İstatiksel Temsil Biçimleri - Standart Sapma............................................................................ 85
8.5.4. Olasılık Çeşitleri ....................................................................................................................... 87
2

4. 8.1.1.Üslü Sayılar - Bilimsel Gösterim Not: Tabanları aynı olan üslü sayılar
çarpıldığında taban aynen alınır ve üslerin
Üslü Sayılar toplamı tabana kuvvet şeklinde yazılır.
a.a.a.a.a…..a=an (n tane a’nın çarpımı) ax.ay=ax+y
(a=taban, n=üs veya kuvvet) Not: Tabanları aynı olan üslü sayılarla bölme
4
3x3x3x3=3 (4 tane 3’ün yan yana yazılıp işlemi yapılırken taban aynen alınır. Paydaki
çarpılmasıdır.) üslü sayının kuvvetinden paydadaki üslü
sayının kuvveti çıkarılarak tabana kuvvet
ÖR: şeklinde yazılır.
81=3.3.3.3=34 (Her iki tarafı da 3’e bölelim)
=ax-y
27=3.3.3=33(Her iki tarafı da 3’e bölelim)
Not: Bir üslü sayının üssü alındığında üsler
9=3.3=32 (Her iki tarafı da 3’e bölelim) çarpılarak aynı tabana üs şeklinde yazılır.
3=3.1=31 (Her iki tarafı da 3’e bölelim) (ax)y= axy
1=3. =30 (Her iki tarafı da 3’e bölelim) Not: Birbirine eşit olan üslü sayıların tabanları
eşit ise üsleri de eşittir.
= 3-1 (Her iki tarafı da 3’e bölelim)
ax=ay ise x=y dir.
=3-2 (Her iki tarafı da 3’e bölelim)
Not: ax.bx=(ab)x
Bu işlem sonsuza kadar gider ve diğer tam
Çok Büyük ve Çok Küçük Pozitif Sayılar
sayılar içinde geçerlidir.
Bir tam sayıyı 10n (n ∈ N) ile çarpmak tam
-1 -1
Sonuç : =x veya x = dir. sayının sağına n tane sıfır ilave etmektir.
Sonuç : =x-m veya x-m = dir. Bir basamaklı bir tam sayıyı 10–n (n ∈ N) ile
çarpma işlemi, tam sayının soluna ve ondalık
 Pozitif bir sayının herhangi bir kuvveti sayının kesir kısmına (n - 1) tane sıfır ilave
pozitiftir. etmektir.
 Negatif bir sayısının tek kuvvetleri
negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Ör:
Not: (-2)4≠-24 tür .Çünkü, 200 000 000 = 2000.105=2.108
(-2)4=(-2). (-2). (-2). (-2)=16 dır. 0,000000002 = 20.10–10 =2.10–9
-24=-2. 2.2.2=-16 dır. Bilimsel Gösterim
İpucu: Ardışık tek sayıların toplamı: a.10n biçiminde yazılan sayılarda n’nin pozitif
tam sayı olduğu sayılar çok büyük pozitif
1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n.n=n2 sayılar, n’nin negatif tam sayı olduğu sayılar
çok küçük pozitif sayılardır.
Not: ( )-n=( )n dir.
1

5. 1 ≤ a < 10 olmak üzere a · 10n (n∈Z) biçiminde 4.
yazılan sayılar çok büyük veya çok küçük
pozitif sayıların bilimsel gösterimidir.
Ör: 19.1023=1,9.1024
0,028.1040=2,8.1038
0,0091.10–31=9,1.10–34
700.10–34=7.10–32
SORULAR
1.
5.
2.
6.
3.
2

6. 7. 10.
11.
8.
12.
9.
3

7. 13.
17.
14.
18.
15.
19.
16.
20.
4

8. 8.1.2.Kareköklü Sayılar grupta bulunan 40’a en yakın olan tam kare
sayı 36’dır. 36’nın karekökünü çizginin üzerine
√ Sembolünü ilk kez Alman matematikçi yazıp 40’tan 36’yı çıkarırız.4’ün yanına 96
Christoff Rudolff (Kristof Rudolf 1499-1545) sayısını indiririz.
“Die Coss” kitabında, 1525 yılında kullanmıştır.
Çizginin üzerindeki 6
ÖR: 49=7.7=72 olduğunu biliyoruz. Buradan sayısını çizginin altına
yola çıkarak 49 hangi pozitif sayının çarpımıdır yazıp 2 ile çarparız.
dediğimizde bunu karekök denilen işlemle
kısaca yapabiliriz.
√ =√ =7 olur.
Sonuç: Verilen sayının, hangi sayının karesi 12 sayısının yanına
olduğunu bulma işlemi, karekök almaktır. ve altına öyle bir
rakam yazalım ki
Pozitif karekök “√ ” sembolü ile, negatif
elde ettiğimiz sayı
karekök“-√ ” sembolü ile gösterilir.
ve rakamın çarpımı 496 olsun. Bu sayı 4’tür. 4
sayısını çizginin üzerindeki 6 sayısının yanına
√ ifadesi “karekök üç” olarak okunur.
da yazarız. Elde ettiğimiz 64 sayısı, aradığımız
NOT: “√ ” sembolünü, bir sayının pozitif sayının kareköküdür.
karekökünü bulmak için kullanırız. Yani bir
Kareköklü İfadelerde İşlemler
sayının karekökü pozitif bir sayıdır.
Toplama ve Çıkartma
√ =1, √ =2, √ =3,
√ =4, √ =5, Kareköklü sayılarla toplama işlemi yapılırken
√ =6, √ =7, √ =8, kök içleri aynı olan terimlerin kat sayıları
√ =9, √ =10 dur. toplanır, ortak kök aynen yazılır. Bu özellik
kareköklü sayılarla çıkarma işlemi için de
Karekökleri tam sayı olan doğal sayılar geçerlidir.
(1, 4, 9, 16, 25, 36, ...),
tam kare sayılar olarak adlandırılır. √ √ √
Karekök Tahmini √ √ √
ÖR: √ sayısını en yakın onda birliğe kadar √ √ √ √
tahmin edelim:
NOT: √ √ √ dir.
√ <√ <√ ise
√ √ √ √
7<√ <8 dir. Ör:
Cevap :7 √ √ √ =12√
ÖR: √ √ √ √ =1√ =√
Karekökü alınacak sayıyı,
sağdan sola doğru ikişerli
gruplara ayırırız.Soldaki
5

9. Çarpma ve Bölme SORULAR
Kareköklü sayılarla çarpma işleminde kat 1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
sayılar kendi aralarında, karekök içindeki
sayılar da kendi aralarında çarpılır.
A) 5 2  7 B) 5  2  10
√ √ √
4
C) 16 : 9  D) 3 3 3
NOT: √ ifadesinde n yazılmamışsa 2 olduğu 3
bilinmelidir.
***Aynı karekök içindeki sayılar pay ve
paydada ayrı ayrı köklerde yazılarak bölme
2.
işlemi yapılabilir.
√
√ ( 3 ) 2  8  ( 2 ) 3
√ =?
ÖR:
8  25
√
√ = = =
√
NOT: √ dir.
Köklü İfadeyi Dışarı Çıkartma
ÖR: √ =
75 sayısını çarpanlara ayıralım:
7 11 5
3. 1   1  1 =?
16 25 4
Paydayı Kökten Kurtarmak
√ √
√ √ √ 4. 6  5  3  A  3 ise A =?
√ √
√ √ √
6

10. 5. 320 sayısının yaklaşık değerinin ab
8. a  3  1 ve b  3  1 ise =?
bulunabilmesi için aşağıdaki sayılardan ab
hangisinin bilinmesi yeterlidir?
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7
9. a= 3 , b= 5 olduğuna göre, 240
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
75  27  108
6. =? a)3ab b)4ab c)5ab
5
2 d)6ab
4
24  24  24  24 10. x 7 6 4  4 ise x=?
7. ?
43  43  43  43
7

11. 82  82  82  82 15.√ ifadesinin sonucunun bir tam sayı
11. =? olması için m yerine gelebilecek sayılar
42  42  42  42
toplamı kaçtır?
1 1 1
12.   ? 16. a = -2, b = 1 için
0,09 0,04 0,01
3 3a 2b  2 4a 2b0  11 ifadesinin değeri
kaçtır?
2 1.2 1.2 1.2 1
13. =?
3 1.3 1.3 1.3 1 17. x - y nin çarpanlarından biri
aşağıdakilerden hangisidir?
a) x + y b) x  y
c) x y d) x+ y
14. 8  5  15  1 =?
18. 5  19  11  4 =?
8

