Progressões

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Professor: Rômulo Garcia
Email: machadogarcia@gmail.com
Conteúdo Programático: Progressões

1 - Introdução
Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos.
Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o
segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.
Uma seqüência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. Já a seqüência P
= (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.
Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-
ésimo termo. (Neste caso, k < n).
Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a 3 = 18, a5 = 162, etc.
São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível
escrever uma relação matemática entre eles. Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir
do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada
termo geral.
Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por a n = 3n + 5, onde n é um número natural
não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a 20) é igual
a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria: S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).
Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA
Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são
iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

3 - Termo Geral de uma PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r
A expressão n a = a + (n – 1) . r
1 é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da
Progressão Aritmética – PA.
Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo?

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a 1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a 1000.
Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.


Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?

Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la
da seguinte forma:
Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos
escrever a seguinte fórmula genérica:

aj = ak + (j - k).r
Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?

Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?

Temos r = 5, a20 = 8.
Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

4 - Propriedades das Progressões Aritméticas
Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.
Exemplo:

PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da
segunda propriedade acima.

Exemplo:

Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a200 .


Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

Exercícios propostos:

1) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x 2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro
do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
d) 24
e) 33

2) A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
e) 61376

3) Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e
a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.

6 – Progressão Geométrica
Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos,
onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.
Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

7 - Fórmula do termo geral
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o
termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a2 = a 1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
................................................
................................................
Infere-se (deduz-se) que:

an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever:

aj = ak . qj-k
Exemplos:
1) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.

8 - Propriedades principais


P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.

P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D 2

9 - Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) .
Temos que Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an é dado por:

ou

Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)

10 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que
no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100

11 – Produto dos termos de uma PG finita
Observe esse exemplo:
O produto dos 25 primeiros termos da PG : ( 2, 4, 8, 16, 32, ...) é melhor representado pela alternativa:
a) 2325
b) 225
c) 250
d) 2105
e) nda

Solução:

Considere a PG da forma
a ; a q; a q ; a q ; a q ;...a q .
1 1 1
2
1
3
1
4
1
n1


O produto dos termos pode ser representado como:
1( n1)( n1) n( n1)

P  a1.a1q.a1q .a1q .a1q ....a1q
2 3 4 n1
 a q
n 123...( n1)
1 a q
n
1
2
. a q
n
1
2

Repare que a potência da razão representa uma soma de PA com razão 1. Utilizando esse resultado na PG mostrada,
n  25
 25 25( 24)
temos: q  2   ( produto: PG)  225.2 2  2 25.2( 25)(12)  2 25.2300  2325
a  2 1
 1

Exercícios:
1) (FCC) Em janeiro de 2009, um fabricante de camisetas doou uma camiseta a uma instituição de caridade. Resolveu
que a cada mês seguinte ele doaria o dobro de camisetas do mês anterior, até maio daquele ano, inclusive. A quantidade
de camisetas que esse fabricante doou àquela instituição em 2009 pode ser representada pela expressão
a) 25
b) 25 + 1
c) 25 - 1
d) (25 - 1) : 2
e) 2(25 - 1)

2.(FCC) Considere a sucessão dos números naturais múltiplos de 3, dispostos na seguinte forma:

036912151821242730333639...

Nessa sucessão, o algarismo que deve ocupar a 126ª posição é
a) 6
b) 0
c) 1
d) 5
e) 3

3. (FCC) Considere que os números que compõem a sequência seguinte obedecem a uma lei de formação.

(120; 120; 113; 113; 105; 105; 96; 96; 86; 86; . . .)

A soma do décimo quarto e décimo quinto termos dessa sequência é um número
a) múltiplo de 5.
b) ímpar.
c) menor do que 100.
d) divisível por 3.
e) maior do que 130.

