Dokumen tersebut membahas tentang integral tak wajar dan integral wajar. Integral tak wajar adalah integral dari fungsi yang tidak terdefinisi pada seluruh domain integrasi, sedangkan integral wajar adalah integral dari fungsi yang terdefinisi pada seluruh domain integrasi.

1. WELCOME IN
WORKSHOP
MATEMATIKA

2. WELCOME
IN
WORKSHOP WELCOME IN WORKSHOP MATEMATIKA
MATEMATIKA
KALKULUS II

3. Producted By:
1.Ikhsan Hairudin (201013500677)
2.Rianty Fauziah Purba (201013500687)
3.Nani Ayu Wahyuni (201013500682)
4.Riana Rusie (201013500641)
5.Fajar Wahyu Ilahi (201013500642)

4. A. TEKNIK PENGINTEGRALAN
1. Integral Fungsi Rasional Aljabar
2. Integral Fungsi Rasional dan Sinus
B. INTEGRAL TAK WAJAR
1. Konsep Integral Tak Wajar
2. Konsep Integral Wajar
C. HAMPIRAN INTEGRAL TERTENTU
1. Metode Persegi Panjang
2. Metode Trapesium
3. Metode Simposn

5. C. PENGGUNAAN INTEGRAL
1. Luas Daerah
2. Isi Benda Berputar
3. Panjang Busur
4. Luas Permukaan Benda Berputar
5. Kerja
6. Gaya Cairan

7.  Fungsi Rasional adalah fungsi yang bentuk umumnya
dinyatakan dalam bentuk F ( x) = f ( x) , dimana f ( x) dan g ( x) adalah
g ( x)
fungsi pangkat banyak (polinomial) dan g ( x ) ≠ . 0
 Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang secara umum
dinyatakan dalam bentuk:
f ( x ) = ao + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 +  + a n x
dengan sehingga
fungsi rasional adalah fungsi berbentuk n = ,2,3,..
yang1pembilang dan
f ( x)
penyebutnya polinomial.
g ( x)

8. Contoh

F ( x) =
1− x .......... fungsi rasional sejati
x 2 − 3x + 2

F ( x) = 2
x2 − 4 .......... fungsi rasional tidak
x − 4x + 4
sejati
 x5 + 2x3 − x + 1 .......... fungsi rasional tidak
F ( x) =
sejati x 3 + 5x

9.  Berdasarkan contoh di atas
1. Disebut fungsi rasional sejati, karena derajat
pembilang lebih kecil dari derajat penyebut
2. Dinamakan fungsi rasional tidak sejati karena
derajat pembikang dan penyebu sama
3. Disebut fungsi rasional tidak sejati, karena
derajat pembilang lebih besar dari derajat
penyebut.

10.  Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi
rasional termasuk jenis tidak sejati, maka
fungsi tersebut diubah menjadi fungsi rasional
sejati. Melalui proses pembagian panjang akan
diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
x5 + 2x3 − x + 1
F ( x) =
x 3 + 5x
x5 + 2x3 − x + 1
F ( x) =
x 3 + 5x

11.  Dalam menentukan integral fungsi rasional ,
F ( x) =
f ( x)
g ( x)
, g ( x) ≠ 0 ,langkah yang
ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi
rasional sejati.
2. Faktorkan≠ 0penyebut g(x) dari fungsi rasional
F ( x) =
f ( x)
, g ( x)
g ( x)
sampai tidak dapat difaktorkan
lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat
berupa kombinasi antara:

12.  fungsi linear berbeda, g ( x) = ( x − a)( x − b)( x − c)......( x − t )
 fungsi linear berulang, g ( x) = ( x − a ) n = ( x − a)( x − a)......( x − a )
 fungsi liner dan kuadrat, g ( x) = ( x − a )(ax 2 + bx + c)
 fungsi kuadrat berbeda, g ( x) = (ax 2 + bx + c)( px 2 + qx + c)
 fungsi kuadrat berulang, g ( x) = (ax 2 + bx + c) n
dan
seterusnya.

