Seminario de Investigación

Seminario de investigación
VIII Semestre – Educación Básica

FACULTAD DE EDUCACIÓN
EDUCACIÓN BÁSICA.

SUGERENCIAS DE ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA MEJORAR EL
RENDIMIENTO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA, DE LAS ALUMNAS DE LOS
SEGUNDOS AÑOS BÁSICOS DEL LICEO POLITÉCNICO BELÉN, DE ACUERDO A
SUS ESTILOS DE APRENDIZAJE.
Seminario de investigación para optar por el grado de
Licenciado en Educación.

MARIELA JOSÉ GAHONA PLAZA
CAROLINA YASMÍN OLIVARES ARAYA
YENIFER ANDREA PASTEN CORTÉS
CLAUDIA DEL CARMEN ROJO HERRERA

PROFESOR GUÍA
JOSÉROLANDO MONTERO FUENTES
COPIAPÓ, CHILE
2013
RESUMEN
69


El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de las matemáticas. Si los
matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y contemplando su juego
y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y comunicarla a través del juego y de la
belleza?
Miguel de Guzmán.

Durante el proceso investigativo se logra captar la importancia de las estrategias metodológicas
en el proceso de enseñanza aprendizaje y su escasa aplicación en las aulas. A partir de ello se
centra la mirada investigativa en el proceso de enseñanza donde el rol docente juega un papel
fundamental, puesto que cumple la función de trasmisor y orientador del contenido.
Nuestra investigación se basa en el postulado de David Kolb quien hace alusión a los estilos de
aprendizaje, los cuales hacen mención al alumno activo, reflexivo, teórico y pragmático. A
partir de ello se sustenta la investigación en otros referentes teóricos entre los cuales cabe
mencionar a Miguel de Guzmán, quien plantea como el alumno concibe la matemática y
apreciación que posee él y refiere a algo aburrido, abstruso y hasta innecesario. Es ahí donde se
observa una falencia y una mala iniciación e introducción de las matemáticas en los alumnos.
Cabe mencionar los referentes chilenos quienes abalan la insuficiencia pedagógica y el mala
aplicación y entrega de los contenidos que se vinculan con una mala aplicación de estrategias
metodológicas en el aula.
El objetivo propio de la investigación se orienta a “sugerir estrategias metodológicas para
mejorar el rendimiento en educación matemáticas a las alumnas de los segundos años del Liceo
Politécnico Belén, a partir de sus estilos de aprendizajes”, tomando en consideración los ejes
temáticos correspondientes al subsector.

ABSTRACT

69


The game and the beauty are in the origin of a great part of Mathematics. If Mathematicians
of all times have been taken a good time playing and contemplating their games and science
Why don’t we try to learn and communicate through the game and the beauty?
Miguel de Guzman.

During the research process, it achieves the importance of methodological strategies are
captured in the teaching and learning process and their poor application in class. From this part
on, it focuses the research view in the teaching process where the teacher’s role has an essential
function, since it has the role of transmitter and counselor of the content.
Our research is based on the David Kolb postulate, who mentions the learning styles, which
refers to the active, reflexive, theoretical and pragmatic student.

Thence, it sustains the

research in other theoretical referents including, it is important to name Miguel de Guzman,
who says how the student conceives mathematics and the appreciation that he has and refers to
something bored, abstruse and even unnecessary. It is here where it is observed a lack and a
bad beginning and introduction of mathematics in the students.

It is worth mentioning the

Chilean referents who support the pedagogical deficiency and the misapplication and the
application of the contents that are associated with a misapplication of methodological
strategies in the classroom.
The appropriate objective of the research is guided “to suggest methodological strategies to
improve the efficiency in mathematics to the students of second grades at Liceo Politécnico
Belén, from their learning styles”, taking into account the thematic focus corresponding to
subsector.

ÍNDICE

69


INTRODUCCIÓN:……………………………………………………………………. 7
1.

CAPÍTULO 1: DELIMITACION DEL PROBLEMA……………………….
1.1

8

Situación problemática…………………………………………………… 9
1.1.1.

Descripción……………………………………………………

9-10

1.1.2.

Planteamiento del problema…………………………………..

10

1.1.3.

Justificación…………………………………………………...

11

1.1.4.

Delimitación del problema……………………………………

12

1.2

Hipótesis…………………………………………………………………… 12

1.3.

Preguntas de investigación………………………………………………… 13

1.4. Objetivos……………………………………………………………………

14

1.4.1.

Objetivo General……………………………………………...

14

1.4.2.

Objetivo Especifico…………………………………………...

14

2. CAPITULO II: MARCO TEÓRICO……………………………………………

15

2.1. Investigación que se vincula con el problema……………………………...

16-17

2.1.1.

Modelo de programación Neurolingüística de Bandler y Grinder.17

2.1.2.

Modelo de las Inteligencias Múltiples de Gardner…………..

17-18

2.1.3.

Modelo de Kolb, Investigación de Antonio Nevot Luna……..

19-21

2.1.3.1.

Estilo Activo…………………………………………….

21-22

2.1.3.2.

Estilo Reflexivo………………………………………...

22-23

2.1.3.3.

Estilo Teórico…………………………………………...

23-24

69


2.1.3.4.

Estilo Pragmático……………………………………….

24-25

2.2. Historia universal de la matemática………………………………………...

26-36

2.3. Referentes teóricos………………………………………………………….

37

2.3.1.

Jean Piaget…………………………………………………….

37

2.3.2.

Guy Brousseau……………………………………………..

38

2.3.3.

Juan Godino………………………………………………..

38-40

2.3.4.

Miguel de Guzmán………………………………………...

40

2.4. La Educación Matemática en Chile……………………………………

41

2.4.1.

Ricardo Baeza………………………………………………

41-42

2.4.2.

Raimundo Olfos…………………………………………….

42

2.4.3.

Barbará Eyzaguirre…………………………………………

43-46

2.5. Métodos de mayor efectividad en la educación matemática………….

46

2.5.1.

Método Singapur……………………………………………

46-49

2.5.2.

Método Kumon o Japonés…………………………………

49-51

2.6. Descripción del contexto donde se llevara a cabo la investigación…..

52

2.6.1.

Liceo Politécnico Belén…………………………………….

52

2.6.2.

Descripción y características de los segundos años básicos...

53

2.7. Características de segundos años básicos según el Programa de Estudio y las Bases
Curriculares de Educación de Matemática, del MINEDUC…………….. 54-60

3. CAPITULO III: DISEÑO METODOLÓGICO DE E3STUDIO………….

61

69


3.1. Enfoque de la investigación………………………………………….

62

3.1.1.

Población………………………………………………….

63

3.1.2.

Variables y Sujetos de estudio……………………………

63

3.2. Técnicas de Recolección………………………………………………….

64

3.2.1.

Encuestas…………………………………………………
64

3.2.2.

Evaluaciones………………………………………………

64

3.2.3.

Calificaciones…………………………………………….

65

3.2.4.

Test de estilos de aprendizaje……………………………

65

3.3. Etapas de Aplicación de Sugerencias Metodológicas……………….

66

3.3.1.

Etapa uno…………………………………………………

66

3.3.2.

Etapa dos…………………………………………………

66

3.3.3.

Etapa tres…………………………………………………

66

3.3.4.

Etapa cuatro………………………………………………

67

3.3.5.

Etapa cinco……………………………………………….

67

3.3.6.

Etapa seis…………………………………………………

67

4. CAPÍTULO VI: ANÁLISIS Y RESULTADOS…………………………..

68

4.1. Análisis de datos…………………………………………………………

69

4.1.1. Análisis Encuestas……………………………………………….

69

69


4.1.1.1.

Encuesta a Docentes……………………………………..

69-71

4.1.1.2.

Encuestas a Alumnas…………………………………….

71-72

4.1.2. Análisis de Estilos de aprendizaje……………………………….
4.1.2.1.

Gráficos Estilos de aprendizaje……………………………

4.1.3. Análisis Pruebas Aplicadas……………………………………….

73
73-74
75

4.1.3.1.

Análisis Pre Test………………………………………….

75-78

4.1.3.2.

Análisis Post Test…………………………………………

78-80

4.1.3.3.

Gráficos……………………………………………………

80-82

5. CAPITULO V: SUGERENCIAS DE ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS.. 83
5.1. . Sugerencias de Estrategias Metodológicas. …………………………
6. CAPITULO VI: CONCLUSIÓN………………………………………..
6.1. Conclusión……………………………………………………………
7. ANEXOS……………………………………………………………….

84-101
102
103-104
105-160

69


INTRODUCCIÓN.

Una de las problemáticas de la educación chilena se presenta en el área de matemáticas.
Es por ello que hemos decidido enfocar nuestro seminario de investigación en sugerencias
metodológicas para mejorar el rendimiento de las estudiantes de segundo año básico en el
subsector de educación matemática.
Esta investigación incluirá estudios relacionados con la enseñanza óptima de las
matemáticas que serán abordados tanto cualitativa como cuantitativamente. Respecto a lo que
concierne a la investigación cualitativa, se estudiará su estilo de aprendizaje, el desarrollo de las
capacidades, las características generales del curso y el ambiente en el que se desenvuelven las
alumnas. Además se enfocará la investigación de manera cuantitativa para medir, comparar y
analizar los resultados arrojados por la aplicación de sugerencias metodológicas ejecutadas a
las estudiantes.
Se citarán autores que apoyen las diferentes posturas, se describirá el contexto y se
analizarán resultados.
Finalmente tomando como base lo propuesto por los diferentes autores, los estudios
analizados y el conocimiento adquirido en la enseñanza universitaria se entregarán sugerencias

69


metodológicas que sean aplicables a las alumnas de segundo año básico con el fin de mejorar
su rendimiento académico en el subsector.