4. (FCC) Se, para numerar todas as páginas de um texto, forem usados 225 algarismos do sistema decimal de
numeração, quantas vezes o algarismo 3 aparecerá na numeração dessas páginas?
a) Menos do que 20
b) 21
c) 33
d) 42
e) Mais do que 43

5.(FCC) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da
Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do
número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é
a) 97
b) 99
c) 111
d) 117
e) 126


6. (FCC) Considere as progressões aritméticas:

P: (237, 231, 225, 219, ...) e Q: (4, 9, 14, 19, ...).

O menor valor de n para o qual o elemento da sequência Q localizado na posição n é maior do que o elemento da
sequência P também localizado na posição n é igual a
a) 22.
b) 23.
c) 24
d) 25.
e) 26.

7. (FCC) Considere que em 1990 uma Seção Eleitoral de certa cidade tinha apenas 52 eleitores inscritos ? 18 do sexo
feminino e 34 do sexo masculino ? e que, a partir de então, a cada ano subsequente o número de mulheres inscritas
nessa Seção aumentou de 3 unidades, enquanto que o de homens inscritos aumentou de 2 unidades. Assim sendo, o
número de eleitores do sexo feminino se tornou igual ao número dos eleitores do sexo masculino em
a) 2004.
b) 2005.
c) 2006.
d) 2007.
e) 2008.

8. (FCC) Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um primeiro depósito de R$ 200,00 e, a partir dessa data,
fez depósitos mensais nessa conta. Se a cada mês depositou R$ 20,00 a mais do que no mês anterior, ao efetuar o 15o
depósito, o total depositado por ela era
a) R$ 4 700,00.
b) R$ 4 800,00.
c) R$ 4 900,00.
d) R$ 5 000,00.
e) R$ 5 100,00.

9. (Cesgranrio) Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa
ordem, formem três termos de uma progressão geométrica?
a) - 9
b) – 5
c) - 1
d) 1
e) 9


10. Em um supermercado, as latas de certos produtos são expostas em pilhas, encostadas em uma parede, com 1 lata na
primeira fileira (a superior), 2 latas na segunda fileira, 3 latas na terceira e assim por diante. Observe na figura a seguir
uma dessas pilhas, com 5 fileiras.

Um funcionário deve fazer uma pilha de 1,60m de altura, com latas de 4cm de altura cada uma. Se as latas desse
produto são embaladas em caixas com 75 latas em cada caixa, ele necessita retirar do estoque
a) 9 caixas e não haverá sobra de latas.
b) 10 caixas, mas sobrarão 12 latas.
c) 10 caixas, mas sobrarão 30 latas.
d) 11 caixas, mas sobrarão 3 latas.
e) 11 caixas, mas sobrarão 5 latas.

11 . Um fazendeiro plantou 3.960 árvores em sua propriedade no período de 24 meses. A plantação foi feita mês a mês,
em progressão aritmética. No primeiro mês foram plantadas x árvores, no mês seguinte (x + r) árvores, r > 0, e assim
sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo-se que ao término
do décimo quinto mês do início do plantio ainda restavam 2.160 árvores para serem plantadas, o número de árvores
plantadas no primeiro mês foi:
a) 50.
b) 75.
c) 100.
d) 150.
e) 165.

12.Usando-se um conta-gotas, um produto químico é misturado a uma quantidade de água da seguinte forma: a mistura
é feita em intervalos regulares, sendo que no primeiro intervalo são colocadas 4 gotas e nos intervalos seguintes são
colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior. Sabendo-se que no último intervalo o número de
gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à água é:
a) 1300
b) 1100
c) 1600
d) 900
e) 1200

13.Ao arremessar uma bola, verticalmente e para cima, uma atleta de ginástica rítmica desportiva perdeu o controle de
uma bola que, ao descer, ela não conseguiu pegar. Essa bola, desce verticalmente e a cada choque com o solo, volta a
subir e recupera apenas 2/3 da altura anterior. Considerando que a distância total percorrida por essa bola, desde o ponto
mais alto até que pare, é igual a 23,70 m, a altura máxima que ela atingiu ao ser arremessada pela atleta é, em metros,
a) 2,38
b) 4,46
c) 4,74
d) 5,86
e) 7,90