13. 4.Nyatakan integral menjadi bentuk
penjumlahan n-pecahan parsial sehingga
integran dapat ditentukan antiturunannya,
Misal :
f ( x)
=
A1
+
A2
+ ...
(penyebut kombinasi liner berbeda)
g ( x ) (ax1 + b1 ) (ax2 + b2 )
f ( x) A1 A2 A3 (kombinasi lenear berulang)
= + + + ...
g ( x) (ax + b) (ax + b) 2 (ax + b) 3
(kombinasi kuadrat berbeda)
f ( x) A1 x + B1 A2 x + B2
= + + ...
g ( x) a1 x 2 + b1 x + c1 a 2 x 2 + b2 x + c 2
f ( x) A1 A2 x + B2 (kombinasi linear dan kuadrat)
= + + ...
g ( x) a1 x + b1 a 2 x 2 + b2 x + c 1

14. 6 x 2 − 3x + 1 Contoh:
∫ (4 x + 1)( x 2 + 1) dx
Karena integral fungsi rasional sejati maka
6 x 2 − 3x + 1 A Bx + C
∫ (4 x + 1)( x 2 + 1) dx = ∫ + 2
4x −1 x + 1
dx
6 x 2 − 3x + 1 A Bx + C A( x 2 + 1) + ( Bx + C )(4 x + 1)
∫ (4 x + 1)( x 2 + 1) dx = ∫ 4 x − 1 + x 2 + 1 dx = ∫ (4 x + 1)( x 2 + 1)
dx
( A + 4 B ) x 2 + ( B + 4C ) x + ( A + C )
=∫ dx
(4 x + 1)( x 2 + 1)
Diperoleh
A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
6 x 2 − 3x + 1 2 x −1
∫ (4 x + 1)( x 2 + 1) dx = ∫ + 2
4x + 1 x + 1
dx
2 x 1
=∫ dx + ∫ 2 dx − ∫ 2 dx
(4 x + 1) x +1 x +1
2 1
= ln 4 x + 1 + ln x 2 + 1 − arctan x + C
4 2

16.  Contoh:
Tentukan integral di bawah ini
1. 2 dx
∫ x −1 2
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati,
selanjutnya faktorkan integral:
2 2
∫ x2 −1dx = ∫
( x − 1)( x + 1)
dx Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1,
B = -1 sehingga:
2 1 −1
=∫
A
+
B
dx ∫x 2
−1
dx = ∫
x −1
dx + ∫
x +1
dx
( x − 1) ( x + 1)
dx dx
=∫ −∫
A( x + 1) + B ( x − 1) x −1 x +1
=∫ dx x −1
( x − 1)( x + 1) = ln +c
x +1
( A + B) x + ( A − B)
=∫ dx = ln x − 1 − ln x + 1 + c
( x − 1)( x + 1)
2 x −1
Sehingga ∫x 2
−1
dx = ln
x +1
+c

17. CONTOH
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x
x  x
⇔ cos x = cos 2   − sin 2  
2 2
1 z2
⇔ cos x = −
1+ z 1+ z2
2
1− z2
=
1+ z2

19. CONTOH
dx
∫ 1 + sin x + cos x
Jawab
2 2dz
dz
dx 1+ z2 =∫ 1+ z2 2dz dz
∫ 1 + sin x + cos x = ∫ 2 z 1 − z 2 dz 1+ z2 2z 1− z2 =∫ =∫
1+ + + + 2 + 2z 1+ z
1+ z 2 1+ z2 1+ z2 1+ z2 1+ z2
x
= ln 1 + z + c = ln 1 + tan
2
+c
dx x
Didapat ∫ 1 + sin x + cos x = ln 1 + tan + c
2

21.  Definisi : Kita menyebut F suatu
antiturunan f pada selang I jika Dx F(x) =
f(x) pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk
semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung I,
F’(x) hanya perlu turunan sepihak).

