2. Definisi
Asumsikan A adalah suatu matriks bujur
sangkar, fungsi determinan, det(A) adalah
jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.
atau
Determinan ordo n ialah suatu skalar yang
terkait dengan sebuah matriks bujur sangkar
A yang berordo n.
Notasi :
det(A) atau |A| atau |aij|
Matematika 1
2
4. Minor & Kofaktor Determinan
Jika
A adalah suatu matriks bujur
sangkar, maka Minor elemen aij (Mij)
didefinisikan sebagai determinan submatriks yang masih tersisa setelah
baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan
Kofaktor elemen aij dinyatakan sebagai
kij = (-1)i+j Mij
Matematika 1
4
6. Beda Kofaktor & Minor
Kofaktor dan minor suatu elemen aij hanya
berbeda tanda. Jika pangkatnya genap maka
kij=mij, sebaliknya jika pangkatnya ganjil maka kij =
-mij. Lebih mudahnya apakah kofaktor bertanda +
atau – adalah menggunakan ’papan periksa’
sebagai berikut :
Matematika 1
6
8. Nilai Determinan
b). Ekspansi Laplace (n >= 3)
Nilai determinan adalah jumlah perkalian
elemen-elemen dari sebarang baris atau
kolom dengan kofaktor-kofaktornya.
Matematika 1
8
9. Contoh :
Dari soal sebelumnya,
Ekspansi Laplace baris ke – 1 :
Coba gunakan ekspansi Laplace pada barisbaris atau kolom-kolom yang lain, kemudian
bandingkan hasilnya!
Tips : Pilih baris atau kolom yang banyak
mengandung elemen nol.
Matematika 1
9
11. Sifat-Sifat Determinan
3). Nilai determinan menjadi k kali bila
dalam satu baris/kolom dikalikan
dengan k (suatu skalar).
Dari soal sifat 2), baris 1 dikalikan dengan 5
menjadi :
Matematika 1
11
12. Sifat-Sifat Determinan
4. det(A) = 0 jika 2 baris/kolom sebanding.
5.
Nilai determinan berubah tanda
baris/kolom ditukar tempatnya
Matematika 1
jika
12
dua
13. Sifat-Sifat Determinan
6). Nilai determinan tidak berubah jika baris/kolom
ke – i ditambah k kali baris/kolom ke – j.
Dari soal sifat 6), baris 1 ditambah 3 kali baris 2 :
7). Elemen sebuah baris/kolom memuat 2 buah
suku maka determinan tersebut dapat ditulis
sebagai jumlah determinan.
Matematika 1
13
14. Teorema
Jika
A adalah matriks segitiga n x n
(segitiga atas, segitiga bawah, atau
diagonal), maka det(A) adalah hasil kali
elemen-elemen diagonal utamanya,
yaitu det(A) = a11a22...ann .
Catatan
Untuk mempermudah perhitungan nilai
determinan, dapat menggunakan sifatsifat tersebut.
Matematika 1
14
16. Sifat-Sifat Lain
Jika A dan B adalah matriks bujur
sangkar dengan ukuran yang sama,
maka det(AB) = det(A) det(B).
Suatu matriks bujur sangkar ada
inversnya jika det(A) 0.
Jika A dapat diinverskan, maka :
Matematika 1
16
19. Sistem Persamaan Linier Berbentuk Ax = λx
Banyak aplikasi aljabar linier yang membahas
masalah sistem n persamaan linier dalam n
peubah yang dinyatakan dalam bentuk :
Ax = λx
{A matriks bujur sangkar, x vektor, dan λ suatu skalar}
Sistem ini merupakan sistem linier homogen
tersamar, karena dapat ditulis ulang sebagai :
Ax = λx
Ax – λx = 0 atau dengan
menyelipkan matriks identitas dan memfaktorkannya :
(A - λI )x = 0
*)
Matematika 1
19
21. Yang Menarik?
Masalah utama yang menarik dalam sistem linier *)
adalah menentukan nilai-nilai λ di mana sistem tersebut
mempunyai suatu penyelesaian tak-trivial. Nilai λ disebut
suatu nilai karakteristik atau nilai eigen dari A. Maka
penyelesaian tak trivial dari *) disebut vektor eigen dari A
yang berpadanan dengan λ.
Sistem (A - λI )x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial
jika dan hanya jika :
disebut persamaan karakteristik
Catatan : eigen value, campuran bahasa Jerman &
Inggris, yang berarti nilai yang tepat atau akar laten atau
akar ciri.
Matematika 1
21
26. Definisi
Himpunan
skalar dari bilangan real/
kompleks yang disusun dalam empat
persegi panjang menurut baris/kolom.
