f} SpringerWienNewYork
SpringerWienNewYork 
Helmut Pottrnann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian 
Architekturgeometrie 
• 
Bentley 
Insti...
Pro£ Dr. Helmut Pottmann 
Technische Universitat Wien, Osterreich, 
und King Abdullah University ofScience and Technology,...
I 
Vorwort 
Die Geometrie spielte in der Architektur stets eine wichtige Rolle, sowohl in der 
Ausbildung der Studierenden...
Bei den Leserinnen und Lesern dieses Buches wird keine iiber die iiblichen 
Schulkenntnisse hinausgehende mathernatische A...
Inhalt 
Kapitell: Erzeugung eines digitalen 3-D-Modells 1 
Erzeugung eines digitalen 3-D-Modells 3 
Modellierung des Winto...
Kapitel 7: Kurven und Flachen 201 
Kurven und Flachen 203 
Kurven 207 
Kegeischnitte 223 
Flachen 229 
Schnittkurven von F...
Kapitell 
Erzeugung eines 
digitalen 3-D-Modells
Erzeugung eines 
digitalen 3-D-Modells 
Wir aile haben schon digitale Architekturmodelle von groBer Kornplexitat in 
versc...
Gehry emwarfdas Gastehaus als eine groBe Freilufi:skulptur, in der jeder Raum ein 
eigenstandiges Miniarur-Cebaude darsrel...
Abb. 1.2 
Ein kartesisches Koordinatensystem 
mit den drei Koordinaten (xp, YP' zp) 
eines Punktes P im 3-D-Raum. Ein 
Koo...
Rechts- und linkshandige Koordinatensysteme. Wir verwenden das kartesische 
Koordinatensystem in Abbildung 1.3. Blicken wi...
Flachenmodell 
Volumenmodell 
~ader.Wahrend einWtirfelsechs kongruente quadratische Flachen besitzt, besteht 
ein Quader a...
Wir arbeiten vorlaufig mit abstrakten geometrischen Objekten und erzeugen nur die 
Grundformen, ohne Wand- und Deckenstark...
Abb. 1.8b 
Die beiden anderen Dachebenen 
werden analog modelliert. Lokale 
Koordinaten werden andersfarblq 
dargestellt u...
Polarkoordinaten. Neben den ebenen kartesis chen Koordinaten gibt es eine 
alternative Moglichkeit, ebene Koordinaten zu d...
Abb.1.12 
Zylinderkoord inaten (r, !p, z) sind ebene 
Polarkoordinaten (r, !p), erweitert um 
die kartesische z-Koord inat...
Drehzylinder sind Grundkorper, die in CAD-Systemen enthalren sind. Siewerden 
iiblicherweise durch einen Basiskreis und ih...
Der Winkel zwischen der globalen und der lokalen x-Achse ist im Grundriss 
angegeben. Nun konnen wir das Basispolygon des ...
Modellierung des zweiten Schlafzimmers. Nun werden wir das zweite Schlafzimmer 
mit gekriimmter Oberdachung modellieren (A...
Abb. 1.17 
Wir verwenden einen weiteren Layer, 
in dem wir die Fenster und Turen im 
Winton-Gastehaus modellieren. 
Layer....
Farbe, Textur und Materialien. Zu Beginn eines Designs arbeiten wir oft mit einem 
Drahtgittermodell unserer geometrischen...
Kugeln, 
Kugelkoordinaten und 
Extrusionsflachen 
Kugel. Eine Kugel (genauer Kugelflache) mit MittelpunktM und Radiusr ist...
Kugelkoordinaten. Neben den kartesischen Koordinaten und den Zylinder­koordinaten 
sind Kugelkoordinaten (r, cp, 8) eine w...
Abb. 1.22 
Geografische Koordinaten des Winton­casteheuses 
(bis zu seinem "Umzug" 
im Jahr 2008/09). 
Abb. 1.23 
(links) ...
DieDrehachse eines Kreises istjene Geradedurch den Kreismittelpunkt, dieorthogonal 
aufdie Tragerebene desKreises steht, E...
Ausblick. Kegel stehen in einem offensichtlichen Zusammenhang mit Pyramid en. 
Verfeinern wir das Basispolygon einer Pyram...
----------- 
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 
--.......
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Projektionen 
Vor dem ...
Geom etr ische Modelle von Licht und Schatten sind Spezialfalle von Projektionen. 
Diese Erkennmis verhilft uns zu einem b...
Einen intuitiven Zugang zu Projektionen verrnittelt uns das Stud ium der von Sonn en­licht 
erzeugten Schatten (Abb. 2.3a)...
Paralle1projektion. Wenn wir den Schattenwurfeines Objekts bei Sonnen­beleuchtung 
eingehender betrachten, konnen wir leic...
Abb.2.6 
Zwei windschiefe Geraden im Raum, 
deren Parallelrisse zueinander parallel 
Iiegen. Das Wissen um diese raurnllch...
Der Verzerrungsfaktor wirkt sich auch bei der Darstellung von Kreisen aus: Der 
Parallelriss eines allgemein liegenden Kre...
Abb.2.10 
Die Projektionsstrahlen einer 
Normalprojektlon verlaufen norma l zur 
Bildebene. 1m Unterschied zur 
allgemeine...
Wie schon erwahnr, sind Parallelrisse, die aufden Gesetzma/Sigkeiten von Parallel­pro 
jektionen beruhen, ein gute s Hilfs...
Wenn wir zusatzlich die Normalprojektionen in Richtung der Koordinatenachsen 
betrachten, erh alten wir drei weitere Haupt...
Bei der Verwendung von CAD-Systemen kann der Benutzer die Hauptrisse beliebig, 
seinen individuellen Bediirfnissen angepas...
Perspektive 
Bisher haben wir uns mit Parallel- und Normalprojektionen auseinandergesetzt. 
Sie sind recht brauchbare Werk...
Diese recht pr aktikable Meth ode der alten Meister soll uns nun als Vorbild fur ein 
einfaches Verfahren zur Erzeugung vo...
Fixieren wir nun das Auge eines Betrachters im Augpunkt 0 und lassen ihn langs der 
optischen Achse aufdas Bild schauen, d...
Abb. 2.17 illustriert den Beweis dieser Tatsache. Urn den ZentralrissgCeiner 
allgemeinen Geradeng zu ermitteln, miissen w...
Der Abstand des Augpunkts 0 zum HauptpunktH (aufdem Horizont h) legt auch 
die Entfernung des Augpunkts 0 von der Bildeben...
horizontalen und vertikalen Absrande dh 
und d, des Punktes P czum Hauptpunkt 
H. Der horizontale Absrand dh kann da­bei 
...
Die Verwendung von Fluchtpunkten er­bOht 
EuropiUsche Anordnung 
h"_ 
Beispiel: 
Verwendung von Fluchtpunkten bei 
der han...
Wir merken noeh an, dass die besehriebene Konstruktionsmethode gut fur das 
Abbilden von Objekten mit aussehlieBlieh ebene...
Abb.2.23 
Bilder einer Szene mit verschiedenen 
Sehpyramiden: Ein Winkel a kleiner als 
30 Grad ergibt realistisch wirkend...
Erzeugung von optischen Illusionen. Bisher haben wir die Zentralprojektion 
eingesetzt, urn den dreidimensionalen Raum mog...
Abb.2.24 
Nutzung der Eigenschaften der 
Zentralprojektion in der Architektur, im 
BOhnenbau und bei der StraBenmalerei. 
...
Betrachten wir einen Wlirfelund ein allgemeines Polyeder (Polyeder werden im 
Kapitel3 behandelt), die so zueinander liege...
In der Abb. 2.25 (rechrs) verwenden wir zwei verschiedene Bildebenen: eine lorrechte 
Ebene Jt (sie enthalt ein Bild der g...
48 
->:.'...~ 
 
I 
,.... " ~ _...... ......' -- -- 
Fall-off-Bereich
Licht, Schatten und 
Rendering 
Der geschickte Einsatz der Zentralprojektion ist eine der wesentlichen Voraus­setzungen, 
...
Schattengrenzen, die von einer einzelnen emfernten Lichtqueile oder einem 
Punktlicht erzeugt werden , sind sehr scharf (p...
Abb.2.29 
Linien- und Flachenllchter werden 
haufig bei der Beleuchtung von 
Innenraumszenen eingesetzt. 
Platzieren wir d...
Render-Merhoden, Urn qualitativ hochwertige Bilder zu erzeugen, miissen wir 
unseren Objekren zusarzlich noch Texturen und...
Abb.2.32 
Polygonales Modell einer Kugel samt 
den Polygonnormalen. 
Abb. 2.33 
Bei Verwendung einer punktf6rmigen 
Lichtq...
Die Berechnung der Farbe jedes einzelnen Punktes (Bildschirmpixel) der gesamten 
Szene ist daher auBerst komplex und zeira...
• Phong-Schattierung: Bei dieser Methode wird die line are Interpolation nicht 
auf die Farbwerte, sondern aufdie Flachenn...
Die dabei entstehenden, neuen Teilstrahlen werden wie die Ausgangsstrahlen 
behandelt, Das heiEt, sie werden ebenfalls dur...
v 
Normale und schiefe 
Axonometrie 
Die Moglichkeit, aussagekrafiige Skizzen freihandig zu zeichnen, ist fur jeden 
Desig...
Voter der Annahme, dass jede beliebige Wahl fur die Verzerrungsfaktoren und die 
Bilder der Koordinatenachsen zulassig ist...
Dann zeichnen wir die vertikalen Saulen 
ein (Abb. 2.40b). Verbinden wir nun die 
BilderdieserEndpunkte mit dem PunkrS, 
s...
Sichtbarkeit von Objekren. In den meisten Fallen skizzierenwir unsere Designideen 
und Raumobjekte so, dass wir sie von ob...
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Architeckturgeometrie

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Architeckturgeometrie

  1. 1. f} SpringerWienNewYork
  2. 2. SpringerWienNewYork Helmut Pottrnann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian Architekturgeometrie • Bentley Institute Press
  3. 3. Pro£ Dr. Helmut Pottmann Technische Universitat Wien, Osterreich, und King Abdullah University ofScience and Technology, Saudi Arabien Dr. Andreas Asperl Technische Universitat Wien, Osterreich Dr. Michael Hofer Technische Universitat Wien, Osterreich, und Wiener Wissenschafts-, Forschungs- und Technologiefonds (WWTF), Wien, Osterreich Dipl.-Ing. Axel Kilian, PhD (MIT) Design Informatics, Technische Universitat Delft, Niederlande Die deutsche Ausgabe basiert auf der im englischen erschienenen Publikation "Architectural Geometry" (Bentley Institute Press, 2007). Sie wurde von den Autoren hinsichtlich der Verwendung als Lehrbuch iiberarbeitet. Diese Ausgabe ist nur in den Landern Deutschland, Osterreich, Schweiz und Luxemburg erhaltlich. Augerhalb dieser Lander kann das Buch bei Bentley Institute Press bestellt werden: ISBN 978-1-934493-05-2. Das Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdruckes, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Waren­bezeichnungen usw.in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz­Gesetzgebung alsfrei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden diirfen. Produkthaftung: Samtliche Angaben in diesem Fachbuch erfolgen trotz sorgfiltiger Bearbeitung und Kontrolle ohne Gewahr. Eine Haftung der Autoren oder des Verlages aus dem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen. © 2010 Springer-Verlag/Wien © 2010 Bentley Systems, Incorporated Printed in the USA SpringerWienNewYork ist ein Unternehmen von Springer Science +Business Media springer. at Lektorat: Erich Lag Layout: Elisabeth Kaziz-Hitz, Eva Riemer Gedruckt aufsaurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier SPIN 12666737 Mit zahlreichen farbigen Abbildungen Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliograf1.sche Daten sind im Internet iiber http:// dnb.d-nb.de abrufbar. ISBN 978-3-211-99765-9 SpringerWienNewYork
  4. 4. I Vorwort Die Geometrie spielte in der Architektur stets eine wichtige Rolle, sowohl in der Ausbildung der Studierenden als auch in der Praxis. Beide Bereiche wurden durch die Verfiigbarkeit von 3-D-Modellierungs- und Visualisierungssofrware revolutioniert. Dieser Umbruch hat zu einer Verlagerung der wesentlichen geometrischen Inhalte gefiihrt. War friiher alleine schon die Darstellung geometrisch einfacher Entwiirfe ein kompliziertes und zeitraubendes Unterfangen, so stellen sich heute neue Herausforderungen, zum Beispiel in der praktischen Umsetzung komplexer, digital erzeugter Geometrien. Damit liegt nun der 5chwerpunkt der akademischen Ausbildung aufder Vermittlung jenes geometrischen Basiswissens, das fiir einen guten Oberblick iiber die Vielfalt der vorhandenen (digitalen) Werkzeuge und fiir deren efIizienten Einsatz notig isr. Angesichts dieser Entwicklungen haben wir im Jahr 2007 das Buch "Architectural Geometry" veroflentlichr. Das internationale Echo aufdieses mehr als 700 5eiten starke Buch, das einen Bogen von den einfachsten Grundlagen bis hin zur akruellen architekturgeometrischen Forschung spannt, war sowohl von Archirekrinnen und Archicekten als auch von akademischen Lehrerinnen und Lehrern sehr positiv. Das Buch erhielt in der Fachwelt hochstes Lob, ist aber fiir den Lehrbetrieb etwas zu umfangreich. Mit einer deutschen Version, die speziell aufdie Bedurfnisse in der Lehre eingeht, wollen wir zur graBen Tradition in der Geometrie-Ausbildung im deutschsprachigen Raum beitragen. Die auf das geometrische Basiswissen reduzierte, leichtere deuts che Fassung bietet eine kostengiinstigere Alternative zum englischen Original fiir den Lehrbetrieb. Die vorliegende deutsche Version ist als Grundlage fiir Einfiihrungsvorlesungen in die Geometrie fiir Srudierende von Architekrur und Design konzipiert. Sie geht vom traditionellen, aufder Darstellenden Geometrie beruhenden Curriculum aus und stellt eine aufdie modernen Medlen hin ausgerichtete Form der Geometrie­Ausbildung vor. Dabei werden wesentliche geometrische Inhalte der alren Schule nicht vernachlassigt, aber wichtige neue Konzepte mit eingebunden. Das Buch ist aber auch fur den Einsatz in der Architektur-Praxis gedacht, zumindest fiir Projekte mit einer nicht allzu hohen geometrischen Komplexitat. All jenen, die tiefer in das spannende Gebiet der Architektur-Geornetrie eindringen wollen, empfehlen wir weiterhin, aufdie englische Originalausgabe zuriickzugreifen.