22.  Teorema A ( Aturan Pangkat)
Jika r adalah sembarang bilangan rasional
kecuali -1, maka
Contoh : Carilah antiturunan yang umum
dari f(x) = x4/3

23.  Teorema B
Bukti : cukup perhatikan bahwa Dx(-cos x) = sin
x dan Dx(sin x) = cos x

24.  Teorema C (Integral Tak-Tentu adalah
operator linier)
Andaikan f dan g mempunyai antiturunan
(integral tak-tentu) dan andaikan k suatu
konstanta, maka :
1.
2.
3.

25.  Bukti : untuk memperlihatkan (i) dan (ii), kita
cukup mendefinisikan ruas kanan dan
mengamati bahwa kita memperoleh integran
dari ruas kiri
 Contoh : Dengan menggunakan kelinieran
hitunglah

26. ∫ (3x + 4 x)dx = ∫ 3 x dx + ∫ 4 xdx
2 2
= 3∫ x dx + 4 ∫ xdx
2
 x3   x2 
= 3 + C1  + 4 + C2 
 3   2 
   
= x + 2 x + (3C1 + 4C2 )
3 2
= x + 3x + C
3 2

27. Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan
dari suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka
Contoh:
+ 3)dx = ∫ [ g ( x)] g ′( x)dx =
[ g ( x)] 31
∫ (x
30
4
+ 3x) (4 x
30 3
+C
31
( x + 3 x)
4 31
= +C
31

28. u = g (x) du = g ′ ( x)dx
u r +1
∫ u r du =
r+1
+C ;r ≠1
Contoh :
u = x + 6x
3
∫ ( x + 6 x) (6 x + 12)dx Andaikan , maka
3 5 2
du = (3 x 2 + 6)dx
Sehingga (6 x 2 + 12)dx = 2(3x + 6)
2
dx = 2du .
Dengan demikian :

29. =

∫ ( x 3 + 6 x) 5 (6 x 2 + 12)dx = ∫ u 5 2du
= 2∫ u du
5
u6 
= 2 + C 
6 
u6
= + 2C
3
( x 3 + 6 x) 6
= +K
3

30.  Definisi : Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan
pada selang tertutup [a,b]. Jika ada, kita katakan f
adalah terintegrasikan pada [a,b]. Lebih lanjut ,
disebut integral tentu (atau integral Riemann) f dari a
ke b, diberikan oleh
b n
∫ f ( x)dx = lim ∑ f ( x )∆x
a [ P ]→0 i =1
i i

31. b
∫ f ( x)dx
a
y = f (x)
b
∫ f ( x)dx = A
a
atas − Abawah
a
∫ f ( x) = 0
a
b a
∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx ,a > b
a b

32. 1
 2 jika x ≠ 0 , jika x = 0
f ( x ) = x

1

33.  Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu di sana kecuali
pada sejumlah titik yang berhingga, maka f terintegrasikan
pada [a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh selang
[a,b], maka f terintegrasikan pada [a,b]
3
Contoh: Hitunglah
∫ ( x + 3)dx
−2
5
x 0 = −2 xi = −2 + i∆x = −2 + i 
5 n
x1 = −2 + ∆x = −2 +
n Jadi, xn = −2 + n∆x = −2 + n 5  = 3 
5 n
x 2 = −2 + 2∆x = −2 + 2 
n  5
f ( xi ) = xi + 3 = 1 + i 
 n

34. n n
∑ f ( x )∆x = ∑ f ( x )∆x
i =1
i i
i =1
i i
n
  5  5
= ∑ 1 + i 
i =1   n  n
5 n 25 n
= ∑1 + 2 ∑ i
n i =1 n i =1
5 25  n(n + 1) 
= ( n) + 2 
n n  2  
25  1 
= 5 + 1 + 
2  n

35. n→∞ P →0
3 n
∫ ( x + 3)dx = lim∑ f ( x )∆x
−2 p → 0 i =1
i i
 25  1  35
= lim 5 + 1 +  =
n →∞  2  n  2

