Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Resume conceitos como multiplicação de matrizes, determinantes de matrizes quadradas e resolução de sistemas lineares através de igualdades matriciais.

1. MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
01) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a 2 x 3, 3 x 4 e 4 x 2, então (A . (B . C)) 2 tem
ordem
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 12
SOLUÇÃO
REGRA: Para multiplicar matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de
linhas da segunda matriz, ou seja:
B 3 x 4 .C 4 x 2 = (BC )3 x 2 ⇒ A2 x 3 .(BC )3 x 2 = [ A(BC )]2 x 2 cujo quadrado também é de mesma ordem
RESPOSTA: A
1 1 2
02) Se A =   , então A é a matriz
− 1 − 1
1 1
a)  
− 1 − 1
0 0
b) 
0 0

1 1
c) 
1 1

− 1 − 1
d) 
1 1
 2 2
e)  
 − 2 − 2
SOLUÇÃO
1 1 1 1   1−1 1 −1  0 0
A2= A x A ⇒  .− 1 − 1 = − 1 + 1 − 1 + 1 ⇒  0 0 
 
− 1 − 1      
RESPOSTA: B
 1 + 0 + 0  1
03) Na igualdade matricial  x + 2 + 0  = 1
  
 y + 2 x + 3 1
  

2. o valor de x + y é:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
SOLUÇÃO
 1 + 0 + 0  1
 x + 2 + 0  = 1 x + 2 = 1 ⇒ x = 1 − 2 = −1 ⇒ x = −1 y + 2x + 3 =1 ⇒ y + 2(-1)+3=1
  
 y + 2 x + 3 1
  
y – 2+3=1 ⇒ y = −2 + 2 = 0 ⇒ y = 0 Logo, x + y = -1
RESPOSTA: B
04) O diagrama abaixo representa uma mapa rodoviário, mostrando as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3
e 4.
[ ]
A matriz A = aij 4 x 4 associada a este mapa é definida da seguinte forma:
a ij = 1 se i está ligada diretamente a j
a ij = 0 se i = j ou i não tem ligação direta com j . Sabendo que i, j referem-se às cidades do mapa e variam
no conjunto { ,2,3,4} , assinale a alternativa incorreta
1
a) a ij = a ji
b) a 21 = a 23 = a 24
c) a ii = 0
d) a ij + a ji = 1
e) a ij ≥ 0
SOLUÇÃO
Trata-se de uma questão sobre composição de matrizes.
 a11 a12 a13 a14  0 1 0 0
a   1
A=  21 a 22 a 23 a 24  conforme os dados, teremos: 1 0 1 
 a31 a32 a33 a34  0 1 0 1
   
a 41 a 42 a 43 a 44  0 1 1 0
Analisando as alternativas verificamos que aij = a ji , então
aij + a ji ≠ 1
RESPOSTA: D

3. 05) Considere as afirmativas
I - Uma matriz de ordem 3 x 4 jamais admitirá inversa
II – Nem toda matriz quadrada tem determinante
III- A transposta de uma matriz linha é uma matriz coluna
Está errada/ estão erradas
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
d) apenas I e II
e) apenas II e III
SOLUÇÃO
Afirmativa I é correta pois somente as matrizes quadradas, cujo determinante é diferente de zero, admitem a
matriz inversa
Afirmativa II é errada pois todas as matrizes quadradas tem determinante
Afirmativa III é correta pois a matriz transposta é obtida trocando-se, ordenadamente as linhas pelas colunas
RESPOSTA: B
2 3 
06) Sendo A = 1 − 4, em relação ao determinante da matriz transposta de A, podemos afirmar que
 
0 2 
 
a) vale 9
b) vale –9
c) vale 0
1
d) vale -
9
f) não existe
SOLUÇÃO
2 1 0
Calculando-se a transposta da matriz dada teremos: A t =   .Conforme sabemos, somente as
 3 − 4 2
matrizes quadradas admitem determinante. Como a transposta de A não é quadrada, o determinante para ela
não existe.
RESPOSTA: E
1 − 1 2 
07) A matriz A de ordem 3, é definida na forma aij = 2i − j . Se a matriz B é igual a 0 − 1 1 , a soma
 
3 1 2
 
dos elementos da diagonal principal da matriz C = A . B é
a) 10
b) 12
c) 14
d) –12
e) –26

4. SOLUÇÃO
Inicialmente devemos compor a matriz A
 a11 a12 a13  1 0 − 1
A = a 21 a 22 a 23  = 3 2 1  Substituindo-se em C = A . B teremos:
   
 a31 a32 a33  5 4 3 
   
1 0 − 1 1 − 1 2 1.1 + 0.0 + (−1).3 1.(−1) + 0.(−1) + (−1).1 1.2 + 0.1 + (−1).2
C= 3 2 1 .0 − 1 1  ⇒  3.1 + 2.0 + 1.3 3.(−1) + 2.(−1) + 1.1 3 .2 + 2 .1 + 1 .2  ⇒
   
