Estruturas metálicas: aço estrutural, produtos, dimensionamento e aplicações

RICARDO GASPAR
ESTRUTURAS METÁLICAS
São Paulo
2008

SUMÁRIO
1. AÇO ESTRUTURAL................................................................................................................ 1
1.1. Estruturas metálicas............................................................................................................. 1
1.1.1. Vantagens......................................................................................................................... 1
1.1.2. Desvantagens ................................................................................................................... 2
1.1.3. Normas ............................................................................................................................. 2
1.1.4. Aplicações......................................................................................................................... 3
1.2. Formas usuais de metais ferrosos ....................................................................................... 3
1.2.1. Etapas de fabricação do aço............................................................................................ 3
1.3. Tipos de aços estruturais...................................................................................................... 4
1.3.1. Aço carbono ..................................................................................................................... 4
1.3.2. Aços de baixa liga e alta resistência................................................................................ 5
1.3.3. Nomenclatura da ABNT.................................................................................................. 5
1.3.4. Espessura mínima para peças estruturais....................................................................... 5
1.3.5. Propriedades dos aços estruturais................................................................................... 6
1.4. Tensões e deformações......................................................................................................... 6
1.5. Ensaios.................................................................................................................................. 7
1.5.1. Ensaios de tração............................................................................................................. 8
1.5.2. Diagrama tensão - deformação ....................................................................................... 8
1.6. Lei de Hooke....................................................................................................................... 11
1.6.1. Ensaios de compressão .................................................................................................. 12
1.6.2. Coeficiente de Poisson................................................................................................... 12
1.6.3. Forma geral da Lei de Hooke........................................................................................ 13
2. PRODUTOS SIDERÚRGICOS............................................................................................. 16
2.1. Perfis laminados................................................................................................................. 16
2.2. Perfis Soldados................................................................................................................... 18
2.3. Perfis conformados a frio ou de chapas dobradas............................................................ 19
2.4. Tubos .................................................................................................................................. 20
2.5. Tabelas de perfis................................................................................................................. 20
2.6. Principais tipos de concepções estruturais........................................................................ 22
2.6.1. Treliças isostáticas ......................................................................................................... 22
2.6.2. Tesouras isostáticas ....................................................................................................... 23
3. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO ............................................................................ 24
3.1. Método das tensões admissíveis ......................................................................................... 24
3.2. Método dos Estados Limites............................................................................................... 25
3.2.1. Carregamentos............................................................................................................... 27
3.2.2. Coeficientes de majoração das ações ............................................................................ 27
4. PEÇAS TRACIONADAS ....................................................................................................... 30
4.1. Dimensionamento no Estado Limite Último (ELU) ......................................................... 30
4.1.1. Peças tracionadas com furos......................................................................................... 30
4.1.2. Peças com extremidades rosqueadas............................................................................. 31
4.1.3. Peças ligadas por pinos.................................................................................................. 31
4.1.4. Limitação de esbeltez das peças tracionadas ................................................................ 31
4.1.5. Diâmetro dos furos......................................................................................................... 32
4.1.6. Exemplos ........................................................................................................................ 35
5. TRELIÇAS.............................................................................................................................. 40
Definição.......................................................................................................................................... 40
Apoios .............................................................................................................................................. 41
Método do equilíbrio dos nós.......................................................................................................... 42
Dimensionamento............................................................................................................................ 49

6. LIGAÇÕES............................................................................................................................. 50
6.1. Ligações com conectores.................................................................................................... 50
6.1.1. Rebites ............................................................................................................................ 50
6.1.2. Parafusos........................................................................................................................ 50
6.2. Espaçamento entre conectores........................................................................................... 52
6.3. Dimensionamento............................................................................................................... 53
6.3.1. Dimensionamento ao corte............................................................................................ 54
6.3.2. Dimensionamento ao esmagamento da chapa (pressão de apoio)............................... 54
6.3.3. Dimensionamento ao rasgamento da chapa................................................................. 55
6.3.4. Dimensionamento à tração da chapa............................................................................ 55
6.3.5. Ruptura por cisalhamento de bloco............................................................................... 56
6.3.6. Combinação de conectores ............................................................................................ 56
6.3.7. Dimensionamento à tração e a corte simultâneos – fórmulas de interação................ 57
6.3.8. Resistência ao deslizamento em ligações por atrito...................................................... 57
6.4. Ligações soldadas............................................................................................................... 63
6.4.1. Tipos, qualidade e simbologia de soldas ....................................................................... 63
6.4.2. Elementos construtivos para projeto............................................................................. 65
6.4.3. Resistência das soldas.................................................................................................... 67
7. PEÇAS COMPRIMIDAS....................................................................................................... 69
7.1. Introdução .......................................................................................................................... 69
7.1.1. Flambagem elástica ....................................................................................................... 70
7.1.2. Flambagem inelástica.................................................................................................... 73
7.2. Dimensionamento............................................................................................................... 77
7.3. Flambagem local................................................................................................................ 80
7.3.1. Parâmetros de flambagem local .................................................................................... 81
8. PEÇAS FLETIDAS................................................................................................................ 88
8.1. Introdução .......................................................................................................................... 88
8.2. Dimensionamento à flexão ................................................................................................ 89
8.2.1. Momento de início de plastificação e momento de plastificação ................................. 89
8.2.2. Resistência à flexão de vigas com contenção lateral.................................................... 90
8.2.3. Resistência à flexão de vigas sem contenção lateral contínua..................................... 96
8.3. Dimensionamento da alma das vigas .............................................................................. 103
8.3.1. Conceitos ...................................................................................................................... 103
8.3.2. Tensão de cisalhamento............................................................................................... 103
8.3.3. Vigas I com um ou dois eixos de simetria sem enrijecedores..................................... 104
APÊNDICE ................................................................................................................................... 108
BIBLIOGRAFIA........................................................................................................................... 111

Estruturas Metálicas, de Madeiras e Especiais Ricardo Gaspar 1
ESTRUTURAS METÁLICAS1
1. AÇO ESTRUTURAL
O aço é uma liga formada basicamente dos elementos ferro (Fe) e carbono (C), com
teor máximo de 1,7%. Outros elementos químicos são adicionados para modificar as
características mecânicas do aço, de acordo com sua utilização. Estas adições também são
feitas em baixas porcentagens, por exemplo: manganês 1,65%, cobre 0,60%, etc.
Na natureza, o elemento ferro é encontrado na hematita, minério de ferro em
abundância no Brasil. O carbono acha-se na composição do carvão mineral. A fabricação
do aço é iniciada num forno especial, chamado “alto forno”, onde o minério de ferro e o
carvão mineral são levados a temperaturas bem elevadas (1500ºC). Aí, inicia-se o processo
de fabricação que dará origem ao aço, naturalmente, após uma seqüência de operações
siderúrgicas.
A primeira usina siderúrgica de porte construída no Brasil, foi a Companhia
Siderúrgica Nacional (CSN), situada na cidade de Volta Redonda, inaugurada em 1946.
Até então, a produção de aço do país era insignificante. Nossas construções em Estruturas
Metálicas dependiam quase que totalmente, da importação de perfis. As poucas obras
metálicas existentes na época podiam ser resumidas em pontes ferroviárias, feitas pelos
ingleses, coberturas de pequeno porte e construções especiais, pouco freqüentes, como o
viaduto Santa Efigênia em São Paulo.
A CSN foi construída com assistência técnica da “United States Steel”, na época da
Segunda Guerra Mundial. O programa da empresa visava à fabricação de diversos
produtos siderúrgicos, em especial, os perfis metálicos. Assim, foi introduzido no Brasil o
“padrão americano” de perfis. Isto acarretou a adoção de normas de fabricação de aço de
origem americana, unidades inglesas para as dimensões dos perfis, etc.
As principais Usinas Siderúrgicas brasileiras são a CSN, Cosipa, Usiminas, Belgo-
Mineira, Cofavi (Companhia Ferro e Aço Vitória), Açominas, etc.
A produção das siderúrgicas visa atender toda a demanda nacional nas diferentes
áreas de consumo. Assim, algumas siderúrgicas atendem por exemplo, a indústria naval, a
indústria automobilística, outras atendem a construção civil, etc.
1.1. Estruturas metálicas
1.1.1. Vantagens
• construção estruturas com boa precisão, possibilitando alto controle de qualidade;
• garantia de dimensões de propriedades dos materiais;
1
Este trabalho é uma compilação de vários textos sobre Estruturas Metálicas de autores consagrados,
indicados na Bibliografia, feito unicamente para Notas de Aulas, com finalidade didática.