12. 8.1.3.Gerçek Sayılar - İrrasyonel Sayılar Gerçek sayılar kümesinin diğer sayı
kümeleriyle ilişkisini aşağıdaki şekilde
İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan gösterebiliriz.
sayılar irrasyonel sayı olarak adlandırılır. Bu
sayıların oluşturduğu küme irrasyonel sayılar
kümesidir.
ÖR: Aşağıdaki sayılardan hangilerinin
irrasyonel sayı hangilerinin rasyonel sayı
olduğunu belirleyelim.
a) 4,33... devirli ondalık kesrini iki tam sayının
oranı olarak yazabiliriz.
Aradığımız oran x olsun,
x= 4,333... olur.
Devreden 3 sayısını yok edebilmek için eşitliğin Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya
her iki tarafını 10 ile çarpalım: Çevirme:
10x=43,333... Sayının tamamından
Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkaralım: devretmeyen kısım
çıkarılır.
9x=39 olur. x= = Paydaya virgülden sonraki devreden basamak
sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak
4,333... devirli ondalık kesri, iki tam sayının sayısı kadar sıfır yazılarak rasyonel sayı
oranı olarak yazılabildiğinden rasyonel sayıdır. oluşturulur.
b) 2,01020301... şeklinde sonsuza kadar SORULAR
düzensiz bir şekilde devam eden sayılar iki tam
sayının oranı şeklinde yazılamaz. Dolayısıyla bu 3x  3x  3x 
sayı irrasyonel sayıdır. 1.  0, 3 ise x=?
32
Sayı kümelerini inceleyelim:
Sayma sayıları (S),
Doğal sayılar (N),
Tam sayılar (Z),
Rasyonel sayılar (Q) olup aralarında
S⊂N⊂Z⊂Q şeklinde alt küme ilişkisi vardır.
Aynı zamanda S = N+ olur.
İrrasyonel sayılar (I), rasyonel sayılar kümesini
kapsamaz. Dolayısıyla bu kümeler ayrıktır.
2. Aşağıdakilerden hangisi rasyonel sayı
I∩Q={ }
değildir?
5 36
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar
kümesinin birleşimi gerçek sayılar kümesini a) 3 b) 3 64
oluşturur. Gerçek sayılar kümesi R sembolü ile 3
gösterilir. I ∪Q=R c) 2 8 d) 5 4
Gerçek sayılarla, sayı doğrusundaki tüm
noktalara bir sayı sistemi karşılık gelmiş olur.
Yani gerçek sayılar kümesi sayı doğrusunu tam
olarak doldurur.
9

13. 3. X=0,3+0,03+0,003+…..
Y=0,6+0,06+0,006+…..
Z=0,9+0,09+0,009+….
Yukarıda verilen X,Y,Z değerlerine göre X.Y.Z
çarpımının sonucu kaçtır?
̅ ̅
4. ̅ ̅
=?
5. Bir irrasyonel sayı ile bir tam sayının toplamı
rasyonel bir sayı mıdır?
10

14. 8.2.1. Özel Örüntüler (Sayı Dizileri) –
Fraktallar
Belirli bir kurala göre düzenli bir şekilde tekrar
eden veya genişleyen şekil ya da sayı dizisine
örüntü denir. Örüntüler eş ya da benzer
çokgenler kullanılarak oluşturulur.
Ünlü matematikçi Fibonacci’nin bulduğu
sayılarda özel bir örüntü vardır. Bu örüntüde
bir sayıyı kendisinden önceki sayıya
böldüğümüzde birbirine çok yakın sayılar elde
edilir. Bu oran altın oran olarak adlandırılır.
Fibonacci sayıları 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, 144, 233, 377, 610, 987,… şeklindedir.
Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da Aritmetik Dizi
büyütülmüşleri ile inşa edilen örüntüler
“fraktal” olarak adlandırılır. Bir sayıya art arda aynı sayının eklenmesi veya
çıkarılması ile oluşan diziye aritmetik dizi
denir. Aritmetik dizide ardışık iki terimin farkı
ardışık eklenen veya çıkarılan sayıdır. Bu sayıya
dizinin ortak farkı denir.
ÖR: 1, 3, 5 , 7, … dizisi aritmetik bir dizidir.
NOT:
1.terime 2 eklenerek elde edilmiştir. Ortak
Karesel sayıların oluşturduğu dizide, ardışık
fark 2 dir.
sayılar arasındaki farkın oluşturduğu dizi tek
sayılar dizisidir.
Geometrik Dizi
0 1 4 9 16 25 36…(aralarındaki fark altına
yazılmış.)
Bir sayıyı ardışık olarak aynı sayı ile çarparak
1 3 5 7 9 11
veya bölerek oluşturulan diziye geometrik dizi
denir. Geometrik dizide ardışık terimlerin
ÖR: Pascal üçgeni,
oranı, ardışık çarpılan veya bölünen sayıdır. Bu
Yanda verilen
sayıya dizinin ortak çarpanı denir.
sayıların
oluşturduğu
ÖR: 3, 12, 48, 192, … dizisi geometrik dizidir. 1.
üçgen, Pascal
Terim 4 ile çarpılarak elde edilmiştir.
üçgenidir.
ÖRNEKLER
Pascal
üçgenini
1. Aşağıdaki örüntünün kuralını bulalım.
yandaki gibi
gösterip
üzerindeki
örüntüleri
inceleyelim:
Sayılar aşağıdaki şekildeki gibi toplandığında 1. sırada 1 tane
ise Fibonacci dizisi elde edilir. 2. sırada 4 tane
3. sırada 9 tane
4. sırada 16 tane
11

15. n. sırada ? tane 4.
Dikkat edersek sıra sayısı ile oluşan birim kare
sayısı arasındaki ilişkiyi görebiliriz. Sıra
sayısının karesi örüntünün kuralını verir.
Sonuç: n. sırada n2 tane birim kare vardır. Yukarıdaki şekli devam ettirirsek oluşabilecek
3. Şekil:
2.
1. sırada 1 tane
2. sırada 3 tane
3. sırada 5 tane 5. Fraktallar
4. sırada 7 tane
n. sırada ? tane
Sonuç: n. sırada (2n-1) tane birim kare vardır.
3. Fraktal ile normal örüntü arasındaki fark
nedir?
Fraktallar da
bir çeşit 6. Aşağıdaki verilen fraktalın 5. adımındaki
örüntüdür. üçgen sayısını bulunuz?
Fakat
örüntülerden
farklıdır.
Fraktallar virüs
gibidir, her bir
parçasından
devamlı
benzer
parçaları
1.adım 1 üçgen
oluşur. Normal örüntülerde ise benzer
parçalar vardır fakat bu parçalar birbirinden
2.adım 1 + 3= 4 üçgen
oluşmaz. Bir şeklin fraktal olup olmadığını
anlamamızı sağlayan en önemli nokta şudur:
3.adım 1 + 3 + 9 = 13 üçgen
Fraktalların içinde veya üzerinde oluşturulan
şekiller birbirinin küçültülmüş veya
4.adım 1 + 3 + 9 + 27 = 40 üçgen
büyütülmüş şekilleridir.
5.adım 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 üçgen
Genellikle küçülme ve büyüme yoluyla
oluşturulurlar. Fraktallara en çok verilen örnek
eğrelti otudur. Eğrelti otunun her yaprağının
üzerinde yine küçük küçük yapraklar vardır.
12

16. 7. Aşağıda şekil dizilerinden hangisi fraktal göre 11. ve 25. Sıradaki kibrit sayısını bulunuz.
belirtir?
S4. 3 sayısına ardışık olarak (1/3) n sayısı
çarpılarak bir geometrik dizi oluşturuluyor.
Dizinin kuralını belirleyip
10. terimini yazınız.
"Fraktal geometri insan zihninin bir ürünü
olmaktan çok, bir keşiftir" R. Penrose
SORULAR
S1. Aşağıdaki şekilde kibrit
çöpleri ile oluşturulan
örüntü modeli ile her bir S5.
modelde kullanılan kibrit
çöpü sayısı arasındaki
ilişkiyi bulunuz.
S2. 5 sayısına 3 sayısını art arda ekleyerek
aritmetik dizi oluşturunuz. Bu dizinin 17.
terimini bulunuz.
S6.
S3.
Yandaki
örüntüye
13

17. S7. S10.
Şekilde iç içe çizilen çemberler, içinde
bulundukları çemberlere ve bu çemberlerin
merkezinde birbirlerine teğettirler. Buna göre;
a) 7. sıraya kadar her bir sırada kaç çember
çizilir?
b) 8. sıradaki çember sayısını bulunuz.
c) Örüntünün kuralını bulunuz.
S9.
14