Matematika 1
26
27. Operasi Matriks
Penjumlahan (syarat : ordo sama)
Perkalian skalar dengan matriks
Perkalian matriks
(syarat : jumlah kolom matriks-1 = jumlah
baris matriks-2)
Matematika 1
27
28. Hukum-Hukum
1. A(B + C) = AB + AC
2. (A + B)C = AC + AB
3. A(BC) = (AB)C
4. AB BA
5. AB = 0
6. Jika AB = AC
atau B = C
H. Distributif I
H. Distributif II
H. Asosiatif
general
tidak harus A = 0 atau
B = 0 atau A & B nol.
belum tentu AB = AC
Matematika 1
28
35. Jenis-Jenis Matriks Yang Lain
Matriks Bidiagonal Atas
Matriks Bidiagonal Bawah
Matriks Tridiagonal
Matriks Hermitian
Matriks Singular
dll.
Matematika 1
35
36. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Metode grafis ( maksimum 3 variabel)
Eliminasi
Subtitusi
Determinan
Eliminasi Gauss
Gauss-Jordan
Gauss-Seidel
Dll.
Matematika 1
36
37. Operasi Dasar
Operasi Dasar Persamaan
Operasi Dasar Baris
Pertukaran tempat dua persamaan
Perkalian persamaan dengan konstanta bukan nol
Penjumlahan kelipatan persamaan yang satu ke
persamaan lain
Pertukaran tempat dua baris
Perkalian baris dengan konstanta bukan nol
Penjumlahan kelipatan baris yang satu dengan yang lain.
Juga disebut Operasi Baris Elementer (OBE)
Matematika 1
37
38. Rank (Pangkat) Matriks
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam
suatu matriks
Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom yang
bebas linier dalam suatu matriks
Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar
suatu matriks yang determinannya tidak nol.
Matematika 1
38
39. Kebebasan dan ketidakbebasan linier
Bebas
linier jika p baris mempunyai rank p.
Tidak bebas linier jika rank < p.
Matematika 1
39
40. Solusi Sistem Persamaan Linier
Tidak
mempunyai solusi jika matriks A dan
matriks augmented A mempunyai rank yang
sama.
Solusi tunggal, jika rank-nya sama dengan
jumlah variabel ( r = n).
Jika r < n maka sistem mempunyai solusi tak
berhingga.
Jika solusi ada maka dapat diselesaikan
dengan Eliminasi Gauss.
Matematika 1
40
41. Penerapan
Soal-soal terapan H. Kirrchoff I dan II ( T.
Elektronika)
Transformasi Linier
Curve Fititing (Interpolasi & Regresi Linier)
Markov Chains
Programa Linier
Assignment (Penugasan)
Database
Analisis Komponen Utama (termasuk Trans.Linier)
Catt. Lebih detail akan dijelaskan di mata kuliah
Aljabar Matriks.
Matematika 1
41
42. Eliminasi Gauss
Eliminasi
Gauss merupakan pengembangan
dari dari cara eliminasi, yaitu menghilangkan
atau mengurangi jumlah variabel sehingga
dapat diperoleh nilai dari suatu variable
bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak
dikenal. Untuk menggunakan metode
eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk
matrik diubah menjadi augmented matrik .
Matematika 1
42
68. Definisi Fungsi
Suatu
fungsi f dari X ke Y adalah suatu
aturan di mana setiap anggota dari X
menentukan dengan tunggal satu anggota
dari Y.
Secara matematis :
Matematika 1
68
69. Pengertian
X
dibawa ke f(x), maka y = f(x) didalam Y
dinamakan peta (image) dari x atau
dinamakan harga fungsi f di x.
Sebaliknya himpunan x di dalam X yang
petanya adalah y elemen Y dinamakan peta
invers (invers image) dari y, simbol f-1(y).
Matematika 1
69
70. Catatan
Fungsi
tidak lain adalah pemetaan
(mapping).
Peta invers mungkin bisa lebih dari satu
elemen.
Matematika 1
70
71. Hasil
Ganda Kartesis
Himpunan semua pasangan-pasangan
berurutan atau ordered pairs (x,y) dengan x
elemen X dan y elemen Y.
