1. Universidad Americana
UAM
Estimación puntual e intervalos de
confianza, para estimar parámetros
poblacionales.
Resumen realizado por:
Lic. Maryan Balmaceda Vivas
Economista - Consultor

2. Estimadores puntuales e intervalos de
confianza, para calcular la media
poblacional.
En este caso se deben considerar dos
situaciones:
a) Se conoce la desviación estándar dela
población.
b) Se desconoce la desviación estándar de
la población, la cual se estima con la
desviación estándar de la muestra.

3. Estimador puntual. Es la estimación de un
parámetro poblacional, basado en un solo
número.
Ejemplo: Una empresa esta constituida
por 100 empleados y se desea estimar el
salario promedio de los empleados,
basado en una muestra seleccionada de la
población.
N= 100 n= 10 empleados

4. Salario promedio de la muestra = ∑Salarios /10 = C$ 4,500.00
Estimación de salario promedio de los 100 empleados de la
empresa = = C$ 4,500.00
Salario promedio de la población = C$ 4,500.00

5. Intervalo de confianza.
Es un conjunto de valores formado a partir de
una muestra, de manera tal que exista la
posibilidad de que el parámetro poblacional, se
encuentre dentro de dicho conjunto de valores,
con una probabilidad específica de ocurrencia.
La probabilidad específica, recibe el nombre de
nivel de confianza.

6. Intervalo de confianza, para estimar la media
poblacional, cuando se conoce la desviación estándar
de la población.
X ±Zσ/ n
X = Media de la muestra
σ= Desviación estándar de la población.
Z = Valor que depende del nivel de confianza deseado.

7. Ejemplo
Se toma una muestra de 49
observaciones de una población
normal, que posee una desviación
estándar de 10. La media de la
muestra es de 55. Determine el
intervalo de confianza del 99%,
para estimar la media poblacional.

8. Resolución
a)El nivel de confianza del 99% se divide entre
dos. 0.99/2=0.495
b)Busque en tabla de área para una
distribución normal, para una área de 0.495
que valor de z le corresponde. Z= 2.58
c) Aplique el intervalo de confianza, para
estimar la media poblacional, cuando se
conoce la desviación estándar de la población.

9. Datos
X = 55 Z= 2.58 Desviación estándar de la población= 10
X ±Z σ/ n 55±
= 55 2.5810/ 49 = 51.314 − 58.686
Como se interpreta: Existe una probabilidad de un 99%
que la media poblacional se encuentre entre 51.314 a
58.686 o 51.314 ≤ µ≤58.686

10. Como se interpreta el intervalo
de confianza.
Si seleccionamos de una población todas las posibles
muestras de tamaño 256 y para cada muestra, se
calcula su media y se construye un intervalo de
confianza con un nivel de confianza del 95%, se puede
esperar que el 95% de todos los intervalos
construidos, contendrán la media poblacional y el 5 %
de todos los intervalos construidos no contendrán la
media de la población.

11. Cálculo de la media poblacional, mediante un
intervalo de confianza, partiendo de la media
de la muestra, cuando no se conoce la
desviación estándar de la población.
Anteriormente se conocía la desviación
estándar de la población, sin embargo en la
mayoría de los casos de muestreo, no se
conoce la desviación estándar de la población.
Sin embargo la desviación estándar de la
muestra, se utiliza para estimar la desviación
estándar de la población.

12. Cuando no se conoce, la desviación estándar de la
población, no se puede utilizar la distribución z, en
esta situación la desviación estándar de la población,
se calcula con la desviación estándar de la muestra, y
la distribución z se sustituye con la distribución t. La
aplicación de la distribución t, se asocia con
estadísticas de muestras pequeñas, es decir muestras
con tamaño menor o igual a 30.
La distribución t es más plana que la distribución
normal, esto se debe a que la desviación estándar de
la distribución t, es mayor que la desviación estándar
de la distribución normal.