18. 8.2.2. Özdeşlikler, Çarpanlara Ayrılma Tam Kare Özdeşliği:
İki Terim Toplamının Karesi:
ÖZDEŞLİKLER
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Değişkenlerin tüm değerleri için doğru olan
eşitliklere özdeşlik, bir veya birkaç değeri için
doğru olan eşitliklere ise denklem denir. İki Terim farkının Karesi:
Not: Özdeşlikler, içerdikleri değişkenlere (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
verilecek bütün gerçek sayılar için; denklemler
ise bazı gerçek sayı veya sayılar için doğrudur.
Ör: Not: Tam kare özdeşlikleri taraf tarafa
x2-1=(x-1).(x+1) ifadesi özdeşliktir, toplama ve çıkartma işlemleri yapılırsa
Çünkü her x değeri için eşitlik asla bozulmaz. aşağıdaki özdeşlikler elde edilir.
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy
İki Kare Farkı Özdeşliği: x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy
(x – y)2 = (x + y)2 – 4xy
a2 – b2 = (a + b).(a – b) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy
ÖR: a2-b2= (a-b). (a+b) ifadesini modelleyelim. Çarpanlara Ayırma
Harfli ifadelerin çarpanları aşağıdaki
yöntemlerden uygun olan kullanılarak
Kenar uzunluğu bulunur.
“a” olan bir • Ortak çarpan parantezine alma
karenin bir • Gruplandırma
köşesinden • Baştaki ve sondaki terimin çarpanlarından
kenar uzunluğu yararlanma
“b” olan başka • Özdeşliklerden yararlanma
bir kare çizelim.
1.Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara
ayırma işleminde, çarpma işleminin toplama
işlemi üzerine dağılma özelliğinden
Kalan yararlanılır.
parçayı
Ör: 4x+6 ifadesinin çarpanlarına ayıralım.
4x+6 ifadesine karşılık gelen modeller:
köşesinden kesip elde ettiğimiz parçaları
birleştirerek yandaki gibi bir dikdörtgen elde
edebiliriz. Oluşan dikdörtgenin alanı (a-
b).(a+b)’dir. Aynı alanı, alanı a2 olan büyük
karenin alanından, alanı b2 olan küçük karenin
alanını çıkararak da bulabiliriz. O hâlde;
a2-b2= (a-b).(a+b)’dir. Bu parçalar kullanılarak aşağıdaki dikdörtgen
elde edilir.
15

19. Ör:
Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları 4x+6
ifadesinin çarpanlarıdır.
4x+6= 2.(2x+3)
2. Gruplandırma: Benzer terimler ortak
Ör:
paranteze alınır.
Ör: 2xy-6 + 3x-4y ifadesini çarpanlara ayıralım.
(2xy-4y) + (3x-6) İfadeyi yandaki gibi
(x+2).(x+1)
gruplandıralım.
=2y.(x-2) + 3.(x-2) Gruplardaki terimleri ortak
çarpan parantezine alalım.
SADELEŞTİRME
=(x-2) . (2y+3) (x-2) ortak çarpan
parantezine alalım.
Ör:
3. ax2 + bx + c Üç Terimlisini Çarpanlarına
Ayırma
Ör: x2 + 6x + 9
Ör:
x2 ve 9’un uygun
çarpanlarının yazıldığına
ve bu çarpanların çapraz
çarpımları toplamının
ortadaki terimi verdiğine Ör:
dikkat ediniz.
x2 ve
9’un
çarpanlarının ok yönünde toplanarak
çarpılmasının
x2 + 6x + 9’un çarpanlarını verdiğine dikkat
ediniz.
16

20. SORULAR 8x 2  2 y 2
5. ifadesini sadeleştir.
a 2  6a  8 2a  8 8 x 2  8 xy  2 y 2
1. : ?
a2  4 a 2  4a  4
2. a  b  5 ve a.b= 6 ise; a 2  b 2 ifadesi
kaça eşittir?
6. 1192  1172  2A olduğuna göre A kaçtır?
3. x 2  7x  8  ? ifadesini çarpanlara ayır.
a 2  3a  4 a  4
7. : ifadesini sadeleştir.
a2 1 a 1
4. ifadesini sadeleştir.
8. a+b=8 a.b=3 olduğuna göre a²+b²= ?
17

21. 9.  x  2  ifadesinin açılımını bulunuz.
3
13. 282 – 122 ifadesinin değeri kaçtır?
10. 7ax - x(5a-3) – (5x- 4ax) işleminin
sonucunu bulunuz.
14. x  3  1 ve y  3  1 ise
x  2xy  y
2 2
ifadesinin değeri kaçtır?
x 2  5x  6 x2  4
11. : 2 =?
x 3  27 x  3x  9
x 2  25 x2  6x  5
15.  =?
x2  4 x  5 x2 1
a 2  2ab  b 2 a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
12. :
a2  b2 a  b2
=?
18

22.  x  2  x 2
2 2
x 2  y 2  52
16.     =? 20. ise x  y  ?
 3   3  x  y  24
17. 16a 2  25b 2 =? İfadesinin çarpanlarına
ayrılmış halini bulunuz.
21. a2-b2=17 ise 2a+b ifadesinin değeri kaçtır?
18. a 2 sayısının 2a+1 fazlası a 2 -1 sayısının kaç
katıdır?
( x 2  1).( x 2  2 x)
22. =?
x.( x 2  3x  2)
 x 2  10 x  25 x 2  5 x 
19. 
   =?
 x  25
2
x5  
19

23. a 2  a  6 a 2  4a  3 26. ab-ac=15 ve b-c=5 ise b-c-a ’nın değeri
23.  =? kaçtır?
a 2  5a  6 a 2  2a  3
24.  x  2    x  2  =?
2 2
25. (25m²x² - 49tª) = (5mx – 7t³).(5mx + 7t³)
yandaki özdeşlikte а = ?
20

24. 8.2.3. Doğrusal Denklem Sistemleri – Ör:
Eşitsizlikler
Doğrusal Denklem Sistemleri
Aynı bilinmeyenlerle oluşturulan farklı
denklemler, denklem sistemi oluşturur.
Ör: x+y=5 ve x-2y=-4 denklemleri denklem
sistemi oluşturur.
Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri
Yerine Koyma Yöntemi
Verilen iki denklemin, herhangi birinden
bilinmeyenlerden biri, diğeri cinsinden bulunur
ve diğer denklemde yerine yazılır. Elde edilen y=0,5 bulunur. y değeri herhangi bir
bir bilinmeyenli denklem çözülür. Bulunan bu denklemde yerine yazılırsa x=0,4 olur.
değer, denklemlerden herhangi birinde yerine
yazılarak diğer bilinmeyen bulunur. SORULAR
Yok Etme Yöntemi 1.
Verilen her iki denklemin, bilinmeyenlerinden
birinin katsayıları simetrik (mutlak değerce eşit
ve zıt işaretli) olmalıdır. Bu koşul yoksa
bilinmeyenlerden herhangi birinin, her iki
denklemde de katsayıları simetrik duruma
getirilir. Sonra her iki denklem taraf tarafa
toplanarak bilinmeyenlerden biri yok edilir.
Elde edilen bir bilinmeyenli denklem
çözülerek, bilinmeyenlerden biri bulunur.
Bulunan bu değer, denklemlerden herhangi
birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen
bulunur.
Karşılaştırma Yöntemi 2.
Verilen denklemlerin ikisinden de aynı
değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları
karşılaştırılır (eşitlenir).
Her iki denklemden de aynı değişken kolayca
çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi”
kolaylık sağlar.
21

25. 3.
Denklemini sağlayan x değeri 2 ise a kaçtır?
6.
4.
7.
5.
22

26. 8. 11.
12.
9.
10.
13.
23

27. 14. 16.
x=0 için y değeri bulunur. A(0,y)
y=0 için x değeri bulunur. B(x,0)
Bulunan noktalar koordinat düzleminde
işaretlenir.
Bu noktalar bir doğru yardımıyla birleştirilir.
Ör: 6x+2y=0
x=0 için y=0
y=0 için x=0 bulunur. Demek ki doğrumuz
15. orijinden geçiyor. O
halde
x=1 olsun y= -3 olur.
y= 3 için x= -1 olur.
Sorular
1. y=2x+2 nin grafiğini çiziniz.
24