5 4 3  3 1 2
    5 .1 + 4 .0 + 3 .3
 5.(−1) + 4.(−1) + 3.1 5 .2 + 4 .1 + 3 .2 
− 2 − 2 0 
C =  6 − 4 10  . Somando-se os elementos da diagonal principal, teremos: (-2) + (-4) + 20 = 14
 
 14 − 6 20
 
RESPOSTA: C
−1 2 3   3 4
08) Sendo A = 
 4 − 5 − 6  , B =  2 1  e sendo a matriz C o resultado do produto matricial B x A,
  
   
então o elemento de maior valor absoluto dessa matriz é
a) C 13
b) C 12
c) C 11
d) C 21
e) C 23
SOLUÇÃO
Fazendo-se o produto C = A x B teremos:
 3 4  −1 2 3   3(−1) + 4.4 3.2 + 4(−5) 3.3 + 4(−6)  13 − 14 − 15 
C=  .
 2 1  4 − 5 − 6  ⇒ C=   2(−1) + 1.4 2.2 + 1(−5) 2.3 + 1(−6)   ⇒ C=   2 −1 
      0  
Para achar o valor absoluto devemos considerar o valor do elemento independentemente do sinal, logo o
algarismo de maior valor absoluto é o –15 localizado na primeira linha e na terceira coluna, ou seja C 13
RESPOSTA: A
a b  1+ log 2 3
09) Seja a matriz A =  , em que a = 2 , b = 5 log5 25 , c = log 3 27 e d = log 2
32 . Uma matriz real
c d 
B, quadrada de ordem 2, tal que A . B é igual a matriz identidade de ordem 2, é:
 1 5  1 5  1 5
 − − 9
a)  15 18  b)  18   
c) 15 18 
1 1  1 1 1 1
−   −   
 15 9   15 15  15 9 

5. 6 25 5 5
d)   e)  
6 10  10 25
SOLUÇÃO
a = 21+ log 2 3 ⇒ a = 2 log 2 2+ log 2 3 ⇒ a = 2 log 2 ( 2.3) ⇒ a = 2 log 2 6 ⇒ a = 6
b = 5 log5 25 ⇒ b = 25
c c
c = log 3 27 ⇒ 27 = 3 ⇒ 33 = 3c 2 ⇒ 3 = ⇒ c = 6
2
d
d = log 2 32 ⇒ 32 = 2 d ⇒ 2 5 = 2 d 2 ⇒ 5 = ⇒ d = 10
2
6 25 x y
Logo, a matriz A será igual a: A =   . Consideremos a matriz B =   . Considerando-se o
6 10  z k 
enunciado A . B = I 2 , teremos:
6 25  x y  1 0 6 x + 25 z 6 y + 25k  1 0
6 10 . z k  = 0 1 ⇒  6 x + 10 z 6 y + 10k  = 0 1 . Fazendo-se a propriedade de igualdade de
        
matrizes fica:
6 x + 25 z = 1 6 y + 25k = 0 1 5 1
 e  . Resolvendo-se os sistemas teremos: x = - , y = ,z= e
6 x + 10 z = 0 6 y + 10k = 1 9 18 15
 1 5 
1 − 9 18 
k = - . Então, a matriz B = 
15 1 1
 − 
 15 15 
RESPOSTA: B
x y 1 z 
 , B = 0 z  e A.B = B , então x + y + z é
t
10) Se A = 
1 0   
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
SOLUÇÃO
 x + 0 xz + yz   x z ( x + y )
 = B ⇒ B = 1
t t
Fazendo-se o produto entre A e B, teremos:  . Aplicando-se a
1 + 0 z+0   z  
x = 1
 z( x + y) = 0
1 0   x z ( x + y )  
igualdade de matrizes, teremos:   = 1  ⇒ z = 1 , logo, substituindo valor de z em
z z  z  
z = z

z (x + y ) = 0 ⇒ 1.( x + y ) = 0 ⇒ x + y = 0
x+y+z=0 +1 ⇒ x+y+z=1
RESPOSTA: B

6. [ ]
11) Sendo A = aij uma matriz quadrada de ordem 2, com aij = j 2 − 2i , e B = bij [ ] 2x2
onde bij = 2 − i + j ,
então:
a) det ( A + B ) = −9
b) det ( A + B ) = 11
c) det ( A + B ) = 24
d) det ( A + B ) = −10
e) det ( A + B ) = 10
SOLUÇÃO
a a12 
Construindo-se a matriz A, teremos: A =  11 ⇒ a 11 = 12 − 2.1 = −1 ; a 12 = 2 2 − 2.1 = 2
a 21 a 22 

