1. EL TEOREMA DE
PITÁGORAS
Matemáticas Preuniversitarias
Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda

2. El Teorema de Pitágoras.
l Este teorema es de los
más famosos de la
geometría plana.
l Hay más de 300
pruebas de este
teorema.
l Antes de enunciarlo
procedemos a hacer un
poco de historia acerca
de Pitágoras.

3. Pitágoras l Nació en 572 a. de c.
aproximadamente. En la isla
de Samos, una de las islas
del mar Egeo, cerca de la
ciudad de Mileto, donde
nació Tales.
l Es muy probable que haya
sido alumno de este último.

4. Pitágoras
l Parece que Pitágoras estuvo en Egipto y
posiblemente viajó en forma más extensa por el
Oriente antiguo.
l Tiempo después emigra al puerto griego de
Crotona en Italia del sur. Ahí fundó la célebre
escuela pitagórica, asi como una fraternidad unida
a ritos secretos y cabalísticos.
l Se dedicó al estudio de la filosofía, la matemática
y la astronomía.

5. Teorema de Pitágoras
c
En un triángulo rectángulo,
el cuadrado construido
sobre la hipotenusa,
tiene la misma área que la
a suma de las áreas de los
cuadrados construidos sobre
los catetos.
c2=a2+b2
b

6. Esta es una forma de probar el teorema
anterior. Considera la siguiente figura
El área del cuadro verde es c2
b El área del cuadro rojo es
(a+b)2=a2+2ab+b2
a{
c El área de cada tríangulo es
c (ab)/2, entonces la suma de las
cuatro áreas es 2ab
c El área del cuadro verde más el
c área de los triángulos es igual al
área del cuadro grande es decir,
b c2+2ab= a2+2ab+b2
c2= a2+b2

7. Tenemos ahora otra prueba. Demostremos
que en la figura (AB)2=(AC)2+(BC)2
l Iniciando en el triángulo ABC,
trazamos la perpendicular BD a
AB.
l ABC y ABD tienen dos
ángulos iguales (el ∠recto y
∠BAC = ∠BAD)
l ABC es semejante a ABD
entonces:
l ∠ ABC = ∠ ADB= ∠ CDB (1)
l (AC)/(AB) = (AB)/(AD) y
l AD=AC+CD

8. Utilizando las dos igualdades anteriores tenemos:
l (AC)/(AB) =(AB)/(AC+CD)
l (AC)(AC+CD)=(AB)2
l (AB)2=(AC)2+AC•CD
l Por (1), ABC≈ABD
l AC/BC=BC/CD
l CD=(BC)2/(AC)
l (AB)2=(AC)2+(BC)2
l Que es lo que queríamos probar.

9. • La siguiente figura te dará otra idea para
demostrar el Teorema de Pitágoras.
a{ c
b
l Puedes encontrar otra prueba muy divertida si vas a
UNIVERSUM.
l También puedes consultar la página de Internet
http://www.utp.ac.pa/articulos/pitagoras.html

10. Trabajos en equipo: Demostraciones del
Teorema de Pitágoras.
Dem 1 Dem 2 Dem 3
Equipo 1: Equipo 2: Equipo 3:
Brenda Arredondo P. Luis E. Sánchez P. Claudia Sánchez A.
Sol Roman B. Daniel Rodríguez F. Miguel Sánchez S.
Daniela Soto D. Ivan Torres G. Alan Torres G.
Carlos M. Velasco G. Alejandra Vieyra C. Enrique Solis C.

11. Ejemplo 1: Combate de incendios.
Para combatir un incendio
forestal, el Departamento de
Silvicultura desea talar un
terreno rectangular alrededor
del incendio, como vemos en la
figura. Las cuadrillas cuentan
con equipos de
radiocomunicación de 3000
yardas de alcance. ¿Pueden
seguir en contacto las cuadrillas
en los puntos A y B?

12. Solución al ejemplo 1
l Los puntos A, B y C forman un triángulo rectángulo.
Para calcular la distancia c del punto A al punto B se
utiliza el teorema de Pitágoras, sustituyendo a a por
2,400 y a b por 1,000, y despejando a c.
l a2+b2=c2
l 24002+10002=c2
l 6,760,000=c2
l c=2600
l Las dos cuadrillas están a 2600 yardas de distancia. Esa
distancia es menor que la del alcance de los radios, por
lo que las cuadrillas se pueden comunicar.

13. Ejemplo 2 Construcción de una vía rápida.
En una ciudad, las calles van
de norte a sur y las avenidas
de este a oeste. Las calles y
avenidas tienen 750 pies de
separación entre sí. El
gobierno de la ciudad desea
construir una vía rápida
desde el cruce de la Calle 21
con la avenida 4, hasta el
cruce de la Calle 111 con la
avenida 60. ¿Qué longitud
tendrá la vía rápida?

14. Solución al ejemplo 2
l Podemos representar las calles de la ciudad con el
sistema coordenado que se muestra en la figura, en que
las unidades de cada eje representan 750 pies. Si
representamos el extremo de la vía en la Calle 21 y
Avenida 4 mediante el punto (x1,y1)=(21, 4), el otro
extremo estará en (x2,y2)=(111, 60)
l Ahora podemos emplear el teorema de Pitágoras para
calcular la longitud de la vía rápida.
l d2=(x2-x1)2+(y2-y1)2
l d2=(111-21)2+(60-4)2
l d2=8100+3136
l d=106

15. Enunciemos ahora la conclusión a el ejemplo 2
l Como cada unidad representa 750 pies, la longitud
de la vía es de (106)(750)=79,500 pies. Cada milla
tiene 5,280 pies, por lo tanto dividimos 79,500
entre 5,280 para convertir los 79,500 pies en
15.056818 millas. Es decir, la vía rápida tendrá
aproximadamente 15 millas de longitud.