28. 2. x=3 ün grafiğini çiziniz. EŞİTSİZLİKLER
Taraflar ya da karşılaştırılan nicelikler birbirine
eşit değilse yazılan sayısal ifade eşitsizlik olur.
Eşitsizlik sembolleri;
“ < ” küçük
“ > ” büyük
“ ≤ ” küçük eşit
“ ≥ ” büyük eşit olarak gösterilir.
ÖR:
6<8, 6>5, 5≥5, 6≥5, 4≤5 gibi
Eşitlikte, karşılaştırılan taraflar veya nicelikler
aynı değere sahiptir. Bilinmeyen içeren bir
eşitlikte bilinmeyen tek değer alır. Eşitsizlikte
ise taraflar veya nicelikler aynı değere sahip
3. y= 3x+6 nın grafiğini çiziniz. değildir. Bilinmeyen içeren bir eşitsizlikte
bilinmeyen birden fazla değer alabilir.
ÖR: x +5 < 8 ise x<3 tür.
a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere; ax + b < 0,
ax + b ≤ 0, ax + b > 0 ve ax + b ≥ 0 biçimindeki
eşitsizlikler birinci dereceden bir bilinmeyenli
eşitsizliklerdir.
Ör: 2 eksiği 3 veya 3’ten küçük olan sayılar:
x-2≤3
x-2+2≤3+2
x≤5
Eşitsizliğin çözüm kümesini 5 veya 5’ten küçük
sayılar oluşturur. Bu sayıları kümelerdeki ortak
4. 5y=20x+10 un grafiğini çiziniz. özellik yöntemini kullanarak sayı doğrusunda
gösterelim.
Ç = , x I x ≤ 5, x ∈ IR }
NOT: İçinde sayılar ve “ , ≤, , ≥ ”
sembollerinden birini içeren cebirsel ifadeler
eşitsizlik olarak adlandırılır. Bu eşitsizliğin her
iki tarafına aynı sayı eklenir veya her iki
tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik
bozulmaz.
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile
çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
25

29. Eşitsizliklerin Grafikleri
2.
“ y ax + b” veya “ y ≥ ax + b” doğrusal
eşitsizliklerin grafikleri çizilirken önce y = ax +
b doğrusunun grafiği çizilir. Sonra doğrunun
ayırdığı bölgelerden birer sıralı ikili seçilip
eşitsizlikte yerine yazılır. Eşitsizliği sağlayan
sıralı ikilinin olduğu taraf taranır. Doğrusal
eşitsizlikte“≤” veya “≥” sembolleri olduğunda
doğru, çözüm kümesine dâhildir ve grafiği düz
çizgi ile çizilir.
“ y<ax + b” veya “ y>ax + b” doğrusal
eşitsizliklerin grafikleri çizilirken aynı yol takip
edilir. Ancak doğru, çözüm kümesine dâhil
değildir ve grafiği kesik çizgi ile çizilir. 3.
SORULAR
1. 4.
26

30. 8.
5.
9.
6.
7. 10.
27

31. 11.
12.
13.
28

32. 8.2.4. Koordinat Düzleminde Öteleme ve Aşağıdaki şekli d doğrusu boyunca üç birim
Yansıma sağa öteleyip yansımasını çizelim.
Koordinatlarından biri (a,b) olan bir şekli, orijin
etrafında saat yönünde
90° döndürdüğümüzde (a,b) koordinatı (b,-
a),
180° döndürdüğümüzde (a,b) koordinatı (-a,-
b)
270° döndürdüğümüzde (a, b) koordinatı (-b,
a) olur.
360° döndürdüğümüzde ise(a,b) koordinatı
değişmez.
Ör:
Aşağıya ise şeklin önce d doğrusuna göre
yansımasını çizip daha sonra doğru boyunca üç
A(-2,4) noktasını saat yönünde,
birim sağa öteleyelim.
90° döndürdüğümüzde A’(4,2) olur.
180° döndürdüğümüzde A’’(2,-4) olur.
270° döndürdüğümüzde A’’’(-4,-2) olur.
360° döndürdüğümüzde A’’’’(-2,4) olur.
Bir şekle ait tüm (x,y) noktalarının x eksenine
göre simetriği (x,−y) noktalarıdır.
SORULAR
Bir şekle ait tüm (x,y) noktalarının y eksenine
göre simetriği (−x,y) noktalarıdır.
1. A(-30 , -24) noktasının x eksenine göre
simetriği (yansıması) nedir?
Şeklin 180° dönme sonucunda görüntüsü
şeklin orijine göre simetriğidir.
Öteleme: Doğruya göre öteleme yapılırken x
ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve
belirtilen birim kadar, bütün noktalar paralel
ötelenir.
2. A(-3,-2) noktasının 4 birim sağa ötelenmiş
hali nedir?
Öteleme hareketi sonunda nesnenin geldiği
yer, görüntüsüdür. Ötelemede şeklin duruşu,
biçimi ve boyutları aynı kalır.
Ötelemeli Yansıma
3. A(10,12) noktasının 6 birim aşağıya doğru
Bir şeklin, bir doğru boyunca yansımasından
ötelenmiş hali nedir?
sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra
yansıması aynıdır.
Ötelemeli yansımada hiçbir nokta ve yansıma
doğrusundan başka hiçbir doğru sabit kalmaz.
29

33. 4. A(+3,-5) noktasının orijine göre yansıması 10. A(+x,+y) noktasının ordinat eksenine göre
altındaki görüntüsünün koordinatı nedir? yansıması 4 birim yukarı ötelenirse hangi
koordinat elde edilir?
5. A(+x , +y) noktasının apsis eksenine göre
yansıması nedir?
6. A(-6 , +5) noktası 4 birim aşağı ötelenip
orijin etrafında saat yönünde 90 derece
döndürülürse hangi nokta elde edilir?
7. A(a,b) noktası orijin etrafın da saatin tersi
yönünde 270 derece döndürülürse, oluşan
noktanın koordinatı nedir?
8. A(+4,-1) noktası 8 birim sağa ötelenip orijin
etrafında saat yönünde 180 derece
döndürülürse hangi nokta elde edilir?
9. A(a , b) noktasının x eksenine göre simetriği
B(3 , 4) noktasıdır. Buna göre a+b kaçtır?
30

34. 8.3.1.Üçgende Kenar Bağıntıları a2>b2+c2 dir.
Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları d) A açısı 900 den küçük ise
a2<b2+c2 dir.
a)Küçük açı karşısında küçük kenar, büyük açı
karşısında büyük kenar bulunur.
s(Â)>s(B)>S(C) ise a>b>c dir.
Not: Bir üçgende; ölçüsü diğerlerinden büyük
olan açının karşısındaki kenarın uzunluğu da
diğer kenarların uzunluğundan büyük, ölçüsü
diğerlerinden küçük olan açının karşısındaki
kenarın uzunluğu da diğer kenarların
uzunluğundan küçüktür.
Dik Üçgen
Bir dik üçgende;
birbirini dik
olarak kesen
kenarlar dik
kenar, dik açı
karşısındaki
kenar ise hipotenüs olarak adlandırılır.
Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın
(hipotenüsün) uzunluğu en büyüktür.
b)Üçgen Eşitsizliği
Üçgenin iki kenarının uzunluğunun toplamının,
üçüncü kenarının uzunluğundan büyük olduğu
bağıntısına “Üçgen Eşitsizliği” denir.
Ia+bI>c>Ia-bI dir.
Ia+cI>b>Ia-cI dir.
Ic+bI>a>Ic-bI dir.
c) A açısı 900 den büyük ise
31

35. SORULAR 5.
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
32

36. 8.3.2.Üçgen Çizimi ve Üçgende Yardımcı Kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık
Elemanlar merkezi denir.
Bir Üçgen Şu Şartlarda Çizilebilir G, ağırlık merkezi ise
a) Üç kenar uzunluğu,
b) İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki
açının ölçüsü veya
c)Bir kenarının uzunluğu ile iki açısının ölçüsü
verilen bir üçgen
Cetvel, açıölçer ve pergel kullanılarak IAGI=2IGFI ve IBGI=2IGDI ve IGCI=2IGEI dir.
çizilebilir.
Üçgenin Yardımcı Elemanları Kenar orta dikme, bir
kenarı dik olarak iki eş
Yükseklik parçaya böler.
Açıortay
Bir üçgenin bir açısını iki eş açıya ayıran ışının,
karşı kenarı kestiği nokta ile açının köşesi
arasında kalan doğru parçasına, o açıya ait
açıortayın uzunluğu denir.
Açıortay bir köşedeki açıyı iki eş parçaya ayıran
doğru parçasıdır.
Üçgende yükseklik bir köşenin karşısındaki
kenara uzaklığı veya köşeden bu kenara inilen
dikmedir. Dar açılı ∆(SRP)’nde yükseklikler
üçgenin içinde noktadaş, geniş açılı ∆(DEF)’nde
ise yüksekliklerin uzantıları üçgenin dışında
noktadaştır. ve
Kenarortay IANI2=a.b-p.k
dir.
Üçgende
kenarortay, bir
köşeyi karşı kenarın
ortasına birleştiren
doğru parçasıdır.
33