36.  Jika f terintegrasikan pada sebuah selang yang
mengandung titik-titik a,b, dan c, maka
c b c
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a a b
Tidak peduli apapun orde a,b, dan c.
Contoh: 2 1 2
∫
0
x 2 dx = ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx
0 1
Yang oleh sebagian besar orang telah dianggap benar
bahwa
2 3 2
∫
0
x 2 dx = ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx
0 3

39.  Perhatikan integral tentu Fungsi f(x)
fungsi dapat bernilai negatif ataupun tak
kontinu, asalkan titik diskontinuitasnya
berhingga.
Gambar 1: Ilustrasi metode Persegi Panjang
Kiri / Left Riemann Sum

40.  Partisikan interval [a, b] atas n bagian,
sama lebar:
 p : x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b dengan
Δxi = h = xi − xi−1 =
 Pada setiap subinterval [xi−1, xi] dibentuk
persegi-panjang (pp) dengan
 panjang
 f(xi−1) dan lebar h (lihat gambar 1). Luas
persegi panjang tersebut,
 ΔLi = hf(xi−1)

41. Hampiran ini disebut metode Persegi
Panjang Kiri (Left Riemann Sum).

42. Gambar 2: Ilustrasi metode Persegi Panjang Kanan /
Right Riemann Sum

43. Hampiran ini disebut metode Persegi Panjang Kanan
(Right Riemann Sum).
Galat Metode RRS : En = −(b−a)2 / 2n f(c), a ≤ c
≤b

44. Gambar 3: Ilustrasi metode Persegi Panjang
Tengah / Midpoint Riemann Sum

45. Hampiran ini disebut metode Persegi Panjang
Tengah (Midpoint Riemann Sum)

47. Gambar 4: Ilustrasi metode Trapesium

48.  Partisikan interval [a, b] atas n bagian, sama
lebar:
 P : x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b dengan Δxi =
h = xi − xi−1 =
 Pada setiap subinterval [xi−1, xi] dibentuk
trapesium dengan sisi-sisi f(xi−1) dan f(xi) dan
lebar h (lihat gambar 4).

49. Hampiran ini disebut metode Trapesium

51. Gambar 5: Ilustrasi metode
Simpson/Parabol

52.  Partisikan interval [a, b] atas n bagian (n
genap):
 P : x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b dengan Δxi =
h = xi − xi−1 =
 Pada setiap dua subinterval [xi−1, xi] dan [xi,
xi+1] dibentuk parabol (fungsi kuadrat) p2(x)
yang melalui titik-titik (xi−1, f(xi−1)), (xi, f(xi)),
dan(xi+1, f(xi+1)).

53. Selanjutnya:

56. Perhatikan keping yang dibatasi
oleh fungsi positif f(x), garis x = a,
garis x = b dan sumbu-x. Akan
dihitung luas keping tersebut
memakai konsep integral.

57.  Metode kulit tabung lebih mudah digunakan
ketimbang metode cakram atau metode cincin.
 Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda
yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak
yang sepusat.
 Jika jari-jari dalam adalah r1 dan jari-jari luar
adalah r2 dan tinggi tabung adalah h, maka
volumenya diberikan oleh:

59.  Persamaan , yang akan kita tandai
dengan r, adalah rata-rata dari . Jadi

60.  CONTOH SOAL:
 Daerah yang dibatasi oleh kurva ,
sumbu x , x = 1, dan x = 4 diputar
mengelilingi sumbu y. tentukan volume
benda yang terbantuk.

61.  PENYELESAIAN:
 Kita dapat melihat bahwa volume kulit
tabung diperoleh dari irisan.
 Di mana, untuk menjadi
 Volume benda putar itu dicari lewat
integrasi.