 − 1 2
a 21 = 12 − 2.2 = −3 ; a 22 = 2 2 − 2.2 = 0 ⇒ A= 
− 3 0
Construindo-se a matriz B, teremos: B = ⇒ b 11 = 2 −1+1 = 1 ; b 12 = 2 −1+ 2 = 2
1  1 2
b 21 = 2 − 2+1 = ; b 22 = 2 −2+ 2 = 1 ⇒ B =  
2 0,5 1
 0 4
Somando-se os elementos correspondentes de A e B fica: A + B =  ⇒
− 2,5 1
0 4
det ( A + B ) = = 0.1 − 4.(− 2,5) ⇒ det ( A + B ) = 10
− 2,5 1
RESPOSTA: E
x + y 1  3 1
12) Dadas as matrizes A =   e B = − 5 − 1 , calcule x e y de modo que A = B
 − 5 x − y  
a) x = 1 e y = 2 b) x = -1 e y = -2 c) x = -2 e y = 1 d) x = y = 2 e) x = y = 1
SOLUÇÃO
Igualam-se os elementos correspondentes e após forma-se um sistema de equações
x + y = 3
 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1 ; 1 + y = 3 ⇒ y = 2
 x − y = −1
RESPOSTA: A
13) Os elementos da diagonal principal da matriz A = aij são tais que:
a) i ≠ j b) i π j c) i ≤ j d) i φ j e) i = j
SOLUÇÃO
RESPOSTA: E
14) Se A é uma matriz do tipo m x n, e se B é uma matriz do tipo p x m, então o produto B.A é

7. a) não existe b) é de ordem p x n c) é de ordem n x p
d) é de ordem m x n e) nenhum resultado
SOLUÇÃO
REGRA: Para multiplicar matrizes o número de colunas da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª matriz
B.A=pxn
RESPOSTA: B
15) Sabendo que os produtos das matrizes A e B é tal que AB = I 2 , podemos afirmar que:
a) A 2 x 3 e B 3 x 2
b) A 2 x 2 e B 2 x 2
c) A 2 x1 e B 1x 2
d) todas as opções acima estão corretas
e) nenhuma resposta certa
SOLUÇÃO
1 0
I2=  
0 1 
RESPOSTA: D
16) Para que seja possível efetuar o produto de uma matriz A 2 x 4 por uma matriz B (m +1)xm
a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) -3
SOLUÇÃO
Regra: Para multiplicar matrizes é necessário que o número de colunas da 1ª matriz seja igual ao número de
linhas da 2ª.
4 = m + 1 ⇒ 4 −1 = m ⇒ m = 3
RESPOSTA: D
2 1   − 1 2
17) Dadas as matrizes A =   e B =  0 1 , o determinante da matriz A . B é
1 − 2   
a) –7 b) –5 c) 3 d) 4 e) 5
Obs.: Devemos efetuar o produto e após calcular o determinante
− 2 + 0 4 +1 − 2 5 −2 5
A.B=  = ⇒detA.B = = 0 − (− 5) = 5
 −1+ 0 2 − 2 −1 0
  −1 0
RESPOSTA: E
18) Dadas as matrizes

8. 2 m n  4
A=   , B = 1  e C = 0 , e sabendo que A . B = C, podemos concluir que:
1 4     
m
a) m + n = 10 b) m – n = 8 c) m . n = -48 d) =3 e) m n = 144
n
SOLUÇÃO
 2 m   n   4  2n + m   4 
1 4 .1  = 0 ⇒  n + 4  = 0 Através da igualdade formamos um sistema de equações
        
 2n + m = 4
 Substituindo-se o valor de n na 1ª equação, teremos 2 . (− 4 ) + m = 4 ⇒
 n + 4 = 0 ⇒ n = −4
− 8 + m = 4 ⇒ m = 12 Logo, fica m.n = 12.(− 4 ) = −48
RESPOSTA: C
1 3 
19) Para que a matriz B =   admita inversa, x deverá ser
2 x 
a) = -6 b) = 6 c) ≠ 6 d) ≠ −6 e) ≠ 0
SOLUÇÃO
REGRA: Para uma matriz admitir inversa ⇒ determinante tem que ser diferente de zero (∆ ≠ 0 )
1 3
≠ 0 ⇒ 1.x − 3.2 ≠ 0 ⇒ x − 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ 6
2 x
RESPOSTA: C
 2 1   x   − 1
20) Se  − 1 5 . y  =  2 , então x + y é igual a:
   