1. CAPÍTULO I: DELIMITACIÓN DEL
PROBLEMA.

69


1.1. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA.-

1.1.1. DESCRIPCIÓN.
Observando la metodología de trabajo de diversos establecimientos de la ciudad de Copiapó,
región de Atacama, es que nace la inquietud de ir más allá en lo que respecta a la educación
matemática, ya que en la mayoría de las experiencias vividas en los establecimientos, nos
dimos cuenta que el desarrollo del subsector de Lenguaje y Comunicación demanda mayor
tiempo e interés metodológico en los docentes, principalmente en los del nivel básico 1 y 2,
debido a que para ellos el principal objetivo es que los niños “aprendan a leer”, pero ¿Qué pasa
con la educación matemática?. Éstas pasan a un segundo plano y se ve reflejado en la
metodología a utilizar por la mayoría de los profesores, quienes creen que todos los niños
aprenden de la misma manera, e ingenuamente la metodología más usada, es la de pizarracuaderno, que al parecer no conducen al aprendizaje significativo de todos los alumnos.
Considerando lo anterior es que deseamos que nuestra investigación, sea utilizada como un
recurso para los docentes, y ¿por qué no?, para todos los profesionales ligados con la
educación.

69


Se enfocará en los segundos años básicos, debido a que nuestra práctica se realiza en estos
cursos y se han detectado diversos vacios, respecto a los contenidos de educación matemáticas.
El primer paso será la aplicación del diagnostico, con el fin de conocer y verificar las
condiciones en las que se encuentran los alumnos, tanto en el conocimiento de la educación
matemática, como el estilo de aprendizaje de cada uno de ellos, porque recordemos que un
aprendizaje óptimo se lleva a cabo con el conocimiento del alumno.
El segundo paso será la aplicación de un test de los estilos de aprendizajes de Kolb, donde
detectará de qué manera aprenden las alumnas.

El tercer paso será la intervención en el aula, ejecutando diversas metodologías ajustadas a la
realidad de los cursos, incluyendo una evaluación final.
Cabe señalar que si bien lo ideal es que los docentes cuenten con gran material didáctico para
sus clases, lo cierto es que no todos ellos cuentan con el tiempo para prepararlo y como no
todos los alumnos aprenden de la misma forma, entregaremos sugerencias de material
didáctico, e implementaremos técnicas de enseñanza a la realidad completa del curso, para que
así el aprendizaje se produzca en todas las alumnas.

1.1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
La inadecuada selección y aplicación de estrategias metodológicas de aprendizaje en el
subsector de educación matemática, en las alumnas de los segundos años básicos del liceo
Politécnico Belén de Copiapó, ha provocado el mal rendimiento de las estudiantes y su bloqueo
con las matemáticas.

69


De continuar con la problemática, repercutirá en el desempeño de las alumnas en los
niveles siguientes, puesto que si un aprendizaje no es aprehendido y enraizado en niveles
básico de enseñanza, el vacío persiste a través del tiempo y afectando de manera significativa el
rendimiento de las escolares.

1.1.3. JUSTIFICACIÓN.
La labor docente conlleva gran responsabilidad y dedicación, porque su objetivo es
formar a las alumnas para el futuro proporcionándoles importantes armas contra la ignorancia,
reafirmando el conocimiento y al tiempo formándolos en valores y favorecer su autoestima.
Ser profesor implica compartir gran tiempo con las alumnas, las cuales están deseosas
de aprender, experimentar en la sala de clases e interactuar con sus compañeras. Por ello el
profesor debe tener la habilidad de emplear estrategias metodológicas que les permitan
mantener a las alumnas activas y con ganas de aprender.
Las alumnas que señalan que las matemáticas son aburridas y difíciles, aún no saben
el significado que tienen en su quehacer diario. Este efecto se produce porque las clases de
matemáticas aún se realizan con el pizarrón, cuaderno y lápiz, lo que las obliga a estar sentadas
prestando mucha atención, sin tomar en cuenta el estilo de aprendizaje que tiene cada alumna.
Desde aquella problemática nacen algunas preguntas:
¿Qué otras estrategias existen para enseñar las matemáticas de manera más entretenida?
¿Las matemáticas se deben enseñar según los estilos de aprendizajes de las alumnas?

69


En esta investigación se darán a conocer diversas estrategias para ser aplicadas en la
sala de clases y así lograr el objetivo principal que señala que las alumnas deben ser capaces de
desarrollar capacidades de adquisición, interpretación y procesamiento de la información. Y se
generarán nuevos conocimientos y aprendizajes significativos.

1.1.4. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA.

La aplicación de sugerencias en las estrategias metodológicas será a través de los
estilos de aprendizajes propuestos por Kolben la educación matemática, a 54 alumnas
pertenecientes a los segundos básicos, del liceo politécnico Belén y se determinará si las
estrategias metodológicas aplicadas en el sub sector, son efectiva en el aprendizaje de las
alumnas.

1.2. HIPÓTESIS.

69


Las alumnas de los segundos años básicos no consiguen los aprendizajes esperados en el
subsector de matemáticas porque no se le aplican metodologías y estrategias de acuerdo a los
estilo de aprendizaje.

1.3. PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN.

•

Las profesores de segundo año básico, ¿Elaboran un diagnóstico para identificar las
falencias de las alumnas?

•

¿Qué estrategia de aprendizaje utiliza la docente para la enseñanza de las matemáticas?

•

¿Las alumnas tienen conocimiento de las matemáticas y la importancia en la vida
cotidiana?

69


•

¿Qué tan efectiva es la enseñanza de las matemáticas según los estilos de aprendizaje?

•

¿Las alumnas son partícipe del aprendizaje y son capaces de construir su propio
aprendizaje?

•

Las docentes, ¿pueden enseñar sin conocer a cabalidad a las alumnas?

•

¿Existe relación entre el gusto por las matemáticas y las calificaciones de las alumnas?

•

La distribución de las horas de matemática dentro del horario, ¿Es adecuado y efectivo en el
aprendizaje de las alumnas?

•

¿Existe interés por parte de las docentes en utilizar una estrategia para cada estilo de
aprendizaje?

•

¿Las metodologías utilizadas por las profesoras son efectivas?

•

¿Planificar en conjunto es beneficioso para las alumnas en su aprendizaje?

•

¿Cuáles son las estrategias metodológicas para el aprendizaje de las matemáticas?

•

¿Las planificaciones contienen adecuaciones curriculares adaptadas a los estilos de
aprendizaje de las alumnas?

•

¿El programa de estudio está adecuado a las competencias y habilidades de las alumnas?

1.4. OBJETIVOS.

69


1.4.1. OBJETIVO GENERAL.
Desarrollar una investigación cualitativa y cuantitativa aplicando sugerencias de
estrategias metodológicas adecuándolo a sus estilos de aprendizajes para que las alumnas de los
segundos años básicos del Liceo Politécnico Belén de Copiapó, mejoren su rendimiento en el
subsector de Educación Matemática, teniendo en consideración los estilos de aprendizaje de las
estudiantes.

1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

•

Identificar los estilos de aprendizaje de las alumnas, a través de un test.

•

Ejecutar evaluación diagnóstica con los contenidos mínimos obligatorios que debieran
tener las alumnas..

•

Analizar y estudiar los datos entregados en los diagnósticos de las alumnas y por
consiguiente ejecutar la planificación de acuerdo a las estrategias sugeridas.

•

Aplicar diferentes estrategias metodológicas según los estilos de aprendizaje de las
estudiantes.

•

Verificar si la hipótesis planteada es acertada según el análisis de resultado.

69


2. CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO.

69


2.1.- INVESTIGACIÓN QUE SE VINCULA CON EL PROBLEMA.

La educación matemática y los estilos de aprendizaje en la enseñanza.
Al hablar de las matemáticas, muchas personas opinan que es aburrida, y hasta piensan
que no aporta nada a nuestras vidas, probablemente estas aseveraciones corresponden a
personas que no consiguieron un aprendizaje significativo de las matemáticas en sus vidas y/o
su iniciación no fue adecuada.
¿Cómo y por qué ocurre este desagrado con las matemáticas?, para responder esta
interrogante es que consideraremos lo que menciona Miguel de Guzmán (2007), uno de los
grandes matemáticos del siglo XX, quien en su interés por mejorar la Educación Matemática,
señala que “es necesario romper, con todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente
arraigada en nuestra sociedad, proveniente con probabilidad de bloqueos iníciales en la niñez
de muchos, de que la matemática es necesariamente aburrida, abstrusa, inútil, inhumana y
muy difícil”1,por ello es que las estrategias adoptadas por los docentes o matemáticos a cargo
de traspasar estos conocimientos y gustos por las matemáticas resulta fundamental para los
alumnos , pero no solo se requiere de estrategias al azar, sino que se debe tener consideración
con el tipo de alumnado con el que nos enfrentaremos, porque se espera que el docente llegue a
la mayor cantidad de alumnos, y de la manera más efectiva posible.
Considerando que no todos aprendemos de la misma manera, y que existe una gran
relación entre el gusto por las matemáticas y el rendimiento en éstas, suele ocurrir que el
rendimiento se mejora, cuando al estudiante le comienza a agradar la asignatura, y le agradara
la asignatura cuando la comience a entender, y esto se logrará mejorando las estrategias según
los estilos de aprendizaje de los alumnos.
A continuación nos referimos de manera resumida, a algunos de los modelos para trabajar los
estilos de aprendizaje con las alumnas.
1

(Matemática y estilos de aprendizaje)

69


2.1.1. Modelo de programación neurolingüística de Bandler y Grinder.
Este modelo también es llamado VAK (visual, auditivo y kinestésico) que señalaba que
tenemos tres grandes sistemas para representar mentalmente la información, el visual, el
auditivo y el kinestésico.
Utilizamos el sistema de representación visual siempre que recordamos imágenes
abstractas (como letras y números) y concretas. El sistema de representación auditivo es el
que nos permite oír en nuestra mente voces, sonidos, música. Por ejemplo, cuando
recordamos una melodía o una conversación, o cuando reconocemos la voz de la persona
que nos habla por teléfono estamos utilizando el sistema de representación auditivo. Por
último, cuando recordamos el sabor de nuestra comida favorita, o lo que sentimos al
escuchar una canción estamos utilizando el sistema de representación kinestésico.
La mayoría de nosotros utilizamos los sistemas de representación de forma desigual,
potenciando unos e infrautilizando otros.
Los sistemas de representación no son buenos o malos, pero si más o menos eficaces para
realizar determinados procesos mentales. Si estoy eligiendo la ropa que me voy a poner
puede ser una buena táctica crear una imagen de las distintas prendas de ropa y “ver”
mentalmente como combinan entre sí.2

2.1.2. Modelo de las Inteligencias múltiples de Gardner.
Todos los seres humanos son capaces de conocer el mundo de siete modos diferentes.
Según el análisis de las siete inteligencias, todos somos capaces de conocer el mundo a
través de:
•

El lenguaje.