• material resistente a choques e vibrações;
• possibilidade de execução de obras mais rápidas e limpas;
• possibilidade de desmontagens e de reaproveitamento das peças estruturais;
• alta resistência, o que implica em estruturas mais leves, vencendo grandes vãos.
1.1.2. Desvantagens
• limitação da fabricação das peças em fábricas;
• limitação do comprimento das peças devido aos meios de transportes;
• necessidade de tratamento anticorrosivo;
• necessidade de mão de obra e equipamentos especializados;
• limitação de dimensões dos perfis estruturais.
Um valor econômico para vigas em concreto armado é 6m, ou 1/10 do vão. Para
estruturas metálicas o vão econômico é de 13m a 25m ou aproximadamente 1/20 do vão.
O valor de um projeto de estruturas metálicas é geralmente cobrado 10% do custo
do peso da estrutura.
1.1.3. Normas
As Normas que tratam de estruturas metálicas são as seguintes:
ABNT – Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios: método dos estados limites –
NBR-8800 (NB14). Rio de Janeiro, ABNT, 1986.
ASTM – American Society for Testing and Materials: especificações para fabricação do
aço, acabamento dos perfis, etc.
AISC – American Institute of Steel Construction: especificações para projetos de prédios
industriais ou residenciais em estruturas metálicas.
AASHO – American Association of State Highway Offcials: especificações para projeto
de pontes rodoviárias metálicas.
Além das normas de aço, outras normas devem ser consultadas para a elaboração de
projetos em estruturas metálicas:
NBR 6123 (NB599) Forças devidas ao vento em edificações, 1988.
NBR 6120 (NB5) Cargas para o cálculo de estruturas de edificações, 1980.
NBR 9763 (EB1742) Aços para perfis laminados, chapas grossas e barras, usados em
estruturas fixas, 1987
NBR 7188 (NB6). Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre, 1984.
NBR 7189 (NB7). Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias, 1989.

1.1.4. Aplicações
As aplicações do aço em Engenharia Civil são muitas como:
telhados; pontes e viadutos; postes;
edifícios comerciais; pontes rolantes; passarelas;
edifícios industriais; reservatórios; indústria naval;
residências; torres; escadas;
hangares; guindastes; mezaninos.
1.2. Formas usuais de metais ferrosos
As formas usuais de metais ferrosos são: ferro fundido, aço e ferro laminado, os
quais são produzidos em três etapas de fabricação.
1.2.1. Etapas de fabricação do aço
O processo industrial de obtenção do aço compreende o aproveitamento do ferro
contido no minério de ferro e pela eliminação progressiva de impurezas. Na forma líquida,
já isento das impurezas do minério, recebe adições que lhe dão as características desejadas,
sendo solidificado e preparado para a forma requerida. O processo de fabricação do aço
pode ser definido em três etapas:
• 1a
. fase: produção do ferro gusa (alto forno): o minério de ferro (hematita) é
submetido a um forno de alta temperatura, cerca de 1500 ºC, juntamente com
carvão mineral, resultando um produto denominado ferro gusa, também conhecido
como ferro fundido. O ferro gusa não tem aplicação em estruturas metálicas por
apresentar grande porcentagem de carbono, sendo por isto, quebradiço. As
características do ferro fundido são as seguintes: teor de carbono: 3% a 4,5%; ferro:
96%, mais impurezas;
• 2a
. fase: aciaria: o aço é obtido pela diminuição dos teores de carbono, silício e
enxofre (refino), em equipamentos apropriados. O ferro gusa é depositado em
fornos que os transforma em lingotes, além de reduzir seu teor de carbono,
conforme as especificações. As características aço produzido são: teor de carbono:
aproximadamente < 0,7% a 1,7% (pode variar de 0% a 1,7%);
• 3a
. fase: laminação: fabricação dos perfis em laminadores padronizados (rolled
beam) em medidas americanas e européias. Depois da fase de aciaria (refino do
ferro gusa) passa-se à produção de lingotes contínuos, na qual se inicia a
solidificação do aço no molde, que é retirado continuamente por rolos extratores. O
teor de carbono para os aços laminados é < 0,2%. Na laminação, os lingotes são
pré-aquecidos e deformados pela passagem sobre pressão em laminadores cilindros,
reduzindo sua espessura até a medida desejada para comercialização. As chapas
sofrem também redução de espessura por laminação.
O carbono aumenta a resistência do aço porém, o torna mais duro e quebradiço.
Contudo, o aumento do teor de carbono produz redução na ductilidade do aço, o que
acarreta problemas com solda.

Os aços carbonos podem ser soldados sem precauções especiais, somente até o teor
de carbono de 0,30%.
Os aços de baixa liga são aços carbonos acrescidos de elementos de liga (cromo,
colúmbio, cobre, manganês, molibdênio, níquel, fósforo, vanádio, zircônio), os quais
melhoram algumas de suas propriedades mecânicas.
As ligas aumentam a resistência do aço devido à modificação da micro-estrutura
dos grãos finos. É possível atingir resistência elevada com 0,20% de carbono e permitir
soldagens sem precauções.
1.3. Tipos de aços estruturais
Os aços estruturais para Construção Civil são basicamente: aço carbono e aço de
baixa liga.
1.3.1. Aço carbono
É o aço mais indicado para estruturas metálicas, pois é fácil de ser encontrado em
todas as bitolas. Como exemplo de aço carbono fabricado no Brasil, o ASTM A-36 ou
simplesmente A-36. Numa terminologia menos técnica pode-se interpretar o aço A-36
como aço comum.
Os aços carbono apresentam taxas que variam aproximadamente de 0,15% a 1,7%
de carbono.
Tabela 1.1 Tipos de aço carbono
A36
(ASTM)
Usado em perfis, chapas e barras para a construção de edifícios, pontes
e estruturas pesadas C = 0,25% a 0,29%
fy = 36 ksi ≈ 250 MPa fu = 400 a 550 MPa
A307
(ASTM)
Aço de baixo teor de carbono para fabricação de parafusos comuns
(C < 0,15%) fu = 415 MPa
A325
(ASTM)
Aço de médio teor de carbono para fabricação de parafusos de alta
resistência (0,30% < C < 0,59%)
fy = 550 MPa fu = 750 MPa
A570
(ASTM)
Empregado para perfis de chapas dobradas devido a sua maleabilidade
Grau 33: fy = 230 MPa fu = 360 MPa
1 ksi = 70,3 kgf/cm2
. (kilo-libra por polegada quadrada)