    
4 2 1 2 3
a) - b) - c) - d) e)
11 11 11 11 11
SOLUÇÃO
Fazendo-se o produto, formamos um sistema de equações, ou seja:
2 x + y = −1
 Multiplicando-se por 2 a segunda equação teremos:
− x + 5 y = 2(.2)
2 x + y = −1 3
 Anulando-se os termos em x, fica: 11y = 3 ⇒ y = . Substituindo-se o valor de y
− 2 x + 10 y = 4 11
3 15 7 7
na 2ª equação, teremos: -x + 5y = 2 ⇒ -x = 2 – 5 .   ⇒ - x = 2 - ⇒ -x= . (− 1) ⇒ x = -
 11  11 11 11
7 3 4
Conclusão: x + y = - + = −
11 11 11

9. RESPOSTA: A
2 x + ky − 4 z = 0

20) Para que o sistema linear − x − y − z = −1 tenha solução, K não pode ser
− 2 x + 2 y + 2 z = −6

a) 0 b) –4 c) 4 d) –12 e) 12
SOLUÇÃO
Regra: Sistema com solução ⇒ ∆ ≠ 0 (Lembrar que ∆ é formado pelos coeficientes das variáveis)
2 k −4 2 k
∆ = −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 2 −1 2
⇒ ∆ = 2.(− 1).2 + k .(− 1).(− 2 ) + (− 4 )(− 1).2 − (− 4 )(− 1)(− 2 ) − k .(− 1).2 − 2.(− 1).2 ⇒ ∆ = −4 + 2k + 8 + 8 + 2k + 4 ⇒
. . .
∆ = 4k + 16 ≠ 0 ⇒ k ≠ −4 . Concluímos então que K não pode ser –4
RESPOSTA: B
x + y + z = 2

21) A solução do sistema linear 2 x − 3 y − 2 z = 2 é uma terna ( x, y, z ). O valor de x 2 + y 2 + z 2 é
− x + 2 y + 2 z = 1

a) 14 b) 6 c) 2 d) 8 e) 3
SOLUÇÃO
REGRAS: 1ª) Calcula-se inicialmente o determinante principal ( ∆ ) que é formado pelos coeficientes das
incógnitas
2ª) Calculam-se os determinantes das incógnitas (∆x, ∆y, ∆z )
1 1 1 1 1
∆ = 2 − 3 − 2 2 − 3 ⇒ ∆ = −6 + 2 + 4 − 3 − 4 + 4 = −3
−1 2 2 −1 2
2 1 1 2 1
∆x = 2 − 3 − 2 2 − 3 ⇒ ∆x = −12 − 2 + 4 + 3 − 4 + 8 = −3
1 2 2 1 2
1 2 1
∆y = 2 2 − 2 ⇒ ∆y = 4 + 4 + 2 + 2 − 8 + 2 = 6
−1 1 2
1 1 2
∆z = 2 − 3 2 ⇒ ∆z = −3 − 2 + 8 − 6 − 2 − 4 = −9
−1 2 1
−3 6 −9
= 3 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 12 + (− 2) + (3) =
2 2
Então, teremos: x = = 1, y= = −2 z=
−3 −3 −3

10. 1 + 4 + 9 = 14
RESPOSTA: A
x + 3 y − 2z = 5

22) Para que o sistema de equações 2 x − y + 2 z = 0 seja incompatível, n deve ser
3 x + 2 y − nz = 0

a) igual a zero b) diferente de zero c) igual a 2 d) diferente de 5 e) igual a 5
SOLUÇÃO
REGRA: Sistema incompatível ⇒ determinante (∆ ) igual a zero
1 3 −21 3
2 − 1 2 2 − 1 = 0 ⇒ n + 18 − 8 + 6 + 6n − 4 = 0 ⇒ n = 0
3 2 −n 3 2
RESPOSTA: A
23) Para que o sistema abaixo seja compatível e determinado, m deverá ser
x + y − z = 4

2 x + 2 y + mz = 8
4 x + my = 15

a) ℜ b) –2 e 4 c) ℜ − {− 2,4} d) ℜ − {− 4,2} e) ℜ ∗
SOLUÇÃO
REGRA: Sistema compatível e determinado ⇒ Determinante ( ∆ ) ≠ 0
1 1 −1
2 2 m ≠ 0 Aplicando-se a Regra de Sarrus teremos:
4 m 0
1.2.0 + 1.m.4 + (− 1).2.m − (− 1).2.4 − 1.2.0 − 1.m.m ≠ 0 ⇒ 4m − 2m + 8 − m 2 ≠ 0 ⇒ − m + 2m + 8 ≠ 0
⇒ m 2 − 2m − 8 ≠ 0 Usando a fórmula de Baskara obteremos: m ≠ 4 e m ≠ −2
RESPOSTA: C
24) O sistema x - y = 2
2x +my=4 terá uma única solução
a) somente para m = -2 b) somente para m = 4 c) para qualquer m real
d) somente para m = 0 e) para qualquer m ≠ −2
SOLUÇÃO
REGRA: Sistema com uma única solução refere-se a um sistema possível e determinado ⇒ det ≠ 0