•

El análisis lógico-matemático.

2

(Manual de estilos de aprendizaje, 2004)

69


•

La representación espacial.

•

El pensamiento musical.

•

El uso del cuerpo para resolver problemas o hacer cosas.

•

Una comprensión de los demás individuos.

•

Una comprensión de nosotros mismos.

Los individuos se diferencian en la intensidad de estas inteligencias y en las formas
en que recurre a esas mismas inteligencias y se las combina para llevar a cabo diferentes
labores, para solucionar problemas diversos y progresar en distintos ámbitos.
El concepto de inteligencia se convirtió en un concepto que funciona de diferentes
maneras en la vida de las personas. Gardner proveyó un medio para determinar la
amplia variedad de habilidades que poseen los seres humanos, agrupándolas en siete
categorías o “inteligencias”:
1. Inteligencia Lingüística.
2. Inteligencia lógico matemática.
3. Inteligencia corporal-kinética.
4. Inteligencia Espacial.
5. Inteligencia musical.
6. Inteligencia interpersonal.
7. Inteligencia intrapersonal.

“La mayoría de los individuos tenemos todas esas inteligencias, aunque cada una
desarrollada de modo y a un nivel particular, producto de la dotación biológica de cada uno,

69


de su interacción con el entorno y de la cultura imperante en su momento histórico. Las
combinamos y las usamos en diferentes grados, de manera personal y única.”3

2.1.3. Modelo de Kolb, investigación de Antonio Nevot Luna.

Sin embargo hemos enfocado nuestra investigación en el modelo de los estilos de
aprendizaje planteado por Kolb, la razón por la cual se escogió este modelo y no los otros, es
porque si bien es cierto nuestra investigación se centra en las sugerencias metodológicas para la
educación matemática, se busca principalmente que se genere un aprendizaje óptimo, tanto a
favor de los estudiantes como de los docentes, de tal manera, llama fuertemente la atención
que este modelo a diferencia de los otros, se enfatiza en el uso de las cuatro fases en conjunto
para generar un mejor aprendizaje.
El modelo de Kolb afirma que para obtener un aprendizaje óptimo es necesario trabajar
la información en un ciclo de cuatro fases:

ACTUAR
(Alumno activo)

EXPERIMENTAR
(Alumno pragmático)

REFLEXIONAR
(Alumno reflexivo)

TEORIZAR
(Alumno teórico)

3

(Manual de estilos de aprendizaje, 2004)

69


Kolb descubrió que cada persona tiende a predominar una o varias de estas etapas y no
todas. A partir de este hecho, definió cuatro diferentes estilos de aprendizaje que se
corresponden con la preferencia de cada una de las cuatro etapas señaladas.

Es importante mencionar que el modelo de Kolb, consta de un ciclo de aprendizaje que
se produce en dos dimensiones estructurales:
-La percepción del contenido a aprender (aprehensión).
- El procesamiento del mismo (transformación).

Un aprendizaje óptimo requiere de las cuatro fases, por lo que será conveniente
presentar nuestra materia de tal forma que garanticemos actividades que cobran todas las fases
de la rueda de Kolb. Con eso por una parte facilitaremos el aprendizaje de todos los alumnos,
cualesquiera que sea su estilo preferido y, además, les ayudaremos a potenciar las fases con los
que se encuentran más cómodos
REVISAR EL DOCUMENTO ANEXO PARA QUE COMPLEMENTEN..
Para que los estilos de aprendizajes puedan funcionar de manera efectiva se deben
trabajar cada una relacionada una con otra. (Como muestra en la imagen)

Pragmático

Teórico

Activo

Reflexivo

69


Los estilos de aprendizajes de Kolb como el pragmático y el activo son relacionados
interpretaciones de experiencias concretas, así mismo el pragmático y el teórico son
experiencias activas, lo que pasa con el estilo activo y reflexivo son por el aprendizaje de
observación desde diferentes perspectivas y búsqueda de cosas y por último el pragmático,
activo, teórico y reflexivo se relaciona como un aprendizaje por razonamiento de un análisis,
planificación y actualización de datos, que el alumno (a) debe aprender.

Además como otro referente a esta investigación, es la realizada por Antonio Nevot
Luna, Licenciado en Ciencias Matemáticas y doctor en filosofía y ciencias de la educación,
quien aborda la enseñanza de las matemáticas en relación a los estilos de aprendizaje
propuestos por Kolb.
Las investigaciones plantean lo siguiente:
Antonio Nevot Luna, quien centra su documento sobre la enseñanza de las matemáticas
basadas en los estilos de aprendizaje, señala “Es frecuente que el profesor tienda a enseñar
cómo le gustaría que le enseñaran a él, es decir, como le gustaría aprender. Diversas
investigaciones prueban que los estudiantes aprenden con más efectividad cuando se les
enseña con sus estilos de aprendizaje preferidos.”4
Nevot, basa su investigación en los 4 estilos de aprendizaje planteados por David Kolb,
quien menciona que “para procesar la información que se percibe, siempre se parte de la
experiencia directa, concreta y abstracta, las cuales se transforman en conocimiento cuando
reflexionamos o pensamos sobre ellas y cuando experimentamos de forma activa con la
información recibida.”5

2.1.3.1.

Estilo Activo.

4

(Nevot, Enseñanza de las matemáticas con los estilos de aprendizaje., 2004)

5

(Nevot, Enseñanza de las matemáticas con los estilos de aprendizaje., 2004)

69


Los estudiantes con predominancia alta en Estilo Activo poseen una serie de preferencias y
dificultades, que indican las situaciones en las que aprenden mejor o se sienten más cómodos y,
aquellas otras, en las que se encuentran con dificultades y se muestran más incómodos.
En la siguiente tabla se muestra de manera más explicativa las principales cualidades de los
alumnos en quienes predomina este estilo.
TABLA 1
Preferencias para su aprendizaje
- Intentar cosas nuevas

Dificultades
- Exponer temas con mucha carga teórica.

- Resolver problemas

- Prestar atención a los detalles

- Competir en equipo

- Trabajar en solitario

- Dirigir debates

- Repetir la misma actividad

- Hacer presentaciones

-Limitarse a cumplir instrucciones precisas

- No tener que escuchar sentado mucho -Estar

pasivo:

oír

tiempo

explicaciones, entre otras.

- Realizar actividades diversas

conferencias,

- No poder participar

Propuestas didácticas en matemáticas para mejorar el estilo activo:
•

Hacer algo nuevo, algo que nunca se ha hecho antes, al menos de vez en cuando.

•

Activar la curiosidad.

•

Practicar la resolución de problemas en grupo.

•

Cambiar de actividad en la hora de clase.

•

Discusión de ideas.

•

Pedir a un estudiante que describa oralmente su proceso de resolución de un problema.

•

Permitir cometer errores.

•

Estimular el razonamiento crítico.

69


2.1.3.2.

Estilo Reflexivo.

Las preferencias y dificultades de los estudiantes con predominancia alta en Estilo
Reflexivo se indican en la Tabla 2, mostrando las situaciones en las que aprenden mejor y,
aquellas otras, en las que se encuentran con dificultades.

TABLA 2

Preferencias

Dificultades

-Observar y reflexionar

- Ocupar el primer plano

- Llevar su propio ritmo de trabajo

- Actuar de líder

- Tener tiempo para asimilar, escuchar, - Presidir reuniones o debates
preparar

-Participar

- Trabajar concienzudamente

planificación

- Oír los puntos de vista de otros

- Expresar ideas espontáneamente

-Hacer

análisis

detallados

en

reuniones

sin

y - Estar presionado de tiempo

pormenorizados

Propuestas didácticas en matemáticas para mejorar el estilo reflexivo:
•

Practicar la manera de escribir con sumo cuidado.

•

Salir a la pizarra a resolver un problema o a realizar una tarea.

69


•

Elaborar protocolos en las operaciones o ejercicios matemáticos.

•

Recoger información mediante la observación.

•

Comunicar información mediante expresión oral.

•

Investigar, añadir información nueva a la ya existente.

•

Dejar tiempo para pensar de forma creativa.

•

A toda acción práctica debe seguir una fase de reflexión.

•

Activar y mantener el interés.

2.1.3.3.

Estilo Teórico.

Se indican en la Tabla 3 las situaciones en las que aprenden mejor y en las que se
encuentran con dificultades, los estudiantes con predominancia alta en Estilo Teórico.