  5. 5. Bei den Leserinnen und Lesern dieses Buches wird keine iiber die iiblichen Schulkenntnisse hinausgehende mathernatische Ausbildung vorausgesetzt. Zur Erinnerung an die Schulmathemarik und zur Erleichterung des Verstandnisses haben wir einige zentrale Tatsachen aus elernentarer und analytischer Geometrie im Anhang zusammengestellt. Die dabei getroffene Auswahl der Inhalte ist subjektiv und kann aufgrund der gebotenen Kiirze auch nichr vollstandig sein. Die Vermitdung der Inhalte stiirzt sich aufeine Fiille von Abbildungen, die Freude an der Geometrie und einer soliden Geometrieausbildung vermitteln sollen. Wir hoffen, dass dieses Lehrbuch der Architektur-Geometrie auch dadurch leicht lesbar und gut verstandlich ist und somit eine willkommene Grundlage fiir Einfiihrungsvorlesungen an Universitaten darstellt. Danksagung Ganz besonders mochten wir uns noch einmal bei all jenen bedanken, die uns bei der Arbeit an der englischen Orginalausgabe unterstiitzt haben. Bei der deutschen Obersetzung haben uns vor allem Bernhard Blaschitz (Korrekturlesen), Martin Reis (Hilfe beim Layout), onlinelektorat@aon.at (Lektorat), Elisabeth Kaziz-Hitz und Eva Riemer (Layout) sehr professionell geholfen; allen dafiir ein aufrichtiges Dankeschonl Unser Dank gebiihrt auch Buddy Cleveland und]effKelly von Bentle y, welche die Obersetzung von Seiten des Verlags bestmoglich unterstiirzt haben. Ein herzliches Danke gebuhrr auch wieder unseren Familien (zwei Kinder mehr als bei der englischen Originalausgabe) fiir ihre Liebe und die immerwahrende Unterstiitzung unserer Aktivitaten! II
  6. 6. Inhalt Kapitell: Erzeugung eines digitalen 3-D-Modells 1 Erzeugung eines digitalen 3-D-Modells 3 Modellierung des Winton-Gastehauses 5 Kugeln, Kugelkoordinaten und Exrrusionstlachen 17 Kapitel2: Projektionen 23 Projektionen 25 Perspektive 35 Licht, Schatten und Rendering 49 Normale und schiefe Axonometrie 57 Nichtlineare Abbildungen 67 Kapitel3: Polyeder und polyedrische Flachen 73 Polyeder und polyedrische Flachen 75 Pyramiden und Prismen 77 Platonische Kerper 81 Eigenschaften platonischer Kerper 87 Der goldene Schnitt 89 Archimedische Kerper 93 Geodarische Kuppeln 97 Raumfiillende Polyeder 103 Polyedrische Flachen 105 Kapitel4: Boolesche Operationen III Boolesche Operationen 113 Vereinigung, Differenz und Durchschnitt 115 Trimmen und Splitten 119 Feature-basiertes Modellieren: ein effizienter Zugang zum Formdesign 127 Kapitel 5: Ebene Transformationen 141 Ebene Transformationen 143 Schiebung, Drehung und Spiegelung in der Ebene 145 Skalierung und Scherung 153 PB.asterungen und Pakettierungen 155 Kapitel6: Raumtransformationen 165 Raumtransformationen 167 Schiebung, Drehung und Spiegelung im Raum 169 Schraubung 179 Stetige Bewegung und Animation 187 Affine Transformationen 193 III
  7. 7. Kapitel 7: Kurven und Flachen 201 Kurven und Flachen 203 Kurven 207 Kegeischnitte 223 Flachen 229 Schnittkurven von Flachen 237 Kapite18: Freiformkurven 245 Freiformkurven 247 Bezier-Kurven 251 B-Spline-Kurven 261 NURBS-Kurven 267 Unterteilungskurven 271 Kapite19: Traditionelle Flachenklassen 277 Traditionelle Flachenklassen 279 Drehtlachen 281 Schiebflachen 297 Regeltlachen 303 Abwickeibare Flachen 315 Schraubflachen 327 Rohrtlachen 333 KapitellO: Offsets 335 Offsets 337 Offsetkurven 339 Ofisettiachen 345 Trimmen von Offsets 351 Anwendungen von Offsets 355 Kapitelll: Freiformflachen 363 Freiformtlachen 365 Bezier-Flachen 369 B-Spline-Flachen und NURBS-Flachen 383 Netze 387 Unterteilungsflachen 405 Kapitel12: Die Erstellung von Modellen im Kontext der Architektur 423 Die Erstellungvon Modellen im Kontext der Architektur 425 Fabrikationstechniken 435 Schneidebasierte Prozesse 437 Additive Verfahren:schichtbasierte Fabrikation 439 SubtraktiveVerfahren 443 Herausforderungen beim Frasenund Rapid Prototyping 447 Zusammenbau 451 Anhang - Geometrische Grundiagen 455 Literatur 465 Index 467 Bildnachweis 471 IV
  8. 8. Kapitell Erzeugung eines digitalen 3-D-Modells
  9. 9. Erzeugung eines digitalen 3-D-Modells Wir aile haben schon digitale Architekturmodelle von groBer Kornplexitat in verschiedenen Darstellungsformen gesehen. Aber wie beginnen wir? Wie konnen wir unsere Ideen mit Hilfe eines Computers verwirklichen? Was sind die geometrischen Grundlagen, die es uns errnoglichen, ein digitales dreidimensionales (3-D-) Modell zu erzeugen? Viele Werkzeuge und Prozeduren fur die Erstellung von 3-D-Modellen werden von modernen CAD-Systemen (CAD steht als Abkiirzung fur Computer­aided Design) zur Verfugung gestellt. Urn die existierende Software effizient einzusetzen - und urn dariiber hinausgehen zu konnen - ist ein gutes geometrisches Wissen notwcndig. Natiirlich beginnt die Entwurfsarbeit eines Architekten lange vor dem geometrischen Modelliercn. Frank O. Gehry zu Folge kam seine Inspiration fur das Winton-Gastehaus in Wayzata, Minnesota, von den Srillleben-Cernalden von Giorgio Morandi. Als er in den 1980erJahren gebeten wurde, ein Gastehaus fur einen Klienten zu bauen, entschied er sich fur einen Kontrapunkt zum Haupthaus, das bereits 1952 von Philip Johnson gebaut worden war. 3
  10. 10. Gehry emwarfdas Gastehaus als eine groBe Freilufi:skulptur, in der jeder Raum ein eigenstandiges Miniarur-Cebaude darsrellt (Abb. 1.1). Basierend auf Skizzen wurden skalierte physische 3-D-Modelle und Planzeichnungen manu ell erstellt. In diesem Kapirel lern en wir ein digitales 3-D-Modell dieses Geb audes zu erzeugen. Abb. 1.1 (oben) Das Winton-Gastehaus von Frank O. Gehry: Skizzen, (unten links) skalierte physikal ische Modelle, (unten rechts) Foto des Gebaudes, 4
  11. 11. Abb. 1.2 Ein kartesisches Koordinatensystem mit den drei Koordinaten (xp, YP' zp) eines Punktes P im 3-D-Raum. Ein Koordinatenweg, der den Ursprung 0 mit dem Punkt P verbindet, liegt auf dem Koordinatenquader mit Lange xp , Breite YPund H6he zp. xy-Ebene zx-Ebene Modellierung des Winton-Gastehauses Kartesische Koordinaten. Geometrische Objekte konncn als cine Ansammlung von Punkrcn bcschriebcn werden, wclche die Form des Objcktcs bestimmen. Um die Position cines Punktcs P im dreidimension alen Raum (3-D-Raum) zu bcstimrncn, verwenden wir ein geordn etes Tripcl von Zahlen, die als Koordinaten bezeichnet werden, Diese Koordinaten messen wir in Bezug auf ein gewahltes Koordinatensystem. Ein kartesisches Koordinatensystem (Abb. 1.2) ist durch d rei paarwcise orthogonale orien tierte Achse n gege ben, d ie als x-, y - und z-Achse bezeichnet werden , Die d rei Achse n treffen eina nde r in einem gemeinsamen Pu nkt 0 , dem Koordinatenursprrmg (kur z: Ursprrmg). Aufjeder Koord in atcn ach se verwende n wir di esclb e Ein heits­lange. Bezogen auf ein bcsrirnmtes Koord inarcn systcm hat dann ein Pun kt P im dreidimen sionalen Raum die d rei ka rtesische n Koor d inat cn (xp,}p , zp). Sie werde n x-Koordinate xp,y-KoordinateYPund z-Koordinate zpgenannt. Die posit iven Koordinaten liegen immer aufjene n Halbgeraden, welch e im Ursprung beginn en und in Achscnrichtung verlaufen. Um yom Ursprung 0 mit den Koordinaten (0, 0,0) zu einem Punkt P mit den Koordinaten (xp,YP ' zp) zu gelangen, gibt es sechs verschiedene Koordinateruoege,d ie aile auf einern Koordinatenquader der Lange xp, BreiteYPund Hohe zpliegen . Die achr Ecken des Koordinatenquaders besitz en die Koordinaten (0, 0, 0), (xp , 0, 0), (O,yp, 0), (0, 0, zp) , (xp'YP' 0), (xp, 0, zp), (O, yp, zp) und (xp,yp' zp). ] edes Paar von Koordinatenachsen spa nnt cine Eben e auf, die als Koordinatenebene bezeichn er wird. Wir crhalten dah er die xy-Ebene, dieyz-Ebene und die zx -Ebene.W ir merkcn noch an, dass in jed er Koordinatcnebene durch d ie beiden Koord inatenachsen auch ein kartesisches 2-D-Koo rdina tensystem festgclegt ist, vz-Ebene / y 5
  12. 12. Rechts- und linkshandige Koordinatensysteme. Wir verwenden das kartesische Koordinatensystem in Abbildung 1.3. Blicken wir entgegen der z-Richtung auf diexy­Ebene, dann fiihrt eine positive 90-Grad-Drehung (d.h. gegen den Uhrzeigersinn ) die x-Achse in diey-Achse iiber. Ein solches rechtshiindiges kar tesisches Koordinatensystem kann mit den ersten drei Fingern der rechten Hand einfach nachgebildet werden. Beginn end mit der zur Faust geballten recht en Hand . strecken wir den Daumen in Richtung der x-Achse und den Zeigdinger in Richtung dery-Achse. Dann konnen wir den Mittelfinger so offnen. dass er in Richtung der z-Achse eines rechtshandigen kart esischen Koordinatensystems zeigt.Andern wir die Orientierung der z-Achse, erhalten wir ein linkshiindiges kartesisches Koordinatensystern, das mit Daumen, Zeige- und Mittelfinger der linken Hand visualisiert werden kann. Es gibt also zwei mogl iche Orientierungen fiir ein kartesisches 3-D-Koordinatensystem. Irngesamt en Buch verwenden wir - wie in der Geometrie iiblich - rechtshandige Koord inatensysteme. Fiir den Darenaustausch zwischen verschiedenen CAD-Systemen ist es wichtig, dass die Orientierung der Koordinatensysteme dieselbe ist,Ansonsten werden z.B. bei der Obertragung aile Objekte an der xy-Ebene gespiegelt. z rechte Hand Abb. 1.4 Modellierung der beiden Quader des Kamins im Winton-Gastehaus (links). Der untere Teil ist annahernd ein Wurfel (rechts), und der Kamin Abb. 1.3 Rechtshandiqes kartesisches Rechtskoordinatensystem. ist ein Quader mit quadratischer Grundflache. Drei Ecken des Quadrats sind die Punkte P2, P3 und P4 • P1(353 /35710) h i = 335 P2(123161 1335) P3(2291°1335) P.(290 11061335) n,= 415 Quader Quader 6
  13. 13. Flachenmodell Volumenmodell ~ader.Wahrend einWtirfelsechs kongruente quadratische Flachen besitzt, besteht ein Quader ausdrei Paarenjeweils kongruenter Rechrecke, die in paarweise zueinander orthogonalen Ebenen liegen. Die geometrischen Grundelemente eines Quaders sind seine 8 Ecken,12Kanten und 6 ebenen Flachen.Wir konstruieren nun den Kamin im Winton-Gastehaus,der auszweiQuadern besteht. Fur das Modellierenzweckmaliig,wahlen wir die xy-Ebene horizontal und die z-Achse nach oben zeigend. Wir platzieren den ersten Quader so, dassdrei Kanten mit den Koordinatenachsen und eine Eckemit dem Ursprung eineskartesischenKoordinaten­systems iibereinstimmen (Abb. 1.4, links). Dazu wahlen wir den Ursprung alseine Eckeund definieren dann Langeund Breitedes Basisrechtecks in Richtung derx- und y-Achse. Schlielslich gebenwir noch die Hohe hI des ersten Quaders ein. Urn einen Wurfelzu erhalten, mussten wir Lange, Breite und Hohe gleichgrof wahlen. Ein wesentliches CAD-Konstruktionsprinzip ist, dass wir digital immer mit den tarsachlichen MatSen konstruieren. Daher verwendenwir die Originalabmessungen des Quaders, Den zweiten Quader, der den Kaminschlot darstellt, positionieren wir in der Deckllachedes ersten Quaders.Wir zeichnen dazu das Basisquadrat in der Decktlache,von dem wir die Koordinaten von drei Eckenkennen: Pz, P3 und P4 (Abb. 1.4, rechts). Dann definieren wir die Hohe hzdes Kamins und erhalten den zweiten Quader, Flachen- und Volumenmodelle. Ein geometrisches Objekt mit derselben Berandungkann entweder ein Fldchenmodell (vorzustellen alseine diinne Haut) oder ein Volumenmodell (vorzustellen als massives gefiilltes Modell) sein, wie in Abbildung 1.5fur einen Quader illustriert. Urn den Unterschied zwischen Flachen­und Volumenmodell zu verdeutlichen,ziehen wir einen Vergleich zu Kunst und Modedesign.Ein Bildhauerbeginnt mit einem Block aus Stein oder Holz (einem Volumenmodell) und entfernt Material, urn die gewunschte Skulptur zu erhalten. Im Gegensatzdazu verwendet ein ModedesignerStoffstucke (also Flachenrnodelle), urn ein Kleidungsstiick zu formen. Abb. 1.5 Hacnen- und Volumenmodell illustriert an Hand eines Quaders mit einem herausgeschnittenen Teil. Abb. 1.6 (links) Parallelextrusion eines Polygons erzeugt ein Prisma. (rechts) Zentralextrusion eines Polygons erzeugt eine Pyramide. 7
