1. Denis Castilla Morales
María José Palencia Camargo
Natalia Franco Puello
Idelfonso Baldiris
Algebra lineal
Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco
Cartagena, 06 de Mayo del 2012

2. Factorización LU
Suponga que la matriz invertible A se puede
reducir por renglones a una matriz triangular
superior sin realizar permutaciones. Entonces
existen matrices únicas L y U tales que L es
triangular inferior con unos en la diagonal, U
es una matriz superior invertible y A = LU.

3. EJEMPLO: encuentre una factorización LU de una
matriz A
Reduzca por 2 3 2 4 a una matriz
renglones 4 10 -4 0 triangular superior
la matriz A= -3 -2 -5 -2 y
-2 4 4 -7
después escriba A como un producto de una matriz
triangular inferior y una matriz triangular superior.

4. SOLUCION
Se procede como antes, solo que esta vez no se dividen
los elementos de la diagonal (pivotes) por si mismos:
2 3 2 4 R2 R2 - 2R1 2 3 2 4 2 3 2 4
4 10 -4 0 R3 R3 + 3/2R1 0 4 -8 -8 R3 R3 -5/8R2 0 4 -8 -8
-3 -2 -5 -2 R4 R4 + R1 0 5/2 -2 4 R4 R4 -7/4R2 0 0 3 9
-2 4 4 -7 0 7 6 -3 0 0 20 11

5. 2 3 2 4
R4 R4 -20/3R3 0 4 -8 -8 = U
0 0 0 -49
Usando las matrices elementales, se puede escribir
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
U= 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -5/8 1 0
0 0 -20/3 1 0 -7/4 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 -2 1 0 0
X 0 0 1 0 3/2 0 1 0 0 0 1 0A
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

6. O
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
A= 0 0 1 0 -3/2 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
X 0 5/8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 U
0 0 0 1 0 7/4 0 1 0 0 20/3 1

7. Se ha escrito A como un producto de seis matrices
elementales y una matriz triangular superior.
Sea L el producto de las matrices elementales. Debe
verificar que
1 0 0 0
L = 2 1 0 0 , que se trata de una matriz triangular
-3/2 5/8 1 0 inferior con unos en la diagonal.
-1 7/4 20/3 1

8. Después se puede escribir A= LU, donde L es triangular
Inferior y U es triangular superior. Los elementos de la
diagonal L son todos iguales a 1 y los elementos de la
Diagonal de U son los pivotes. Esta factorización se llama
Factorización LU de A