37. SORULAR b) IDEI= 8 cm, s(DEF) = 78° ve IDFI= 7 cm
1.Açıölçer ve cetvel kullanarak aşağıda ölçüleri
verilen üçgenleri çiziniz.
a) IABI= 8 cm, s(ABC ) = 40° ve s(BAC ) = 54°
b) IPSI= 6 cm, s(PSR) = 48° ve s(SPR ) = 47°
2.Cetvel ve pergel kullanarak aşağıda ölçüleri
verilen üçgenleri çiziniz.
a) IEFI= 10 cm, IFGI= 8 cm ve IEGI= 6 cm
b) IKLI= 5,4 cm, ILMI= 4,6 cm ve IKMI= 4,6 cm
3.Açıölçer, cetvel ve pergel kullanarak aşağıda
ölçüleri verilen üçgenleri çiziniz.
a) IABI= 6 cm, s(BAC) = 85° ve IBCI= 7 cm
34

38. 8.3.3.Üçgende Eşlik ve Benzerlik Kenar-Açı-Kenar
Aralarında bire bir eşleme yapılan iki üçgenin, İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı
karşılıklı kenar uzunlukları eşit ve karşılıklı ve orantılı kenarların arasında kalan açıların
açıları eş ise bu iki üçgene, eş üçgenler denir. ölçüleri eşit ise, bu üçgenler benzerdir. Bu
benzerlik kenar-açı-kenar özelliğidir.
Üçgenlerde Eşlik Şartları
BENZERLİK ORANI
Kenar-Açı-Kenar
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede iki
üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarların
oluşturduğu açılar eş ise bu iki üçgen eştir. Bu
kural kenar açı kenar kuralı olarak adlandırılır.
Açı-Kenar-Açı ve Kenar-Açı-Açı
ABC ile DEF üçgeni benzer ise
İki üçgenin karşılıklı birer kenarları ile köşeleri
bu kenarların uç noktaları olan açıları eş ise bu
iki üçgen birbirine eştir. Bu kural açı kenar açı
kuralı olarak adlandırılır.
Kenar-Kenar-Kenar
Benzerlik oranı
İki üçgen arasında bire bir eşleme yapıldığında
karşılıklı kenarları birbirine eş ise bu iki üçgen
birbirine eştir. Bu kural kenar-kenar-kenar
kuralı olarak adlandırılır. Temel Benzerlik Teoremi
Üçgenlerde Benzerlik Özellikleri ED//BC ise
Kenar-Kenar-Kenar
Karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olan
üçgenler benzer üçgenlerdir. Bu benzerlik Oranına temel
özelliği kenar-kenar kenar benzerlik özelliği benzerlik teoremi
olarak adlandırılır. denir.
Açı-Açı-Açı
Aralarında bire bir eşleme yapılan iki üçgenin Thales Teoremi
karşılıklı açıları eş ise bu eşleme bir
benzerliktir. Bu özellik açı-açı-açı benzerlik
özelliği olarak adlandırılır. AD//BE//CF
Tüm üçgenlerde iç açıların ölçülerinin toplamı
180° dir. Üçgenlerin ikişer açılarının ölçüleri
eşit ise üçüncü açı ölçüleri de eşit olur. O hâlde
bu özellik ikişer açı ölçüsü kullanarak açı-açı
benzerlik özelliği olarak da söylenebilir.
35

39. SORULAR
36

40. 37

41. 13.
14.
15.
38

42. 16. 18.
19.
17.
20.
39

43. 21.
23.
22.
40

44. 8.3.4.Pisagor Bağıntısı - Özel Üçgenler Özellik:
Pisagor Bağıntısı *** 30 un gördüğü a ise 90 ın gördüğü 2a dır.
Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının *** 30 un gördüğü a ise 60 ın gördüğü a√
kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun tür.
karesine eşittir.
ÖR:
b=Hipotenüs
b2=a2+c2 dir.
Muhteşem Üçlü
45-45-90 Üçgeni
Bu üçgen karenin en az bir köşegeninin
çizilmesi ile oluşur.
Dik açıdan çizilen kenarortay hipotenüsün
yarısı uzunluğundadır.
Öklid Bağıntısı
Özellik:
45 in gördüğü a ise 90 ın gördüğü a√
dir.
h2=p.k
b2=k.a c2=p.a
30-60-90 Üçgeni
Bu üçgen eşkenar
üçgenin bir kenarına
indirilen bir dikme
sonucu oluşur.
41

45. Kenarları Tam Sayı Olan Bazı Dik Üçgenler
SORULAR
42

46. 43

47. TEST
44

48. 45

49. ÖZEL ÜÇGENLER, 45-45-90 VE 30-60-90
ÜÇGENİ
1.
46

50. 2.
5.
3.
6.
4.
47

51. 8.3.5.Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar- cotα=
Doğrunun Eğimi
NOT: Bir açının tanjantı ile kotanjantının
Trigonometri çarpımı 1e eşittir.
tanα.cotα=1
NOT: sin2α+cos2 α=1
30-60-90 ÜÇGENİNİN TRİGONOMETRİK
ORANLARI
Veya
sinα=
45-45-90 ÜÇGENİNİN TRİGONOMETRİK
cosα=
ORANLARI
tanα=
cotα=
NOT: Bir dik üçgende iki dar açıdan birinin
sinüsü diğerinin cosünüsüne, birinin tanjantı
ise diğerinin kotanjantına eşittir.
secα= =
cosecα= =
tanα=
48

52. DOĞRUNUN EĞİMİ
Şekildeki dik üçgende 3.
*AB+ nın *AC+ na göre
eğimi dikey
uzunluğunun (|BC|)
yatay mesafeye (|AC|)
oranlanması ile
bulunur. Bu oran tanA
değerine eşittir.
4.
Eğim=tan A
Dikey uzunluğun, yatay uzunluğa oranı “eğim”
olarak adlandırılır. Eğim “m” harfi ile gösterilir.
Eğim = m =
Doğrunun Denkleminin Eğimi
y = ax + b biçimindeki bir doğru denkleminde
x’ in kat sayısı doğrunun eğimini verir. 5.
NOT: y = ax + b ve y = cx + d doğrusal denklem
sisteminin çözüm kümesi varsa bu, doğruların
grafiklerinin kesim noktasının koordinatlarıdır.
SORULAR
1.
6.
2.
49

53. 7. 11.
8. 12.
9.
13.
10.
14.
50

54. 15. 17.
16.
51

55. 8.4.1. Üçgen Prizma
Yandaki prizmada, eş ve paralel üçgensel bölge
olan iki taban renklendirilmiştir. Bu iki taban
arasındaki uzaklık, prizmanın yüksekliğidir. Üç
Eşkenar üçgen dik prizma ekseni etrafında
120º lik açı ile döndürüldüğünde yönü
değişmediğinden dönme simetrisine sahiptir.
dikdörtgensel bölgenin birleştirilmesiyle elde
edilen yüzey ise yanal yüzeydir.
Üçgen prizmanın temel elemanları taban, yan Üçgen Prizmanın Yüzey Alanı
yüz, ayrıt, köşe ve yüksekliktir.
***Üçgen prizmanın tabanlarının karşılıklı YA(Yanal Alan) = c.h + b.h + a.h = h(c + b + a)
köşelerini birleştiren ayrıtlar tabanlara dik ise
dik prizma, eğik ise eğik prizma olarak Toplam Alan = 2TA + YA ’dır.
adlandırılır. Buna göre ilk prizma dik, ikincisi
Üçgen Prizmanın Hacmi
ise eğik prizmadır.
Hacim=V=
***Üçgen prizmanın 6 köşesi, 5 yüzeyi ve 9
=Taban Alanı x Yükseklik
ayrıtı vardır.
=TAxh
NOT: Tabanların merkezinden geçen doğru,
prizmanın eksenidir.
ÖR:
Eşkenar üçgen dik prizmanın tabanlarının
merkezinden geçen doğru “eksen” dir.
Prizmamızı bu eksen etrafında iki kez 60º lik
açı ile döndürelim.
52