TABLA 3

Preferencias
Dificultades
- Sentirse en situaciones claras y -Verse obligado a hacer algo sin un
estructuradas

contexto o finalidad clara

- Participar en sesiones de preguntas y -Tener que participar en situaciones
respuestas

donde predominen las emociones y los

- Entender conocimientos complicados

sentimientos

- Leer u oír hablar sobre ideas y -Participar
conceptos bien presentados

en

actividades

no

estructuradas

- Leer u oír hablar sobre ideas y - Participar en problemas abiertos
conceptos que insistan en la racionalidad -Verse, por la improvisación, ante la

69


y la lógica

confusión

de

métodos

o

técnicas

- Tener que analizar una situación alternativas
completa

Propuestas didácticas en matemáticas para mejorar el estilo teórico:
•

Leer atentamente y de forma pausada un teorema, una proposición, una propiedad o el
enunciado de un problema.

•

Practicar la manera de hacer preguntas.

•

Adquirir experiencia.

•

La perseverancia.

•

Aprender de memoria y automatizar.

•

Aplicar los conceptos.
2.1.3.4.

Estilo Pragmático

Las preferencias y desventajas que presentan los estudiantes con predominancia alta en
Estilo Pragmático figuran en la Tabla 4.
TABLA 4
Preferencias
Dificultades
- Aprender técnicas inmediatamente -Aprender cosas que no tengan una
aplicables

aplicabilidad inmediata

- Percibir muchos ejemplos y anécdotas

- Trabajar sin instrucciones claras sobre

- Experimentar y practicar técnicas con cómo hacerlo
asesoramiento de un experto
-

Recibir

indicaciones

prácticas

-Considerar que las personas no avanzan
y con suficiente rapidez

técnicas

Referencias de propuestas didácticas en matemáticas para mejorar el estilo pragmático:

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•

Llevar a cabo la corrección de ejercicios y la posterior autoevaluación.

•

Experimentar y observar.

•

Recibir información de una actuación o intervención en clases.

•

Ejercitar.

•

Utilizar imágenes.

Teniendo en consideración las principales preferencias y dificultades de los 4 estilos de
aprendizajes de los estudiantes, la labor del docente al enfrentarse en el aula con alumnos que
poseen un sinfín de necesidades, resultará de gran ayuda el conocer y aplicar la manera más
provechosa en la que se pueda generar la instancia de enseñanza aprendizaje. Entonces para
poder llevar a cabo una clase, debemos rescatar las cualidades de los estilos que tenemos en el
grupo curso, e ir desarrollando metodologías orientadas a todos ellos. Pero para poder realizar
estos métodos es indispensable tener un diagnóstico de cada alumno, con el fin de identificar el
mayor predominio de estas estrategias en los estudiantes y hacer del aprendizaje una grata y
significativa experiencia.
“En el ámbito de las matemáticas, es muy posible que los alumnos que obtienen notas más
altas en matemáticas las consigan porque se les está enseñando en la forma que mejor va con
su estilo peculiar. Y si los profesores de matemáticas cambiaran sus estrategias instructivas
para acomodarlas a los estilos de los alumnos con calificaciones más bajas, es muy probable
que disminuyera el número de éstos.”6

2.2. HISTORIA UNIVERSAL DE LAS MATEMÁTICAS.
Cuando hablamos de Matemáticas, nos referimos al estudio de las relaciones entre
cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir
cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.
•

Las matemáticas más antiguas

6

(Matematica y estilos de aprendizaje)

69


Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C.,
en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con interés en
medidas, cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o
las demostraciones.
•

Los Egipcios.

Los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como
problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular
el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras. Para calcular el área de
un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado y llegaban a un valor muy cercano al que se
obtiene utilizando la constante pi (3,14).
•

Los babilónicos.

Uno de los aspectos más asombrosos de las habilidades de los cálculos de los babilonios fue
su construcción de tablas para ayudar a calcular.
Los problemas que se planteaban eran sobre cuentas diarias, contratos, préstamos de
interés simple y compuesto.
En geometría conocían el Teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos
semejantes; en álgebra hay problemas de segundo, tercero e incluso de cuarto grado. También
resolvían sistemas de ecuaciones.
Los babilonios fueron los pioneros en el sistema de medición del tiempo; introdujeron el
sistema sexagesimal y lo hicieron dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada
minuto en 60 segundos. Esta forma de contar ha sobrevivido hasta nuestros días.

•

China y las matemáticas.

Aunque la civilización china es cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y
mesopotámica, los registros existentes son bastante menos fiables.
Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniería,
impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos.

69


La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en
la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece
un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss,
expresando incluso los coeficientes en forma matricial, transformándolos en ceros de manera
escalonada.
Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de
bambú de dos colores y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.
Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta
mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta
sociedad.
Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en
China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces
no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones.
Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de
estancamiento.
•

Las matemáticas en Grecia

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La
innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una
estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones.
Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de
Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números
para poder entender el mundo. En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras
fueron el filósofo atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para
calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras
geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos
triángulos.
Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría,
escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus

69


Elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo
IV a.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de
números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de
áreas y volúmenes.
El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como
se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo,
Apolonio de Perga.
Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones
infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras
obtenidas a partir de las cónicas.
Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del
cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y
estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio
de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René
Descartes en el siglo XVII.
Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la
misma talla.
•

Las matemáticas en la edad media

En Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de estos
matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos se hayan
conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin embargo, los
primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el mundo
árabe.
•

La India y las matemáticas
Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C,

centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y también
parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y
decimal.

69


Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribución a la evolución de
las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios:
Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).
La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de
las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y
la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos los números
irracionales.
Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y
cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron
también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones
diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (S.XII) la ecuación x 2=1+ay2, denominada
ecuación de Pelt.
Como resumen acabaremos diciendo que en la historia de la India se encuentran suficientes
hechos que ponen en evidencia la existencia de relaciones políticas y económicas con los
estados griegos, egipcios, árabes y con China. Matemáticamente se considera indiscutible la
procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.
•

Los árabes y las matemáticas

Los números que llamamos árabes no son árabes sino hindúes; pero la mayoría de la gente
cree, erróneamente, que los números que utiliza son árabes.
Tampoco las cifras que utilizamos son originales de los árabes: si se observa la grafía hindú
del siglo VI se puede comprobar que es muy similar a la nuestra.
El sistema hindú era, al contrario del griego o romano, de carácter "posicional". Lo que
significa que las cifras tienen diferente valor según el lugar que ocupan. Entre otros avances,
los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de
números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales.
Para los romanos V era siempre cinco estuviera colocado en una posición o en otra mientras
que para nosotros, y mucho antes para los hindúes, en el número 511 el cinco vale quinientos
mientras que en el 51 vale cincuenta. Esta idea que hoy nos puede parecer tan elemental los

69


grandes matemáticos griegos no la tuvieron y sin embargo se tiene constancia de que en el siglo
VI los hindúes no sólo la utilizaban en su sistema de numeración sino que además manejaban
con soltura las cuatro reglas y el cero.
El gran mérito atribuible, pues, a los árabes es el de haberse dado cuenta de las ventajas
que el sistema hindú tenía sobre todos los demás.
Cuando se habla de matemática árabe no se suele tener en cuenta, además, que muchos de
los científicos de los que se habla eran persas, judíos e incluso cristianos.
En el siglo XII, el matemático persa Omar Khayyam generalizó los métodos indios de
extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado
superior.
El más conocido de los matemáticos árabes es Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi
(780-850), conocido como padre del álgebra.
Se sabe poco de su vida salvo que vivió en la primera mitad del siglo IX y que trabajó en la
biblioteca del califa de Bagdad.
Escribió libros sobre geografía, astronomía y matemática. En su obra Aritmética
("Algoritmi de numero indorum") explica con detalle el funcionamiento del sistema decimal y
del cero que usaban en la India. Obra de gran importancia pues contribuyó a la difusión del
sistema de numeración indio y al conocimiento del cero.
Debe destacarse la obra de contenido algebráico "Hisab al-yabr wa'l muqqabala",
considerada uno de los primeros libros de álgebra. Obra eminentemente didáctica con
abundantes problemas para resolver y adiestrar al lector, principalmente, en la resolución de
ecuaciones de segundo grado.
Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes
sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución
de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon
trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de
Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente
hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

69


Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de
números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de
ecuaciones.
Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los
principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los
matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli se basaron principalmente en
fuentes árabes para sus estudios.
•

Las matemáticas durante el renacimiento

A principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia
en Occidente, una fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto
grado fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna.
Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la
búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta
búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del
siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del
XIX.
También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y
algebraicos. El matemático francés François Viéte llevó a cabo importantes estudios sobre la
resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del
siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

•

Avances en el siglo XVII

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde
la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los
logaritmospor el matemático escocés John Napier.
La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época
medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los
69


estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a
realizar importantes descubrimientos en la teoría de números. En geometría pura, dos
importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue la publicación, en el
Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento de la geometría analítica, que
mostraba cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la
geometría de las curvas.
El Discurso del método, junto con una serie de pequeños tratados con los que fue
publicado, ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. El
segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el ingeniero francés
Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría proyectiva en 1639.
Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el científico y filósofo francés Blaise
Pascal, su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la
geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los
trabajos del matemático francés Jean Víctor Poncelet.
Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la
probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente
en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó
al científico holandés Christian Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en
juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques
Bernoulli.
Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su Doctrina del azar de 1718,
utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría, que para
entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.
Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a
dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664
y 1666.
Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el
cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el
que se usa hoy en el cálculo.