13. Las características de la distribución t, se basan en el supuesto
de que la población de interés es normal, o casi normal.
a)Como la distribución z , es una distribución continua.
b)Igual que la distribución z tiene forma de campana y es
simétrica.
b) No existe una distribución t, sino una familia de
distribuciones t. Todas las distribuciones t tienen una media
cero, y sus desviaciones estándar varían de acuerdo al tamaño
de la muestra. A medida que aumenta el tamaño de la muestra,
va disminuyendo su desviación estándar, es decir una muestra
de tamaño 5, tiene una desviación estándar , mayor que una
muestra de tamaño 20.

14. c)La desviación estándar de la muestra se acerca cada vez más
a la desviación estándar de la población, con tamaño de
muestra ≥120 la desviación estándar de la muestra, estima con
mucha precisión la desviación estándar de la población, de
manera tal que hay muy poca diferencia entre la distribución z
y la distribución t, por eso muchas personas dedicadas a la
investigación estadística, utilizan z en lugar de t, cuando la
muestra es mayor que 120.
d) La distribución t tiene un área mayor en las colas y menor en
el centro que la distribución z.
e) Conforme aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t
se aproxima cada vez más a la distribución normal, pues los
errores que se cometen al estimar la desviación estándar
poblacional con la desviación estándar de la muestra,
disminuyen con muestras grandes.

15. Intervalo de confianza para estimar la media poblacional, cuando no se conoce la
Desviación estándar de la población.
X ± t S/ n
La aplicación de este intervalo plantea:
a) Que la población es normal o casi normal.
b) La desviación estándar de la población, se estima con la
Desviación estándar de la muestra.
c) Utilice la distribución t en lugar de z.

16. Cuando usar la distribución z o la distribución t.
Se supone que la
distribución es
normal
¿ Se conoce la desviación
estándar de la población?
No Si
Se utiliza la Se utiliza la
distribución t distribución
normal.

17. Ejemplo uso de la distribución t de student.
El propietario de una granja, desea calcular la
cantidad media de huevos que pone cada gallina. Una
muestra de 20 gallinas, indican que ponen 20 huevos
al mes, con una desviación estándar de 2 huevos al
mes.
a) ¿Cuál es el valor de la media de la población? ¿ Cual
es el mejor estimador de este valor?
b) Explique porque necesita utilizar la distribución t.
¿Que suposiciones necesita hacer?
c) Construya un intervalo de confianza de 95%, para
estimar la media poblacional.
d)Es razonable concluir que la media poblacional es de
21 huevos. ¿ Y de 25 huevos?

18. Intervalo de confianza de una proporciòn.
Hasta ahora los casos que se han presentado han sido
con la escala de razòn, como ingresos, edades,
distancias ,etc.
En el intervalo de confianza de una proporciòn, vamos
a utilizar la escala de mediciòn nominal.
Proporciòn.
Fracciòn, razòn o porcentaje, que indica la parte de la
muestra de la poblaciòn, que posee un rasgo de
interès particular.

19. Proporciòn muestral.
pn = X/ n
X representa el No. de éxitos en la muestra
n tamaño de la muestra.
p proporción de la población

20. Para estimar la proporción de éxito en la población,
mediante un intervalo de confianza, deben cumplirse las
siguientes condiciones:
Se deben presentar las condiciones binomiales, en
resumen estas condiciones son:
a) Los datos de la muestra, son resultados de conteos.
b) Solo hay dos resultados posibles éxito y fracaso, que
son mutuamente excluyentes.
d) La probabilidad de éxito permanece igual de una
prueba a la siguiente.
e) Las pruebas son independientes.
Los valores np y n(1 – p) deben ser mayores que cinco.

21. Calculo de la proporción de éxito en la población,
mediante un intervalo de confianza.
P ±Z
n Pn1− Pn / n
( )
P =Proporción de éxito en la muestra
n
1 - P = Proporción de fracaso en la muestra
n
n= Tamaño de la muestra

22. El propietario de una gasolinera, desea
determinar la proporción de clientes que
utilizan tarjeta de crédito o débito, para pagar
la gasolina en el área de las bombas. Entrevisto
a 100 clientes y descubrió que 80 pagaron con
tarjeta de crédito o débito.
a)Calcule el valor de la proporción de la
población.
b) Construya un intervalo de confianza del
95%, para estimar la proporción de la
población.
c) Interprete el intervalo de confianza.