11. 1 −1
≠ 0 ⇒ m + 2 ≠ 0 ⇒ m ≠ −2
2 m
RESPOSTA: E
25) Dado o sistema de equações lineares
x + y + z = β

 x − y + αz = 1
 x − y − z = −1

com α , β ∈ ℜ , então,
a) Se α ≠ −1, o sistema é possível e determinado
b) Se α = −1 e β ≠ 1 , o sistema é possível e determinado
c) Se α ≠ −1, o sistema é impossível
d) Se α ≠ −1 e β = 1, o sistema é possível e indeterminado
e) Se α = −1 e β = 1, o sistema é possível e determinado
SOLUÇÃO
REGRA: Sistema possível e determinado ⇒ determinante diferente de zero ( ∆ ≠ 0 )
1 1 1 1 1
1 − 1 α 1 − 1 ⇒ 2α ≠ −2 ⇒ α ≠ −1
1 −1 −11 −1
RESPOSTA: A
26) O sistema  2 x + 6 y = 10 será indeterminado se m for igual a

 mx + 9 y = 15
a) –2 b) 0 c) 2 d) 3 e) 6
SOLUÇÃO
REGRA: Sistema indeterminado ⇒ determinante igual a zero (∆ = 0 )
2 6
= 0 ⇒ 18 − 6m = 0 ⇒ 6m = 18 ⇒ m = 3
m 9
RESPOSTA: D
27) As ternas ordenadas (x1 , y1 , z1 ) e (x 2 , y 2 , z 2 ) são soluções distintas do sistema
 x + ay + bz = 0

ax + y + bz = 0
− x + y + z = 0

Então, o valor absoluto de a é
a) a b b) a c) b d) 1 e) 0

12. SOLUÇÃO
O enunciado nos dá um sistema homogêneo (termos independentes todos nulos). Tendo mais de uma solução
estamos diante de um sistema indeterminado, logo , o determinante principal é nulo.
1 a b
a 1 b = 0 ⇒ 1 − ab + ab + b − a 2 − b = 0 ⇒ 1 − a 2 = 0 ⇒ a 2 = 1 ⇒ a = ±1 Logo a = 1
−1 1 1
RESPOSTA: D
28) A condição necessária e suficiente para que o sistema linear sobre
3x − y = 16
ℜ não tenha solução é que seja
ax − 3 y = 24
a) a ≥ 9 b) a ≤ 9 c) a φ 9 d) a ≠ 9 e) a = 9
SOLUÇÃO
REGRA: Sistema sem solução ⇒ determinante (∆ = 0 )
3 −1
= 0 ⇒ −9 + a = 0 ⇒ a = 9
a −3
RESPOSTA: E
29) O conjunto solução do sistema sobre
x + 2 y + z = 6
ℜ é
 x + 2 y + 3z = 4
a) θ b) {(7,0,−1)} c) {(7,0,−1), (6,1,−1)(9,1,−1)}
d) ℜ e) {(7 − 2t , t ,−1) / t ∈ ℜ}
SOLUÇÃO
Montamos um sistema de equações no qual multiplicamos a 2ª equação por (-1)
x + 2 y + z = 6

 x + 2 y + 3z = 4(− 1)
x + 2 y + z = 6
 ⇒ −2 z = 2 ⇒ z = −1 Substituindo-se o valor de z na 1ª equação, teremos:
− x − 2 y − 3 z = −4
x + 2y + z = 6 ⇒ x + 2y – 1 = 6 ⇒ x = 6 + 1 – 2y ⇒ x = 7 –
2y. Logo, teremos: {(7 − 2 y, y,−1) / y ∈ ℜ} ou {(7 − 2t , t ,−1) / t ∈ ℜ}
RESPOSTA: E
ax + by = 2
30) O sistema sobre ℜ em x, y  tem a única solução (0,1) se e somente se
ax + y = 1
a) a = 0 e b = 2

13. b) a ≠0 e b=2
c) a ≠0e b ≠1
d) a = 0 ou b = 1
e) b=2
SOLUÇÃO
REGRA: Uma única solução ⇒ Determinante diferente de zero (∆ ≠ 0 )
a b
≠ 0 ⇒ a − ab ≠ 0 ⇒ a(1 − b ) ≠ 0 ⇒ a ≠ 0
a 1
Solução (0,1) ; substituindo em ax + by = 2 teremos: a . 0 + b . 1 = 2 ⇒ b = 2
RESPOSTA: B
31) O conjunto solução do sistema
2 x + y + 3 z = 0