69


•

Situación en el siglo XVIII

Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz
se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería,
lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los
hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático
francés Gaspard Monge la geometría descriptiva.
El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonard Euler, quien aportó ideas
fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler
escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para
otros autores interesados en estas disciplinas.
La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los
infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraica y basada en el
concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el
modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.
•

Las matemáticas en el siglo XIX

En 1821 el matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y
apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el
concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición
lógica de número real.
A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del concepto de
número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis,
desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard
Riemann.
Otro importante avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas
infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de
Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

69


Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la
geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una
recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta.
Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su
publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por
separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai.
Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con
su descubrimiento de las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de
Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física.
Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia, había realizado grandes
descubrimientos en teoría de números, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae
(1801) marca el comienzo de la era moderna. En su tesis doctoral presentó la primera
demostración apropiada del teorema fundamental del álgebra.
A menudo combinó investigaciones científicas y matemáticas, desarrolló métodos
estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto,
realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la
geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas.
De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental por
Gauss fue la transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de
los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.
En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometría conocida
como topología.
El matemático inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al
propio concepto de conjunto. Los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías
de conjuntos lo bastante restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque
sin determinar si podrían aparecer otras paradojas; es decir, sin demostrar si estas teorías son
consistentes. Hasta nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de
consistencia (si la teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es).

69


Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en 1931 por el lógico
estadounidense Kurt Gödel, según la cual en cualquier sistema de axiomas lo suficientemente
complicado como para ser útil a las matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya
certeza no se puede demostrar dentro del sistema.
•

Las matemáticas actuales

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el
matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el
hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas
las ramas de las matemáticas, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su
Fundamentos de la matemática en colaboración con otros autores.
La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que
él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba.
Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo
XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los "problemas de Hilbert" ha sido
resuelto, la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.
A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo
imaginar fue la invención del ordenador o computador digital programable, primordial en las
matemáticas del futuro.
Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y
Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una
máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de
instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas.
La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la
invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación
programable a gran escala se hizo realidad.
Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis
numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática
como el estudio de los algoritmos.

69


Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de
números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el computador u
ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían
podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuesto a
mediados del siglo XIX.
El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la
condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores. Este teorema fue
demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la
Universidad de Illinois (Estados Unidos).
El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca.
Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y
abstractas.

2.3. REFERENTES TEÓRICOS.
Esta investigación comprende el desarrollo de las matemáticas a través del tiempo para
identificar las estrategias metodológicas aplicadas durante el transcurso de los años. Se
analizarán diversos referentes teóricos entre los cuales cabe mencionar a Jean Piaget, Antonio
Nevot Luna, Miguel de Guzmán, Browseau, Godino, Ricardo Baeza, Bárbara Eyzaguirre y
Raimundo Olfos. Mediante las estrategias metodológicas se busca mejorar el rendimiento de
las alumnas alcanzando un aprendizaje significativo.

2.3.1. JEAN PIAGET.
En la teoría constructivista se plantea epistemológicamente que el individuo es capaz de
construir su propio conocimiento a partir del medio físico, social o cultural.
69


“De esa concepción de “construir” el pensamiento surge el término que ampara a todos.
Puede denominarse como teoría constructivista, por tanto, toda aquella que entiende que el
conocimiento es el resultado de un proceso de construcción o reconstrucción de la realidad
que tiene su origen en la interacción entre las personas y el mundo. Por tanto, la idea central
reside en que la elaboración del conocimiento constituye una modelización más que una
descripción de la realidad. Junto a los anteriores aspectos, el constructivismo se caracteriza
por su rechazo a formulaciones inductivistas o empiristas de la enseñanza, donde se esperaba
que el sujeto, en su proceso de aprendizaje, se comporte como un inventor. Por el contrario, el
constructivismo rescata, por lo general, la idea de enseñanza transmisiva o guiada, centrando
las diferencias de aprendizaje entre lo significativo (Ausubel) y lo memorístico”.7

2.3.2. BROUSSEAU Y LA TEORÍA DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS.
Esta teoría se sustenta bajo concepciones constructivistas y hace alusión a que cada
situación vivida por el alumno le otorga un nuevo aprendizaje, ya que Browseau percibe al
aprendizaje de esta manera:
“El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades,
de desequilibrio, un poco como lo hace la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación
del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje.”8

2.3.3. JUAN GODINO.
7

(Andrade, 2010)

(Browseau, 1986) (Propuesta De Guy Brousseau. BuenasTareas.com. Recuperado 11, 2010,
2010)
8

69


Entre los planteamientos de Juan Godino acerca de la didáctica de las matemáticas que
comprenden la concepción global de enseñanza, y ligando teorías específicas del aprendizaje de
otros autores que sustentan sus propios postulados, se mencionan:
“Como afirma Orton (1990), no existe ninguna teoría del aprendizaje de las matemáticas que
incorpore todos los detalles que cabría esperar y que tenga una aceptación general. Según
este autor se identifican en la actualidad dos corrientes de investigación sobre este campo: el
enfoque constructivista, considerado anteriormente, y

el enfoque de ciencia cognitiva -

procesamiento de la información, de fuerte impacto en las investigaciones sobre el aprendizaje
matemático, como se pone de manifiesto en el libro de Davis (1984).
Según Schoenfeld (1987) una hipótesis básica subyacente de los trabajos en ciencia cognitiva
es que las estructuras mentales y los procesos cognitivos son extremadamente

ricos y

complejos, pero que tales estructuras pueden ser comprendidas y que esta comprensión
ayudará a conocer mejor los modos en los que el pensamiento y el aprendizaje tienen lugar.
El centro de interés es explicar aquello que produce el "pensamiento productivo", o sea las
capacidades de resolver problemas significativos. Elcampo de la ciencia cognitiva intenta
capitalizar el potencial de la metáfora que asemeja el funcionamiento de la mente a un
ordenador para comprender el funcionamiento de la cognición como procesamiento de la
información, y como consecuencia comprender los procesos de enseñanza y aprendizaje. Se
considera que el cerebro y la mente están vinculados como el ordenador y el programa. El
punto de vista dominante en ciencia cognitiva actual es que la cognición es llevada a cabo por
un mecanismo de procesamiento central controlado por algún tipo de sistema ejecutivo que
ayuda a la cognición a ser consciente de lo que está haciendo. Los modelos de la mente se
equiparan a los modelos de ordenadores de propósito general con un procesador central
capaz de almacenar y ejecutar secuencialmente programas escritos en un lenguaje de alto
nivel. En estos modelos, la mente se considera como esencialmente unitaria, y las estructuras y
operaciones mentales se consideran como invariantes para los distintos contenidos; se piensa
que un mecanismo único está en la base de las capacidades de resolución de una cierta clase
de problemas.

Desde el punto de vista metodológico, los científicos cognitivos hacen

observaciones detalladas de los procesos de resolución de problemas por los individuos,
69


buscan regularidades en sus conductas de resolución e intentan caracterizar dichas
regularidades con suficiente precisión y detalle para que los estudiantes puedan tomar esas
caracterizaciones como guías para la resolución de los problemas. Tratan de

construir

"modelos de proceso" de la comprensión de los estudiantes que serán puestos a prueba
mediante programas de ordenador que simulan el comportamiento del resolutor. Como
educadores matemáticos debemos preguntarnos si la metáfora del ordenador proporciona un
modelo de funcionamiento de la mente que pueda ser adecuada para explicar los procesos de
enseñanza - aprendizaje de las matemáticas y cuáles son las

consecuencias para la

instrucción matemática de las teorías del procesamiento de la información.
Como nos advierte Kilpatrick (1985, p. 22) "Podemos usar la metáfora del ordenador sin caer
prisioneros de ella. Debemos recordarnos a nosotros mismos que al caracterizar la educación
como transmisión de información, corremos el riesgo de distorsionar nuestras tareas como
profesores. Podemos usar la palabra información pero al mismo tiempo reconocer que hay
varios tipos de ella y que algo se pierde cuando definimos los fines de la educación en
términos de ganancia de información".9
2.3.4. MIGUEL DE GUZMÁN.
Uno de los grandes matemáticos del siglo XX, en su interés por mejorar la Educación
Matemática, señalaba que “es necesario romper, con todos los medios, la idea preconcebida,
y fuertemente arraigada en nuestra sociedad, proveniente con probabilidad de bloqueos
iniciales en la niñez de muchos, de que la matemática es necesariamente aburrida, abstrusa,
inútil, inhumana y muy difícil”.
Es evidente que el rendimiento académico está relacionado con los procesos de aprendizaje.
Además, Alonso et al. (1999: 61) Señalan que el panorama de trabajos sobre rendimiento
académico y Estilos de Aprendizaje es muy amplio y después de analizar las distintas
investigaciones se llega a la conclusión de que parece suficientemente probado que los
estudiantes aprenden con más efectividad cuando se les enseña con sus Estilos de Aprendizaje
predominantes.

9

(Godino)

69


En cierto modo era de esperar ya que dentro del terreno educativo, encontramos argumentos
(Goleman 1996: 301) que sostienen que el éxito escolar del niño tiene mucho que ver con
factores emocionales o sociales, en ocasiones incluso más que con sus acciones o sus
capacidades intelectuales.
Prueba de ello es que los ingredientes de los que depende el rendimiento escolar están
íntimamente vinculados con la inteligencia emocional: confianza, curiosidad, intencionalidad,
autocontrol, así afirma que “es claro que una gran parte de los fracasos matemáticos de
muchos de nuestros estudiantes tienen su origen en un posicionamiento inicial afectivo
totalmente destructivo de sus propias potencialidades en este campo, que es provocado, en
muchos casos, por la inadecuada introducción por parte de sus maestros”.
Muchas veces los procesos de enseñanza no producen el efecto deseado, como señala Flores
(2001), “por muy bien que un profesor enseñe, o piense que lo haga, nunca podrá garantizar
que su esfuerzo se verá compensado con un aprendizaje del alumno”.10
2.4. LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN CHILE.
En chile existe un escaso estudio e interés por las matemáticas, por lo mismo nos encontramos
con una reducida cantidad de autores que se refieren al tema, entre los cuales se destacan los siguientes:
2.4.1. RICARDO BAEZA.