56. SORULAR 3.
1.
2.
4.
53

57. 5. 7.
8.
6.
9.
54

58. 10.
13.
11.
12.
55

59. 8.4.2. Dikdörtgenler Prizması - Kare YA = 4a.a = 4a2
Prizması – Küp
Yüzey alanı = 2TA + YA= 2a2 + 4a2
Dikdörtgenler Prizması
= 6a2 dir.
Hacim=a.a.a=a3
Kare Prizma
Tabanları kare yan yüzeyi
dikdörtgen olan prizmaya
TA  Taban alan
kare prizma denir.
YA  Yanal alan
TA = a.b
YA = 2a.h + 2b.h = 2h(a+b)
Yüzey alanı = 2TA + YA
= 2a.b + 2h(a+b) dir.
Hacim = Taban Alanı . Yükseklik
=a.b.h
Küp
Her yüzeyi eş karelerden
oluşan 3 boyutlu cisme küp
denir.
TA = a2
YA = 4a.h
Yüzey alanı = 2TA + YA
= 2a2 + 4a.h
= 2a(a+2h) dir.
Hacim=a.a.h=a2.h
TA = a2
56

60. SORULAR 3.
1.
2. 4.
57

61. 5. 7.
6.
8.
58

62. 9. 11.
10.
59

63. 8.4.3. Piramitler
Piramidin temel elemanları tepe noktası,
tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir.
Piramitte yükseklik tepe noktasının taban
düzlemine olan uzaklığıdır.
Piramidin tepe noktasını taban merkezine
(ağırlık merkezi) birleştiren doğru parçası
tabana dik ise dik piramit, eğik ise eğik
piramit olarak adlandırılır.
Yüzey Alanı
Piramidin yüzey alanı, taban alanı ile yanal
Her iki piramitte de ayrıtlar kırmızı ile alanının toplamıdır.
işaretlenmiştir. I. piramidin tabanındaki
Hacim
çokgensel bölge, karesel bölge olduğu için
“kare piramit”; II. piramidin tabanındaki Taban alanları ve yükseklikleri eşit olan tüm
çokgensel bölge üçgensel bölge olduğu için dik piramit ve prizmalarda;
“üçgen piramit” olarak isimlendirilir.
Dik piramidin hacmi = (Taban Alanı.
Piramit’in Açınımı Yükseklik)/3 tür.
Kare Piramit Not: Piramidin hacmi aynı tabana ve
yüksekliğe eşit prizmanın hacminin 3 te 1 ine
eşit olduğunu fark edin.
SORULAR
1.
Şekildeki kare
dik piramidin
taban ayrıtı 16
cm ise, IOEI
uzunluğu kaç
cm dir?
60

64. 2. Şekildeki kare 4.
dik piramidin
taban ayrıtı 16 Şekildeki kare
cm ve cisim dik piramidin
yüksekliği 6 cm yanal alanı kaç
ise, yan yüz cm karedir?
yüksekliği kaç cm
dir?
3.
5.
Şekildeki kare
dik piramidin
taban ayrıtı 6
Şekildeki kare dik piramidin hacmi kaç cm3 cm dir.
tür? A(TBC)=15 cm2
ise, Kare dik
piramidin
hacmi kaç cm
küptür?
61

65. NOT: 1) Kesit çokgeni tabana benzerdir. EFGH ile
ABCD kareleri benzerdir.
2) Kesit alanının taban alanına oranı, bunların
tepe noktasına olan uzaklıklarının, karelerinin
oranına eşittir. Alanlar oranı benzerlik oranının
karesine eşittir.
3)(T,EFGH) ile (T,ABCD) piramitlerinin
hacimleri oranı benzerlik oranının küpüne
eşittir.
KESİK PİRAMİT: Bir piramit, tabana paralel bir
düzlem ile kesildiğinde, taban düzlemi ile kesit
yüzeyi arasında kalan kısmına kesik kare
piramit denir.
Kare dik piramidin bir yatay
düzlem ile kesişimi bir karedir.
| EF | | FG | | GH | | HE |
1)    k
| AB | | BC | | CD | | DA |
A( EFGH ) EF 2 FG 2 GH 2 HE 2
2) ( ) ( ) ( ) ( )  k2
A( ABCD ) AB BC CD DA
A( EFGH ) h1 y1 c
2)  ( )2  ( )2  ( )2
A( ABCD ) h y a
V (T , EFGH ) EF 3 FG 3 GH 3 HE 3
3) ( ) ( ) ( ) ( )  k3
V (T , ABCD ) AB BC CD DA
V (T , EFGH ) h1 y1 c
3)  ( )3  ( )3  ( )3
V (T , ABCD ) h y a
KESİK KARE PİRAMİTTE BENZERLİK:
Bir piramit, tabana paralel bir düzlem ile
kesilirse:
62

66. ÖR:
(T,EFGH)
piramidi
ile
(T,ABCD)
NOT:
piramidinin hacimleri arasındaki benzerlik
oranı 216/343 dür. V(T,EFGH)=432 cm3 ise, Kare dik piramidin en küçük dönme simetri
V(T,ABCD)=? açısını bulmak için Tabanına bakmamız
gerekir. Tabanı düzgün dörtgen yani karedir.
Karenin en küçük dönme simetri açısı 360
derece bölü 4 eşit kenar oda eşittir 60
derecedir. Karenin en küçük dönme açısı 60
derecedir. Kare dik prizma 60-120-180-240-
300-360 derecede kendisi gibi olur. Kare dik
prizmanın en küçük dönme simetri açısı 60-
120-180-240-300 derece şeklindedir.
ÖR:
(T,EFGH)
piramidi ile
(T,ABCD)
piramidinin
hacimleri
arasındaki
benzerlik
oranı kaçtır?
NOT:
Kare DİK PRİZMA tabana dik bir düzlem ile
kenarların orta noktalarından kesilirse arakesit
yüzeyi bir ikiz kenar üçgendir. Kare dik
prizmanın bu şekilde 2 tane simetri düzlemi
vardır.
63

67. 8.4.4. Koni Tepe noktasını tabanın orta
noktasına birleştiren dikmenin
KONİ uzunluğu, koninin yüksekliğidir.(h)
Bir çemberin bütün noktalarının çemberin Koninin taban yüzeyi bir
dışındaki bir nokta ile birleştirilmesinden elde daire, yanal yüzeyi ise bir daire parçasıdır.
edilen cisme koni denir. Kısaca Koni, tabanı Ana doğru
daire olan piramittir. Koni, dik koni ve eğik (a veya l) ile
Cisim yüksekliği gösterilir.
koni olmak üzere iki bölümde incelenir. (h) ile gösterilir.
Taban
Cisim yarıçapı (r)
yüksekliği ile gösterilir.
tabana dik
olan koniye
dik koni
denir.
DİK KONİNİN TABAN ÇEVRESİ:
Koninin tabanı bir dairedir. Taban çevresi
dairenin çevresi gibi hesaplanır.
Cisim
DİK KONİNİN TABAN ALANI:
yüksekliği
tabana dik Koninin tabanı bir dairedir. Taban alanı
olmayan dairenin alanı gibi hesaplanır.
koniye eğik
koni denir.
DİK KONİNİN YANAL ALANI:
Koninin yanal yüzü bir
DİK KONİ: Bir dik üçgenin, dik kenarlarından
daire dilimidir. Taban
biri etrafında 360 derece döndürülmesi ile
çevresi ile yan yüz
oluşan cisme dik koni denir.
yüksekliği çarpılır.
Tabanı daire ve tepe noktasından Çarpım 2 ye bölünür.
indirilen dikme taban merkezinden geçen Yan yüz yüksekliği ana
konilere dik koni denir. doğrudur.
Tepe noktasını tabanın kenarlarına
birleştiren doğru parçalarına koninin ana
doğrusu ( a veya L ) denir.
64

68. Olup yerine yazılırsa,
DİK KONİNİN HACMİ:
Dik Koninin hacmi, taban alanı ile yükseklik
çarpılır. Çarpım 3’e bölünür. Dik Koninin
hacmi, yarıçapı ve yüksekliği eşit olan Dik
silindirin hacminin 1/3’üne eşittir. Dik silindirin
hacmi, yarıçapı ve yüksekliği eşit olan Dik
Koninin hacminin 3 katına eşittir.
TA1 r2 h1 l1
1)  ( )2  ( )2  ( )2
TA2 r1 h l
V 1 r 2 3 h1 3 l1 3
KESİK KONİ: 2) ( ) ( ) ( )
V2 r1 h l
Bir koni
piramidin
tabanına r 2 h1 l1
paralel bir 3)   k
düzlemle r1 h l
kesilmesinden oluşan altta kalan kısmına kesik
koni piramit denir. SORULAR
KESİK KONİDE BENZERLİK ORANLARI: 1.
1) Benzer iki koninin alanlarının oranı, Yanda açık şekli
benzerlik oranının karesine eşittir. verilen koninin
Merkez açısı 90
2) Benzer iki koninin hacimlerinin oranı, derece, ana doğrusu
benzerlik oranının küpüne eşittir. 16 cm dir. Koninin
taban alanı (Pi)
cinsinden kaç cm
karedir?
65