Em função do teor de carbono, os aços distinguem-se em quatro categorias:
• baixo carbono C < 0,15%
• moderado 0,15% < C < 0,29%
• médio carbono 0,30% < C < 0,59%
• alto carbono 0,60% < C < 1,70%
1.3.2. Aços de baixa liga e alta resistência
São aços de resistência mecânica mais elevadas, possibilitando, assim, redução do
peso próprio da estrutura. Devem ser utilizados em obras especiais tais como viadutos ou
estruturas de grandes vãos, onde a redução do peso é importante. Evidentemente, são perfis
de custo mais elevado que os comuns. Exemplo de aço de alta resistência: ASTM A-242,
fabricado pela CSN, sob o nome comercial de aço COR-TEN. Este tipo de aço tem
também elevada resistência à oxidação, não necessitando qualquer pintura de proteção.
O aço de alta resistência, do tipo CORTEN (ou similar) possui tensão de
escoamento de 350 MPa.
Tabela 1.2 Aços de baixa liga e alta resistência mecânica e à corrosão.
A242 (ASTM)
fy = 290 MPa a 350 MPa
Perfis:
Grupo 1 e 2: fy = 345 MPa fu = 480 MPa
Grupo 3 fy = 315 MPa fu = 460 MPa
Chapas e barras:
19≤t : fy = 345 MPa fu = 480 MPa
3819 ≤< t : fy = 315 MPa fu = 460 MPa
10038 ≤< t : fy = 290 MPa fu = 435 MPa
t = espessura
1.3.3. Nomenclatura da ABNT
A ABNT prescreve a seguinte nomenclatura para os aços estruturais:
MR 250 fy = 250 MPa fu = 400 MPa
AR 290 fy = 290 MPa fu = 415 MPa
AR 345 fy = 345 MPa fu = 485 MPa
Módulo de Elasticidade: E = 205 GPa E=205000 MPa 20500 kN/cm2
.
1.3.4. Espessura mínima para peças estruturais
A espessura mínima das peças metálicas está ligada à sua proteção contra a
corrosão.
• sem necessidade de proteção contra corrosão: 3mm
• com necessidade de proteção contra corrosão: 5mm

1.3.5. Propriedades dos aços estruturais
• Ductilidade: é a capacidade do material de se deformar sob a ação de cargas sem
se romper. Quanto mais dúctil o aço, maior será a redução de área ou o
alongamento antes da ruptura. A ductilidade tem grande importância nas estruturas
metálicas, pois permite a redistribuição de tensões locais elevadas. As barras de aço
sofrem grandes deformações antes de se romper, o que na prática constitui um
aviso da presença de tensões elevadas;
• Fragilidade: é o oposto da ductilidade. Os aços podem ter características de
elementos frágeis em baixas temperaturas;
• Resiliência: é a capacidade do material de absorver energia mecânica em regime
elástico;
• Tenacidade: é a capacidade do material de absorver energia mecânica com
deformações elásticas e plásticas;
• Dureza: é a resistência ao risco ou abrasão. A dureza pode ser medida pela
resistência que sua superfície se opõe à introdução de uma peça de maior dureza;
• Resistência à Fadiga: é a capacidade do material suportar aplicações repetidas de
carga ou tensões. É usualmente expressa como um limite de tensão que causa a
falha sob condições de esforços repetidos. Esta tensão pode ocorrer em regime
elástico.
1.4. Tensões e deformações
Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar,
considerando-se o alongamento de uma barra prismática (barra de eixo reto e de seção
constante em todo o comprimento).
Considere-se uma barra prismática carregada nas extremidades por forças axiais P
(forças que atuam no eixo da barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na
barra. Sob ação dessas forças originam-se esforços internos no interior da barra. Para o
estudo desses esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção mm, normal a
seu eixo. Removendo-se, por exemplo, a parte direita do corpo, os esforços internos na
seção considerada (m-m) transformam-se em esforços externos. Supõe-se que estes
esforços estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal.
m
m
σ
L
P
δ
P
P
Figura 1.1 barra prismática submetida a esforços de tração

Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à
resultante, também axial, de intensidade P.
Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a
seção transversal, recebem o nome de tensão normal, sendo comumente designada pela
letra grega σ (sigma).
Pode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da seção transversal
é obtida dividindo-se o valor da força P pela área da seção transversal, ou seja,
A
P
=σ (1)
A tensão possui a mesma unidade de pressão que, no Sistema Internacional de
Unidades, é o Pascal (Pa), o qual corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície
de 1m2
, ou seja, Pa = N/m2
.
Como a unidade Pascal é muito pequena, costuma-se utilizar com freqüência seus
múltiplos: MPa = N/mm2
= (Pa×106
), GPa = kN/mm2
= (Pa×109
), etc. Em outros Sistemas
de Unidades, a tensão ainda pode ser expressa em quilograma força por centímetro
quadrado (kgf/cm2
), libra por polegada quadrada (lb/in2
ou psi), etc.
Quando a barra é alongada pela força P, como indica a Figura acima, a tensão
resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a
barra, tem-se tensão de compressão.
A condição necessária para validar a equação (1) é que a tensão σ seja uniforme em
toda a seção transversal da barra.
O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela
letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado
deformação específica, representada pela letra grega ε (epsilon), é dado pela seguinte
equação:
L
δ
ε = (2)
onde:
ε = deformação específica
δ = alongamento ou encurtamento
L = comprimento total da barra.
Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no
meio técnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o
valor da deformação específica por 102
ou mesmo até por mil (‰) multiplicando-se por
103
.
1.5. Ensaios
Para se conhecer o comportamento estrutural do aço realizam-se ensaios em
laboratório, utilizando-se corpos de prova normalizados, com o intuito de se obter as
características mecânicas do material, tais como, módulo de elasticidade, tensão de ruptura,
etc. Estas características mecânicas são utilizadas nos projetos estruturais.

1.5.1. Ensaios de tração
Nos ensaios de tração do aço distinguem-se dois casos: aços que apresentam
patamar de escoamento e os aços que não apresentam.
O ensaio de tração tem por objetivo o traçado da curva tensão-deformação e a
obtenção das características mecânicas do material. Consiste em tracionar um corpo de
prova em uma máquina de ensaio e registrar sucessivamente as tensões (σ) aplicadas e as
correspondentes deformações unitárias (ε).
1.5.2. Diagrama tensão - deformação
As relações entre tensões e deformações para um determinado material são
encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ,
correspondentes aos acréscimos de carga axial P, que se aplicam à barra, até a sua ruptura.
Obtêm-se as tensões (σ) dividindo as forças pela área da seção transversal da barra
e as deformações específicas (ε) dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do
qual a deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do
material em estudo. Na Figura 1.2 ilustra-se o diagrama tensão-deformação típico do aço.
região
elástica
região plástica
C
ε0
L
p
P
r
f
f A
p
e
f
σ
escoamento
B
ε
δ
P
εr
D
E Tensão
A
P
=σ
Deformação específica
L
δ
ε =
fr = tensão de ruptura
fe ou fy = tensão de escoamento
fp = tensão limite de proporcionalidade
Figura 1.2 Diagrama tensão-deformação do aço
Região elástica: de 0 até A as tensões são diretamente proporcionais às
deformações; o material obedece a Lei de Hooke, mais à frente enunciada, e o diagrama é
linear. 0 ponto A é chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deixa
de existir a proporcionalidade.
Nesta fase, as deformações desaparecem quando retiradas as cargas aplicadas.
Portanto, não há deformação permanente nesta fase.
Daí em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta AO , até que em B inicia-se
o fenômeno do escoamento.
Região plástica: é aquela situada após o ponto A até a ruptura. Nesta fase as
deformações no material são permanentes.