3 x − 2 y + z = 0 é
x − 3 y − 2z = 0

a) {(1,1,−1)}
b) constituído apenas pela solução nula
c) vazio
d) finito, mas constituído por mais de uma solução
e) infinito
SOLUÇÃO
REGRA: Todos os elementos nulos após a igualdade ⇒ Sistema homogêneo
Discussão: ∆ = 0 ⇒ o sistema admite infinitas soluções
∆ ≠ 0 ⇒ o sistema admite uma única solução
2 1 3 2 1
∆ = 3 − 2 1 3 − 2 ⇒ ∆ = 8 + 1 − 27 − (− 6 − 6 − 6 ) ⇒ ∆ = −18 + 18 = 0
1 −3 −2 1 −3
RESPOSTA: E
 x − 2 y + 3 z = −1

32) O sistema sobre ℜ2 x − y − z = b terá solução apenas se o valor de b for igual a
− x − 4 y + 11z = −11

a) 6 b) 4 c) 1 d) –11 e) –12
SOLUÇÃO
REGRA: Para que o sistema tenha solução ⇒ ∆ = 0; ∆ x = 0; ∆ y = 0; ∆ z = 0 Para o calculo de b fazemos:

14. −1 −2 3 −1 −2
∆x = b −1 −1 b − 1 = 0 ⇒ 11 − 22 − 12b − (33 − 4 − 2b ) = 0 ⇒ 10b − 40 = 0 ⇒ 10b = 40 ⇒ b = 4
− 11 − 4 11 − 11 − 4
RESPOSTA: B
ax + by = c
33) Suponha que o sistema linear  onde x e y são variáveis e a, b, c, d, e, f são números reais
dx + ey = f
fixos, admita diferentes soluções. Considere as afirmativas
a b
I. =0
d e
a c
II. =0
d f
c b
III ≠0
f e
Quais estão corretas?
a) Apenas I b) Apenas I e II c) Apenas I e III d) Apenas II e III e) I, II e III
SOLUÇÃO
REGRAS Diferentes soluções ⇒ Sistema Possível e Indeterminado, logo:
a b
≠ ⇒ Sistema Possível e Determinado (uma única solução)
d e
a b c
= = ⇒ Sistema Possível e Indeterminado ( várias soluções)
d e f
a b c
= ≠ ⇒ Sistema Impossível ( não tem solução), logo teremos:
d e f
a b
I) = 0 verdadeiro
d e
a c
II) = 0 verdadeiro
d f
c b
III) ≠0
f e
RESPOSTA: B
π
34) Se a = , o valor do determinante
4

15. sen a cos a 1 sen a cos a
cos a 1 sen a cos a 1 Com a aplicação da regra de Sarrus , ficaremos com:
1 sen a cos a 1 sen a
1 2 1 2
a) - b) zero c) + d) –2+2 2 e) 4 - 4 2
2 2 2 2
SOLUÇÃO
2
∆ = 3. sen 45°. cos 45° − 1 − (cos 45°) − (sen 45°)
3 3
Obs.: sen45°=cos45°=
2
3 3
2 2  2  2 3 2 2 1 2
∆ = 3. . −1−    
 2  −  2  ⇒ ∆ = 2 −1− 4 − 4 = 2 − 2
2 2    
RESPOSTA: A
2 −1 3 1
1 2 1 0
35) O valor do determinante é
2 1 0 1
0 1 2 1
a) 2 b) 0 c) –2 d) –20 e) –10
SOLUÇÃO
REGRA: Determinante de ordem 4 usamos o TEOREMA DE LAPLACE, selecionando-se inicialmente a fila
que apresente a maior quantidade de zeros. Selecionando-se a 3ª coluna, teremos:
∆ = 3.cof (3) + 1.cof (1) + 0.cof (0 ) + 2.cof (2 )
1 2 0
Cálculo do cofator de 3 ⇒ (− 1) . 2 1 1 = (− 1) .(− 4 ) ⇒ 1.(− 4 ) = −4
1+ 3 4
0 1 1
2 −1 1
Cálculo do cofator de 1 ⇒ (− 1) 1 = (− 1) .4 ⇒ (− 1).4 = −4
2+ 3 5
.2 1
0 1 1
Cálculo do cofator de 0 ⇒ 0
2 −1 1
Cálculo do cofator de 2 ⇒ (− 1) 0 = (− 1) .2 ⇒ (− 1).2 = −2
4+3 7
.1 2
2 1 1
Conclusão: ∆ = 3.(− 4 ) + 1.(− 4 ) + 0.cof (0 ) + 2.(− 2 ) ⇒ ∆ = −20
RESPOSTA: D