69. 2. 5.
Yanda açık sekli verilen Şekildeki koninin
koninin yüzey alanı kaç alt taban yarı
cm karedir? çapı 16 cm cisim
( =3 alınız. )
yüksekliği 12 cm
dir. Koni tabana
paralel bir
düzlem ile ilk 9
cm de kesiliyor.
Arakesit
düzleminin PD =r yarıçapı kaç cm dir? (π=3)
3. Yandaki
kesik
koninin
yüzey
alanı kaç
 cm 6.
karedir?
Yanda açınımı
verilen dik
koninin yanal
alanının taban
alanına oranını
bulunuz.
4.
Yandaki kesik
koninin hacmi kaç
 cm küptür?
66

70. 7. 10.
8. Aşağıdaki cismin yüzey alanını bulunuz.
9.
67

71. 8.4.5. Küre Yarım Daire AB çapı
etrafında 360 derece
KÜRE döndürülürse bir
küre oluşur.
Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta
bulunan noktaların birleşim kümesine küre
denir.
Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre
yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir.
Bir yarım dairenin çapı etrafında 3600
döndürülmesi ile oluşan cisme küre denir. KÜRENİN YÜZEY ALANI:
Kürenin bir düzlem ile kesişimi (arakesiti) bir
dairedir. Yüzey alanı (Bütün alan) ,Kürenin büyük
dairesinin alanın 4 katına eşittir.
Kürenin merkezinden geçen düzlem ile
kesişiminden oluşan daireye kürenin en büyük
dairesi, bu dairenin çemberine de kürenin en
büyük çemberi denir.
Kürenin
yarıçapı
KÜRENİN HACMİ:
Çapı silindirin yüksekliğine eşit olan Küre,
(silindirin çapı ile yüksekliği eşittir.) Su dolu bir
silindirin içine atılırsa, taşırdığı suyun hacmi
silindirin hacminin 2/3’üne eşit olur.
Bir Daire AB çapı
etrafında 180
derece
döndürülürse bir
küre oluşur.
68

72. KÜREDE BENZERLİK:
İki küre benzer ise;
1) Alanlar oranı benzerlik oranının
(Yarıçapların oranının) karesine eşittir. SORULAR
A1 r1
1)  ( )2
A2 r2 1.
2) Hacimler oranı benzerlik oranının
(Yarıçapların oranının) küpüne eşittir.
V1 r1
2)  ( )3
V2 r2
KÜRE KAPAĞININ (KÜRE PARÇASININ) YÜZEY
ALANI (TÜM ALAN):
Küre kapağının kabuk (Üst yüz) alanı ile Küre
kapağının taban dairesinin alanı toplamına
Küre parçasının alanı denir.
2.
69

73. 3. 6.
4.
7.
5.
70

74. 8. 10. Bir kürenin, merkezinden 4 cm uzaklıktaki
kesitlerin çevresi olduğuna göre bu kürenin
yarıçapı kaç cm dir?
9. Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden
uzaklıkta bir düzlemde kesiliyor.
Elde edilen kesitin alanı kaç dir?
71

75. 8.4.6. Çok Yüzlüler ve Yapıların Platonik Cisimler
Görünümleri – Perspektif
Birçok yüzlünün yüzleri birer çokgensel
bölgedir. Ayrıt ve köşeleri ise bu çokgensel
bölgelerin kenar ve köşeleridir.
Birçok yüzlünün yüzeyi, yüzleri ile ayrıtlarının
birleşiminden oluşur. Çok yüzlüler yüz
sayılarına göre “dört yüzlü”, “beş yüzlü”
şeklinde isimlendirilir.
Bütün yüzleri ve bütün ayrıtları eş olan çok
yüzlülere “düzgün çok yüzlü” denir.
EULER FORMÜLÜ
Çok yüzlülerde K + Y - A = 2 bağıntısı vardır. Bu
bağıntı, 18. yüzyılda yaşamış olan matematikçi
Euler (Öyler) tarafından bulunduğu için onun Tüm yüzleri ve tüm ayrıtları eş olan çok
adıyla anılır. yüzlülere “düzgün çok yüzlü” denir. Yukarıdaki
çok yüzlüler sırasıyla düzgün dört yüzlü,
ÖR:
düzgün altı yüzlü, düzgün sekiz yüzlü, düzgün
on iki yüzlü ve düzgün yirmi yüzlüdür. Bu
cisimler “platonic (platonik) cisimler” olarak
adlandırılır.
Çok Yüzlü Cisimlerin Kodlarının Yazılması
Kodlar yazılırken Z,D,L,1,2,3 kodlarına
bakılarak yazılır. Çok yüzlüler kodlanırken 2,3,4
tane kod yan yana gelebilir.
Herhangi bir yüzü iç bükey çokgen olan çok
yüzlüler, iç bükey çok yüzlülerdir.
72

76. ÖR:
Prizma modelinin ön yüzü (sağ ve sol yüzlerin
ÖR:
kesiştiği dikey ayrıt) çizimin düzlemine paralel
Kodu LZL olan yapılar oluşturup görünümlerini değilse perspektif çiziminde iki kaybolunan
izometrik kâğıda çizelim: nokta vardır. Bu tekniğe “iki nokta
perspektifi” adı verilir.
SORULAR
1. Aşağıda verilen cisimlerden hangisi dış
bükeydir?
PERSPEKTİF
Prizma modelinin ön yüzü, resmin (çizimin)
düzlemine paralel olarak yapılıyorsa bu
perspektif çizim tipine “bir nokta perspektifi”
denir.
Kaybolunan nokta, prizmaya sağdan
bakıldığında ufuk çizgisi üzerinde ve prizmanın
sağında; soldan bakıldığında ise solundadır. Bu
durum, prizmaya alttan veya üstten
bakıldığında değişmez.
73

77. 2. 5.
3.
4.
74

78. 8.5.1. Kombinasyon – Permütasyon Örnek
Permütasyon ,ali, burak, cem, deniz, esra - sağlık
elemanlarından oluşan ekipten 3 kişilik ilk
n tane farklı elemanın bir sıra üzerinde r li (r ≤ yardım ekibi kaç farklı şekilde kurulabilir?
n) sıralanışlarından her birine n nin r li
permütasyonu denir. Çözüm
n elemanlı A kümesinin r li permütasyonlarının Ekipteki elemanların yer değiştirmesi farklı bir
sayısı; ekip meydana getirmiyor. Oluşturulabilen tüm
farklı ekipler aşağıda da görüldüğü gibi 10
P(n,r)= tanedir.
abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde
Not: r=n ise; n farklı elemanın n li
permütasyonlarının sayısı P(n,n)=n! dir.
3 kişilik 10 tane farklı ekip
Yani n farklı elemanın doğrusal bir sıra
Eleman sayısı 5 olan bir kümenin
üzerindeki farklı sıralanışlarının sayısı n!
elemanlarından
tanedir.
3 tanesi seçilerek oluşturulabilecek farklı
Gurupların sayısını arıyoruz.
Tekrarlı Permütasyon
5 elemanın 3 lü sıralanışları sayısının P(5,3)
tane olduğunu biliyoruz.
n tane nesnenin n1 tanesi bir türden, n2 tanesi
Her sıralanışta 3 eleman 3! kadar kendi
ikinci türden, ...nr tanesi r. türden ve
arasında yer değiştirmektedir, bu da farklı bir
n1+n2+...+nr=n ise n nesnenin n li gurup oluşturmamaktadır.
permütasyonlarının sayısı; O halde tüm durum sayısı olan P(5,3) den
farklı durum meydana gelmeyen 3! tane gurup
n tane eleman içerisinden; sayısı atılmalıdır.
n1 tanesi 1. çeşit ve özdeş, Çarpım durumundaki ifadelerden istenmeyen
n2 tanesi 2. çeşit ve özdeş, durumun atılması bölme ile yapıldığından;
n3 tanesi 3. çeşit ve özdeş, P(5,3)/3! tane farklı gurup oluşturulabilir.
.........................................
......................................... Genelleme
nr tanesi r. çeşit ve özdeş olmak üzere; n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt
bu n eleman bir sıra üzerinde kümelerinden her birini, n elemanın r li gurup
sayısı olarak düşünebileceğimizden;
farklı sıralanabilir.
KOMBİNASYON
şeklinde hesaplanır.
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt
kümelerinden her birine n nin r li Not
kombinasyonu denir. Permütasyonda sıralanışın önemi vardır fakat
kombinasyonda sıralanışın önemi yoktur.
C(n,r) veya ( )şeklinde gösterilir.
Seçim yapma ve gruplama işlemleri
( n , r ∈ N, n ≥ r )
kombinasyonla,
Sıralama ve dizme işlemleri permütasyonla
C(n,r)=( ) = hesaplanır.
75