  14. 14. Wir arbeiten vorlaufig mit abstrakten geometrischen Objekten und erzeugen nur die Grundformen, ohne Wand- und Deckenstarken oder Fenster- und Tiiroflnungen zu beriicksichtigen. In Kapitel 4 lernen wir dann Werkzeuge zur weiteren Bearbeitung dieser geometrischen Modelle kennen. Zunachst beschranken wir uns aufdie geome tr ischen Grundformen, oft in der Form eines Volumenmodells. Extrusion. Der untere Teil des Wohnzimmers im Wint on-Gastehaus ist kein Quader, da die Basisflache kein Rechte ck ist, Der Raum besitzt jedoch senkrechte Wande. Mit Hilfe von Parallelextrusion erzeugen wir ein Prisma, indem wir ein Polygon in die gewiinschte Hohe ext rudieren (siehe auch Kapitel3).Wahrend ein Polygon ein geschlossenes Objekt ist, ist eine Polylinie"offen" in dem Sinn , dass sie zwei Endpunkte besirzt, die durch eine Folge von Strccken miteinander verbunden sind. Parallelextrusion einer Polylinieperzeugt eine Prismenfii cbe (Abb. 1.6, links). Ein verwandtesWerkzeug ist die Zentralextrusion . Dab ei wird ein Polygon p zu einem einzigen Punkt S im Raum extrudiert, und wir erzeugen damit eine Pyramide (siehe auch Kapitel 3). Verwenden wir eine Polylinie, dann erzeugen wir eine Pyramidenfidche (Abb. 1.6, rechts). Zur Konstruktion des unte ren Teils des Wohnzimmers im Wint on-Gastehaus als Prisma zeichnen wir das Basisviereck in der xy-Ebene mit den vier Eckpunkren Ps,P6, P7 und Pg und extrudieren dieses dann in z-Richrung bis zur gewiinschten Hohe h3 (Abb. 1.7). Abb. 1.7 Der untere Teil des Wohnzimmers im Winton-Gastehaus ist ein Prisma, erzeugt durch Parallelextrusion . Abb. 1.8a Die vier ebenen Vierecke, die das Wohnzimmerdach bilden, werden mit Hilfe von lokalen Koordinatensystemen konstruiert (beschriftet mit "BKS"). Gezeigt wird die Konstruktion fO r zwei der vier Dachebenen. Ps(-2741357 10) P6(266 1357 10) P7(270 1969 10) Pa(- 309 186110) Pg(266 1357 1244) = (01010) P,o(270 19691 244) Pll (38 11836 10) P12 (304 1836 10 ) 8 Prisma 99° Pg (Iokaler Ursprung)
  15. 15. Abb. 1.8b Die beiden anderen Dachebenen werden analog modelliert. Lokale Koordinaten werden andersfarblq dargestellt und sind immer auf das beschriftete lokale Koordinatensystem bezogen. Abb. 1.9 Ein lokales Koordinatensystem mit Ursprung P17 wird verwendet, um das erste Schlafzimmer mit Hilfe einer Parallelextrusion zu erzeugen. Der Punkt Pl 7 Iiegt auf der Geraden P6P7 und hat eine lokale y-Koordinate von 753 Einheiten. P13 = PlQ = (0 1010) P14 ( - 309 18611244 ) Pl s(3511850 10) Pl 6 = r.. Globale und lokale Koordinatensysteme. Bis jetzt haben wir in einemglobalen (Welt-, absoluten) Koordinatensystem gearbeitet. Dieses System ist iiblicherweise ein rechtshandiges kartesisches Koordinatensystem. Fur das geometrische Design ist es aber ott wiinschenswert, auch lokale (benutzerdefinierte, Hilfs-, relative) Koordinatensysteme einzusetzen, urn Modellieraufgaben zu vereinfachen. Wenn wir lokale Koordinaten in ein CAD-System eingeben, werden diese autornatisch in gIobale Koordinaten umgerechnet. Der obere Teil des Wohnzimmers im Winton-Gastehaus ist kein Pyramidenstumpf (besprochen in Kapitel J). Daher ist die Zentralextrusion nicht das passende Werkzeug, und wir wahlen einen anderen Modellierzugang. Jede der vier Dachflachen ist ein ebenes Viereck, das wir mit Hilfe eines lokalen Benutzerkoordinatensystems (BKS) modellieren (Abb. 1.8). Zusammen formen die vier Vierecke ein Flachenrnodell fur das Dach des Wohnzimmers. Das erste Schlafzimmer im Winton-Gastehaus hat eine prismatische Form, die wir mit Parallelextrusion erzeugen. Fur diesen Zweck definieren wir ein lokales kartesisches Koordinatensystern mit einer Wand des Wohnzimmers als lokaler xy-Ebene (Abb. 1.9). Dann zeiehnen wir ein Basispolygon in der lokalen xy-Ebene und extrudieren dieses in Iokaler z-Richtung, urn das gewunschte Prisma zu erhalten. PI7(273166310) = (01010) Pls (4 54 10 10) PI9 (454 1323 10) P2o(0 1463 10) ti, = 747 9
  16. 16. Polarkoordinaten. Neben den ebenen kartesis chen Koordinaten gibt es eine alternative Moglichkeit, ebene Koordinaten zu definieren. Polarkoordinaten (r, cp) eines PunktesPgeben den Abstand r des PunktesPzum Ursprung 0 und den Winkel os cp < 3600 zur Polarachse an (Abb. 1.10, lin ks). Die Polarachse wird iiblicherweise als die positive Halbgerade der x-Achsegewahlt. Wahrend ebene kartesische Koordinaten den Abstand zu zwei orthogon alen Achsen messen, sind dies bei Polar­koo rdinaten der Abstand r zum Ursprung und der Winkel zwischen der Polarachse und der Halbgeraden PO. Polarkoordinaten kon nen beim Modellieren mit einem CAD-System sehr hil freich sein, insbesondere fur die Eingabe von Koordinaten in lokalen Koordinatensystem en, Die karresischen Koord inaten der Punkte eines Kreises mit Mirtelpunkt im Ursprung und Radius r sind (r.coscp, r-sinrp) .Wie in Abb ildung 1.10 (rechts) gezeigt , verwenden wir dies, urn von Polarkoordinaten (r, rp) auf kartesische Koordinaten (x,y) wie folgt umzurechn en: x = r·coscp, y = r-sinrp, Die Kiiche und die Garage desWimon-Gas tehauses bilden zusammen ein weiteres Prisma. Wir kennen den Winkel, den eine Wand desWohnzimmers mit einer Wand der Kiiche einschlielit,Weiters kenn en wir die Lange des Cebaudes. Damit konnen wir das Basispolygon mit H ilfe von lokalen Polarkoordinaten konstruieren (Abb. 1.11). Wir verwenden dazu ein lokales Polarkoordin aten system in der globalen xy-Ebene. Eine Kame desWohnzimmers liegt aufder lokalen Polarachse. Mi t Parallelextrusion des Basispolygons in globaler z-Richtung (bis zur gewiinscht en Hohe) erzeugen wir das gewiin schte Prisma. Abb. 1.10 Ebene Polarkoordinaten und ihre Umwandlung in ebene kartesische Koordinaten. Abb. 1.11 Das Basispolygon p (P211 P2u P23t P24 ) der KOche und der Garage wird im lokalen Polarkoordinatensystem gezeichnet . Parallelextrusion von p in z-Richtung bis zu einer H5he hs erzeugt ein Prisma. Pz1(-116/89710) = (010°) Pn (rn lq>zz) = (14691101°) Pn (1 5 10 111 5° ) Pz4( 355 11800) h5=421 P oL 0ff_ --L.l..o---------. y = r ·sin q> X • Polarachse x = r-ees e Polarachse 10
  17. 17. Abb.1.12 Zylinderkoord inaten (r, !p, z) sind ebene Polarkoordinaten (r, !p), erweitert um die kartesische z-Koord inate . Abb.1.13 (links) Ein Drehzyl inder kann durch Parallelextrusion eines Kreises k der Ebene E erzeugt werden. Die Extrusionsrichtu ng ist orthogonal zu E. (rechts) Eine alternative Konstruktion ist die Drehung einer Erzeugenden e um eine parallele Achse a. Zylinderkoordinaten. Eng verwan dt mit ebenen Polarkoordinaten sind die raurnlichen Zylinderkoordinaten (r, q>, z), Diese sind nichts anderes als ebene Polarkoordinaten in der xy-Ebene, erweitert urn die z-Koordinate (Abb. 1.12). 1m Unrerschied zu einem kartesischen 3-D-Koordinatensystem ersetzen wir bei Zylinderkoordinaten die kartesischen x- und j-Koordina ten durch die polaren r- und rp-Koordinaten. Die Umwandlung von Zylind erkoordin aten in kartesische Koord inaten folgt dern Prinzip der oben beschriebenen Umrechnung von Polarkoord inaten und passiert wic folgt : x = r-cosrp, y =r-sinrp, z =z. Mit Hilfe von Zylinderkoordinaten konnen wir Positionen auf Drehzylindern leicht bestimrnen. Drehzylinder. Ein Drehzylinder ist die Menge aller Punkte im 3-D- Raum, die konstanten Abstand von einer Geraden (genannt seine Drehachse) aufweisen. Ein Drchzylind cr kann durch Parallelextrus ion eines Kreises k der EbeneE erzeugt werden (Abb. 1.13, link s). Dabei ist die Extrusionsrichrung orthogonal zu E. Aile Gcraden auf einem Drehzylind er werden Erzeugendegenannt . Einc alternative Erzeugu ng eines Drchzylinders erfolgt durch Rotation einer Erzeugenden e urn cine dazu parallele Achse a (Abb. 1.13, rechts), /' / I ~ ~ * - I ~ e ! - I ~ -- !- - - ....... I . "­-- 9;.-t.."...~ 11
  18. 18. Drehzylinder sind Grundkorper, die in CAD-Systemen enthalren sind. Siewerden iiblicherweise durch einen Basiskreis und ihre Hohe definiert. Im Winton-Gistehaus kommt eine drehzylindrische Saule vor, die den Dachboden iiber der Kiiche stiitzt (Abb. 1.14). Wir verwenden globale kartesische Koordinaten, urn den Mittelpunkr P 2S des Basiskreiseseinzugeben. Fangfunktionen. Fangfimktionenuntersriitzen das exakte Konstruieren von CAD-Modellen. Beim Modellieren mit einem CAD-System reichr es nicht, mit Hilfe eines Eingabegerates (z.B. der Computermaus) die Position eines Punktes nur ungefahr anzugeben. Es ist von fundamentaler Bedeutung, dem CAD-System .mitzuteilen", dass der gewiinschte Punktgpmgen werden soil. Erst diese Technik garantiert, dass unsere Konstruktionen exakt werden. Eine Vielfalt von Fangfunktionen wird iiblicherweise zur Verfiigung gestellt. Die Auswahl fiir Punkre inkludiert das Fangen von Endpunkten, Mittelpunkten, Schnirtpunkten, beliebigen Kurvenpunkten und der verschiedenen Schwerpunkte der Objekte. Selbstverstandlich gibt es auch Fangfunktionen, die auf Geraden, Kreise und so weiter angewendet werden konnen. Wir verwenden jetzt eine Fangfunktion, urn den Dachboden (einen Quader) so zu positionieren, dass er genau aufder Kiiche und der zylindrischen Saule zu liegen kommt (Abb. 1.15). Wir verwend en dazu ein lokales Koordinatensystem mit Ursprung im Mittelpunkt P26 des oberen Randkreises k des Drehzylinders. Wir fangen den Mittelpunkt mit der entsprechenden Fangfunktion und machen ihn zum Ursprung einer lokalen xy-Ebene, die den Kreis k enthalt, P2s(-663199110) Zvttnderredtus =30 h6=hs=421 Abb. 1.14 Ein Drehzylinder wird als stutze fur den Dachboden uber der KOche verwendet. 12
  19. 19. Der Winkel zwischen der globalen und der lokalen x-Achse ist im Grundriss angegeben. Nun konnen wir das Basispolygon des Quaders zeichnen (Abb. 1.15) und seine Hohe eingeben. Eine fortgeschrittene Form des "Fangens" ist das automatische Speichern der sich aus den einzelnen Modellierschritten ergebenden Assoziationen. Damit bleiben die Zusammenhange (z.B. die gegenseitige Lage) der einzelnen Teile erhalten, auch wenn wir sparer deren GrolSeoder Lage verandern (rnehrDetails dazu im Abschnitt .Featurebasiertes Modellieren" in Kapitel4). Griffe. Geometrische Objekte in CAD-Systemen haben iiblicherweise einige mit ihnen verkniipfte Grijfi. Diese erlauben auf unkomplizierte Art und Weise eine einfache Modifikation der Objekte. Verwenden wir Griffe gemeinsam mit Fangfunktionen, dann konnen wir geometrische Objekre leicht verlagern oder verandern. Griffe sind iiblicherweise jene speziellen Punkte, die uns eine Form zu definieren helfen. Typische Griffe eines Quaders sind seine Eckpunkte und sein Schwerpunkt. Klicken wir aufeinen der Eckpunkte, dann konnen wir den Quader interaktiv verandern. Klicken wir auf den Schwerpunkt, dann konnen wir den gesamten Quader in eine andere Raumposition verschieben. Typische Griffe von Drehzylindern sind jene zwei Punkre, die Anfang und Ende der Achse definieren, sowie ein weiterer Punkt zur Definition des Radius . P26(-66319911421) = (01010) P27( 198 1-46 10) P2s(- 46 135110) h7 =230 Abb. 1.15 Mit der Fangfunktion "Mittelpunkt" positionieren wir den Ursprung eines lokalen Koordinatensystems im Punkt P261 dem Mittelpunkt des Deckkreises der drehzylindrischen Saute. Der Winkel zwischen der globalen und lokalen x-Achse ist mit -32 Grad gegeben. In diesem lokalen Koordinatensystem erzeugen wir jenen Quader, der den Dachboden uber der Kuche darstellt. / BKS X9'Obd'~ -v/~ X/ok. , 13
  20. 20. Modellierung des zweiten Schlafzimmers. Nun werden wir das zweite Schlafzimmer mit gekriimmter Oberdachung modellieren (Abb. 1.16). £ine geometrische Analyse zeigt , dass zwei verschiedene Drehzylinder in der Konstruktion involviert sind. Ein Teil des ersten Drehz ylind ers geho rt zur vertika len Mauer, ein Teil des zweiten Drehzylinders bildet das Dach. Wir erzeugen das zweite Schlafzimmer als Durchschnitt zweier Volume nkorper, Dazu konstruieren wir zunachs t in der xy-Ebene die Grundflache und extrudieren diese in eine bestimmte Hoh e. Dann verwenden wir ein lokales Koordinatensystem mit der lokalen xy-Ebene in der Riickwand des Schlafzimmers. Der lokale Ursprung ist der Punkt P 29' Die lokal e x-Achse liege enrgegengeset zt zur globalen y-Richtu ng, und die lokal ey-Achse liegt parall el zur global en z-Achse. In der lokal en xy-Ebene zeichnen wir die Basisform des zweiten Volumenkorpers - die wir dann in lokale z-Richtung extrudieren. Der Durchschnitt der beiden Volumenkorper (siehe Kapitel 4 iiber Boolesche Operation en) liefert uns das gewiinschte geometrische Modell des zweiten Schlafzimmers. Somit haben wir aIle iiber der Erde liegenden Grundkorper des Winron-Gastehauses konstruiert. P29(-66015421 0) = (01010) P3o(-660 1-2321 0) = (7741010) P3 1 ... Mittelpunkt des Kreisbogens P32 = Ps P33(-284 150110) P34(774 1266 10) P3s(387 1457 10) P36(0 1266 10) r = 582 14 Abb.1.16 Wir modellieren das zweite Schlafzimmer, indem wir zweimal eine Parallelextrusion anwenden und die beiden so erzeugten Volumenmodelle danach miteinander verschneiden. Die Grundflache des ersten Volumenmodells besitzt die Ecken P29, P30 , P32 und P33 • Dabei hat der Kreisbogen mit Endpunkten P30 und P32 den Mittelpunkt P31 und Radius r. Wir extrudieren ihn in eine Hohe von 500 Einheiten. Die Basisflache des zweiten Volumenmodells wird durch die Punkte P29, P30, P34, P3S und P36 festgelegt, wobei die letzten drei Punkte einen Kreisbogen definieren . Wir extrudieren in lokale z-Richtung bls zu einer H6he von 400 Einheiten. Das Schnittvolumen der belden Volumenmodelle liefert uns ein Volumenmodell des zweiten Schlafzimme rs.