Doctor en matemática, hace referencia a la internacionalización de la matemática
Chilena.
Es uno de los grandes matemáticos en Chile, siendo su especialidad los teoremas y las
fórmulas, declarándose un adicto a ellas.
En el mes de agosto de este año fue distinguido con el Premio Nacional de Ciencias
Exactas, por “su trabajo fundacional en la matemática chilena, su labor formadora y sus
contribuciones de nivel mundial al álgebra y la teoría de números", según señaló el Jurado.
En lo que respecta a la educación matemática en chile, él plantea y opina lo siguiente:

10

(Pascual, 4 octubre de 2009)

69


•

Con respecto a la comprensión de las matemáticas, señala que “cualquier persona
puede entender y disfrutar de las matemáticas. Lo importante es que su encuentro con
ellas sea en forma amigable y entretenida, y es en este punto donde hay serias fallas.
Creo que cuando alguien dice “yo no sirvo para las matemáticas” es porque no le
supieron enseñar.”11

•

La matemática creativa: “las matemáticas son una aventura permanente y están llenas
de sorpresas. Son la creatividad misma, porque a medida que uno hace matemáticas va
creando nuevos problemas y esta cadena sigue adelante”. 12 Siendo el principal motor
para el gusto de las matemáticas, la creatividad que estas mismas generan.

•

Metodología de la enseñanza de las matemáticas en Chile, realiza una crítica de estas
debido a la forma en cómo se forman los docentes en torno a las matemáticas, la
mayoría de nosotros, futuros docentes, estamos insertos en el sistema educacional con
conocimiento demasiado básico en el área. Generando una enseñanza en las demás
generaciones, demasiado repetitiva y memorística, donde no hay crítica ni desarrollo de
las capacidades creativas de los alumnos.

2.4.2. RAIMUNDO OLFOS.
A partir de la realidad del centro de práctica, se cita a este autor con la finalidad de
establecer un vínculo entre lo que se vive en el establecimiento y lo que éste plantea, haciendo
referencia al estudio de la educación matemática a partir de la resolución de problemas. Lo que
hace referencia a la cotidianeidad de las alumnas y contextualizar el contenido llevándolo a una
situación de cómo enfrentar una situación problemática.
Objetivos de la enseñanza de la matemática en chile la enseñanza de la matemática en
la educación básica en chile se ajusta tanto a los objetivos verticales establecidos para el
sector curricular “educación matemática” como a los objetivos transversales declarados para
11

(baeza, 2010)

12

(baeza, 2010)

69


todos los sectores curriculares. Estos objetivos transversales hacen referencia a varias
dimensiones, entre ellas, al desarrollo del pensamiento y a otros valores culturales, como la
defensa del medio ambiente.
Objetivos de la enseñanza de la matemática escolar son de distinta naturaleza. Es posible
ubicarlos en “distintas dimensiones”, y por ende, mientras se avanza en la consecución de uno
se puede estar avanzando o bien retrocediendo en la consolidación de otro. Por ejemplo, la
ejercitación de un procedimiento sin fundamentación lógica puede llevar a la adopción de una
forma de pensar mecánica, en oposición al objetivo de desarrollar un pensamiento lógico
deductivo en el alumno.13
La forma en que se enseña matemática en la escuela afecta la manera en que se concilian estos
objetivos de enseñanza.
2.4.3

BÁRBARA EYZAGUIRRE.

EXPERIENCIA PILOTO PARA EVALUAR LA FACTIBILIDAD DEL USO DE UN
TEXTO NORTEAMERICANO DE MATEMÁTICA EN EL COLEGIO LOS NOGALES DE
PUENTE ALTO, CHILE.
Se opta por esta experiencia piloto, en consideración a la realidad de las alumnas de segundo
año del liceo Politécnico Belén, que creemos que les falta motivación y agilidad en el
desarrollo y resolución de ejercicios presentados en el texto de estudio. Además consideramos
que los textos impartidos por el MINEDUC comprenden una temática monótona que no les
permite a las alumnas ni a la profesora ejecutar un quehacer más activo y dinámico, que es lo
que planteará a través de su experiencia la autora.

La Fundación Los Nogales sostiene un proyecto educativo en el Colegio Los Nogales en el
sector de Puente Alto. En 1994, cuando se realizó el estudio, atendía a 600 niños de kínder a
7º año básico. El colegio es particular-subvencionado con financiamiento compartido. Entre
sus objetivos está llevar a cabo experiencias piloto para poder definir líneas de acción en el
mejoramiento de la calidad de educación. En ese año se decidió realizar un estudio piloto para
13

(Olfos, 2009)

69


evaluar la factibilidad y la efectividad de utilizar textos de estudio norteamericanos en
matemática. La necesidad de utilizar nuevos textos se planteó a raíz de observaciones que
hicieron consultores externos en la sala de clases, las que mostraban que: los profesores
exponían la materia con errores conceptuales; los alumnos trabajaban poco en clase; se
incentivaba la aplicación pasiva de procedimientos; los alumnos no sabían enfrentar
problemas y aplicar lo aprendido y, en general, no mostraban interés y curiosidad por la
matemática. Esto ocurría a pesar de que el SIMCE (Sistema Nacional de Medición de la
Calidad de Enseñanza) indicaba que el nivel alcanzado era satisfactorio. Después de cuatro
años de funcionamiento el colegio obtuvo en 1994 el 86,6% de respuestas correctas en 4º
básico, siendo el promedio nacional de un 68,3%. El desafío era mejorar los márgenes
superiores, sabiendo que éstos son los más difíciles de remontar. Se escogió intervenir por
medio de un texto porque se sabía que es una de las variables que influyen poderosamente en
el rendimiento escolar. No sólo provee estimulación, práctica y apoyo al estudio del alumno,
sino que también guía y orienta al profesor. Se pensó que era menos amenazante para el
profesor aprender por sí mismo de un texto que recibir perfeccionamiento de especialistas. Se
consideró también que las orientaciones concretas del texto podían ayudar a cambiar en
forma más eficiente el estilo de las clases que lo que podría haber logrado las orientaciones de
carácter general y teórico. Los libros elegidos representaban un cambio radical con respecto a
los que entrega el Ministerio de Educación. Éstos tienen una serie de carencias que dificultan
el aprendizaje del alumno:
— Son excesivamente condensados, lo que los hace difíciles y poco explícitos para los
niños.
— Tienen poco trabajo, lo que incide en el ritmo lento de los alumnos y en la falta de
agilidad mental.
— La guía para el profesor es insuficiente, no lo orienta a hacer buenas preguntas, no
define bien la diversidad de objetivos, no sugiere actividades anexas para los alumnos
más lentos o más rápidos.

69


— El énfasis no está en el desarrollo del razonamiento y del análisis crítico, sino en la
adquisición de vocabulario y definiciones de conceptos, por lo general muy
abstractos.
— El conjunto de los libros de un ciclo carecen de continuidad por ser de distintos
autores o porque cada año la propuesta del Ministerio de Educación es asignada a
diferentes editoriales.
En cambio los textos elegidos cuentan con las siguientes ventajas:
— Fueron elaborados, probados y evaluados por equipos interdisciplinarios de
especialistas, lo que en buena medida asegura que las metodologías y elementos motivadores
sean más adecuados.
— Son más extensos, incluyen más explicaciones, más ejemplos, más información
anexa. Esto permite que los alumnos se enriquezcan y a la vez tengan la oportunidad de
aprender en forma independiente. Ellos deben desarrollar la capacidad de extractar, habilidad
útil para comprender y asimilar las materias y enfrentar en forma activa y crítica los
contenidos. Hay una aproximación a las materias más parecida a las que enfrentarán en su
vida diaria, en la cual los contenidos no están presentados en forma tan digerida y
esquematizada.
— Los libros tienen más trabajo para los alumnos. Esto facilita el aprendizaje y los
habitúa a un ritmo de trabajo más intenso.
— Están orientados al desarrollo del razonamiento. Se busca que lo enseñado sea
comprendido y sea significativo, por lo tanto que pueda ser aplicado a la vida e integrado al
repertorio del niño. Buscan equipar a los alumnos con herramientas para enfrentar el mundo
en vez de enseñarles a ser recipientes pasivos de información.
— En general son libros con una mejor metodología de enseñanza. Están mejor
graduados, más adaptados a la psicología e intereses del niño. El enfoque es más desafiante,
variado y con énfasis en la lógica. Son entretenidos, no porque se disfracen los contenidos
como juegos, sino porque respetan la seriedad con que los niños se interesan por una realidad

69


que es en sí fascinante. Presentan los temas en forma simplificada pero sin restarles esencia.
La sensación, al leer los libros, es que los autores creen en la inteligencia de los niños, sin
olvidar que son niños.
— La guía para el profesor les ayuda a planificar y a poner el énfasis correcto en los
diferentes temas. Propone objetivos, actividades, evaluaciones, pautas de corrección, trabajos
de investigación, con una adecuada calendarización. Está pensada para profesores que tienen
poco tiempo, por lo tanto les entrega información complementaria para poder estudiar el tema
y trae materiales confeccionados que apoyan el proceso educativo (pruebas, guías de trabajo,
tareas, materiales de repaso para niños lentos, etc.).
— Son aplicables a los programas chilenos, además de que ofrecen una mayor riqueza
de contenidos.
El texto propuesto tiene 500 páginas en promedio, una guía semibilingüe de 650 páginas para
el profesor y varios cuadernillos complementarios. Esto contrasta con el promedio de 160
páginas del texto chileno y las 25 páginas para el profesor. El libro está diseñado para ser
utilizado por varios años y su costo es cuatro veces mayor que el de cualquier texto chileno en
librería. El uso del libro propuesto debía ser evaluado en una muestra piloto, porque se
planteaban una serie de dudas sobre su viabilidad. La inversión final era demasiado elevada
para ser abordada sin tener seguridad de los efectos que se lograrían. No se sabía si los
profesores se podrían adaptar al cambio de exigencia, si los alumnos cuidarían los textos más
que lo acostumbrado y si efectivamente lograrían mejorar el rendimiento, de por sí alto, o si,
por el contrario, producirían confusión y desconcierto14.