14. Uma formiga minúscula, cujo tamanho é desprezível, faz um percurso linear. Inicialmente, caminha para a direita
uma distância de 1 m. Então, ela vira para a esquerda, caminhando metade da distância do seu ponto corrente.
Se a formiga continuar caminhando para a direita e para a esquerda, sempre andando a metade da distância previamente
caminhada, a formiga percorrerá, a partir da origem, a distância de:
a) 1 m
b) 2 m
c) 4 m
d) 8 m
e) 10 m

15. Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses
ângulos mede:
a) 28°
b) 32°
c) 36°
d) 48°
e) 50

16) Em um surto epidêmico ocorrido em certa cidade com cerca de 10.000 habitantes, cada indivíduo infectado
contaminava 10 outros indivíduos no período de uma semana. Supondo-se que a epidemia tenha prosseguido nesse
ritmo, a partir da contaminação do primeiro indivíduo, pode-se estimar que toda a população dessa cidade ficou
contaminada em, aproximadamente:
a) 28 dias
b) 35 dias
c) 42 dias
d) 49 dias

17) Uma fábrica vendia 12 camisetas por mês para certa rede de academias desde janeiro de um determinado ano.
Devido ao verão, essa venda foi triplicada a cada mês, de setembro a dezembro. O total de camisetas vendidas nesse
quadrimestre e a média de vendas, por mês, durante o ano, foi, respectivamente,
a) 1.536 e 128
b) 1.440 e 128
c) 1.440 e 84
d) 480 e 84
e) 480 e 48

18) "Números triangulares" são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos
eqüiláteros. É conveniente definir 1 como o primeiro número triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números
triangulares.


Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. Dado que Tn
satisfaz a relação Tn = Tn-1+ n, para n = 2,3,4,..., pode-se deduzir que T100 é igual a:
a) 5.050.
b) 4.950.
c) 2.187.
d) 1.458.
e) 729.

19) Uma sequência de 5 (cinco) números inteiros é tal que:
- os extremos são iguais a 4;
- os três primeiros termos estão em progressão geométrica e os três últimos em progressão aritmética;
- a soma desses cinco números é igual a 26.
É correto afirmar que a soma dos números em progressão geométrica é igual a:
a) - 8.
b) - 2.
c) 8.
d) 12.
e) 16.

20) A soma de todos os inteiros entre 50 e 350 que possuem o algarismo das unidades igual a 1 é
a) 4.566.
b) 4.877.
c) 5.208.
d) 5.539.
e) 5.880.

21) Na figura, A1B1 = 3, B1A2 = 2 e os triângulos formados são retângulos. A soma dos infinitos segmentos: A1B1 +
B1A2 + A2B2 + B2A3 + .... é igual a:
a) 6 u.a.
b) 8 u.a.
c) 9 u.a.
d) 12 u.a.
e) 15 u.a.

22) Uma P.G. tem primeiro termo igual a 1 e a razão vale 2 . Se o produto desses termos é 239, o número de termos
é:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16


23) O sétimo termo da P.G. de números reais e positivos dada por
( x  2, x2  11,2x  2,...) vale:
a) 96
b) 192
c) 484
d) 252
e) 384

x x x
24) Calcule x, sendo: 5x     ...  60
2 4 8
a) 45
b) 50
c) 10
d) 9
e) 4

25) Qual o centésimo termo negativo da PA (900, 886, 872, ..., an):
a) a164
b) a165
c) a166
d) a184
e) a184

Gabarito – Seqüências:

1. a
2. c
3. b
4. b
5. c
6. b
7. c
8. e
9. a
10. e
11. a
12. a
13. c
14. b
15. d
16. a
17. b
18. a
19. d
20. e
21. c
22. b
23. b
24. c
25. b

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