  21. 21. Abb. 1.17 Wir verwenden einen weiteren Layer, in dem wir die Fenster und Turen im Winton-Gastehaus modellieren. Layer. Layer sind eine weitere grundlegende CAD-Technik, welche die digitale Konstruktionsarbeit sinnvoll unterstiitzt, Ein Blatt Papier kann als ein Layer (Schicht, Ansichtsebene, ...) angesehen werden, aufdem wir arbeiten. Indem wir Blatter aus Transparentpapier iibereinander legen, konnen wir weitere Layer erzeugen, wobei jeder Layer unterschiedliche Informationen enthalren kann. In einem CAD-System ist jeder Layer eine 3-D-Kopie des gesamten Modellierraumes, die exakt an derselben Stelle des globalen Koordinatensystems liegt. Unterschiedliche Layer konnen unterschiedliche Objektteile enthalten, und wir konnen diese einfach ein- oder ausblenden. Dieser Zugang erlaubt uns, nur die aktuell benotigten Informationen anzuzeigen. Dazu muss der Benutzer nur die einzelnen geometrischen Objekte den gewiinschten Layern zuweisen. Wtirden wir die Modellierung des Winton-Gastehauses fortserzen, dann konnten wir zum Beispiel eine Kopie der Basisformen aufeinem eigenen Layer speichern und die Fenster und Tiiren in einem weiteren Layer konstruieren (Abb. 1.17). Das Rohrsystem und die Elektroinstallationen wiirden auf zusatzlichen Layern konstruiert werden . Wird ein 3-D-CAD-Modell sparer auch fur Wartungszwecke eines Cebaudes verwendet, dann vereinfacht eine sinnvolle Layerstruktur auch das Management des Cebaudes nach seiner Fertigstellung. wtnton-Gesteheus mit Fenster-Layer IS
  22. 22. Farbe, Textur und Materialien. Zu Beginn eines Designs arbeiten wir oft mit einem Drahtgittermodell unserer geometrischen Formen. Dieses zeigt uns nur gewisse Geraden und Kurven unserer Objekte (Abb. 1.18, links). Dabei konnen wir durch das Objekt hindurchsehen wie bei einem Ronrgenapparat, und wir benctigen raumliches Vorstellungsverrnogen, urn mental ein vollstandigeres Bild zu erzeugen. Eine Darstellung ohneverdeckte Kanten liefert uns bereits ein besseres Bild, bei dem die vom jetzigen Blickpunkt aus verdeckten Objektteile nicht gezeigt werden, sondern nur die sichtbaren Ecken, Kamen und Flachen (Abb. 1.18, Mitre). Eine Alternative ist, sichtbare Linien als durchgezogene Kamen zu zeichnen, verdeckre Kamen als srrichlierte Kamen, und sichrbare Flachen einzufarben (Abb. 1.18, rechts). Urn die verschiedenen Objekte visuell besser unterscheiden zu konnen, farben wir sie verschieden ein. Urn sie realistischer aussehen zu lassen, konnen wir sie "digital verputzen" oder Farbe anbringen sowie z.B. ein Objekt als Ziegelwand und ein anderes als Betonwand darstellen. Dies erreichen wir durch mit Hilfe von Texturen und Materialien (Abb. 1.19). Das Erzeugen eines Bildes mit Hilfe des Computers wird oft als Rendern bezeichnet. In diesem Buch diskutieren wir nur die geometrischen Aspekte des Renderns (Kapitel 2). Fur die Erstellung eines fotorealistischen Bildes benotigen wir gutes Wissen iiber Farbe, Texturen, Materialien, Beleuchtung und verschiedene wcitere Faktoren. Lichtquellen sind norwendig, denn ohne Licht ware das digitale Bild einfach nur schwarz. In Kapitel2 studieren wir die geometrischen Grundlagen der verschiedenen Beleuchtungsmodelle und Renderverfahren, die in der Computergrafik enrwickelt wurden. 16 Abb. 1.18 Verschiedene Darstellungen derselben geometrischen Form: (links) Drahtgittermodell, (Mitte) Liniendarstellung ohne verdeckte Kanten, (rechts) und mit durchgezogenen sichtbaren Kanten, strichlierten verdeckten Kanten, sowie elnqefarbten sichtbaren Flachen. Abb. 1.19 Ein fotorealistisches, computererzeugtes Bild des Winton-Gastehauses.
  23. 23. Kugeln, Kugelkoordinaten und Extrusionsflachen Kugel. Eine Kugel (genauer Kugelflache) mit MittelpunktM und Radiusr ist die Menge aller Punkte im 3-D- Raum, die konstanten Abstand r vom MittelpunktM haben (Abb. 1.20). Das Volumenmodell einer Kugel mit MittelpunktM und Radiusr ist die Menge aller Punkte im 3-D-Raum, die einen Abstand kleiner oder gleich rvom MittelpunktM aufweisen. Worin liegt der Unterschied zwischen dem Flachen- und Volumenmodell einer Kugel? Das Flachenmodell einer Kugel bildet den Rand des Volumenmodells derselben Kugel. 1st der Radius gleich der Einheitslange (r = 1), dann sprechen wir von einer Einheitskugel.Jede ebene Kurve aufeiner Kugel ist ein Kreis. Stimmt der Kreismittelpunkt mit dem Kugelmittelpunkt iiberein, so sprechen wir von einem Groflkreis; alle anderen Kreise heilien Kleinkreise (Abb . 1.20). Abb. 1.20 Eine Kugel lst durch Mittelpunkt Mund Radius r festgelegt. Aile ebenen Kurven auf einer Kugel sind Kreise. Jene mit Mittelpunkt M heiBen GroBkreise. Aile anderen sind Kleinkreise. Kleinkreise ~ Kugelteil als Volumenmodell Kugelteil als Flschenmcdell GroBkreise 17
  24. 24. Kugelkoordinaten. Neben den kartesischen Koordinaten und den Zylinder­koordinaten sind Kugelkoordinaten (r, cp, 8) eine weitere Moglichkeit, den 3-D-Raum analytisch zu beschreiben (Abb. 1.21). Sie bestehen aus einer positiven Zahl rund zwei Winkeln rp und 8. Kugelkoordinaten werden wie folgt definiert: Wir fixieren eine Ebene E (zurn Beispiel die xy-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems), wahlen darin einen Ursprung 0 und legen eine Halbgerade in Richtung der positiven x-Achse fest. Die erste Kugelkoordinate r ist eine positive reelle Zahl und gibt den Abstand des Punktes Pzum Ursprung 0 an. Die zweite Kugelkoordinate ist ein orientierter Winkel cp (-180° < rp s 180°), gernessen zwischen der x-Achse und einer horizontalen Halbgeraden durch den Ursprung und den Punkt P '. Der Punkt P' entsteht durch Norrnalprojektion von P (siehe Kapitel Z) auf die Ebene E. Die dritte Kugelkoordinate ist der orientierte Winkel 8 (-90° < 8 s 90°), gemessen zwischen den Halbgeraden OP'undOP. Urn Kugelkoordinaten (r, rp, 8) in kartesische Koordinaten (x, y, z) urnzuwandeln, gehen wir wie irn Fall der Polarkoordinaten vor. Die Lange der Strecke OP ist r. Mit Hilfe von Winkelfunktionen finden wir die Langen der Srrecken OP' und PP' als r- cos8 und r :sinf = z. Durch nochrnaliges Anwenden von Winkelfunktionen erhalten wir schlieflich die x- und y-Koordinare mit: x = r :cosrp.cos8, y = r- sinrp.cos8, z = r·sin8. Die so definierten Kugelkoordinaren entsprechen den geografischen Koordinaten, die wir irn Folgenden kurz erklaren. 18 r-coso p z = r-sln n r- -----.. p ' Abb. 1.21 Kugelkoordinaten (r, Ip,8) eines Punktes und ihre Umwandlung in kartesische Koordinaten (xp, YPI zp) illustriert an Hand des Punktes P. p " / y =r-slnc-cose
  25. 25. Abb. 1.22 Geografische Koordinaten des Winton­casteheuses (bis zu seinem "Umzug" im Jahr 2008/09). Abb. 1.23 (links) Zyllnderflache, erzeugt durch ParalIelextrusion. (rechts) Keqelflache, erzeugt durch Zentralextrusion. Geografisches Koordinatensystem. Die Oberflache unseres Planeten Erde kann durch das Flachenmodell einer Kugel mit dem Radius r = 6370 krn gut angenahert werden. Urn die globale Position Pauf unserem Planeten zu beschreiben, verwenden wir geografische Koordinaten (Abb. 1.22). Diese sind ein Spezialfall der Kugelkoordinaten mit konstanter Koordinate r und den laufenden Koordinaten geografische Lange cp undgeografische Breite 8. Die geografische Breite ist der Winkel zwischen der Aquatorebene und der Halbgeraden OP, die geografische Lange ist der Winkel zwischen der Ebene durch den Nullmeridian (der durch Greenwich, GroBbritannien, verlaufi) und der Ebene des Meridians durch P. Urn die Position P aufder Erdoberflache exakt zu definieren, benotigen wir eine dritte Koordinate, die so genannte Seehbbe. Die Seehohe wird als vertikaler Abstand von P zu einer Referenzflache gemessen, die iiblicherweise auf mittlerem Meeresniveau liegt. Durch Verwenden eines sarellirenbasierten, globalen Positionierungssystems konnen die geografische Lange, geografische Breite und die Seehohe mit hoher Genauigkeit bestimmt werden. Die geografischen Koordinaten von Wayzata, Minnesota - wo das Winton-Gastehaus bis 2008/09 stand - sind N44°S8', W93°30'. Dabei sreht N fur nordlich des Aquators und W fiir westlich von Greenwich. Die Seehohe von Wayzata betragt 287 m iiber demMeer. Zylinder- und Kegelflachen, Parallelextrusion einer glatten Kurve erzeugt eine Zylinderflache (Abb . 1.23, links). Zentralextrusion einer glatten Kurve erzeugt eine Kegelflache (Abb . 1.23, rechts) . Beide Flachenklassen tragen Geraden, die Erzeugende genannt werden. Bei einer Zylinderflache sind diese Geraden alle zueinander parallel. Bei einer Kegelflache gehen alle Erzeugenden durch einen gemeinsamen Punkt, die Spitze S. Den Drehzylinder als Spezialfall einer Zylinderflache haben wir bereits kennen gelernt. Drehkegel (genauer Drehkegelllachen) werden durch Zentralextrusion eines Kreises zu einem Punkt Saufder Kreisachse hin erzeugt. 19
  26. 26. DieDrehachse eines Kreises istjene Geradedurch den Kreismittelpunkt, dieorthogonal aufdie Tragerebene desKreises steht, Ein Drehkegel kann auchdurch Drehungeiner Erzeugenden e urn eineschneidende Achse a erzeugr werden(Abb. 1.24, links). Der Schnittpunkt der beidenGeradenist die Kegelspitze S. Ist eparallel zua, dann erhalten wir einenDrehzylinder. Iste nicht orthogonalzua, dann ist der Drehkegel sogarein Doppelkegel- der auszwei Teilen besteht:einemoberenund einemunteren Kegel (mit derselben Achse und in der gemeinsamenSpitze aneinandersrolsend), Unter einem Drehkegel verstehen wir iiblicherweise nur einenTeil eines Doppelkegels. AuspraktischenGrunden wird ein Drehkegel zusatzlichnoch durch einen Kreis begrenzt, der in einerEbeneorthogonal zur Drehachse liegr(und mit dem Mittelpunkt auf der Achse). So ein Drehkegel ist dann definiertdurch den MittelpunktM,den Radiusr desBasiskreises sowie die Hohe b, die den AbstandvonM zur SpitzeS misst (Abb. 1.24,rechts).Wir bemerken, dasswir nicht nur Flachenmodellc von Kegeln und Zylindernerzeugen konnen, sondern auchVolumenmodelle. Die Abbildungen1.25und 1.26illustrieren Anwendungenvon Kegeln und Zylindernin der Architekrur, Abb. 1.24 (links) Ein Drehkegel entsteht, wenn wir eine Erzeugende e um eine schneidende Achse a drehen. (rechts) Wir definieren einen Drehkegel durch den Mittelpunkt M und Radius r des Basiskreises sowie seiner Hbhe h. Abb. 1.25 Ein geneigter Drehkegel im Glasmuseum in Tacoma (1998-2002) von Arthur Erickson.
  27. 27. Ausblick. Kegel stehen in einem offensichtlichen Zusammenhang mit Pyramid en. Verfeinern wir das Basispolygon einer Pyramide, so erhalten wir eine glatt e Kurve (und die verfeinerte Flache wird zu einer Kegelflache). Pyramiden werden in Kapitel 3 besproch en, und der Zusammenhang zwischen diskreren und glatten Flachen ist eines der Themen in Kapirel 11. Ebene Schnitte von Drehkegeln heifen Kegelschnitte, es sind dies Ellipse, Parabel und Hyperbel. Diese Kurven waren schon in der Antike bekannt und sind auch heute noch von Bedeutung. Wir werden in den Kapiteln 6, 7 und 8 wieder aufsie treffen . Kegel- und Zylind erflachen sind zwei der drei existierenden Typen von abwickelbaren Fldchen, die wir in Kapit el 9 besprechen. 1m restlichen Buch lernen wir von Kapitel zu Kapitel komple xere geometrische Modelle kennen und sie fur architektonische Zwecke einzusetzen. Abb. 1.26 Das IKMZ (1998-2004) in Cottbus von Herzog & de Meuron hat die Form eines allgemeinen Zylinders.
  28. 28. ----------- ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... --.....-....._..... -....... .............. I / ",'"'" ,----- -------'" -------------- ---- Kapitel2 Projektionen
  29. 29. , , ,,,,~, ,.., , ,., , , , ,L,.~';;"';' , # ' . , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Projektionen Vor dem Zeitalter der Computergrafik war eine gute Kenntnis iiber Projektionen Voraussetzung, urn dreidimensionale Raumobjekte geometrisch richtig abbilden zu konnen (Abb. 2.1). Heutzutage iibernehmen CAD-Systeme (CAD = Computer­aided Design), die alle klassischen Darstellungsverfahren in Echtzeit berechnen konnen, die zeitintensive Arbeit des Abbildens. Dennoch ist auch heme noch ein theoretisches Grundlagenwissen iiber Projektionen erforderlich, urn die verfiigbaren Darstellungsverfahren und deren Parameter besrmoglich zur Visualisierung raumlicher Objekre einsetzen zu konnen. Zu diesem Basiswissengehoren unter anderem auch das geometrisch richtige Skizzieren von Raumobjekten und das Herstellen von perspektiven Bildern. Abb.2.1 Ein Holzschnitt von Albrecht DOrer (1471-1528) zeigt ein weit verbreitetes Hilfsmittel zur Herstellung perspektiver Bilder. Mit Hilfe eines rechteckigen Rahmens, in den mit Faden ein Raster gespannt ist, gelingt es dem KOnstler, das liegende Modell richtig in Perspektive darzustellen. In der Abbildung rechts sehen wir das Aktmodell aus der Sicht des Zeichners. 25
  30. 30. Geom etr ische Modelle von Licht und Schatten sind Spezialfalle von Projektionen. Diese Erkennmis verhilft uns zu einem besseren Verstandnis, wie Licht und Scharren das Erscheinungsbild von architekronischen Szenen beeinflussen (Abb. 2.2). Durch das Studium diverser Rend er-Verfahren und -merhoden (wie konstante Schattierung. Gouraud-Schattierung und Phong-Schattierung, aber auch Raytracing und aktueller Methoden wie Radi osity) lern en wir unsere Visualisierungsfahigkeiten zu verbessern. Am Ende des Kapitels beschafiigen wir uns noch mit geometrisch komplexeren Abbildungsverfahren. Kiinsderisch richtig eingesetzt, erwei te rn diese nichdinearen Abbildungsverfahren die Prasenrationsmoglichkeiten von Archirekrurprojekten. Mit einem Ausblick aufden Einsatz dieser Abbildungsverfahr en in der modernen Kun st beenden wir das Kapitel. Projektionen. Vor dem Aufkommen leistungsstarker CAD-Software wurden Raumobjekte mit Hilfe zweidimensio naler Kon struktion szeichnungen entw ickelr, Dabei wurden allgemeine Ansichten zur Visualisierung der raurnlichen Objekte eingesetzt, wahrend spezielle Risse zur Fesdegung der Dimension ierung und Bemal5ung dieser Objekte dienten. Diese Kon struktionszeichnungen waren ein wichtiges Hilfsmittel, urn Design ideen geeignet kommunizieren zu konnen. Daher waren ein extensiver Einsarz verschie dener Projektionsmethod en und eine profunde Kenntnis iiber die Eigenschaften dieser Projektionen ein wichtiger Bestandteil jedes Designprozesses. Di e Darstellende Geometrie beschaftigt sich mit den Grundlagen und Eigenschaften von Projektionen - sie wurde daher zum wichtigsten Kommunikationsmedium zwischen Designern und Kon strukteuren. Heut e wird die Entwicklung von 3-D-Objekten meist mit der Unterstiitzung leistungs­starker CAD-Software ausgefiihrt. Dennoch ist es auch heut e noch notwendig, geometrische Modelle oder raumliche Situationen rasch aufeinem Blatt Papier skizzieren zu konnen, Grundkenntnisse iiber Projektionen sind das notwendige Riistzeug dafiir, Damit sind wir in der Lage, geometrische Skizzen richtig herzustellen und un sere Designideen kommunizieren zu konnen, ./ / ,/ Abb.2.2 (a) Zur Visualisierung einer raumllchen Situation (z.B. ein Detail eines Dachstuhls) eignet sich eine allgemeine Ansicht am besten. Be; Verwendung spezieller Normalrisse lassen sich die maBgeblichen Dimensionen der Struktur leicht ablesen. .' 26 (b) Moderne CAD-Systeme errnoqllchen eine weitaus realistischere Darstellung des Objekts.