63.  Diferensial Panjang Busur
Andaikan f fungsi yang terdiferensasi secara kontinu
pada [a, b]. Untuk masing-masing x dalam (a, b),
definisikanlah s (x) dengan
x
s ( x) = ∫ 1 + [ f ' (du )]2 du
a
Maka s (x) memberikan panjang busur kurva y = f (u)
dari titik (a, f(a)) ke (x, f(x)). Berdasarkan Teorema
Dasar Kalkulus Pertama, maka:

64. 2
ds  dy 
s ' ( x) = = 1 + [ f ' ( x)]2 = 1 +  
dx  dx 
Jadi, ds, diferensial panjang busur dapat
dituliskan sebagai
2
 dy 
ds = 1 +   dx
 dx 
Kenyataannya, bergantung pada bagaimana cara
grafik tersebut diparameterkan, kita dituntun ke tiga
rumus untuk ds, yakni
2 2 2 2
 dy   dy   dx   dy 
ds = 1 +   dx = 1 +   dy =   +   dt
 dx   dx   dt   dt 

65.  Beberapa orang lebih senang menghafal
rumus-rumus ini ketimbang menuliskan
.
(ds ) 2 = (dx) 2 + (dy ) 2
(ds )
(dy )
(dx )
Ketiga bentuk rumus di atas timbul dari
pembagian dan kemudian perkalian ruas kanan
masing-masing dengan
(dx) 2 (dy ) 2 (dt ) 2

66.  Jika sebuah kurva bidang mulus diputar
mengelilingi sebuah sumbu dalam
bidangnya, maka kurva membentuk suatu
permukaan benda putar.

67.  Untuk memulai, kita perkenalkan rumus untuk
luas permukaan kerucut terpacung. Sebuah
kerucut terpacung adalah bagian permukaan
kerucut yang terletak antara dua bidang yang
tegak lurus pada sumbu kerucut. Jika kerucut
terpancung mempunyai jari-jari alas dan
sedangkan tinggi miring , maka luas A
diberikan oleh:

68.  r 1+ r2   = 2π
A = 2π   (rata-rata jari-jari) . (tinggi miring)
 2 

69.  Dalam fisika, suatu benda bergerak sejauh d
sepanjang suatu garis dikenai gaya konstan F
yang searah dengan arah benda tersebut,
maka
 Kerja = (Gaya) . (Jarak)
 Atau
 W=F.d

70.  Di dalam banyak situasi praktis, gaya itu
konstan tapi tidak bervariasi seraya benda
itu bergerak sepanjang garis. Pada
kenyataannya, andaikan bahwa benda
sedang bergerak sepanjang sumbu x dari a
ke b terhadap gaya peubah sebesar F(x) di
titik x, dengan F suatu fungsi kontinu.
Berapa besar kerja yang dilakukan? Sekali
lagi, kata-kata iris, hampiri, integrasikan,
mengatar kita ke suatu jawaban.

71.  Dalam hal ini, iris berarti mempartisikan selang
[a,b] menjadi potongan-potongan kecil; hampiri
bermakna mengandaikan bahwa potongan khas
dari ke , gaya adalah konstan dengan nilai F(x),
jika gayanya konstan (dengan nilai F ) sepanjang
selang [ , ], maka kerja yang diperlukan untuk
memindahkan benda dari ke adalah F( ) ( - ).
Integrasikan berarti jumlahkan semua keping kerja
yang berpadanan terhadap potongan dan
kemudian ambil limit seraya panjang potongan
mendekati nol. Jadi, kerja yang dilakukan untuk
menggerakan benda dari a ke b diberikan oleh

72. n b
W = lim ∑ F ( xi )∆x = ∫ F ( x)dx
∆x →0 i =1 a
∆W ≈ F ( x)∆x
b
W = ∫ F ( x)dx
a

73.  Sebuah tangki berbentuk kerucut lingkaran
tegak penuh dengan air. Jika tinggi tangki 10
kaki dan jari-jari lingkaran atas 4 kaki.
Tentukan lah kerja yang diperlukan untuk
memompa air melewati tepi atas tangki dan
mencapai 10 kaki di atas puncak tangki.