No ponto B inicia-se o escoamento, caracterizado por um aumento considerável da
deformação com pequeno aumento da força de tração.
A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande
deformação plástica é uma característica do aço, que é o mais comum dos metais
estruturais em uso atualmente. Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer
grandes deformações antes da ruptura. Materiais que apresentam grandes deformações,
antes da ruptura, são classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre,
bronze, latão, níquel, etc, também possuem comportamento dúctil. Por outro lado, os
materiais frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes
de romper-se, como por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica,
gesso, entre outros.
O ponto C é o final do escoamento o material começa a oferecer resistência
adicional ao aumento de carga, atingindo o valor máximo ou tensão máxima no ponto D,
denominado limite máximo de resistência. A partir do ponto C verifica-se outro fenômeno
físico, chamado encruamento. O aumento de resistência das ligas metálicas ocorrida após o
escoamento é chamado encruamento. A fase plástica caracteriza-se pelo endurecimento por
deformação a frio, ou seja, pelo encruamento do material. Além deste ponto, maiores
deformações são acompanhadas por reduções da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do
corpo-de-prova no ponto E do diagrama.
O limite de resistência corresponde ao valor máximo de tensão que o material pode
suportar (ponto D). Depois de atingida esta carga máxima, inicia-se a fase de ruptura
caracterizada pelo fenômeno da Estricção. A Estricção é uma diminuição acentuada da
seção transversal do corpo de prova até a sua ruptura. No ponto E, verifica-se a ruptura da
peça após a estricção, que teve início em D. Observa-se, também, queda no valor da tensão
aparente entre D e E.
Na Figura 1.3 são ilustrados diagramas tensão – deformação de vários tipos de aço,
em escala real.
Figura 1.3 Diagramas tensão-deformação em escala real

O limite de escoamento para o aço A-36 é fy= 250 MPa e o limite de
proporcionalidade ou elasticidade (fp) ocorre aproximadamente a 80% da tensão de
escoamento, portanto, fp = 200 MPa. O limite de elasticidade corresponde a uma
deformação da ordem de 0,10% no corpo de prova, portanto, trabalhando-se na fase
elástica as deformações sofridas são pequenas. O aumento de deformação no escoamento
cresce aproximadamente de 1,5% a 2,0%.
Apresenta-se a seguir uma tabela com os valores principais das tensões sofridas por
um corpo de prova de aço A-36 de comprimento L= 20 cm, admitidas as deformações
indicadas. O quadro abaixo não se prende a um ensaio específico, os seus números têm
como objetivo fornecer somente uma ordem de grandeza desses valores.
Tabela 1.3 Ensaio do aço A-36
Aço A-36
Tensão (σ)
(MPa)
Deformação
Específica (ε) (%)
Deformação (δ)
(cm)
Limite de elasticidade 200 0,10 0,02
Início do escoamento 250 0,15 0,03
Fim do escoamento = início do encruamento 250 2,00 0,4
Limite de resistência = tensão máxima 450 16 3,2
Limite de ruptura = tensão de ruptura 290 24 4,8
Há outro tipo de aço que não apresenta patamar de escoamento. O aspecto da curva
tensão-deformação para estes aços está indicado na Figura 1.4. Observa-se que a inclinação
da reta referente à fase elástica dos aços é sempre a mesma porque o módulo de
elasticidade apresenta valores idênticos para os diferentes tipos de aço.
0
fp
σ
rf
fe
εr ε(%)
εp= 0,2
Figura 1.4 Diagrama tensão-deformação de aços sem patamar de escoamento
Nesta curva não existe um limite ou tensão de escoamento definida claramente no
gráfico. Entretanto, por analogia com os aços que apresentam patamar de escoamento,
define-se um limite de escoamento convencional, como sendo aquela tensão que deixa uma
deformação permanente de 0,2%, quando o corpo de prova é descarregado.

1.6. Lei de Hooke
Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais,
quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto
é, quando a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o
carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela
qual ele tende a retornar à forma original, é denominada elasticidade. Quando a barra volta
completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o
retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a deformação
que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação residual.
A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE
em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE. Verifica-se que o trecho do diagrama da
Figura 1.2, entre os pontos O e A é retilíneo, o que caracteriza a relação linear entre
tensões e deformações. Daí, o conhecido enunciado da Lei de Hooke: “Na fase elástica, as
tensões são proporcionais às deformações”, ou seja,
εσ E= (3)
onde
σ = tensão normal
E = módulo de elasticidade do material
ε = deformação específica
O Módulo de Elasticidade é o coeficiente angular da região linear do diagrama
tensão-deformação, sendo diferente para cada material. O Módulo de Elasticidade
representa fisicamente a força de ligação entre as moléculas do corpo em estudo. Mede a
deformabilidade do material; quanto maior for o seu valor, menor será a deformação
sofrida.
O valor do módulo de elasticidade é constante para cada metal ou liga metálica. É
uma característica física do material.
A Lei de Hooke é válida somente para a fase elástica dos materiais. Por este
motivo, quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a
superposição de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o
material e depois somá-los.
Alguns valores de Módulo de Elasticidade (E) são mostrados na Tabela abaixo.
Para a maioria dos materiais, o valor do Módulo de Elasticidade, sob compressão ou sob
tração, são iguais.
Tabela 1.4 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais
Material
Peso específico
(kN/m3
)
Módulo de Elasticidade
(GPa)
Aço 78,5 200 a 210
Alumínio 26,9 70 a 80
Bronze 83,2 98
Cobre 88,8 120
Ferro fundido 77,7 100
Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12

Deformações elásticas
Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é AP /=σ e a
deformação específica é L/δε = . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE,
tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra:
EA
PL
=δ (4)
Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é
diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como
rigidez axial da barra.
1.6.1. Ensaios de compressão
Na determinação das características mecânicas dos aços estruturais, não é freqüente
o emprego do ensaio de compressão, dando-se preferência ao ensaio de tração. Existem
dificuldades neste tipo de ensaio, como a possibilidade de flambagem do corpo de prova e
outros problemas práticos ligados especificamente ao ensaio.
Os ensaios de compressão são realizados quase sempre no campo da pesquisa,
visando comparar seus resultados com os ensaios de tração. Quando se ensaia à
compressão obtém-se também a curva tensão-deformação, os limites de proporcionalidade
e de escoamento, módulos de elasticidade, etc. Os valores encontrados para estas
propriedades são aproximadamente iguais aos obtidos num ensaio de tração. Nos estudos
teóricos e cálculos, admitem-se que as propriedades mecânicas citadas são as mesmas,
quando o material trabalha à tração ou à compressão. Na verdade, as diferenças
ocasionalmente encontradas para certos tipos de aço são pequenas.
Assim, a validade da Lei de Hooke ocorre tanto para peças comprimidas como para
tracionadas, admitindo-se a mesma curva tensão – deformação, com os mesmos valores,
nos dois casos. O módulo de elasticidade, limites de escoamento e de elasticidade, etc,
apresentam conseqüentemente, os mesmos números para tração ou compressão.
1.6.2. Coeficiente de Poisson
Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma
contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu
comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 1.4
ilustra essas deformações.
P
P
P
P
Figura 1.4 Deformações longitudinal e lateral nas barras

A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v); definido como:
allongitudindeformação
lateraldeformação
=υ (5)
Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D.
Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em
todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25. Experiências com
metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35.
Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a
direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o
material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material
anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas
fibras a madeira é mais resistente.
1.6.3. Forma geral da Lei de Hooke
Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicável a
exemplos simples de solicitação axial.
Se forem consideradas as deformações longitudinal (εL) e transversal (εt), tem-se,
respectivamente:
E
L
σ
ε = e
E
Lt
υσ
νεε == (6)
No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões
normais σx, σy e σz, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às
deformações εx, εy e εz, a Lei de HOOKE é definida como:
σy
x
σ
σz ( )[ ]zyxx
E
σσυσε +−=
1
( )[ ]xzyy
E
σσυσε +−=
1
( )[ ]yxzz
E
σσυσε +−=
1
(7)
A lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que
possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos.