  31. 31. Einen intuitiven Zugang zu Projektionen verrnittelt uns das Stud ium der von Sonn en­licht erzeugten Schatten (Abb. 2.3a). Durch jeden Punkt P eines Objekts legen wir einen Licht strahl (Projektionsstrahl) lp. Den Schn ittpunkt dieses Projektions­strahls mit der BildebeneITbezeichnen wir alsBildpunkt(Riss) P" von P.Verlaufen aile Projektionsstrahlen zueinander parallel, so sprechen wir von einer Parallelprojektion. In diesem Fall nennen wir den Punkt pP(in der Bildebene IT) den Parallelrissdes Raumpunktes P,wobei der Index p auf die Parallelprojektion hinweisen soil. Neben der Parallelprojektion (geometrisches Modell der Beleuchtung mit Sonnenlicht) gibt es noch die Zentralprojektion (Abb. 2.3b). Hier gehen aile Lichtstrahlen (Projektio nsstrahlen) von einem festen Punkt L aus. Dies kann als geometrischesModell Hir die Beleuchtung mit einer punktformigen Lichtquelle oder das Aufnehmen eines Fotos mit einer Kamera int erpretiert werden. Irn Unterschied zur Parallelprojektion bezeichn en wir den Bildpunkt P' als den Zentralriss des Punktes P und verwenden als Abbildungszeiger den Index C. Bevor wir uns eingehender mit Projektionen auseinandersetzen, erwahnen wir noch, dass vom geometrischen Standpunkt aus zwischen den Begriffen Proj ektion und Riss klar unterschieden wird: Unt er einer Proj ektionverstehen wir den raum­lichen Abbildungsvorgang, wahrend ein Riss das (zweidimensionale) Ergebnis einer Abbildung ist. Haufig wird aus Grunden einer leichteren Lesbarkeit die Bezeichnung Projektion sowohl fur den raurnlichen Abbildungsvorgang als auch fiir das in der Zeicheneb ene liegende Ergebnis verwendet. L ~: ,.--: : : :' . . : " . 1t .".".. " " ,,' :....... • I •• • I • • .:p: '. '. : . Abb.2.3 Der Bildpunkt (Riss) eines Punktes P wird als Schnittpunkt des Lichtstrahls t» durch P mit der Bildebene IT ermittelt. (a) 1m Faile paralleler Lichtstrahlen erhalten wir den Parallelriss PP. (b) Verlaufen aile Lichtstrahlen durch einen festen Punkt L, so sprechen wir von einer Zentralprojektion. Der Punkt pc heiBt Zentralriss des Punktes P. 27
  32. 32. Paralle1projektion. Wenn wir den Schattenwurfeines Objekts bei Sonnen­beleuchtung eingehender betrachten, konnen wir leicht folgende , wichtige Eigen­schaften der Parallelprojektion herleiten (Abb. 2.4): • Der Parallelriss einer raumlichen Geraden a ist im Allgemeinen wieder eine Gerade aP• Liegt eine Gerade callerdings parallel zum Projektionsstrahl (Lichtstrahl) I, so erscheint deren Parallelriss cPpunktformig. Wir bezeichnen Geraden, die parallel zu den Projektionsstrahlen verlaufen, alsprojizierende Geraden. • Die ParallelrisseaP, bPvon allgemeinen (niche projizierenden) parallelen Geraden a, bsind parallel. • Das Verhaltnis von Abstanden aufeiner Strecke zueinander bleibt bei einer Parallelprojektion erhalten. Teilt z.B. ein Punkt Feine raumliche Strecke DE in einem bestimmten Verhaltnis, so teilt der Bildpunkt FP die Bildstrecke D PEP im selben Verhaltnis. Als Sonderfall dieser Eigenschaft erkennen wir: Der Mittelpunkt Meiner Strecke wird auf den MittelpunktMPder Bildstrek­ke abgebildet. • Parallele, gleich lange Strecken im Raum werden aufparallele und gleich lange Strecken abgebildet. Die meisten Bilder und Abbildungen in diesem Buch, ob handisch oder mit Unterstiitzung einer CAD-Software erzeugt , sind Parallelrisse von raumlichen Situationen. Sie wurden aIle unterBeachtung der vorher aufgelisteten Eigenschaften ersrellt. Fiir die meisten Illustrationen verwenden wir Parallelrisse, da im Unterschied zur Zentralprojektion die Parallelirar von Geraden auch im Bild erhalten bleibt, Obwohl perspektive Bilder aufden Berrachter wesentlich vertrauter wirken, kann der Verlust der Parallelitat ein groger Nachteil sein, speziell dann, wenn wir geometrische Eigenschaften von raumlichen Objekten illustrieren wollen (Abb. 2.S). Wir empfehlen daher, wahrend des Modellierungs- und Designprozesses in Parallelrissen zu arbeiten und perspektive Bilder erst bei der Prasentation fertiger Objekte einzusetzen. Mit perspektiven Bildern (Zenrralrissen) werden wir uns im Abschnitt iiber die Zentral­projektion ausfiihrlicher auseinandersetzen. 28 Abb.2.4 Wichtige Eigenschaften einer Parallelprojektion. Abb.2.5 1m Aligemeinen veranschaulichen Parallelrisse geometrische Eigenschaften besser als Zentralrisse (Taipei Tower [1999-2004] in Taipei von C. Y. Lee). Man beachte, dass das linke Foto aus gro13er Distanz aufgenommen wurde und daher einem Parallelriss recht nahe kommt.
  33. 33. Abb.2.6 Zwei windschiefe Geraden im Raum, deren Parallelrisse zueinander parallel Iiegen. Das Wissen um diese raurnllche Abb.2.7 Abhangig von der Position der Sonne wirft ein Objekt verschiedene Schattenbilder. Irn Aligemeinen werden die GraBen von Winkeln bei Parallelprojektion nicht erhalten. Ausnahme sind lediglich jene Winkel, die an Objekten in Ebenen parallel zur Bildebene auftreten. Wie wir gesehen haben, sind die Bilder paralleler Geraden bei Parallelprojektion wieder zueinander parallel. Allerdings gilt die Umkehrung nicht: Sind in einem Riss die Bilder zweier Geraden zueinander parallel, so konnen diese Bilder auch von zwei zueinander windschiefen (nicht parallelen und nicht schneidenden) Geraden starnmen (Abb. 2.6). Diese raumliche Konstellation wird manchmal von Kiinstlern verwendet, urn Bilder von scheinbar unmoglichen Objekten zu erzeugen. In den meisten Fallen ist der ParallelrissAPBP einer StreckeAB langer oder kiirzer als die tarsachliche Lange der StreckeAB im Raum. Das Verhalmis v = dist(AP,BP) :dist{A,B) der Lange der BildstreckeAPBP zur Lange der raumlichen Strecke AB wird als Verzerrungsfaktor der Strecke AB bezeichner, Dieser Verzerrungsfaktor legt damit fest, ob der Parallelriss einer Strecke langer oder kiirzer als die Raumstrecke ist, Wenn wir den Schattenwurfbei Sonnenbeleuchtung betrachten, erkennen wir, dass der Verzerrungsfaktor jeden beliebigen positiven Wert annehmen kann. Je hoher die Sonne iiber dem Horizont steht (zur Mittagszeir), desto kiirzer werden die Schatten. Umgekehrt werfen Objekte am sparen Nachmittag (wenn die Sonne nahe am Horizont sreht) sehr lange Schatten (Abb. 2.7). Der Verzerrungsfaktor verursacht auBerdem die Verzerrung von Flachen und Winkeln. Daher werden im Aligemeinen bei Parallelprojektion die GraBen von Flachen und Winkeln niche erhalten. Nur die Parallelrisse jener Objektteile, die in Ebenen parallel zur Bildebene liegen, behalten ihre Form bei. Situation wurde von M. C. Escher ausgenutzt, um scheinbar unrnoqllche Objekte darzustellen. 29
  34. 34. Der Verzerrungsfaktor wirkt sich auch bei der Darstellung von Kreisen aus: Der Parallelriss eines allgemein liegenden Kreises (Kreisebene liegt nicht parallel zur Bildebene) ist kein Kreis, da unterschi edliche Durchmesserstrecken unter einer Parallelp rojektion versch ieden verzerrt werden (Abb. 2.8). Ohne Beweis stellen wir fest, dass Parallelri sse von Kreisen und Kugeln im Allgemeinen Ellipsen sind (vgl. Kapitel6, 7 und 8). Da elliptische Kreis- und Kugelbilder der natiirlichen Seherfahrung eines geom etr isch wenig versierten Betrachterswidersprechen, wirken Bilder, die von allgemeinen Parallelprojekeionen stammen, eher wenig realitatsnah, AxonometrischeRisse basieren aufden GesetzmaBigkeiten der Parallelp rojektion . Sie werden unre r Verwendung des Parallelrisses eines Koordinatensysterns und der Verzerrungsfaktoren der Koordinatenachsen herge stellt. Vor dem Aufkommen von CAD-Software wurden sie haufig zur Darstellung und Prasenration raurnlicher Objekte eingesetzt. Mit dieser grundlegend en Zeichentechnik konnen mit traditio­nellen Zeicheninstrumenten brauchbare Visualisierungen von Raumobjekten und raurnlichen Situ ationen relativ einfach, wenn auch zeitaufwandig, hergestellt werden (Abb. 2.9). Diese Verfahren sind sehr hilfreich bei der Entwicklung von Freihandskizzen und bei der Visualisierung von Designideen. Besonders im Rahm en von Prasent arionen, wenn nicht alltagliche Ansichten eine s Projekts erwiin scht sind, konnen diese Zeichentechniken vorteilhaft eingesetzt werden. Eine zweckmaf ige Vorgangsweise zur Herstellung axonometrischer Risse stellen wir etwa s sparer in diesem Kapitel vor. 30 Abb.2.8 Im Aligemeinen sind die Parallelrisse von Kreisen und Kugeln Ellipsen. Abb.2.9 Axonometrische Risse basieren auf den GesetzmaBigkeiten von Parallelprojek­tionen. Sie konnen relat iv einfach handlsch hergestellt werden. Sie werden daher manchmal zu Prasen­tationszwecken eingesetzt. ORF­Landesstudio (1968-1972) in Salzburg von G. Peichl (links). Moller-Haus (1927-1928) in Wien von A. Loos (rechts) .
  35. 35. Abb.2.10 Die Projektionsstrahlen einer Normalprojektlon verlaufen norma l zur Bildebene. 1m Unterschied zur allgemeinen Parallelprojektion ist der Normalriss elner Kugel immer eln Normalprojektion. Verlaufen die Projekt ion sstrahlen einer Parallelprojektion normal zur Bildebene, so sp rechen wir von einer Nonnalprojektion (Abb. 2.10). Normalrisse sind Sonderfalle von Parallelr issen, und es gelten daher dieselben Eigenschaft en wie fUr Parallelprojekti on en. Zusatzlich gilt , dass der Normalriss ein er Kugel immer ein Kreis ist , Zum Nachweis dieser Tatsache bet rachten wir alle Projektionsstrahlen, die eine Kugel umhiillen (Abb. 2.10) . Di ese Projektion sstrahl en beriihren die Kugel langs eines Kre ises k, dessen Tragerebene normal zu den Projektionsstrahlen liegt. Der Krei s k liegt also parallel zur Bildeb ene n. Er wird dahe r als ein Kreis abgebildet, dessen Radius gleich dem Kugelradius ist, Dies ist einer der Griinde, warum Normalrisse weitaus naturlicher wirken als allgemeine Parallelrisse. Kreis. Man beachte, dass dlese IIlustrie­rende Abbildung eine Darstellung einer Raumsituation 1st; das Blld des Kreises in der Bildebene it erscheint daher als Ellipse. / 31
  36. 36. Wie schon erwahnr, sind Parallelrisse, die aufden Gesetzma/Sigkeiten von Parallel­pro jektionen beruhen, ein gute s Hilfsmittel, urn raumliche Situationen und Designideen zu visualisieren. Zur Angabe von Bema/Sungen und zur Festlegung von Objektdimensionierungen verwenden wir hingegen Normalrisse. AIle Strecken und Objektreile in Ebenen normal zu den Projektionsstrahl en liegen parallel zur Bildebene. Siewerden daher unter einer Normalprojektion unverzerrt abgebildet. Mit jedem kartesi schen Raumkoordinatensystem (mit lotrechtcr z-Achse) sind drei Normalprojektionen in natiirl icher Weise verkniipft, die wir als Hauptrisse bezeichnen (Abb. 2.11 ). • Die lotrechte Normalproj ektion mit den Projektionsstrahlen SI (ent gegenge­setzt zur Richrung der z-Achse) liefert den Grundriss (Ansicht von oben) eines Objekrs, • Die horizonralen Normalprojektionen mit den Projektionsstrahlen S2 und S3 erzeugen den Auftiss (Ansicht von vorne) bzw. den Kreuzriss (Ansicht von rechts) des Objekts, Kreuzriss Abb.2.11 Drei Normalrisse (Hauptrisse) sind mit jedem kartesischen Koordinatensystem in natUrlicher Weise verknUpft. Aufriss Abb. 2.12 Drei weitere Hauptansichten eines Objekts. I Ansicht von links 32 I Ansicht von rechts Ansicht von unten Ansicht von links Ansicht von rechts
  37. 37. Wenn wir zusatzlich die Normalprojektionen in Richtung der Koordinatenachsen betrachten, erh alten wir drei weitere Hauptrisse des Objekts. Diese Risse (Abb. 2.12) zeigen dann die Ansichtvon unten (Projekrionssrrahl -s-), die Ansichtvon hinten (-52) und die Ansicht von links (-53)' Technische Zeichnungen bestehen meist aus Grundriss, Aufriss und Kreuzriss, da die Form und die Ausmalie eine s Objekts durch die Angabe von drei Hauptrissen meist ausreichend beschri eben werden. In technischen Zeichnungen werden die Hauptrisse oft so angeordnet, dass der Informationstr ansfer zwischen je zwei Rissen einfacher moglich wird. Abhangig von der "histo rischen Entwicklung der Darstellenden Ceornerrie" unterscheiden wir zwischen zwei haufig verwendeten Anordnungen: Abb.2.13 FOr die Platzierung der Hauptrisse am Zeichenblatt sind zwei verschiedene Anordnungen Oblich. • Der Aufriss wird direkt oberhalb des Grundrisses plarzierr, und der Kreuzri ss liegt links vom Aufriss (Abb. 2.13, links). Diese in Europa iibliche Anor­dnung kann von der in Abb. 2.11 illustr ierten Raumsituation abgeleitet werden. • Benutzt man eine Art von "Projekt ionsquader" (Abb. 2.13, rech ts), der das abzubildende Objekt umfasst, so liegt es nahe, den Grundriss direkt oberhalb des Aufrisses und den Kreuzriss rechts vom Aufri ss anzuordnen. Amerikenische Anordnung z'" P" r: •. ....... . ~--~ y " »: 0 '" z" ... r- - "y' """ ... ~ p' 0 ' ""x' 0 " P" y" . ... 0 '" 0 " 0 ' r- - - "'y """ ... ..J p' ""x' z'" EuropiHsche Anordnung p'"..--------i x'" Kreuzriss Grundriss /" 33
  38. 38. Bei der Verwendung von CAD-Systemen kann der Benutzer die Hauptrisse beliebig, seinen individuellen Bediirfnissen angepasst, platzieren. Bei der Weitergabe und Verteilung von Bau- und Konstruktionsplanen hingegen rniissen haung die offiziellen Standardanordnungen berucksichrigr werden. Wir erinnern nochmals daran, dass der Hauptgrund fur die Verwendung von mehreren Hauptrissen darin besteht, dass mit deren Hilfe samtliche Objekt­abmessungen unverzerrt abgelesen werden konnen. Daher ist es wichtig, das zugrunde liegende Koordinatensystem dem Objekt geeignet anzupassen, das heHk dass wesentliche Objektteile in Ebenen parallel zu den Koordinatenebenen liegen. In den letztenJahren verlor - bedingt durch das vermehrte Aufkommen von Freiformgeometrien - die Verwendung von Hauptrissen zur Festlegung von Objektdimensionen etwas an Bedeutung. Anstelle von ausgedruckten Planen haben sich digirale, modellbasierte Formate vermehrt durchgesetzt. Diese digitalen Formate enthalten deraillierte Informationen iiber die Geometrie und die Abmessungen der beteiligten Objekte. Sie konnen direkt zur maschinellen Herstellung von 3-D-Objekten verwendet werden. Als ein Beispiel fiir den Einsatz von digiralen Planen sei das von Frank O. Gehry entworfene Srata Center am MIT in Cambridge (Abb. 2.14) erwahnt. Das Stata Center war eines der ersten Projekre, bei dem ein digitales Datenmodell ausgedruckte Bauplane zur Ganze als rechtliche Grundlage ersetzte. Abb.2.14 Stata Center des MIT (1999-2003) in Cambridge von F. Gehry.