2.5. MÉTODOS

DE

MAYOR

EFECTIVIDAD

EN

LA

EDUCACIÓN

MATEMÁTICA.

2.5.1. MÉTODO SINGAPUR.
14

(Eyzaguirre, 1997)

69


El método Singapur tiene como objetivo desarrollar las habilidades de razonamiento y
la capacidad para resolver problemas, constando de tres ejes principales:
I.

Énfasis en la visualización de los problemas matemáticos mediante el uso de
diagramas.

II.

Utilización de un enfoque que permita avanzar desde lo concreto hacia lo
pictórico para finalmente llegar a lo abstracto.

III.

Comprensión profunda de los conceptos, el pensamiento lógico y la creatividad
Matemática

en

contraste

con

la

aplicación

de

fórmulassin

sentido.

Al respecto, Lin Yuan señaló que “en Singapur no tenemos una industria nacional
fuerte, no tenemos recursos naturales con los que podamos entrar a los mercados
internacionales. Nuestra única moneda está en el recurso humano, por lo que tuvimos que
encontrar formas de aventajar la inteligencia de nuestros alumnos ante cualquier escenario. De
ahí los esfuerzos educativos y las actualizaciones permanentes, que de hecho, se han
redireccionado sus ejes hacia la metacognición, a la educación de “habilidades blandas”: la
flexibilidad para mirar un problema, la capacidad de ponderar e imaginar soluciones. Lo que
buscas como profesor es que los niños sepan por qué hicieron los pasos que hicieron y cómo
llegaron a la resolución de un problema. El camino es tan importante como el resultado porque
hay siempre muchos caminos para llegar a un resultado correcto. Enseñamos la capacidad de
cuestionar y las formas de aplicar, comprobar e investigar una posible respuesta con
perseverancia. Significa ser capaz de trabajar en equipo y relacionar, añadir una información a
otra. Una pedagogía con este carácter se sustenta en valores que también deben ser aprendidos
para llegar a comprender algunos de los principios fundamentales de la ciencia. El foco no es la
suma, sino la creatividad, la capacidad para resolver problemas, la nitidez de la observación, y
el espíritu investigativo. Eso es lo que permite el Método de Singapur”.

69


El método Singapur en Chile se bautizó como "Pensar sin límites" y es la Universidad

de Santiago -que además realiza seminarios y cursos sobre el tema- la que se encuentra a cargo
de la traducción y adaptaciones de textos enfocados desde primero a cuarto básico.
El método Singapur es un sincretismo de visiones de Psicología Cognitiva y Didácticas que
tienen ya historia, podríamos decir que es una mixtura de elementos relevantes y probos en
estas materias.
Tres pensadores en el ámbito de lo educativo tienen especial relevancia en el método Singapur:
1. Jerome Bruner (Estado Unidense, 1915, Psicólogo)
2. ZoltanDienes (Húngaro, 1916, matemático)
3. Richard Skepm ( EstadoUnidense, 1919-1995)

Bruner: De este pensador, el método Singapur toma la idea de una arquitectura
"CURRICULAR EN ESPIRAL" y esto se asocia a algo que todos hemos aprendido de las
69


matemáticas, y es que "Todas las nociones matemáticas están interrelacionadas". Entonces, en
el método Singapur se tiene la certeza de que en todos los niveles, proyectivamente, se vuelven
a trabajar ideas centrales, en varias oportunidades, es decir, acá no subyace la idea de que una
materia se vio una vez y nunca más volverá a ser tocada.
Veamos un ejemplo: La primera instancia que se ve es la división en primero básico, no
tiene la forma que como adultos sabemos, allí se habla de "reparto equitativo", y esto es el
germen de la división. Luego, más tarde, en 2do básico, se introduce la escritura de la división,
con el símbolo propio de la operación. Pero es en tercero básico, que se enseña abiertamente el
algoritmo de ella (incluyendo en este nivel el concepto de RESTO), para ser reforzada en
cuarto básico. Desde tercero básico, se va practicando el "desprendimiento del material
concreto". Todo esto habla de un proceso que avanza de lo concreto a lo más abstracto.
De Bruner también se toma la variabilidad o multiplicidad de los Registros de
Representación, éstos no se usan en forma lineal sino que están aplicados de manera compleja.
Los tres elementos básicos son:
I.
II.
III.

Representación Concreta,
Representación Gráfica.
Representación Simbólica.

Conforme pasa el tiempo, el quehacer matemático se va desprendiendo de las
representaciones Concreta y Gráfica, para ir quedando la simbólica.

Abs
trac
to

69

Pict
óric
o

Con
cret
o


2.5.2. MÉTODO KUMON O JAPONÉS.
Este método afirma que las matemáticas y la lectura, son autonomía y hábito de estudio,
concentración, confianza en uno mismo, motivación para aprender. En el mismo ofrecen la
posibilidad de abrir un centro de enseñanza en régimen de franquicia.
El método inventado por Toru Kumon en el año 1956, se basa en la realización, todos
los días, de unos ejercicios que desarrollan de manera progresiva el cálculo matemático, desde
contar, pasando por las cuatro operaciones básicas hasta llegar al cálculo complejo. También se
utiliza para el aprendizaje del lenguaje. Al parecer el Método Kumon es uno de los más
eficaces para el aprendizaje de las Matemáticas en la educación inicial, aunque tiene algunas
desventajas.
El método Kumon lo que se enseña en la escuela tanto por exceso (va más adelantado
que la enseñanza y se aburre) o por defecto (va más retrasado y le sirve de poco para subir las
calificaciones)
La cantidad de ejercicios a realizar cada día es fija y hay días en que el niño tarda muy
poco de cinco a seis minutos en hacerlo y días en los que por cansancio o dificultad tardan
mucho más, entre cuarenta a cincuenta minutos. En esos días se genera una cierta “aversión” a
las matemáticas que puede ser muy perjudicial
Es importante que el método Kumon se utilice todo los días de la vida de estos niños,
incluidos en cumpleaños, fiesta, excursiones, viajes, vacaciones, etc. Esto debe suponer un
problema para los padres y apoderados, pero si esto no se enfoca con mucho cuidado puede
afectar al niño o niña.
A continuación se muestra un cuadro de nivel que compone la asignatura

69


El

método Kumon, se debe estar utilizando en variados establecimientos del país, sin embargo el nivel y
grupo que se debe utilizar en los segundos básicos es el siguiente:

Grupos de niveles

Temas principales

Explicación
69


2.6. DESCRIPCIÓN DEL CONTEXTO DONDE SE REALIZARÁ LA
INVESTIGACIÓN.

2.6.1. LICEO POLITÉCNICO BELÉN.

El Liceo Politécnico Belén, es un establecimiento de dependencia particular
subvencionado, pertenece a la congregación religiosa “Hermanas de la Sagrada Familia de
Urgel”, cuya primera comunidad llegó a Copiapó el 29 de Octubre de 1955, a solicitud del

69


Obispo Monseñor Francisco de Borja Valenzuela; la principal finalidad del establecimiento fue
brindar un espacio educativo a mujeres de escasos recursos.
Actualmente el establecimiento educacional cuenta con una matrícula total de mil
ciento setenta alumnas, donde se encuentran familias escasamente vulnerables, de nivel
socioeconómico medio.
El establecimiento educacional, cuenta con una enseñanza pre-básica, de pre kínder
hasta kínder, luego una enseñanza básica de primero a octavo básico, continuando con
enseñanza media de primero a cuarto, incluyendo el nivel técnico profesional con las
especialidades en: Administración de Empresas y Atención de Párvulos.
Su directora es la Madre Mónica Muchini, quien lleva a cargo dos años, asumiendo este
rol desde dos mil once, la Madre pertenece a la congregación de las hermanas de la Sagrada
Familia de Urgel.
El establecimiento cuenta con un plantel docente de 23 profesores para la enseñanza
básica y 19 profesores para la enseñanza media, y con 3 educadoras de párvulos para los cursos
pre básico. Además en horas extra programáticas realizan los talleres: recalcando los valores,
gimnasia rítmica, talleres de folclor y talleres de cocina.
El Liceo Politécnico Belén prioriza los valores, la convivencia y la participación de la
comunidad estudiantil, con la incorporación de los Objetivos de aprendizajes transversales, en
todas las asignaturas, para que así se pueda lograr una alumna integral.

2.6.2. DESCRIPCIÓN DE LOS SEGUNDOS BÁSICOS.
SEGUNDO AÑO BÁSICO A.
Este curso cuenta con una matrícula de 27 alumnas, siendo su profesora jefe la
señora Angelina Astorga Rojas.