Exemplos
1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de
comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5cm e Módulo de
Elasticidade E=20.000 kN/cm2
, submetida a uma força axial de tração P=30 kN.
L= 5 m
P P=30 kN
4
2
πφ
=A 6,19
4
52
=
×
=
π
A cm2
A
P
=σ 53,1
6,19
30
==σ kN/cm2
ou 15,3 MPa
EA
PL
=δ 0382,0
6,19000.20
50030
=
×
×
=δ cm
L
δ
ε = 0000764,0
500
0382,0
==ε ou × 1000 = 0,0764 (‰)
2. A barra da figura é constituída de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seção transversal com
área A=10cm2
; trecho BC=200cm e seção transversal com área A=15cm2
e trecho
CD=200cm e seção transversal com área A=18cm2
é solicitada pelo sistema de forças
indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o
alongamento total. Dado E=21.000 kN/cm2
.
300 cm
30kN
A
150kN
200 cm200 cm
B C
50kN
D
170kN
Trecho A-B
R=150kN
300 cm
150kN
A
170kN
50kN
30kN
B
=
A
P
=σ 15
10
150
==σ kN/cm2
EA
PL
=δ 214,0
10000.21
300150
=
×
×
=δ cm

L
δ
ε = 713,01000
300
214,0
=×=ε (‰)
Trecho B-C
R=120kN30kNR=120kN
150kN
=
200 cm
B C
50kN
170kN
=
A
P
=σ 8
15
120
==σ kN/cm2
EA
PL
=δ 076,0
15000.21
200120
=
×
×
=δ cm
L
δ
ε = 38,01000
200
076,0
=×=ε (‰)
Trecho C-D
30kNR=170kN
150kN
=
200 cm
50kN
C D
170kN
A
P
=σ 44,9
18
170
==σ kN/cm2
EA
PL
=δ 0899,0
18000.21
200170
=
×
×
=δ cm
L
δ
ε = 45,01000
200
0899,0
=×=ε (‰)
Alongamento total
38,00899,0076,0214,0 =++=δ cm

2. PRODUTOS SIDERÚRGICOS
Os produtos laminados, os perfis soldados e os elementos de ligação são os
principais materiais empregados em Estruturas Metálicas.
A indústria siderúrgica oferece ao projetista diversos produtos com aplicações nas
construções civis e seus acabamentos, dos quais destacam-se:
• perfis laminados a quente;
• perfis soldados;
• perfis conformados a frio (chapa dobrada);
• chapas laminadas a quente;
• chapas laminadas a frio;
• tubos de várias formas.
2.1. Perfis laminados
Os perfis laminados recebem esta denominação porque no seu processo de
fabricação, rolos especiais chamados laminadores, produzem as formas finais dos
diferentes perfis.
São os mais empregados na construção de estruturas metálicas e sua fabricação é
feita em diversas dimensões e modelos padronizados. A tabela abaixo ilustra os produtos
siderúrgicos mais utilizados.
Tabela 2.1 Tipos de produtos siderúrgicos:
Cantoneira de abas iguais Cantoneira de abas desiguais C padrão I padrão
Tê laminado Tê cortado de I ou H Tubo quadrado Tubo circular
Perfil soldado Perfil laminado a frio Chapas e barras

1– Cantoneiras: são empregadas em treliças, contraventamentos, linhas de transmissão de
energia elétrica e ligações.
2- Perfis T: têm aplicações em estruturas soldadas e podem ser fabricados por processos de
laminação ou através do corte de perfis I ou H.
3- Perfis I e U: empregados principalmente como vigas. Suas abas não têm faces paralelas
e as bordas são arredondadas.
4- Perfis H: são empregados em elementos sujeitos à carga axial de compressão.
5- Barras chatas e redondas: as barras chatas são utilizadas em ligações e as barras
redondas, em elementos tracionados (tirantes).
6- Chapas laminadas (a quente): têm espessura compreendida entre 3mm e 50mm, pois,
chapas mais espessas apresentam problemas de soldabilidade. As suas principais
aplicações estão nas ligações, emendas de vigas e pilares, bases de colunas e na fabricação
de perfis soldados.
7- Chapas laminadas (a frio): são fornecidas em bobinas, com espessura inferior a 3mm e
largura em torno de 2,50m. São empregadas na obtenção de perfis conformados a frio,
também chamados, perfis de chapa dobrada, usados em estruturas leves, tais como,
coberturas industriais tipo arco, Shed, etc. Outras aplicações são: fôrmas para lajes de
edifícios, materiais para revestimento de paredes externas, internas e de cobertura.
• Perfis laminados
Perfil I ou perfil de aba estreita
h = 3” a 20”
h = 3” a 12” (comerciais)
Inclinação da face interna da aba = 16,67%;
São utilizadas como elementos resistentes à flexão
(vigas).
Perfil H
bf = d
(bf = mesa ou flange)
d = 4” a 6”
Pouco uso em estruturas.
T
T

Perfil C ou U ou perfil de aba estreita
h = 3” a 15”
Peças submetidas à flexão, vigas, colunas de postos de
gasolina, etc.
Cantoneiras:
Fabricadas com abas iguais e desiguais:
Abas iguais – (7/8” x 7/8”x 1/8)” → (8 x 8 x 1)”
Abas desiguais – (13/4
x 11/4
x 1/8)” → (8 x 4 x 1)”
Utilizadas em peças submetidas à tração ou compressão
(treliças, tesouras).
• Combinações de perfis laminados
É muito comum a combinação de perfis em estruturas metálicas. As figuras abaixo
ilustram algumas das várias possibilidades de combinações de perfis metálicos.
2.2. Perfis Soldados
Como o próprio nome sugere, são perfis fabricados de chapas planas soldadas.
Correspondem, no Brasil, aos chamados perfis de abas largas (wide-flange) americanos. A
sua seção transversal é semelhante a de um perfil I com abas mais alargadas e as faces das
mesas paralelas. São fabricadas em grande variedade de dimensões de alma e mesa. A
CSN padronizou as seguintes séries de perfis soldados:
• Perfil série CS – Colunas Soldadas
• Perfil série VS – Vigas Soldadas
• Perfil série CVS – Colunas e Vigas Soldadas

Pode-se considerá-los como a continuação das séries I e H de perfis laminados em
dimensões maiores.
São utilizados também quando são necessários perfis de grandes dimensões ou
seções especiais. As aplicações dos perfis soldados são as mesmas dos perfis laminados, ou
seja, vigas de pontes, galpões industriais (pilares e vigas), edifícios de grande altura, etc.
• Perfis de chapas soldadas
Perfis I h > b
VS (Viga Soldada):para peças submetidas à flexão: para vigas
CVS (Coluna Viga Soldada):para peças submetidas à flexo-
compressão
Perfil H
CS (Coluna Soldada): h=b
para peças submetidas à compressão: colunas
CS (altura em mm × massa em kg/m)
2.3. Perfis conformados a frio ou de chapas dobradas
As grandes siderúrgicas abastecem a indústria de menor porte com chapas finas
para a obtenção de perfis de chapas dobradas. Os perfis de chapas dobradas são obtidos por
meio do dobramento de chapas finas (3; 5; 6) mm a frio e, às vezes, também por meio de
solda, embora a solda seja pouco utilizada, pois eleva o custo de fabricação do perfil.
Os perfis de chapas dobradas são utilizados como elementos estruturais em
estruturas pouco carregadas, como coberturas e esquadrias. Outra aplicação importante são
as telhas auto-portantes de seção trapezoidal.
São obedecidos raios mínimos para evitar a fissuração do aço durante o dobramento
a frio.