16. x 1 2
1 3
36) Dada a desigualdade 0 1 1 ≤ , a alternativa correta é
−2 1
1 2 x
a) x ∈ [2,4] b) {x ∈ ℜ / − 2 ≤ x ≤ 4 } c) x ≤ −2 ou x ≥ 4 d) x ≤ 4 e) x ≥ −2
SOLUÇÃO
REGRAS: Determinante de 3ª ordem ⇒ Regra de Sarrus
Determinante de 2ª ordem ⇒ Diagonal Principal menos Diagonal Secundária
x +1 − 2 − 2 x ≤ 1 + 6 ⇒ x 2 − 2 x − 8 ≤ 0 . Resolvendo-se a inequação do 2º grau teremos:
2
[− 2,4] ou -2 ≤ x ≤ 4
RESPOSTA: B
[ ]
37) Sendo A = aij uma matriz quadrada de ordem 2 e a ij = i 2 − j , então o determinante da matriz A é igual
a
a) –3 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4
SOLUÇÃO
a a12 
Construindo-se a matriz A, teremos: A =  11  ⇒ a11 = 1 − 1 = 0 ,
2
a 12 = 12 − 2 = −1
a 21 a 22 
0 − 1
a 21 = 2 2 − 1 = 3 , a 22 = 2 2 − 2 = 2 Logo a matriz A será representada por A =   ⇒
3 2 
0 −1
det A = = 0.2 − (− 1).3 = 3
3 2
RESPOSTA: D
2x x 1
38) Sejam a, b e c as raízes do polinômio P(x) = 3 x 0 1 , então a 2 +b 2 + c 2 é igual a
x x x −1
25 16 16 25 5
a) b) c) d) e)
4 9 4 9 3
SOLUÇÃO
Determinante de 3ª ordem ⇒ Regra de Sarrus
2x x 1 2x x
3x 0 1 3 x 0 ⇒ P(x) = 2 x.0.( x − 1) + x.1.x + 1.3 x.1 − 1.0.x − x.3 x.( x − 1) − 2 x.1.x ⇒
x x x −1 x x
x 2 + 3x 2 − 3x 3 + 3x 2 − 2x 2 ⇒ −3 x 3 + 5 x 2 = 0 ⇒ 3 x 3 − 5 x 2 = 0 . Temos uma equação incompleta do 2º grau

17. 5
que resolvida nos dará: x 2 .(3 x − 5) = 0 raízes 0, 0 e
3
2
5 25
Substituindo-se no enunciado, teremos: a +b + c = 0 + 0 +   =
2 2 2 2 2
3 9
RESPOSTA: D
2 x x
39) Em ℜ , a solução da equação − 1 − 2 − 1 = 8 − log 2 4 , é
3 1 2
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
SOLUÇÃO
REGRAS: Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus
Logaritmo: propriedades operatórias
-8-3x-x+6x+2x+2=8-log 2 2 2 ⇒ 4x – 6 = 8 – 2 . log 2 2 ⇒ 4x = 14 – 2 . 1 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3
RESPOSTA: B
1 log b a
40) Calculando-se o determinante da matriz ∆ = teremos:
log a b 1
a) ∆ = 1 b) ∆ = 0 c) ∆ = −1 d) ∆ = 2 e) ∆ = 3
SOLUÇÃO
REGRA: Determinante de 2ª ordem ⇒ diagonal principal – diagonal secundária
∆ = 1 − log a b. log b a ⇒ ∆ = 1 − 1 = 0
RESPOSTA: B
43) O valor do determinante associado a matriz identidade é:
a) 1 b) 0 c) 3 d) –1 e) –3
SOLUÇÃO
Matriz Identidade: A diagonal principal é formada através de elementos unitários e os demais elementos são
todos nulos
1 0 0
I 3 = 0 1 0 = 1 Propriedade: elementos situados acima e abaixo da diagonal principal nulos ⇒ resultado
0 0 1
igual ao produto dos elementos da diagonal principal
RESPOSTA: A

18.  x 0 0
44) Dada a matriz A = 0 x 1  com o valor de x real, a afirmativa correta é:
 
1 3 2
 
a) o determinante de A é positivo se, e somente se, -1 < x < 0
3
b) o determinante de A é negativo se, e somente se, < x < 2
2
3
c) o determinante de A é negativo se, e somente se, 0 < x <
2
d) o determinante de A é zero se x = 1
e) o determinante de A é sempre deferente de zero, para todo x real
SOLUÇÃO
REGRA: Determinante de 3ª ordem ⇒ Regra de Sarrus
x 0 0x 0
0 x 1 0 x ⇒ 2 x 2 − 3 x (inequação do II grau)
1 3 21 3
REGRAS: Verificar o sinal de a (+)
3
Calcular as raízes: 2 x 2 − 3x = 0 ⇒ x(2 x − 3) = 0 ⇒ x1 = 0 e x 2 =
2
3
2x 2 −3 x < 0 para 0 < x <
2
RESPOSTA: C
45) Considere uma matriz A 4 x 4 . Se det A = −6 e det (2 A) = x − 97 , então o valor de x é
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
SOLUÇÃO
PROPRIEDADE: Se uma matriz quadrada M de ordem n for multiplicada por um valor real K, então seu
determinante fica multiplicado por k n , ou seja: det (K .M ) = K n . det M ⇒ det (2 A) = 2 4. det A ⇒ 2 4.(− 6)
⇒ 16. (-6) = -96 (− 6 ) = −96
Pelo enunciado, temos: det (2 A) = x − 97 ⇒ −96 = x − 97 ⇒ x = 97 − 96 = 1
RESPOSTA: D
 1 1
46) Sabendo-se que o determinante da matriz inversa de A =   é igual a 1 2 , o valor de C é:
C 1
1
a) –1 b) 0 c) d) 1 e) 2
2
SOLUÇÃO