69


En cuanto a lo académico las alumnas tienen como promedio 5,5 en la
asignatura de educación matemática, son alumnas activas con interés de aprender, pero con un
aprendizaje muy lento a la vez.
El curso presenta tres alumnas con necesidades educativas especiales transitorias, lo que
hace que una de ellas sea alumnas repitente de segundo básico, sin embargo las alumnas tienen
ayuda de la profesora de educación diferencial y psicopedagoga, con el fin de lograr avanzar
en el proceso de enseñanza aprendizaje.
SEGUNDO AÑO BÁSICO B.
Este curso cuenta con una matrícula de 27 alumnas, su profesora jefe es la señora
Griselda Fernández Palma.
Las alumnas presentan un promedio general de 5,1 en la asignatura de educación
matemática, son alumnas que presentan interés al trabajar, pero se distraen muy fácilmente, el
desempeño en lo académico es relativamente bajo, debido a que las alumnas presentan una
conducta poco adecuada durante el desarrollo de las clases, siendo posible también que las
estrategias utilizadas no sean las más adecuadas.
El curso sin embargo presenta una sola alumnas con necesidades educativas transitorias,
esta alumnas es aquella que repitió el segundo año básico, asiste una vez a la semana con la
profesora de educación diferencial, quien la ayuda a mejorar su rendimiento académico en
todas las asignaturas, haciendo énfasis en lenguaje y comunicación y educación matemáticas.

2.7. CARACTERÍSTICAS DEL SEGUNDO AÑO BÁSICO SEGÚN EL PROGRAMA
DE

ESTUDIO

Y

LAS

BASES

CURRICULARESDE

EDUCACIÓN

MATEMÁTICAS DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE CHILE.

Según los Planes y Programas de estudio y las Bases Curriculares del Ministerio de
Educación, señalan que el aprendizaje de las matemáticas es muy importante, ya que es una

69


asignatura que nos ayuda a enriquecer la comprensión de la realidad, facilitar la selección de
estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento crítico y
autónomo en todos los estudiantes, sean cuales sean sus opciones de vida y de estudios al final
de la experiencia escolar.
La matemática proporciona herramientas conceptuales para analizar la información
cuantitativa presente en noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportando al
desarrollo de las capacidades de comunicación, razonamiento y abstracción e impulsando el
desarrollo del pensamiento intuitivo y la reflexión sistemática. La matemática contribuye a que
los alumnos valoren su capacidad para analizar, confrontar y construir estrategias personales
para resolver problemas y analizar situaciones concretas, incorporando formas habituales de la
actividad matemática, como la exploración sistemática de alternativas, la aplicación y el ajuste
de modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante evidencias, la precisión en el
lenguaje y la perseverancia en la búsqueda de caminos y soluciones.
En el caso de los segundos básicos se espera que los alumnos desarrollen estrategias para
resolver problemas, el análisis de información la cual es proveniente de diversas fuentes,
generar situaciones y evaluar los resultados y por último el cálculo.
En la educación básica se busca desarrollar el pensamiento matemático. En este desarrollo,
están involucradas cuatro habilidades interrelacionadas: resolver problemas, representar,
modelar y argumentar y comunicar. Todas ellas tienen un rol importante en la adquisición de
nuevas destrezas y conceptos y en la aplicación de conocimientos para resolver los problemas
propios de la matemática (rutinarios y no rutinarios) y de otros ámbitos.

•

Resolver problemas.

Resolver problemas es tanto un medio como un fin para lograr una buena educación
matemática. Se habla de resolver problemas, en lugar de simples ejercicios, cuando el
estudiante logra solucionar una situación problemática dada, contextualizada o no, sin que se le
haya indicado un procedimiento a seguir. Mediante estos desafíos, los alumnos experimentan,
escogen o inventan y aplican diferentes estrategias (ensayo y error, transferencia desde
69


problemas similares ya resueltos, etc.), comparan diferentes vías de solución y evalúan las
respuestas obtenidas y su pertinencia.
•

Argumentar y comunicar.

La habilidad de argumentar se aplica al tratar de convencer a otros de la validez de los
resultados obtenidos.
La argumentación y la discusión colectiva sobre la solución de problemas, escuchar y
corregirse mutuamente, la estimulación a utilizar un amplio abanico de formas de
comunicación de ideas, metáforas y representaciones, favorece el aprendizaje matemático.
En la enseñanza básica, se apunta principalmente a que los alumnos establezcan
progresivamente deducciones que les permitirán hacer predicciones eficaces en variadas
situaciones concretas. Se espera, además, que desarrollen la capacidad de verbalizar sus
intuiciones y concluir correctamente, y también de detectar afirmaciones erróneas.
•

Modelar.

Modelar es el proceso de utilizar y aplicar modelos, seleccionarlos, modificarlos y construir
modelos matemáticos, identificando patrones característicos de situaciones, objetos o
fenómenos que se desea estudiar o resolver, para finalmente evaluarlos.
El objetivo de esta habilidad es lograr que el estudiante construya una versión simplificada y
abstracta de un sistema, usualmente más complejo, pero que capture los patrones claves y lo
exprese mediante lenguaje matemático. A partir del modelo matemático, los estudiantes
aprenden a usar una variedad de representaciones de datos y a seleccionar y aplicar métodos
matemáticos apropiados y herramientas para resolver problemas del mundo real.
Aunque construir modelos suele requerir el manejo de conceptos y métodos matemáticos
avanzados, en este currículum se propone comenzar por actividades de modelación tan básicas
como formular una ecuación que involucra adiciones para expresar una situación de la vida
cotidiana del tipo: “invitamos 11 amigos, 7 ya llegaron, ¿cuántos faltan?”; un modelo posible
sería 7 + __ = 11. La complejidad de las situaciones a modelar dependerá del nivel en que se
encuentren los estudiantes.

69


•

Representar.

Al metaforizar, el alumno transporta experiencias y objetos de un ámbito concreto y
familiar a otro más abstracto y nuevo, en que habitan los conceptos que está recién
construyendo o aprendiendo. Por ejemplo: “los números son cantidades”, “los números son
posicionesen la recta numérica”, “sumar es juntar, restar es quitar”, “sumar es avanzar, restar es
retroceder”, “dividir es repartir en partes iguales”.
En tanto, el alumno “representa” para entender mejor y operar con conceptos y objetos ya
construidos. Por ejemplo, cuando representa las fracciones con puntos en una recta numérica, o
una ecuación como x + 2 = 5 por medio de una balanza en equilibrio con una caja de peso
desconocido x y 2 kg en un platillo y 5 kg en el otro.
Manejar una variedad de representaciones matemáticas de un mismo concepto y transitar
fluidamente entre ellas, permitirá a los estudiantes lograr un aprendizaje significativo y
desarrollar su capacidad de pensar matemáticamente. Durante la educación básica, se espera
que aprendan a usar representaciones pictóricas como diagramas, esquemas y gráficos, para
comunicar cantidades, operaciones y relaciones, y que luego conozcan y utilicen el lenguaje
simbólico y el vocabulario propio de la disciplina.

Aprendizajes que deben lograr los alumnos de segundo básico según los cinco ejes
temáticos de la asignatura, de acuerdo al Programa de Estudio.
Eje Temático: Números y operaciones:
 Las alumnas debe ser capaces de desarrollar estrategias mentales para calcular con
números de hasta 4 dígitos, ampliando el ámbito numérico en los cursos superiores. Se

69


pretende que las estudiantes expliquen y describan múltiples relaciones como parte del
estudio de la matemática.
Eje Temático: Patrones y Álgebra:
 Las alumnas buscarán relaciones entre números, formas, objetos y conceptos, lo que
los facultará para investigar las formas, las cantidades y el cambio de una cantidad en
relación con otra.
Eje Temático: Geometría
 En este eje, se espera que las estudiantes aprendan a reconocer, visualizar y dibujar
figuras, y a describir las características y propiedades de figuras 2D y 3D en
situaciones estáticas y dinámicas.
Eje Temático: Medición
 Este eje pretende que las estudiantes sean capaces de cuantificar objetos según sus
características, para poder compararlos y ordenarlos.
Las características de los objetos ancho, largo, alto, peso, volumen, etc.

Eje Temático: Datos y probabilidades
 Este eje responde a la necesidad de que todas las estudiantes registren, clasifiquen y
lean información dispuesta en tablas y gráficos y que se inicien en temas relacionados
con el azar.

Según las Bases Curriculares entregadas por el Ministerio de Educación, los Objetivos de
aprendizaje, que nuestros alumnos y alumnas debieran alcanzar son:
•
o

Resolver problemas

Emplear diversas estrategias para resolver problemas:

69


- por medio de ensayo y error
- aplicando conocimientos adquiridos
o

Comprobar enunciados, usando material concreto y gráfico.
•

Argumentar y comunicar

• Describir situaciones de la realidad con lenguaje matemático.
•

Comunicar el resultado de descubrimientos de relaciones, patrones y reglas, entre otros,
empleando expresiones matemáticas.

•

Explicar las soluciones propias y los procedimientos utilizados.
•

Modelar

•

Aplicar y seleccionar modelos que involucren sumas, restas y orden de cantidades.

•

Expresar, a partir de representaciones pictóricas y explicaciones dadas, acciones y
situaciones cotidianas en lenguaje matemático.
•

•

Representar

Elegir y utilizar representaciones concretas, pictóricas y simbólicas para representar
enunciados.

•

Crear un relato basado en una expresión matemática simple.

En cuanto a los Contenidos Mínimos Obligatorios que debieran alcanzar son:
•
o

Números y operaciones

Contar números del 0 al 1 000 de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10 y de 100 en 100, hacia
adelante y hacia atrás, empezando por cualquier número menor que 1 000.

o

Leer números del 0 al 100 y representarlos en forma concreta, pictórica y simbólica.

o

Comparar y ordenar números del 0 al 100 de menor a mayor y viceversa, usando material
concreto y monedas nacionales de manera manual y/o por medio de software educativo.

o

Estimar cantidades hasta 100 en situaciones concretas, usando un referente.

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