2.4. Tubos
Na construção metálica utilizam-se tubos de seção circular, quadrada ou retangular
e outros perfis tubulares de formas especiais empregados em esquadrias metálicas.
O tubo circular associa a máxima resistência com o menor peso, em peças sujeitas à
compressão ou à flexão. Normalmente, são utilizados como barras comprimidas de
estruturas leves e como treliças planas ou espaciais. Exemplos: andaimes tubulares para
escoramento de pontes, coberturas espaciais, etc.
.o0o.
Apresentam-se a seguir, algumas tabelas dos perfis mais utilizados em estruturas
metálicas.
2.5. Tabelas de perfis
As tabelas de perfis simples (laminados ou soldados) apresentam as características
geométricas individuais de cada perfil.
Nomenclatura
Chama-se alma de um perfil, a região hachurada da seção transversal, indicada na
Figura abaixo. Denomina-se aba ou mesa de um perfil a região sem hachura. Geralmente, a
alma é parte do perfil que serve de união entre suas abas, como ocorre no caso de perfis I,
H e U.
h = altura do perfil
b = largura da aba, flange ou mesa
tf = espessura da aba (thickness=espessura)
tw = espessura da alma
Características geométricas dos perfis simples:
As características geométricas de cada perfil são indispensáveis ao projeto e
dimensionamento de qualquer estrutura. Para facilitar o trabalho do engenheiro foram
calculadas e tabeladas para todos os perfis fabricados no Brasil.
tw
ALMA
tf
tf
b
b
h

As Tabelas apresentam as seguintes características geométricas dos perfis simples,
com o intuito de facilitar e agilizar os cálculos estruturais:
• A: área da seção transversal do perfil (cm²)
• Ix: momento de inércia em relação ao eixo x (cm4
)
• Iy; momento de inércia em relação ao eixo y (cm4
)
• rx: raio de giração em relação ao eixo x (cm)
• ry: raio de giração em relação ao eixo y (cm)
• wx: módulo de resistência em relação ao eixo x (cm³)
• wy: módulo de resistência em relação ao eixo y (cm³)
• bf: largura da aba do perfil
• tf: espessura da aba do perfil
• tw: espessura da alma do perfil
• h:altura total do perfil
• xg,yg : coordenadas do centro de gravidade
Estão também tabelados os pesos de cada perfil por metro linear. É útil na avaliação
do peso próprio das peças em estudo.
Na prática, recomenda-se a utilização das tabelas, pois facilitam o trabalho de
cálculo e diminuem a possibilidade de erro. Entretanto, há casos em que se deve recorrer à
Resistência dos Materiais para a determinação destas características. São casos especiais,
por exemplo, onde forem usados perfis não padronizados, especialmente fabricados para
um projeto, ou em perfis compostos não previstos nas tabelas, etc.
Coordenadas do Centro de Gravidade (CG)
As características geométricas são fundamentais para a o dimensionamento.
Notoriamente, aquelas calculadas em relação a eixos (x, y), passando pelo CG da seção do
perfil. As figuras abaixo ilustram a posição do CG de alguns tipos de perfis.
b
h
xg
yg
CG X
Y
h
xg
X
Y
yg
CG
xg
X
Y
yg
Z
CG
xg
X
Y
yg
CG
Perfil I Perfil C Cantoneira de abas iguais Cantoneira de abas desiguais

2.6. Principais tipos de concepções estruturais
2.6.1. Treliças isostáticas
Atingem vãos livres até 30 m. Acima de 30 m utilizar arcos treliçados.
Genericamente h = 1/15 do vão.
+ - + -
+-
-
+
Sistema WARREN
Sistema FINK
Sistema HOWE
Sistema PRATT

2.6.2. Tesouras isostáticas
WARREN
HOWE
WARREN (com montante)
PRATT

3. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO
As estruturas devem oferecer segurança a todas as ações, por mais desfavoráveis
que sejam, ao longo de sua vida útil para o qual foi projetada. As estruturas não devem
atingir um estado limite imediato ou em longo prazo, mesmo em condições precárias de
funcionalidade. Além da previsão de todas as ações, do projeto adequado, é necessário
também que a estrutura tenha uma reserva de resistência, garantida por coeficientes de
segurança adequados.
O Método das Tensões Admissíveis foi o primeiro método a ser utilizado para
garantir a segurança. Até meados da década de 1980, o projeto de estruturas metálicas
NBR 8800 utilizava o Método das Tensões Admissíveis. Com a revisão da norma de
estruturas metálicas em 1986, começou-se a utilizar o Método dos Estados Limites.
A NBR 8680:2003 Ações e Segurança nas Estruturas, define as condições e
critérios do Método dos Estados Limites.
3.1. Método das tensões admissíveis
Nas estruturas de aço, geralmente se considera o limite de escoamento como início
de ruptura do material. Para se ter segurança contra ruptura por escoamento utilizam-se nos
cálculos, tensões admissíveis que são obtidas dividindo-se o limite de escoamento por
coeficientes de segurança adequados. Como as tensões admissíveis ficam dentro do regime
elástico, esta teoria de dimensionamento chama-se elástica e os cálculos são efetuados com
segundo a Resistência dos Materiais.
A teoria elástica de dimensionamento é caracterizada por quatro pontos.
a) o estado limite de resistência é o início de plastificação da seção, no ponto de maior
tensão;
b) o cálculo dos esforços solicitantes é feito em regime elástico, não sendo considerada a
redistribuição de momentos fletores causadas pela plastificação de uma ou mais seções
da estrutura;
c) as cargas atuantes são consideradas com seus valores reais estimados (cargas em
serviço);
d) a margem de segurança da estruturas fica embutida na tensão admissível adotada para
cada tipo de solicitação.

O dimensionamento é considerado satisfatório quando a maior tensão solicitante em
cada seção for inferior ao valor admissível correspondente, ou seja:
σσ <
A tensão admissível de tração ( tσ ) é relativa à área líquida é 0,6fy, exceto em furos
de conexões por pinos.
yf6,0=σ
A relação entre a tensão de escoamento e a tensão admissível à tração é γ =1,67,
que é o coeficiente de segurança utilizado.
67,1
6,0
1
==
σ
yf
→ portanto, γ =1,67.
3.2. Método dos Estados Limites
Um estado limite ocorre sempre que a estrutura deixa de satisfazer um de seus
objetivos. Eles podem ser divididos em Estados limites últimos (ELU) e Estados limites de
Utilização, ou de Serviço (ELS).
Quando uma seção da estrutura entra em escoamento, duas coisas importantes
acontecem:
a) o escoamento começa no ponto de maior tensão e depois de se propaga a outros pontos
da seção, aumentando sua resistência interna;
b) em estruturas hiperestáticas, o escoamento de uma ou mais seções provoca
redistribuição dos momentos fletores, aumentando a resistência da estrutura.
Diz-se que uma estrutura é segura quando ela possui condições de suportar todas as
ações ao longo de sua vida útil para a qual foi projetada.
Por Ações entendem-se todas as causas que provocam tensões na estrutura. A
estrutura atinge seu estado limite último quando perde a estabilidade ou quando em um de
seus pontos o material atinge a tensão de ruptura ou uma deformação plástica excessiva.
O conceito de segurança abrange o estado limite ao longo de sua vida útil e às
condições de funcionabilidade. Portanto, existem dois tipos de estados limites: estados
limites últimos e estados limites de utilização.