23. Resolución
a) P n = X/n = 80/100= 0.80
b) P n ± Z Pn(1− Pn) / n
0.80 ± 1.96 0.80(1−.0.80) /100= 0.72 a 0.88
0.95 /2 =0.475 Se busca en la tabla de área para una distribución
normal, que valor de z corresponde a un área de 0.475 Z= 1.96
c) Existe una probabilidad de un 95%, de que la proporción del total
de consumidores que utilizan tarjetas de crédito o débito, para echar
gasolina, se encuentre entre 72% a 88%.

24. Factor de corrección para una población finita.
Las poblaciones de las que se han tomado muestras son muy
grandes o infinitas. Cuando la población no es muy grande, es
necesario realizar algunos ajustes en la forma de calcular el
error estándar de las medias muéstrales y del error estándar de
las proporciones muéstrales.
Una población con un limite superior es finita.
Cuando la población es finita, representada por N y la muestra
extraída de esta población por n, es necesario ajustar los
errores muéstrales en las fórmulas de los intervalos de
confianza.
Este ajuste recibe el nombre de factor de corrección de una
población finita, que viene dado por :
FCPF = N−n/ N−1

25. ¿Por qué es necesario, aplicar un factor de
corrección, para una población finita y
cuál es el efecto de hacerlo.
Supongamos que tenemos una población
de 1000 y tomamos una muestra de
tamaño 100, vamos a observar el efecto
del término N-n/N – 1.
1000 – 100/1000 – 1 = 900/999 al sacarle
la raíz cuadrada se obtiene el factor de
corrección para una población finita que
es igual a 0.9492.

26. La desviación estándar de la distribución muestral de medias, llamado
también error estándar de la media viene representado por:
σ X = σ/ n
σ Representa la desviación estándar de la población, que cuando no se
conoce se estima con la desviación estándar de la muestra.
Si para la muestra de tamaño 100, la desviación estándar de la muestra es
2.6, si no se conoce la desviación estándar de la población, el error
estándar de la media es:
2.6/ 100 = 2.6/10= .26 este valor al multiplicarlo por el FCPF 0.9492se
reduce a 0.2468
¿En cuanto se reduce el error estándar de la media, con este tamaño de
muesta de 100?
0.2468/0.26= 0.9492
Reducción porcentual = 1 – 0.9492=0.0508
El error estándar de la media, se redujo en 5.08%, al aplicar el factor de
corrección.

27. Factor de correciòn de una poblaciòn finita, cuando el tamaño de la
de la poblaciòn es de 1000.
% de disminuciòn
Tamaño de la n/N FCPF en el error estàndar de la media
muestra 1 - FCPF
10 0.010 0.9955 0.0045
25 0.025 0.9879 0.0121
50 0.050 0.9752 0.0248
100 0.100 0.9492 0.0508
200 0.200 0.8949 0.1051
500 0.500 0.7075 0.2925

28. Deducciones de la tabla anterior
a) Si el tamaño de la muestra es menor
que el 5% de la población, el efecto del
FCPF es muy pequeño.
b) Si la razòn de n /N es < del 5%, se
ignora el factor de correciòn.
C) A medida que va aumentando el
cociente de n/ N, se va incrementando el
porcentaje de disminuciòn del error
estàndar de la media.

29. Ejemplo
Hay 250 familias en Scandia ,Pennsylvania,. Una muestra
aleatoria de 40 de estas familias, revela que la contribución
media anual a la iglesia fue de $450.0, y la desviación
estándar de $ 75. ¿ La media poblacional puede ser $ 445 o $
425?
a)¿ Cual es la media poblacional?.¿ Cual es el mejor
estimador de la media poblacional.?
b) Analice la razón, por la que se debe emplear el factor de
corrección para una población finita.
c)¿ Construya un intervalo de confianza del 90%, para
estimar la media poblacional?.¿ Cuales son los puntos
extremos del intervalo de confianza?
d) Interprete el intervalo de confianza.