Contoh :
X = {x1,x2} dan Y = {y1, y2,y3}
X x Y = {(x1,y1), (x1,y2), x1,y3)
(x2,y1), (x2,y2), (x2,y3)
(x3,y1), (x3,y2), (x3,y3)}
Matematika 1
71
73. Grafik Fungsi
Grafik fungsi suatu f
dari X ke Y ialah
himpunan pasanganpasangan berurutan (x,
f(x)) dengan x berjalan
pada X (x elemen X)
dan f(x) berjalan pada
Y (f(x) elemen Y)
Matematika 1
y = f(x)
50
40
30
Y
20
10
0
0
10
X
73
74. Variabel Bebas dan Tak Bebas
Variabel
x dalam pasangan berurutan (x,y)
disebut variabel bebas (independent variable)
atau argumen dari f, sedangkan y dinamakan
variabel tak bebas (dependent variable).
Dalam pemakaian, domain dari variabel
disajikan dengan interval ( himpunan bagian
dari himpunan real).
Interval : buka, tutup-buka, buka-tutup, tutup.
Matematika 1
74
80. Pemanasan
3x + 2x − 1
Jika f ( x ) = 2
x + 3x + 2
2
Tentukan :
( A ) xlim3 f ( x )
→−
(B ) xlim1 f ( x )
→ −
(C) lim f ( x )
x→ 2
Matematika 1
80
81. Definisi
f(x)
dikatakan mempunyai limit L untuk
x x0, bila setiap bilangan positif h yang
diberikan, dapat ditunjukkan bilangan positif δ
sedemikian hingga untuk semua harga x
yang memenuhi 0 < |x – x0| < δ berlaku
|f(x) – L| < h.
Pernyataan 0 < |x – x | < δ berarti untuk
0
semua x yang memenuhi x0 – δ < x < x0 + δ.
Matematika 1
81
86. Kontinuitas
Fungsi
f(x) adalah kontinu di titik x = x0 jika
limit kiri dan limit kanan dari f(x) adalah
sama.
Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x , bila
0
untuk setiap h > 0 dapat dicari bilangan
positif δ sedemikian hingga |f(x) – f(x0)| < h
untuk |x – x0| < δ atau x0 – δ < x < x0 + δ.
Matematika 1
86
99. Bagaimana
Contoh
jika fungsinya lebih dari dua?
:
y = uvw
y = uv/w
y = u/vw
y = tu/vw
Dll.
di mana t, u, v, w adalah fungsi dalam x.
Solusi
: memakai turunan logaritmik (natural)
Matematika 1
99
102. Fungsi Implisit
Jika
y terdefinisi sepenuhnya oleh x maka y
disebut fungsi eksplisit dari x.
Contoh :
y = x4 – 3x2 + 1
Y = 3x2 + cos x
Kadang
tidak dapat/tidak perlu y dipisah
sendiri, maka y disebut fungsi implisit dari x.
Contoh :
y = xy + sin y – 2
x2 + 2xy + 3y2 = 4
Matematika 1
102
105. Titik Balik (maks/Min)
Macam-macam
:
Titik maksimum
Titik minimum
Titik belok
Titik
balik : turunan pertama = nol
Turunan kedua :
Negatif titik maksimum
Positif titik minimum
Nol
titik belok
Matematika 1
105
109. Turunan Parsial
Misal z = f(x,y) = x2-4xy+y3
Variabel x dan y merupakan fungsi dari variabel z
Variabel z bergantung pada variabel x dan y
Variabel z dipengaruhi oleh variabel x dan y
Bagaimana perubahan z terhadap x jika y konstan?
∂z
= 2x − 4 y
∂x
Bagaimana perubahan z terhadap y jika x konstan?
∂z
= −4 x + 3 y 2
∂y
Bagaimana perubahan z thd y, kemudian thd x
∂2 z
∂ ∂z ∂
= = ( − 4 x + 3 y 2 ) = −4
∂x∂y ∂x ∂y ∂x
Matematika 1
109
110. Soal-soal
∂w ∂w ∂w d 2 w ∂ 2 w d 3 w
Tentukan
,
,
,
,
,
∂x ∂y ∂z ∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y∂z
( x 2 − 4 xy )
w=
z3
( x 2 − 4 xy 2 ) 3
w=
z3
4 xy 2 3
(x −
) (3 x + 2 yz )
z
w=
yz 3
2
Tentukan nilai a dan b berdasarkan informasi
data sampel berpasangan (x,y).
n
E = ∑ ( y i − a − bx i ) 2
i =1
Matematika 1
110
114. Contoh
1 5x
∫ e dx = 5 e + c
∫ 2 sinh xdx = 2 cosh x + c
4 7
∫ 4 x dx = 7 x + c
5
∫ x dx = 5 ln x + c
5x
6
x
5
∫ 5 dx = ln 5 + c
x
∫
Matematika 1
1
2
3
2
2
x dx = ∫ x dx = x + c
3
114