O método dos estados limites utilizado para o dimensionamento dos componentes
de uma estrutura (barras, elementos e meios de ligação) exige que nenhum estado limite
aplicável seja excedido quando a estrutura for submetida a todas as combinações
apropriadas de ações. Quando a estrutura não mais atende aos objetivos para os quais foi
projetada, um ou mais estados limites foram excedidos. Os estados limites últimos estão
relacionados com a segurança da estrutura sujeita às combinações mais desfavoráveis de
ações previstas em toda a sua vida útil. Os estados limites de utilização estão relacionados
com o desempenho da estrutura sob condições normais de serviço.
A princípio fundamental deste método é que a resistência de cálculo (Rd) (o índice d
provém da palavra inglesa design) de cada componente ou conjunto da estrutura deve ser
igual ou superior à solicitação de cálculo (Sd). A resistência de cálculo é determinada para
cada estado limite e é igual ao produto de um coeficiente de minoração (φ) pela resistência
nominal (Rn), ou seja, (Rd= φ Rn).
As condições analíticas de segurança estabelecem que as solicitações de cálculo
não devem ser maiores que as resistências de cálculo e devem ser verificadas em relação a
todos os estados limites e todos os carregamentos especificados para o tipo da construção
considerada. São expressas por:
nd RS φ≤
onde:
Sd = solicitação de cálculo
Rn = resistência nominal do material
φ = coeficiente de minoração do material

3.2.1. Carregamentos
As cargas que atuam nas estruturas são chamadas de Ações. A ações a serem
adotadas no projeto das estruturas de aço e de seus componentes são as estipuladas pelas
normas apropriadas e as decorrentes das condições a serem preenchidas pela estrutura.
Essas ações devem ser tomadas como nominais, devendo ser consideradas como seguintes
tipos de ações nominais:
• Ações permanentes (G), incluindo peso próprio da estrutura e peso de todos os
elementos componentes da construção, tais como pisos, paredes permanentes,
revestimentos, acabamentos, instalações e equipamentos fixos, etc.
• Ações variáveis (Q), incluindo as sobrecargas decorrentes do uso e ocupação da
edificação, equipamentos, divisórias, móveis, sobrecargas em coberturas, pressão
hidrostática, empuxo de terra, vento, variação de temperatura, etc.
• Ações excepcionais (E), explosões, choques de veículos, efeitos sísmicos, etc.
3.2.2. Coeficientes de majoração das ações
No método dos estados limites, as ações devem ser majoradas de um coeficiente de
majoração das ações (γ)
SSd γ=
onde:
Sd = solicitação de cálculo
γ = coeficiente de majoração das ações
S = esforço nominal
A combinação das ações no caso normal e durante a construção é dada por:
( )∑∑ =
++=
n
j
jjqjqgd QQGS
2
11 ψγγγ
Para as condições excepcionais, tem-se:
( )∑∑ ++= QEGS qgd ψγγ
onde: G = ação permanente
Q = ação variável
Q1 = ação variável predominante
E = ação excepcional
ψ = fator de combinação: é um fator estatístico que leva em conta a freqüência
da ocorrência simultânea das cargas
γq1 = coeficiente de ponderação da ação variável predominante
γg = coeficiente de ponderação da ação permanente
Estado limite Último
Os Estados Limites Últimos (ELU) estão associados à ocorrência de cargas
excessiva e conseqüentemente a colapsos das estruturas devido, por exemplo a: perda de
equilíbrio como corpo rígido, ruptura de uma ligação ou seção ou instabilidade em regime
elástico ou não.

Os coeficientes de majoração das ações indicados pela norma de Ações e Segurança
nas estruturas, NBR 8681 são mostrados na Tabela abaixo.
Tabela 3.1. Coeficientes de segurança de solicitações para o estado limite último
Ações permanentes Ações variáveis
Ações Grande
variabilidade
Pequena
variabilidade
(*)
Cargas variáveis
decorrentes do uso da
edificação (carga de
utilização) (**)
Outras
ações
variáveis
Recalques
diferenciais
Variação de
temperatura
ambiental
γg γg γq γq γq γq
Normais 1,4 (0,9) 1,3 (1,0) 1,5 1,4 1,2 1,2
Construção 1,3 (0,9) 1,2 (1,0) 1,3 1,2 1,2 1,0
Excepcionais 1,2 (0,9) 1,1 (1,0) 1,1 1,0 0 0
Os valores entre parênteses correspondem a ações permanentes favoráveis à segurança.
(*) Peso próprio de elementos metálicos e de elementos pré-fabricados com controle rigoroso de peso.
(**) Sobrecargas em pisos e coberturas, cargas em pontes rolantes ou outros equipamentos, variações de
temperatura provocadas por equipamentos, etc.
São consideradas cargas permanentes de pequena variabilidade os pesos próprios de
elementos metálicos e pré-fabricados, com controle rigoroso de peso. Excluem-se os
revestimentos destes elementos feitos in loco.
A variação de temperatura citada não inclui a gerada por equipamentos, a qual deve
ser considerada como ação decorrente do uso da edificação.
Ações decorrentes do uso da edificação incluem sobrecargas em pisos e em
coberturas, cargas de pontes rolantes cargas de outros equipamentos.
Os fatores de combinação (ψ) da NBR 8681 estão indicados na Tabela abaixo.
Tabela 3.2 Fatores de combinação ψd no Estado Limite Último
Ações Fatores de combinação (ψ)
Sobrecargas em pisos de bibliotecas, arquivos, oficinas e
garagens, conteúdo de silos e reservatórios.
0,75
Cargas de equipamentos, incluindo pontes rolantes e
sobrecargas em pisos diferentes dos anteriores.
0,65
Pressão dinâmica do vento 0,60
Variação de temperatura 0,60
Os coeficientes ψ devem ser tomados iguais a 1,0 para ações variáveis não citadas
nesta tabela e também para as ações variáveis nela citadas, quando forem de mesma
natureza da ação variável predominante Q1; todas as ações variáveis decorrentes do uso de
uma edificação (sobrecargas em piso e em coberturas, cargas de pontes rolantes e de outros
equipamentos), por exemplo, são considerados de mesma natureza.

Estado Limite de Utilização
Os Estados Limites de Utilização estão associados às cargas em serviço. Evita-se,
assim, a sensação de insegurança dos usuários de uma obra na presença de deslocamentos
ou vibrações excessivas, ou ainda, prejuízo de componentes não estruturais como
alvenarias e esquadrias. No Estado Limite de Utilização, as cargas são combinadas como
anteriormente explanado sem, entretanto, majorar seus valores, ou seja, utilizando(γ =1,0).
Os limites de deslocamentos máximos para o estado limite de utilização, fixados
pela norma de estruturas metálicas NBR 8800, estão indicados na Tabela abaixo.
Tabela 3.3 Valores limites de deformações elásticas, segundo a NBR 8800.
Ações a considerar Elemento estrutural Limite
Sobrecarga
Barras biapoiadas suportando elementos de
cobertura inelásticos. 240
1 do vão
Sobrecarga
Barras biapoiadas suportando elementos de
cobertura elásticos. 180
1 do vão
Sobrecarga Barras biapoiadas suportando pisos.
360
1 do vão
Cargas máximas por
roda (sem impacto)
Vigas de rolamento biapoiadas para pontes
rolantes com capacidade de 200 kN ou
mais. 800
1 do vão
Deslocamentosverticais
Cargas máximas por
roda (sem impacto)
rolantes com capacidade inferior a 200 kN. 600
1 do vão
Força transversal da
ponte
rolantes. 600
1 do vão
Edifíciosindustriais
Deslocamento
shorizontais
Força transversal da
ponte, ou vento
Deslocamento horizontal da coluna relativo
à base. 400
1 a
200
1 da altura
Sobrecarga
Barras biapoiadas de pisos e coberturas,
suportando construções e acabamentos
sujeitos à fissuração. 240
1 do vão
Deslocamen
tosverticais
Sobrecarga Idem, não sujeitos à fissuração.
360
1 do vão
Vento
Deslocamento horizontal do edifício,
relativo à base, devido a todos os efeitos. 400
1 da altura do edifício
Vento
Deslocamento horizontal relativo entre dois
pisos consecutivos, devido à força
horizontal total no andar entre os dois pisos
considerados, quando fachadas e divisórias
(ou ligações com a estrutura) não
absorverem as deformações da estrutura.
500
1 da altura do andar
Outrosedifícios
Deslocamentoshorizontais
Vento Idem, quando absorverem.
400
1 da altura do andar