  39. 39. Perspektive Bisher haben wir uns mit Parallel- und Normalprojektionen auseinandergesetzt. Sie sind recht brauchbare Werkzeuge, urn Designideen zu visualisieren, geome­trische Eigenschaften von Raumobjekten zu illustrieren und urn die Abmessungen von Objekten festzulegen . Urn allerdings nariirlich wirkende Bilder herzustellen, miissen wir uns mit der Zentralprojektion und den damit erzeugbaren Zentralrissen beschaftigen. Die erstcn Ansatze, exakte perspektive Bilder herzustellen, gehen aufdas 16.Jahrhundert zuriick. Zu dieser Zeit versuchten vor allem italienische Kiinstler und Arch itekten wie Filippo Brunelleschi, Leon Battista Alberti und Piero della Francesca einige grundlegende Regeln und Methoden festzulegen, urn realistisch wirkende Bilder malen zu konnen. Eine dieser Merhoden zur Herstellung perspektiver Bilder bestand in der Vcrwendung eines Holzrahmens mit eingespanntem Fadengitter (Abb. 2.1). Ein von den Objektpunkten zum Auge des Kiinstlers gespannter Faden diente dabei als Projektionsstrahl, und die Bildebene wurde in Form des Holzrahmens realisiert. Die Obertragung der Bildpunkte in der (lotrechten) Bildebene auf ein (horizontales) Zeichenblatt wurde mit Unterstiitzung eines Quadratrasters durchgefiihrt.
  40. 40. Diese recht pr aktikable Meth ode der alten Meister soll uns nun als Vorbild fur ein einfaches Verfahren zur Erzeugung von Zentralrissen dienen. In Abb. 2.15 haben wir den Holzrahmen dur ch eine lotrechte Bildebene :It ersetzt, und anstelle des gespannren Fadens verwenden wir einen Projekt ionsstrahl s durch einen festen Augpunkt 0 . Wir ermitteln dann den ZenrralrissP' eines ObjektpunktsPals Schn ittpunkt des Projektionsstrahls mit der Bildebene n , Es gibt genau einen Projektionsstrahl durch den Augpunkt 0 , der normal zur Bildebene :It verlaufi, Dieser Projektionsstrahllegt die optiscbeAcbse der Zenrr al­projektion fest. Den Schnittpunkt der optischen Achse mit der Bildebene bezeichnen wir alsHauptpunkt der Perspektive. Die horizontale Ebene durch den Augpunkt°enrhalt die optische Achse und schneidet die Bildebene :It langs einer Ger aden h. Abb.2.15 Zentralprojektion: Wir sehen die raurn­liche Situation wahrend der Konstruk­tlon (oben). Zentralriss: Das Ergebnis der Zentral­projektion - der Tisch aus der Sicht eines Betrachters, der vom Punkt 0 aus in Richtung der optlschen Achse schaut (unten). It , , optische , Achse '" ". ' j, / ..... / " / ..............< ·· ·s· ·· ·:-: : ~ . 0 . .. . ... . . . .. . . . ... ...~.. . .. :::::::::::.'.·.·.·.,:,~o · .. ····· 1 . .. ... ............... . . .. .. . . .. . .... ... ..... .. . h 36
  41. 41. Fixieren wir nun das Auge eines Betrachters im Augpunkt 0 und lassen ihn langs der optischen Achse aufdas Bild schauen, dann vermittelt das perspektive Bild denselben Eindruck, wie ihn der Betrachter in der urspriinglichen Raumsituation harte (Abb. 2.15, unten). Die horizonrale Gerade h wiirde dabei dem Horizont - der Grenze zwischen der "horizontalen Erdoberflache" und dem Himmel- ent sprechen. Wir bezeichnen daher die Gerade h durch den HauptpunktH als Horizont. Dieselbe Raumsituation bestehr auch beim Fotografieren eines Objekrs (Abb. 2.16). Dabei wird die Kamera im Augpunkt 0 positioniert und die optische Achse der Kamera wird aufden Hauptpunkt H hin ausgerichtet. Daher wird der Augpunkt 0 haufig auch als Kamerastandpunkt und der HauptpunktH als Kamerazielpunkt bezeichnet. Nach der Aufnahme des Bildes mit der Kamera kommt der HauptpunktH im Mittelpunkt des aufgenommenen Bildes zu liegen. In Abb. 2.16 konnen wir einen weiteren, wohlbekannten Aspekt bei perspektiven Bildern erkennen: Die Zentralrisse paralleler, horizontaler Geraden schneiden einander offensichdich aufdem Horizont. Abb.2.16 Raumsituat ion (Zentralprojektion) und 2-0-Ergebnis (Zentralriss) beim Fotografieren eines Hauses. h 37
  42. 42. Abb. 2.17 illustriert den Beweis dieser Tatsache. Urn den ZentralrissgCeiner allgemeinen Geradeng zu ermitteln, miissen wir die durch die Geradeg und den Augpunkt 0 aufgespannte Ebene Emit der Bildebene Jt schneiden (Abb. 2.17, links) . Betrachren wir nun zwei beliebige, horizonrale Geraden g, undgz, die zueinander parallelliegen (Abb. 2.17, Mine). Zur Konstruktion ihrer Zentralrisseg l undgz verbinden wir beide Geraden mit dem Augpunkt 0 und erhalten damit die beiden Ebenen E1 und Ez. Die Schnittgeradegf dieser beiden Ebenen enthalt den Augpunkt 0 und verlauti parallel zu den Geradeng] undgz. Der Schnittpunkt Fg-der GeradentJ mit der Bildebene Jt liegt daher aufdem Horizont h.Wir bezeichnen den Punkt Fg- als Fluchtpunkt aller zu gf parallelen Geraden. Diese Punkre sind bei der handischen Konstruktion perspektiver Bilder von groBer Bedeutung. 1mAllgemeinen gilt, dass die Zentralrisse beliebiger paralleler Geraden k] und kzeinander im FluchtpunktP, der Geraden k, und k2 schneiden. Wir erhalren den Fluchrpunkr FkalsSchnittpunkt der Hilfsgeraden kfmit der Bildebene Jt, wobei die Gerade kf eine zu k] and kzparallele Gerade durch den Augpunkt 0 ist, Wir erkennen, dass im Unterschied zur Parallelprojektion bei der Zentralprojektion die Parallelitac von Geraden und Verhalmisse von Streckenlangen zueinander im Allgemeinen nicht erhalten werden. Abb.2.17 Konstruktion von Fluchtpunkten 38
  43. 43. Der Abstand des Augpunkts 0 zum HauptpunktH (aufdem Horizont h) legt auch die Entfernung des Augpunkts 0 von der Bildebene Jt fest. Wir bezeichnen diesen Abstand als Distanz der Perspektive . Eine Anderung der Distanz wirkt sich niche auf das Aussehen des Zentralrisses aus, sie verursacht lediglich eine VergroBerung oder Verkleinerung des perspektiven Bildes (Abb. 2.18, oben). Andererseits kann jedoch ein Verschieben der Kamera langs der optischen Achse groBe Auswirkungen aufdas Aussehen des Zentralrisses haben (Abb . 2.18, unten). Abb.2.18 Zentralrisse einer Modellfigur der "Endlosen Treppe" (1991, Ludwigshafen) von Max Bill. Mit festem Augpunkt 0 und variabler Distanz (oben). Mit fester Distanz und bewegtem Augpunkt (unten) . Bild 1 Bild 2 Bild 3 verschiedene Bildebenen ' ''to' :~: : :'':'' ' 0 to ' -0 Distanz 1t l~ < . 1tzJ1 <. '- "-..- .. _ -- 0 " -" - " -06 Augpunkt wird bewegt rt Bild 4 1t Bild 5 Bild 6 39
  44. 44. horizontalen und vertikalen Absrande dh und d, des Punktes P czum Hauptpunkt H. Der horizontale Absrand dh kann da­bei unverzerrr aus dem Grundriss als Abstand der Punkte H' und PC' iiber­nommen werden. Den verrikalen Ab­stand d; finden wir im Aufriss als Ab­stand des Punktes pc "vom Horizont h. Mit dieser einfachen Konstruktionsvor­schrifi konnen wir die Bilder aller Obj ektpunkte ermirreln und erhalten damit den Zentralriss des Objekrs. Abb.2.19 Handlsche Konstruktion der Perspektive eines vereinfachten Hausmodells. Die Konstruktion wurde in zwei unterschiedlichen Rissanordnungen im Maf3stab 1: 600 durchgefUhrt (oben) . Das Ergebnis ist im Maf3stab 1 : 300 wiedergegeben (unten). Bildpunktes P' als Schnittpunkt des Projektionsstrahls OPmit der Bildebene n. Urn den in der Bildebene n liegenden Zentralriss des Objekts unverzerrr zu se­hen, .------ - - - - -----QQ ' -, p' iiberrragen wir die konstruierren Bildpunkte in eine Zeichenebene. Die­ser Transfer erfolgt unter Beachrung der Konstruktion im MaBstab 1:600 " .. .. I __P"__. _· ·_·· ..p·c·_i,O_'·· -··ld....... 0" - 0-- :..-c-· · · ~o - h" H" ~Qc " Beispiel: Handische Konstruktion der Perspe­ktive " ' ~ Q" 0' p" ' 0 -· _ _ _ pc" ' . Konstruktion im MaBstab 1:600 - , h" I p' eines Hauses. Zur handischen Konsrruktion einer Perspektive ordnen wir Grund- und Aufriss der raurnlichen Situation zweckmaliigerweise wie in Ab­bildung 2.19 an. In dieser Aufstellung ermitreln wir Grund- und Aufriss eines 40 Ergebnis im MaBstab 1:300 h
  45. 45. Die Verwendung von Fluchtpunkten er­bOht EuropiUsche Anordnung h"_ Beispiel: Verwendung von Fluchtpunkten bei der handischen Konstruktion von Perspektiven. Die punkrweise Kon­struktion einer Perspektive kann durch die Verwendung von Pluchtpunkren wiefolgc verbessert werden (Abb. 2.20): Wir konstruieren Grund- und Aufriss des Fluchtpunkrs fig einer beliebigen Geraden g als 5chnittpunkt von gf mit der Bildebene n. Die dazu benotigte Geradegfermittdn wir a1s einezug par­allele Gerade durch den Augpunkt O. Die Position des Fluchtpunkts fig in der Zeichenebene erhaltenwir dann durch Obertragender Abstande d, und dbwie oben beschrieben. Abb.2.20 Handlsche Konstrukt ion elner Perspektive mit Verwendung von Fluchtpunkten. Die Konstruktion erfolgt in zwel unterschiedlichen Rissanordnungen (oben). h _ - ----~-- --yC Wir verbinden denBildpunktP' mitdem Fluchtpunkr F, und iibertragen dann nur noch die horizontalen Abstande db, die wir unverzerrt irn Grundriss ablesen kon­nen. In analoger Art und Weise konstru­ieren wirdieZentralrissevonPunkren,die aufx-parallelenKanten liegen, indem wir den FluchtpunktF, verwenden. Amerikanische Anordnung F." g ,, '~ d. 1"'-- - - - -"1 h" H" -- o~ 0 " y" R" Q" e: F..' 6----6--..a....o- ... z" --= F. y" Q" e: Ergebnis in doppelter GroBe R" die Genauigkeit der Konstruktion und verringert gleichzeitig die Anzahl der benorigten Konstruktionslinien. 50 finden wir beispidsweise die Zentralrisse der PunkreQund R, die beide auf einer y-parallelen Geraden durch den schon konstruierten PunkrP liegen, wie folgt: x ' d" I P' 41
  46. 46. Wir merken noeh an, dass die besehriebene Konstruktionsmethode gut fur das Abbilden von Objekten mit aussehlieBlieh ebenen Seirenflachen geeignet ist, Die Anwendung dieser Methode aufdie Herstellung perspektiver Bilder von Zylindern, Kugeln oder Objekten mit gekrummten Oberllachen ist im Allgemeinen wesentlich komplizierter und zeitaufwandiger, Das konstruktionsteehniseh aufwandige Abbilden von Kreisen und Kugeln war ein wesentlicher Inhalt der traditionellen Darstellenden Geomerrie, woraufwir in diesem Bueh nieht weiter eingehen werden, Trotzdem ist es hilfreich, wenn man in der Lage ist, perspektive Bilder von einfaehen Objekren (wie oben beschrieben) richtig skizzieren zu konnen, Weiters helfen uns beim Modellieren mit CAD die vorgestellten Grundkenntnisse iiber die Zentralprojektion beim Festlegen geeigneter perspektiver Ansichren. Hinweise fiir das Erzeugen natiirlich wirkender Bilder. Perspektive Bilder sind besonders fur Prasentationen geeignet, da sie das einaugige Betrachren einer modellierten Szene simulieren. Zur Herstellung realistiseh wirkender Bilder konnen noeh folgende Tipps recht hilfreich sein (Abb . 2.21 und 2.22). Abb.2.21 Geneigte optische Achsen (Kamerastandpunkt und Kameraziel­punkt befinden sich auf unterschied­lichen Hohen) erzeugen stOrzende z-Kanten . Abb.2.22 Der Sehkegel und die Sehpyramide begrenzen den sichtbaren Bereich. o ,. sichtbarer Bereich sichtbarer Bereich Sehpyramide / ;; 42
  47. 47. Abb.2.23 Bilder einer Szene mit verschiedenen Sehpyramiden: Ein Winkel a kleiner als 30 Grad ergibt realistisch wirkende Bilder, wahrend Bilder mit grOBeren Wir sollten uns immer in Erinnerung rufen, dass die Kameraposition die Lage des Auges eines Betrachters fesdegt. Die Position des Augpunktes sollte daher vorzugsweise zwischen l.S und 2 m oberhalb der eben en Srandllache angenommen werden. • Die Wahl einer horizontalen optischen Achse 0lH1 bewirkt perspektive Bilder, in denen die z-parallelen Geraden als lotrechte, parallele Geraden erscheinen. Daher sollten Kamerastandpunkr und Kamerazielpunkt dieselbe z-Koordinate haben. • Falls der Kamerazielpunkt hoher liegt als der Kamerastandpunkt, so zeigt die opcische Achse OzHznach oben. Der Fluchtpunkt F,liegt daher oberhalb des Horizonts, und wir erhalten stiirzende z-parallele Kanrenbilder. • Liegt hingegen der Kamerastandpunkt 0 3hoher als der Kamerazielpunkt, so erhalten wir ebenfalls stiirzende z-Kanten, wobei in diesem Fall der Flucht­punkt F; unterhalb des Horizonts liegt. • Der sichtbare Bereich, den das menschliche Auge ohne Bewegen wahrneh­men kann, wird durch den so genannren Sehkegel begrenzt. Der Winkel a zwischen den Erzeugenden des Sehkegels und seiner Achse betragt beim Menschen etwa 30 Grad (Abb . 2.22) . Bei der Verwendung eines CAD-Systems oder einer Fotokamera tritt anstelle dieses Sehkegels eine Sehpyramide. Die meisten CAD-Systeme stellen Hilfsmittel bereit, die ein Anpassen der Sehpyramide erlauben. Wie in Abb. 2.23 illustriert, sollte man zur Herstellung realistisch wirkender Bilder die GroBe des Winkels a mit 30 Grad beschranken. Werten fOr a ungewohnt wirken. Allerdings kann dieser Effekt auch gezielt fOr kunstlerische Zwecke eingesetzt werden. a =30 0 I a =40 o I a= 50 o I a = 60 o 43
  48. 48. Erzeugung von optischen Illusionen. Bisher haben wir die Zentralprojektion eingesetzt, urn den dreidimensionalen Raum moglich sr realistisch auf einem Bild wiederzugeben. Allerdings kann man die Geserzmaliigkeiren der Perspektive auch nutzen, urn den optischen Sinn eines Betrachters bewusst zu tauschen. Die zugrunde liegende geometrische Idee zur Herstellung dieser optischen Tauschungen ist das Wissen, dass aIle Punkte, die aufdemselben Projektionsstrahl s liegen, in einen einzigen Bildpunkt abgebildet werden. Wahrend der letzten jahrhun­derte wurde diese Moglichkeit von Malern und Architekten haufig genutzt, urn auf ebenen Wanden oder Kuppeln das Vorhandensein von raumlichen Objekten tauschend echt zu simulieren. Ein eindrucksvolles Beispiel dafiir befindet sich in der Kirche des HI. Ignatiu s in Rom. Dort bernalte in den Jahren 1684 und 1685 Andrea Pozzo eine ebene Decke so, dass diese als perfekte dreidimensionale Kuppel erscheint (Abb. 2.24) . 44 "'
  49. 49. Abb.2.24 Nutzung der Eigenschaften der Zentralprojektion in der Architektur, im BOhnenbau und bei der StraBenmalerei. Die von Andrea Pozzo (1621-1685) gestaltete ebene Decke der Kirche des HI. Ignazius in Rom zeigt eine perfekte Scheinkuppel (links). 1m BOhnenbau wird die Perspektive benutzt, um gr5Bere BOhnenaufbauten vorzu­tauschen. Zu sehen sind zwei unterschiedliche Ansichten eines BOhnenmodells (Mitte) . Der KOnstler Julian Beever nutzt die Zentral­projektion recht kreativ beim Bemalen von Gehsteigen (unten). (Gehsteigbemalung : © Julian Beever) .