79. ÖRNEKLER 4! . 2! . 4! =1152 farklı sıralanır.
1. 5 kişi bir sıra halinde sıralanacaktır.
a) Bu 5 kişiden belli iki kişi bir arada olacaksa Kenarlarda bulunan erkekler kendi aralarında
kaç farklı şekilde sıralanırlar? yer değiştirebilir.
A,B,C,D,E bir sıra halinde dizilecek kişiler ve Ortadaki kızlar kendi aralarında yer
belli iki kişi D ile E olsun değiştirebilir.
a) A,B,C,D,E ; D ile E sanki tek kişilermiş gibi
düşünülürse, birbirlerinden ayrılmamış olurlar. Geri kalan 1 erkek ve 3 kız boşluklara rasgele
4! . 2! = 48 farklı sıralanırlar. dizilir.
Dikkat: 4 kişiymiş gibi sıralandı. D ile E kendi d)Belli bir kız ile erkek yan yana olacak şekilde
arasında yer değiştirebilir. kaç farklı dizilebilirler?
b) Belli iki kişi bir arada olmayacaksa kaç farklı Ayrılmayacak iki öğrenci K ve E olsun;
şekilde sıralanırlar? K ve E bir kişiymiş gibi düşünülecek fakat farklı
b) D ile E yan yana gelmeyecek; iki sıra olduğu için önce ön sırada olacaklarını
Tüm durum sayısı = 5!=120 dikkate alarak yanlarında olan 3 kişilik boşluğa
İstenmeyen durum sayısı = 4!.2!=48 8 kişiden 3 kişi seçilerek toplam 4 kişi varmış
İstenen durum sayısı = 120 – 48 =72 gibi sıralanacaklar. K ile E nin kendi aralarında
5 kişi 120 farklı şekilde sıralanabilir, bunlardan yer değiştirebilecekleri, geriye kalan 5 kişi de
48 tanesinde belli iki kişi yan yana gelir ve 72 arkada sıralanacak. Aynı işlemlerin arka
tanesinde yan yana gelmez. sıradan başlanarak yapılabileceği
unutulmamalıdır.
2. 5 erkek, 5 kız öğrenci 5 erli iki sıra halinde ( ). .4!.2!.5!.2 farklı sıralanır.
dizileceklerdir,
a) kaç farklı şekilde dizilebilirler?
e) 1 erkek, 1 kız, 1 erkek,1 kız, ... şekilde kaç
farklı dizilirler?
5!.5!.2 farklı dizilirler.
1 erkek, 1 kız,... şeklinde dizilmeleri için önce
erkekler uygun olarak (arada bir boşluk
bırakacak şekilde) otururlar, sonra erkeklerin
arasındaki boşluklara kızlar sıralanır. İlk
başlangıç kızlarla olacağı unutulmamalıdır.
b) Erkekler aynı sırada olmak koşulu ile kaç
farklı dizilebilir? 3. 4 öğretmen ve 3 öğrencinin bulunduğu bir
5! . 5! + 5! . 5! = 28800 farklı sıralanır. grup, bir sıraya en az iki öğrenci yan yana
gelmeyecek şekilde kaç farklı dizilebilirler?
(E ler arkada K lar önde E ler önde K lar arkada) 4!.3!=144 farklı sıralanırlar.
Önce öğretmenler sıralandıktan sonra
c)Sıraların başında ve sonunda belli 4 erkek, iki aralarına öğrenciler sıralanır.
sıranın da tam ortasında belli iki kız olacak
şekilde kaç farklı sıralanırlar? 4. 5 telefon hattı bulunan iş yerinde bir
sekreter her aramasını üst üste aynı hattan
yapmamak koşuluyla 5 aramayı ard arda kaç
farklı şekilde yapılabilir?
5.4.4.4.4 =5.44=1280 farklı şekilde.
76

80. 1. aramada 5 hat kullanabilir. Yalnız batı ve kuzey istikametinde yürüyeceği
2. aramada 1. aramada kullandığı hattı için, hangi yolu kullanırsa kullansın 5 birim
kullanamaz. batı, 3 birim kuzey istika-metinde yürümesi
3. aramada 2. aramada kullandığı hat hariç gerekir.
diğer hatların hepsini kullanır.
4. aramada 3. aramada kullandığı hat hariç
diğer hatların hepsini kullanır.
5. aramada 4. aramada kullandığı hat hariç
diğer hatların hepsini kullanır.
5.
22233330 sayısının rakamlarının yerleri
değiştirilerek sekiz basamaklı birbirinden farklı
sayılar yazılacaktır.
a) Kaç sayı yazılabilir?
a) Sıfırın da başa gelebileceği tüm durumdan, Şekil üzerinde BBKBKKBB biçiminde örnek bir
sadece sıfırın başta bulunduğu sayılar atılır. yol verilmiştir. Diğer yollar da 5 tane B ile 3
Tüm durum – istenmeyen durum tane G harfinin yerlerinin değiştirilebileceği
kadar olacağından;
=245 tane
b) Kaç çift sayı yazılabilir? 7. 15 kişiden iki oyuncu ile kaptanın kesinlikle
takımda olacağı belli ise kaç farklı futbol takımı
0 veya 2 ile bitmeli; kurulabilir?
0 ile bitenlerin sayısı + 2 ile bitenlerin sayısı 15 kişiden 8 kişi seçilmelidir, çünkü 3 kişi
(x 0) (2 2) veya (3 seçilidir.
2) ( )=495farklı futbol takımı kurulabilir.
8. Bir kurstaki erkek öğrencilerin sayısı kız
öğrenci sayısının 3 katıdır. Kızlardan
=125 tane oluşturulabilecek ikişerli gurupların sayısı
erkek öğrencilerin sayısına eşitse, bu kursta
6. kaç öğrenci vardır?
Özdeş
Kızlar x kişi ise erkekler 3x kişidir.
( )=3x
⇒ 6x=x2-x
⇒ x=7 dir.
O halde toplam öğrenci sayısı 4x=28 kişidir.
karelerden oluşan yukarıdaki şekil bir iş 9. 6 basketçiden 3 kişi ve 4 voleybolcudan 2
merkezinin koridorlarını göstermektedir. G kişi seçilip hatıra fotoğrafı çektirmek istiyorlar.
kapısından girip, Ç kapısından çıkmak isteyen 3 basketçi arkada ve 2 voleybolcu önde olmak
birinin yalnız batı ve kuzey istikametinde üzere kaç farklı poz verebilirler?
yürümek koşuluyla kaç farklı seçeneği vardır?
77

81. 12.
Düzlemde bir
noktadan geçen 6
10. 4 doktor ve 3 hemşireden oluşan hastane doğru ile birbirine
personelinden 4 kişilik sağlık ekibi kurulacaktır. paralel 4 doğru
şekildeki gibi
4D, 3H den 4 kişilik ekip kurulacak; verilmiştir. Şekilde
kaç tane yamuk
a) Kaç farklı ekip oluşturulabilir? vardır?
7 kişiden 4 kişi seçilecek:
( )=35
b) 2 doktor ve 2 hemşireden oluşan kaç farklı
ekip oluşturulabilir?
(4D den 2D) ve (3H den 2H) seçilecek:
( ). ( )=18
13.
c) En az biri hemşire olan kaç farklı ekip Uzayda
oluşturulabilir? paralel iki
düzlem
1H,3D veya 2H,2D veya 3H,1D seçimi: içinde
şekildeki
gibi
verilen 11
=34 ekip nokta ile
taban
köşeleri E düzleminde ve tepe noktası F
2. yol
Tüm durum – İstenmeyen durum düzleminde olan kaç farklı üçgen piramit
çizilebilir?
Tüm durum sayısı= 35 farklı ekip
İstenmeyen durum=( ). ( )=1 F düzleminde C(7,3)-C(4,3)-C(3,3)=30 tane
35-1=34 farklı üçgen ve
11. E düzleminde C(4,1)=4 farklı nokta birlikte
seçilirse
Şekilde verilen 5 ışın kaç 30.4=120 tane piramit elde edilir.
tane açı belirtir?
SORULAR
1 açı için 2 ışın gerekir.
5 ışın C(5,2)=10 farklı açı 1.
belirtir.
78

82. 2. 7.
3.
8.
4.
9.
5.
6.
10.
79

83. 11. 13.
14.
12.
15.
80

84. 16. 19.
20.
17.
21.
18.
22.
81