19. REGRA: Para que matriz quadrada admita inversa, seu determinante deve ser diferente de zero ⇒ det A ≠ 0
ou seja, 1 – C ≠ 0
1 1 1
det A −1 = ⇒ = ⇒ 1 − C = 2 ⇒ C = −1
2 1− C 2
RESPOSTA: A
47) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2.
2 − 1
Se det A = 5 e A.B =   , então podemos afirmar que det B é
4 3 
a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 e) 10
SOLUÇÃO
Pelo teorema de Binet , temos:
10
det ( AxB ) = det Ax det B ⇒ det AB = 6 + 4 = 10 ⇒ 10 = det Bx5 ⇒ det B = =2
5
RESPOSTA: C
48) Se o sistema correspondente à equação matricial
3 3  x  b
 3 a . y  =  4  é um sistema indeterminado, então a . b é igual a
    
    
a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36
SOLUÇÃO
Fazendo-se a multiplicação e montando-se o sistema de equações, teremos:
3x + 3 y = b 3 3
 Regra: Sistema indeterminado ⇒ determinante igual a zero ⇒ = 0 ⇒ 3a − 9 = 0
3x + ay = 4 3 a
3 b
⇒ 3a = 9 ⇒ a = 3 ⇒ = 0 ⇒ 3b = 12 ⇒ b = 4 Logo: a . b = 12
3 4
RESPOSTA: B
49) O conjunto dos números reais x, que tornam a matriz
 sen ( x ) − cos( x )
 cos( x ) sen (x )  inversível , é
 
 
a) θ b) {0} c) { }
1 d) [0,2π ] e) ℜ
SOLUÇÃO
REGRA: Para que a matriz seja inversível , seu determinante deve ser diferente de zero

20. sen x − cos x
≠ 0 ⇒ sen 2 x + cos 2 x ≠ 0 . Ora, para qualquer x ∈ ℜ , a relação obtida é igual a 1, portanto,
cos x sen x
sempre diferente de zero, o que nos permite concluir que qualquer x ∈ ℜ torna a matriz inversível
RESPOSTA: E
a b 3a + 1 3b + 1
50) Se = 2, então vale
1 1 2 2
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12
SOLUÇÃO
REGRA: Determinante de 2ª ordem ⇒ Diagonal principal menos diagonal secundária
Do 1º determinante obtemos: a - b = 2 ⇒ a = b + 2
Substituindo no 2º determinante teremos:
3(b + 2 ) + 1 3b + 1 3b + 7 3b + 1
= ⇒ ∆ = 6b + 14 − 6b − 2 ⇒ ∆ = 12
2 2 2 2
RESPOSTA: E
51) A soma dos quadrados das raízes da equação
x 6 2 0
0 5 0 0
=0 é
7 3 4 2
2 9 x 0
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
SOLUÇÃO
REGRA: Determinante de 4ª ordem ⇒ Teorema de Laplace : Selecionamos a fila com a maior quantidade
de zeros e após somamos os cofatores dos elementos selecionados , multiplicando-se cada elemento pelo
seu cofator .
No determinante fornecido selecionamos a 2ª linha, sendo que aplicamos o teorema de Laplace no elemento
a 22 .
x 2 0
x 2
7 4 2 (− 1)
2+ 2
.5 = 0
2 x
5.2(− 1)
2+3
( )
= 0 ⇒ x 2 − 4 (− 10) = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2
2 x 0
x 1 = −2 ⇒ x 2 = 4 x 2 = 2 ⇒ x 2 = 4 Logo: 4 + 4 = 8
RESPOSTA: E

21. x 0 0 
  ( ) 2
52) A matriz A = 0 2 0  é tal que det A 4 = . O valor de x é
x
0 0
 2

1 1 1
a) b) c) d) 5 e) 32
32 2 5
SOLUÇÃO
REGRA: Determinante de 3ª ordem ⇒ Regra de Sarrus
x 0 0 x 0
( )
4 2
0 2 0 0 2 ⇒ 2 x 2 ⇒ 2 x 2 = ⇒ 16.x 4 4 = ⇒ x 5 =
x
2
x
2
=
64 32
1
⇒x=5
1
32
⇒x=
1
2
0 0 20 0
RESPOSTA: B