  50. 50. Betrachten wir einen Wlirfelund ein allgemeines Polyeder (Polyeder werden im Kapitel3 behandelt), die so zueinander liegen, dass jedes Paar zugeordneter Punkte aufje einem Projektionsstrahl durch den Augpunkt 0 liegt. In Abb. 2.25 (links) wird diesegegenseitigeLageanhand von Projektionsstrahlen durch die Punkte PI' Pzund P3 (auf dem Polyeder) und den WurfeleckpunktenQh 0. und 0 illustriert. In diesem Fallwerden beide Raumobjekte auf dasselbeBild abgebildet. Aus psychologischenGrunden erkennt das menschlicheGehirn regelmaBige Objekte (wie einen Wlirfel) leichter als unregelmaliige, Eine Person, die vom Punkt 0 aus in orthogonaler Richtung auf die Bildebene J"[ blickr,wird daher beim Betrachten der Bild6gurdavon ausgehen, dass es sich urn das Bild einesWlirfels und nicht urn das Bild eines allgemeinen Polyeders handelt, Aus der Abb. 2.25 (links) erkennen wir weiters,dass die Bildgeraden P IP2undQlQ2von je zweizugeordneten Raumgeraden P1PZundQIQZeinander im Fluchtpunkt F;schneiden. Ebenso sehen wir,dass die Geraden PZP3 undQz0 die Bildebeneim Fluchtpunkt F,schneiden. Abb.2.25 Wie man die menschliche Wahrneh­mung tauschen kann. Ein Betrachter, der vom Punkt 0 auf das allgemeine Polyeder blickt, meint einen WOrfel zu sehen (l inks). Der Polyeder aus der Sicht des Betrachters (Mitte) . Die Geometrie hinter den Stra13enmalereien von Julian Beever (rechts). 46 . . ~_r · · .. ·".··. :::::::~';;'::L ... 00 ~= Q ~ -::< ~:-: 'T::::-'~' .: ::::::: . Fy., .. , I ;... F. --01 i ;:;:::::...: ':':',,:, . 1 :.:... .:::::::::::::::::::::::.:.: ::.:..:..l 0-
  51. 51. In der Abb. 2.25 (rechrs) verwenden wir zwei verschiedene Bildebenen: eine lorrechte Ebene Jt (sie enthalt ein Bild der gewunschten Szene) und eine horizontale Ebene Jtl (z.B. die Oberflache eines Gehsteigs, der als Zeichenflache dient). Jeder Punkt R auf dem Projektionsstrahl OPhat dasselbe Bild R' = P' in der vertikalen Bildebene n; Daher erzeugt der SchnittpunkrP, des Projektionsstrahls OPmit der horizontalen Zeichenebene Jt 1 dasselbe Bild P' wie der Punkt P aufeinem realen Objekt. Yom geometrischen Standpunkt aus miissen wir zur Herstellung solcher StraBenmale­reien lediglich alle Punkte der gewiinschten Szene (in der lotrechren Bildebene n) in eine andere Ebene Jtl projizieren . Enrfernen wir dann die lorrechte Bildebene Jt und positionieren das Auge des Betrachters im Punkt 0, so glaubt der Betrachter die Originalszene zu sehen, wahrend er aufdas verzerrte Bild (blaue Linien) aufdem Gehsteig blickt. «o: 47
  52. 52. 48 ->:.'...~ I ,.... " ~ _...... ......' -- -- Fall-off-Bereich
  53. 53. Licht, Schatten und Rendering Der geschickte Einsatz der Zentralprojektion ist eine der wesentlichen Voraus­setzungen, um Architektur und Design in einer realistisch wirkenden Art und Weise prasentiercn zu konnen, Aber ohne geeignete Beleuchrung werden unsere modellierten Objekte nur "Bach" und nicht raumlich wirken . Fiir wirklich hervorragende Visualisierungen miissen wir uns daher mit verschiedenen Lichtarten und Bildwiedergabeverfahren beschaliigen. Da auch im deutschsprachigen Raum ansrelle von .Bildwiedergabe" iibllcherweise das Wort "Rendering" oder .Rendem" verwendet wird, benutzen wir es auch in diesern Buch. Lichtarten, Vom geometrischen Standpunkt aus betrachtet, sind die Parallel­beleuchtung (entferntes Licht) und die Zentralbeleuchtung (Punktlicht) die Gegenstiicke zur Parallelprojektion und zur Zentralprojektion. Diese Beleuchtungsmethoden weisen daher dieselben Eigenschaften aufwie die ihnen entsprechenden Projektionen. Abb.2.26 Beleuchtungen mit entferntem Licht, Punktlicht und Scheinwerfer erzeugen scharfe Schattenkanten. Abb.2.27 Spotlight Zusatzlich zu den geometrischen Eigenschaften miissen wir noch beriicksichtigen, dass bei Parallelbeleuchtung (Sonnenlichr) ein gleichmalSighelles Licht verwendet wird, wahrend bei Punktlichtern die Lichtstarke mit der Entfernung abnimmt (Abb. 2.26). ]e weiter das Objekt von der Lichtquelle entlernt liegt, desto weniger Licht ernpfangt es. Dieses graduelle Abnehmen der Lichrstarke, oft auch als Fading bezeichnet, wird von der Rendering-Software vereinfachr so simuliert, dass die Lichtstarke mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt, Beleuchtungen mit einem Scheinwerfer (Spotlight) sind eine Sonderform der Bcleuchtung mit einem Punktlicht. Im Gegensatz zum Punktlicht wird in diesem Fall nur ein durch einen Kegel begrenzter Bereich ausgeleuchtet. Diese Beleuchtung eignet sich daher hervorragend, wenn wir bestimmte Teile eines Objekts hervorheben wollen. Zusatzlich konnen wir bei einem Spotlight mit Hilfe eines weiteren, koaxialen Kegels den so genannten Fall-offBereich regeln . Innerhalb dieses Kegels haben wir die volle Lichtsrarke, wahrend sic aulSerhalb des Kegels gleichmalSigbis zum begrenzenden Lichtkegel hin abnimmt (Abb. 2.27) . 49
  54. 54. Schattengrenzen, die von einer einzelnen emfernten Lichtqueile oder einem Punktlicht erzeugt werden , sind sehr scharf (plotzlicher Obergang von voller Ausleuchtung zu absolute r Dunkelheit),Daher wirken Szenen mit nur einer dieser Lichtquellen nicht sehr realistisch. Urn dies zu vermeiden und urn einen sanfi:en Obergang von beleuchteten zu abgedunkelren Bereichen zu erzielen, setzen wir eine groBere Anzahl von Punkrlichtern bzw. Scheinwerfern ein, die wir nahe aneinan der positionieren. Diese Biindelanordnung von einzeln en Lichtern erzeugt zwar recht realistische Schatten, allerdings auf Kosten stark steigender Berechnungszeiten. Deshalb stellen Renderprogramme auch Lichrquellen wie Linien- und Fldcbenlichter zur Verfiigung, die auf der Idee der Biindelanordnung basieren. So kann beispielsweise das Lini enlicht als eine Menge von Punktlichrern aufgefasst werden, die hngs einer Strecke angeordnet sind . Diese regeimaBigverteilten Punktlichter senden dann Licht gleichformig in alle Richtungen aus (Abb. 2.28). Abb.2.28 Linien- und Flachenlichter konnen als Mengen von Spotlights aufgefasst werden, die langs einer Strecke oder innerhalb eines Polygons gleichmaBig verteilt sind.
  55. 55. Abb.2.29 Linien- und Flachenllchter werden haufig bei der Beleuchtung von Innenraumszenen eingesetzt. Platzieren wir die einzelnen Lichtquellen gleichmaBig innerhalbeinesebenen Polygons, so erhaltenwir das Modellfur ein Flachenlichr. Linien-und Flachenlichter sind hervorragendzumVisualisieren von Innenraumengeeignet, wo in der Realitar ublicherweise Leuchtsroffr6hren oder Lichtpaneele Verwendungfinden (Abb.2.29). ZweiweiterewichtigeLichtquellen, die jede Rendering-Software zur Verfugung stellt, sind das Umgebungslicht (ambient light) und das Blitzlicht (/lash light). Das Umgebungslichtdient dabei nur zum Verandernder Grundhelligkeit der Szene, wahrend das Blitzlicht ein spezielles Punktlicht isr,das genau in der Position der Kameraplatziert ist, Eine Anderung der Lichtstarkedes Blitzlichtserhellr bzw. verdunkelt nur jene Flachenreile, die von der Kameraposition aus sichtbar sind. Umgebungslichtund Blirzlichterzeugenkeine sichtbaren Schatten, siedienen lediglichzur Steuerungder Helligkeit der gesamtenSzene.
  56. 56. Render-Merhoden, Urn qualitativ hochwertige Bilder zu erzeugen, miissen wir unseren Objekren zusarzlich noch Texturen und Materialien zuweisen. Verschiedene Beleuchtungsmodelle, welche die Interaktion zwischen Licht und Oberilachen­beschaffenheit beschreiben, ermoglichen erst die Darstellung nanirlich wirkender Texturen. Diese Beleuchtungsmodelle berucksichtigen dabei zahlreiche geometrische und physikalische Fakroren, welche die Farbe jedes einzelnen Objektpunktes festlegen. Urn das natiirliche Verhalten des Lichts zu simulieren, miissen beispielsweise physikalische Effekte wie Reflexion, Transparenz oder Spiegelung in die marhe­matische Beschreibung der Beleuchtungsmodelle einllielsen . Diese marhernatischen Modelle versuchen mit minimalem Rechenaufwand die in der Realitat vorhandenen Lichtverhalmisse rnoglichst gut anzunahern. Eine tiefere Behandlung dieser Thernatik wiirde den Rahmen des Buches sprengen. Wir beschranken uns daher auf die Beschreibung einiger grundlegender Tatsachen. Im Wesentlichen unterscheiden wir zwischen lokalen undglobalen Beleuchtungs­modellen (Abb . 2.30). • Lokale Beleuchtungsmodelle beriicksichtigen nur die Interaktion zwischen Licht und Objekt. Sie sind einfache, aber gute Approximationen von ratsach­lichen Lichtverhaltnissen und werden daher fiir schnelle Bilddarstellungen mit konstanter Schattierung oder Phong-Schattierung (wirdim Folgenden erklart) eingesetzt. • Globale Beleuchtungsmodelle sind viel genauere Simulationen der Realitar. Sie beriicksichtigen physikalische Eigenschaften, die Interaktion zwischen Licht und Objekt sowie die Inreraktion zwischen den Objekten. Diese Modelle erlauben daher auch die Darstellung von Spiegelungs- und Licht­brechungseffekten. Sie schlieBen bei der Berechnung des Farbtons jedes einzelnen Objekrpunktes samrliche Objekte der dargestellten Szcne ein. Typische Render-Methoden, die aufglobalcn Beleuchtungsmodellen basieren, sind die als Raytracing bzw. Radiosity bezeichneten Verfahren. Aufgrund der Komplexitat der zugrunde liegenden mathemarischen Modelle ben6tigen diese Render-Methoden wesentlich mehr Rechnerleistung als jene, die lediglich auflokalen Beleuchtungsmodellen beruhen. 52 Abb.2.30 Lokale Beleuchtungsmodelle (wie konstante Schattierung, links) im Gegensatz zu globalen Beleuchtungs­modellen (wie Raytracing, rechts). Abb.2.31 Der Reflexionswinkel legt den Zusammenhang zwischen einem Lichtstrahl und einer Objektfacette fest. Lichtquelle
  57. 57. Abb.2.32 Polygonales Modell einer Kugel samt den Polygonnormalen. Abb. 2.33 Bei Verwendung einer punktf6rmigen Lichtquelle treten verschiedene Reflexionswinkel in jedem einzelnen Punkt einer Ebene auf. Urn die verschiedenen Meth oden zur Bildwiedergabe (Render-Methoden) zu verstehen, betrachten wir vorerst nur die lokale Interaktion zwischen einer Lichtquelle und einer einzelnen Facette eines Objekrs (Abb. 2.31).Wir studieren dazu die Reflexion eines einzelnen Lichtstr ahls I an einer Ebene n, Sei n eine Gerade durch den Punkt P,welche normal zur Ebene Jrsteht. Das aus der Physik bekannre Reflexion sgesetz besagt nun , dass der einfallende Licht strahl Z,der rellektierte Lichtstrahl Zund die Ebenennormale n in einer Ebene liegen. Weiters gilt, dass der Winkel zwischen Ieund n gleich grog wie der Winkel zwischen n und ITist. Sei nun s ein beliebiger Sehstrahl durch das Auge eines Betrachters. Dann bestimmt der Winkel zwischen ITund s die Inren sitat des reflektierenden Lichtstrahl s s, der in Richtung der Kamera verlaufi. Falls s und ITzusammenfallen, wird das Maximum an Licht zum Betrachter hin retlektiert, Berucksichrigr man nun diese Geserzmaiiigkeit und lasst man noch die Eigenschaften des verwendeten Materials einfliefen, so kann ein passender Farbton berechnet werden. Diese Farbe wird dann dem Objektpunkt P zugewiesen. Zur Vereinfachung des Berechnungsprozesses nehmen wir zusatzlich an, dass alle Raumobjekte durch polygonale Modelle mit ebenen Facetten reprasentiert werden (Abb. 2.32 ).Wie wir bereits gesehen haben, ist die Lage der Normalen n in Bezug zur Lichtquelle und zum Betr achter von entscheidender Bedeutung. Daher werden im ersten Schritt die Normalen samtlicher ebener Polygone berechnet. Anhand der Abbildung 2.33 erkennen wir, dass in verschiedenen Punkten einer einzelnen Facette der Winkel zwischen einfallendem Lichrstrahl und der Polygon­norm alen variieren kann , obwohl die Polygonnormalen in allen Flachenpunkren zueinander parallel sind. Folglich rellekt iert jeder Punkt der Flache den einfallenden Licht strahl in eine andere Richtung.Jed er Flachenpunkr scheint daher eine andere Farbe zu haben. ' " :4:. B·· .. 53
  58. 58. Die Berechnung der Farbe jedes einzelnen Punktes (Bildschirmpixel) der gesamten Szene ist daher auBerst komplex und zeiraufwandig, Daher miissen Vereinfachungen getroffen werden, urn brauchbare Resultate in angemessener Zeit zu erhalten. Je nach Art dieser Vereinfachung unterscheiden wir zwischen folgenden Render-Methoden: • Konstante Schattierung: Allen Punkten eines Polygons wird dieselbe Farbe zugeordnet. Bei diesem schnellen Algorithmus ist die Qualitat des Ergebnisses allerdings nicht iiberragend, da man die Rander der einzelnen Facetten recht klar erkennen kann: • Gouraud-Schattierung (Abb. 2.34): Die HelIigkeit des Lichts (Luminanz) wird in den Ecken des Polygons berechnet, und daraus werden die Farbwerte in diesen Punkten errnirtelr. Mit Hilfe eines linearen Interpolationsprozesses (siehe auch im Anhang "Geometrische Grundlagen") werden dann die Farbwerte fUrjeden Punkr (Pixel) einer Flachenfacerre berechnet. Dazu werden zunachst die Farbwerte langs der Kanten des Polygons interpoliert. Dabei andert sich beispielsweise langs der Kante DA die Farbe von Blau in Griin, und langs der Kante DBwechselt die Farbe graduell von Blau in Rot. Anschliefend wird mit Hilfe einer linearen Interpolation endang einer Scanlinie EF der Farbwert eines Flachenpunkres P ermittelt. Dieses Verfahren zur Berechnung der Farbwerte ist zeiraufwandiger als die konstante Schattierung, allerdings wird die ~alitat der resultierenden Bilder deutlich verbessert. Bei diesem Verfahren miissen die Normalen in den Ecken einer Flachenfacette ermittelt werden. Zur Erklarung dieses Vorgangs berrachten wir nochmals die Abbildung 2.34. In der EckeD treffen einander vier Facetten mit vier verschiedenen Flachennorrnalen. Urn einen glatten Obergang zwischen diesen Facetten zu erhalten, verwenden wir den Vektor n =1;4(n +n2+n3+n4)'der als arithmetisches Mittel aller beteiligten Vekroren berechnet wird. Abb.2.34 Gouraud-Schattierung: Ausgehend von den Farbwerten in den Ecken eines Polygons wird die Farbe eines jeden Punktes durch Iineare Interpolation ermittelt. Phong-Schattierung: Zuerst wird mit derselben linearen Interpolation aus den Normalen in den Polygonecken fOr jeden Flachenpunkt eine Normale berechnet. Erst dann wird der Farbwert im Punkt P mit Hilfe dieser Normalen ausgewertet. Prinzip der Gouraud-Schattierung Prinzip der Phong-Schattierung A 54 B
  59. 59. • Phong-Schattierung: Bei dieser Methode wird die line are Interpolation nicht auf die Farbwerte, sondern aufdie Flachennormalen selbst ausgeubt. Der Interpolationsprozess verlauft gleich wie bei der Gouraud-Schattierung mit dem Unterschied, dass wir nun im Flachenpunkt P einen interpolierten Normalvektor np erhalten. Mit Hilfe von np wird dann die Farbe des Flachen­punktes errnittelt. Dieser Algorithmus erfordert noch mehr Rechenleistung, liefert allerdings auch eine bessere Qualitat. Speziell bei der Verwendung von glanzenden Marerialien erzeugt die Phong-Schattierung rechr gute Ergebn isse bei relativ kurzen Rechenzeiten. In Abbildung 2.35 werden die Unterschiede und Grenzen dieser lokalen Schattie­rungsverfahren anhand eines einfachen geometrischen Objekts (Ringtorus) aufgezeigt. Diese einfachen Methoden liefem akzeptable Naherungen der Realitat, sie konnen aber keine physikalischen Effekte wie Spiegelung oder Lichtbrechung wiedergeben. Zur Erzeugung fotorealistischer Bilder miissen wir daher globale Methoden wie Raytracing oder Radio sity einsetzen. Das Raytracing-Verfahren(StrahlruckverfOlgung) basiert aufdem Scannen (Abtasten ) der Bildschirmpixel. Dabei werden durch jeden Punkt des Bildschirms (Pixel) Seh­strahlen durch den Augpunkt gelegt. Dann wird jeder dieser Sehstrahlen s durch die gesamte Szene solange zuriickverfolgt, bis er aufeine Lichtquelle triftt. Wahrend dieser Riickverfolgung wird jeder Lichtstrahl nach den Gesetzen der Physik in allen Schnittpunkten mit den Objekten an deren Oberflache retlektiert bzw. gebrochen reflektiert und dabei in diverse Teilstrahlen zerlegt (Abb. 2.36 ). Abb.2.35 Die Sildqualitat hangt vom Render­Verfahren abo Wahrend die konstante Schattierung mit wenig Rechenaufwand eher bescheidene Silder liefert, erzeugen Gouraud- und Phong­Schattierung recht brauchbare Silder auf Kosten erhohter Rechenzeit. Abb.2.36 Raytracing: Ein Sehstrahl 5 wird vom Auge zu den Lichtquellen ruckverfolqt, konstante Schattierung Gouraud­Schattierung Phong­Schattierung Augpunkt 0 Pixel 55
  60. 60. Die dabei entstehenden, neuen Teilstrahlen werden wie die Ausgangsstrahlen behandelt, Das heiEt, sie werden ebenfalls durch die gesamte Szene bis zu einer Lichtquelle zuriickverfoIgt und konnen dabei wieder in weitere Teilstrahlen aufgeteilt werden. Szenen mit vielen spiegelnden Objekroberflachen konnen dabei eine riesige Anzahl von Strahlen erzeugen, die von vielfachen Spiegelungen oder Lichtbrechungen herriihren. Das Raytracing-Verfahren ist daher auEerst rechenintensiv, erzeugt dafiir aber recht eindrucksvolle Bilder. Das Radiosity-Verfthren ist eine noch komplexere Methode zur Erzeugung photo­realistischer BUder. Die Rechenzeit steigt nochmals enorm an, da aufwandige mathematische Verfahren verwendet werden . Allerdings lohnt sich der Rechenaufwand speziell dann, wenn man diese Methode beim Rendern von Innenraumszenen einsetzt, urn auch diffuse Reflexionen darstellen zu konnen (Abb. 2.37). Wir haben uns hier nur mit den Grundlagen von Beleuchtungsmodellen und Render-Methoden beschattigt, Fiir ein intensives Studium dieser Thernarik verweisen wir aufdie einschlagige Literarur aus der Computergrafik. Raytracing 56 Radiosity Abb.2.37 Dieselbe Szene dargestellt mit dem Raytracing- und dem Radiosity­Verfahren. In der Szene wird nur ein einziges Flachenlicht (in Form eines Dreiecks an der Decke des Innen­raums) verwendet, um die Unter­schiede der beiden Render-Verfahren zu illustrieren . Mit Hilfe des Radiosity­Verfahrens gelingt es sogar, diffuse Reflexionen darzustellen . (Bilder mit freundlicher Genehmigung von Alexander Wilkie und Andrea Weidlich.)
  61. 61. v Normale und schiefe Axonometrie Die Moglichkeit, aussagekrafiige Skizzen freihandig zu zeichnen, ist fur jeden Designer und Architekten eine grofe Hilfe, da viele Designkonzepte und Designideen nur schwer mit Worten allein beschreibbar sind. Eine rasch erstellre Handskizze kann bei der Vermitdung dieser Designideen hilfreich sein. Die Beachtung der wenigen Eigenschaften einer Parallelprojektion, die wir am Beginn dieses Kapitels hergeleitet haben, reichen schon aus, urn allgemeine Ansichten von Raurnobjekten richtig skizzieren zu konnen, Gegeben seien jeweils dieVerzerrungsfaktoren vx' vyund Vz der drei Achsen x, y und z eines kartesischen Koordinatensystems sowie die Bilder x P,yP,zPdieser Koordinaten­achsen (Abb. 2.38 ). Mit dieser Angabe sind wir nun in der Lage, die Parallelrisse der Einheitspunkte EA1,0,0), Er(0, 1,0) und Ez (0,0,1) in der Zeichnung einzutragen. Legen wir nun durch die Bilder dieser Einheitspunkte achsenparallele Geraden, so erhalten wir den Parallelr iss eines Wtirfels mit der Kantenlange 1. Dieser Einheits­wurfel dient uns als visuelle Hilfe , urn festzusrellen , ob eine beliebig gewahlte Angabe auch cine brauchbare Ansicht liefert. Der Parallelriss eines allgemeinen PunktesQmit den Koordinaten xQ'yQund zQwird dann, wie in Abbildung 2.38 gezeigt, ermitrelt, Die Koordinaten von Qwerden mit den jeweiligen Verzerrungsfaktoren multipliziert und mit Hilfe achsenparalleler Geraden in das Bild eingetragen. Abb.2.38 Parallelriss eines allgemeinen Punktes QCO.512/2) . tz" E"z 0 " o ~E" " z" ~-~y" .... . ...... , .:-: " , oQ '" 57
  62. 62. Voter der Annahme, dass jede beliebige Wahl fur die Verzerrungsfaktoren und die Bilder der Koordinatenachsen zulassig ist, ermoglicht die se Konstrukrionsvorschrifi das richtige Einzeichnen eines jeden Punktes des dreidimensionalen Raums. Bei der Festlegung der Verzerrungsfaktoren und der Bilder x", y P und zP haben wir also eine vollkommen freie Wahl. Dennoch miissen wir uns im Klaren sein, dass eine ungeeignete Auswahl zwar ein geometrisch richtiges, aber visuell unbrauchbares Ergebnis liefern kann. Wir zeigen daher in Abbildung 2.39 einige gelaufige und brauchbare Annahmen fur die Verzerrungsfaktoren vx' vyund Vz sowie fur die Parallelrisse x",y P und z". vx= l ; vy=O.5; vz= l zP Beispiel: Parallelriss einer Uberdachung, Gege­ben sind Grund- und Aufriss einer ver­einfachren Oberdachung, die Parallelrisse des Koordinatensystems sowie die Verzer­rungsfaktoren (Abb. 2.40a). Wir begin­nen mit dem Einzeichnen des Achtecks in der xy-Ebene und berucksichtigen da­bei die Verzerrungsfaktoren sowie die Parallelitat gegenuberliegender Seiten. Abb.2.39 Gut gewahlte Vorgaben fOr die Verzerrungsfaktoren und fOr die Parallelrisse x", yP und z" der Koordinatenachsen erzeugen realistisch wirkende Bilder. 58 vx= l ; vy=O.75; vz= 1 z" vx=O.5; vy= l ; vz= l z" Abb. 2.40 Axonometrischer Riss eines verein­fachten Modells einer Oberdachung. (a) Gegeben sind Grund- und Aufriss der Oberdachung, das Koordinaten­system und die Verzerrungsfaktoren. (b) Konstruktion des Achtecks und der lotrechten Saulen. (c)Einzeichnen der Oberdachung. (d) Ermittlung der Verschneidung der Oberdachung mit einer quadratischen Pyramide. (e) Fertigstellung der Zeichnung.
  63. 63. Dann zeichnen wir die vertikalen Saulen ein (Abb. 2.40b). Verbinden wir nun die BilderdieserEndpunkte mit dem PunkrS, so erhalt en wir den Parallelriss der Ober­dachung (Abb. 2.40c). Nun wollen wir eine weitere, qua­dratische Pyramide mit dem Leitpol y­gan A,B,C,D konstruieren, welche die bereit sexistierende Oberdachungdurch­dringt (Abb. 2.40d). Wir wahlen eine (a) vx=O.5 vy= l v,= l 10 passende Hohe (1SEinheiten) und tragen den Parallelriss P der Pyramidenspitze in unserer Zeichnung ein. Die aultretenden Schnittkantcn konnen wir nun direkr im Bild konstruieren. Die Kamen AT und IS liegen in der­selben Ebene. Wir erhalten damit direkt den Schnittpunkt E. Die Seirenflache ABT der Pyramide schneidet die lot­rechte Ebene durch die Kame 2S langs (b) J .. .. .Z' . .J ~ . '#.. .. der Hilfsgeraden h. Mit Hilfe dieser Geraden errnitteln wir den Punkt G, den Schnittpunkt der Kame 2S mit der Pyra­rnide , Die restlichen Schnitrkanten und Schnittpunkte konnen nun in analoger Weise konstruiert werden. Alrernariv dazu konnen wir zur Fertigstellung der Konstruktion auch die Symmetrien des Objekrs ausnutzen (Abb. 2.40e). U'l ....,j " x , M y ' y" S9
  64. 64. Sichtbarkeit von Objekren. In den meisten Fallen skizzierenwir unsere Designideen und Raumobjekte so, dass wir sie von oben betrachten konnen (das hei/k wir sehen die Oberseite der xy-Ebene). Manchmal kann es aber auch n6tig sein, Zeichnungen zu erstellen, welche die Objekte von unten zeigen. In diesem Fall rniissenwir eine Ansicht erzeugen,welche die Unterseite der xy-Ebene zeigt. Bereitsdie Wahl der gegenseitigen Lageder Parallelrisse xP,yPund zPder Koordinaten­achsenx, y und z legt fest,von welcherSeite das abzubildende Objektzu sehen sein wird. Der Grund dafiir ist,dasswir bei der Herstellung unsererZeichnungen immer ein kartesisches Rechrskoordinarensysrern voraussetzen. Aus den Abbildungen 2Ala und b erkennen wir, dassbei einer Ansicht von oben (wenn wir die Oberseite der xy-Ebene sehen) die 90-Grad-Drehung der x-Achsein diey-Achseimmer im Gegenuhrzeigersinn erscheint. Andererseitserscheint dieselbeDrehung im Uhrzeigersinn,wenn wir die Unterseite der xy-Ebenebetrachten (Abb. 2.41c). Wir konnen daher eine einfache Regel zur Bestimmung der richtigen Sichtbarkeit herleiten . Fallsdie "kurzere" Drehung (Drehwinkel kleiner als 180 Grad) der x"-Achse in dieyP-Achse im Gegenuhrzeigersinn (diese Rotation wird als mathe­matisch positiv bezeichnet) verlaufi, dann sehen wir das Objekt von oben (Obersicht). 1mFalle einer Drehung im Uhrzeigersinn liegt eine Ansicht vor, die das Objekt von unten zeigt (Untersicht) .Wir konnen daher, nur durch Betrachten der Bilder der Koordinatenachsen, bereits feststellen, welche Ansicht vorliegt. Abb. 2.42 illustriert diese Regel anhand einiger Beispiele. (a) (b) (c) Abb. 2.41 Die gegenseitige Lage der Parallelrisse x", yP und z" legt fest, ob ein Objekt von oben (a, b) oder unten (c) gesehen wird. Abb.2.42 Obersicht und Untersicht. Obersicht Untersicht Untersicht Obersicht Obersicht 60

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