4. PEÇAS TRACIONADAS
Peças tracionadas são aquelas sujeitas a solicitações axiais de tração, geralmente
denominadas tração simples. As peças tracionadas podem ser empregadas em estruturas
como tirantes, barras tracionadas de treliças, etc.
As peças tracionadas são dimensionadas admitindo-se distribuição uniforme das
tensões de tração na seção transversal considerada. Esta condição é obtida na maioria dos
casos na prática, principalmente se a peça não apresentar mudanças bruscas na seção
transversal. Admite-se que a carga de tração axial seja aplicada no centro de gravidade
(CG) da seção. No dimensionamento analisam-se primeiramente as condições de
resistência e, em seguida, as condições de estabilidade da barra.
As seções transversais das barras tracionadas podem ser simples ou compostas
como, por exemplo:
• barras redondas;
• barras chatas;
• perfis laminados (L, C, U, I);
• perfis compostos.
As ligações das extremidades das peças tracionadas com outras partes da estrutura
são feitas por diversos meios como: soldagem, parafusos e rebites, rosca e porca para
barras rosqueadas.
4.1. Dimensionamento no Estado Limite Último (ELU)
A resistência de uma peça submetida a tração axial pode ser determinada pela
ruptura da seção líquida (que provoca colapso), ou pelo escoamento generalizado da seção
bruta (que provoca deformações excessivas).
4.1.1. Peças tracionadas com furos
Os furos diminuem a área da seção transversal da peça. Portanto, há um
enfraquecimento na peça, que deve ser considerado no dimensionamento.
a) ruptura da seção líquida (condição de resistência):
75,0, ==≤ tukntntdt comfARR φφφ
onde:
An = área líquida de uma peça com furos ou entalhes
fuk = tensão de ruptura característica do aço
b) escoamento da seção bruta (condição de ductilidade):
90,0, ==≤ tygtntdt comfARR φφφ

4.1.2. Peças com extremidades rosqueadas
As barras com extremidades rosqueadas, consideradas neste item, são aquelas com
diâmetro igual ou superior a 12 mm (1/2”).
65,0,75,0 ==≤ tukgtntdt comfARR φφφ
onde Ag = área bruta da barra
4.1.3. Peças ligadas por pinos
No caso de chapas ligadas por pinos, a resistência é determinada pela ruptura da
seção líquida efetiva.
4.1.4. Limitação de esbeltez das peças tracionadas
O índice de esbeltez (λ) é definido na Resistência dos Materiais como a relação
entre o comprimento livre (não contraventado) (L) e o raio de giração mínimo (imin) de sua
seção transversal.
mini
L
=λ (adimensional) com
A
I
i min
min =
onde I é o momento de inércia da seção transversal.
O índice de esbeltez é muito importante no dimensionamento de peças
comprimidas, nas quais pode ocorrer o fenômeno da flambagem.
Nas peças tracionadas, o índice de esbeltez não tem importância fundamental, pois
o esforço de tração tende a retificar a haste, reduzindo a excentricidade construtiva inicial.
Contudo, as normas fixam valores mínimos de coeficiente de esbeltez, a fim de reduzir
efeitos vibratórios provocados por impactos, vento, etc.
O índice de esbeltez de barras tracionadas, excetuando-se tirantes de barras
redondas pré-tensionadas, não pode, em princípio, exceder os seguintes limites:
Tabela 4.1 Valores de esbeltez limites em peças tracionadas
Peças AISC / NBR AASHTO
Vigamentos principais 240 200
Contraventamentos e outros vigamentos secundários 300 240

4.1.5. Diâmetro dos furos
Os furos enfraquecem a seção da peça. O diâmetro total a ser considerado é igual ao
diâmetro nominal do conector (d), acrescido de 3,5mm. A Norma, o AISC recomenda
considerar os furos com diâmetros 1/8” (3,2mm) maiores que o diâmetro nominal adotado.
Este acréscimo de diâmetro é devido às imperfeições causadas na chapa durante a abertura
do furo, especialmente se forem abertos por punção.
É erro comum, principalmente para os que vêm o assunto pela primeira vez, pensar
na área líquida como a área bruta, subtraída das áreas de todos os furos existentes na
ligação. Isto é incorreto; a área líquida é estudada, pensando-se numa possível seção de
ruptura, tendo-se em mente a transmissão de esforços (distribuição de tensões no interior
da peça). Deve ser imaginada como a seção mais provável de ruína. Logo, os furos a serem
considerados serão, somente aqueles contidos na seção de ruptura em estudo.
Seção transversal líquida dos furos
Numa barra com furos, a área líquida (An) é obtida subtraindo-se da área bruta (Ag)
as áreas dos furos contidos em uma mesma seção reta da peça.
d+3,5mm
Área bruta (Ag)
d+3,5mm
Área líquida
(An)
Figura 4.1 Área líquida e área bruta
No caso de furação em zig-zag, é necessário pesquisar diversos percursos para se
encontrar o menor valor de seção líquida uma vez que a peça pode romper segundo
qualquer um desses percursos.

g
b
furação reta
p
b 1
1
1
furação em zig zag
2
3
3
2
s
Figura 4.2 Tipos de furações
Os segmentos zig-zag são computados com um comprimento reduzido, dado pela
seguinte expressão empírica:
g
s
4
2
onde:
g = espaçamento transversal entre duas filas de furos (gage)
s = espaçamento longitudinal entre furos de filas diferentes
p= espaçamento entre furos da mesma fila (pitch)
A área líquida (An) de barras com furos pode ser representada pela equação:
( ) t
g
s
mmdbAn ⋅





++−= ∑∑ 4
5,3
2
,
adotando-se o menor valor obtido nos diversos percursos pesquisados.
Seção transversal líquida efetiva
Nas ligações de barras tracionadas em que a solicitação for transmitida apenas em
um dos elementos da seção, utiliza-se uma seção líquida efetiva (An,ef) para levar em conta
que, na região da ligação, as tensões se concentram no elemento ligado e não mais se
distribuem uniformemente em toda a seção. No caso de peças ligadas com conectores
aplicam-se os seguintes coeficientes de redução Ct:

Tabela: Coeficientes de redução da área liquida (Ct)
Ct Perfis
0,90
I ou H, cujas mesas tenham largura não inferior a 2/3 da altura e em perfis T cortados
desses perfis, com ligações nas mesas, tendo no mínimo três conectores por linha de
furação na direção do esforço.
0,85
Demais perfis, tendo no mínimo três conectores por linha de furação na direção do
esforço.
0,75
Em todas as barras, cujas ligações tenham somente dois conectores por linha de
furação na direção do esforço.
No caso de barras tracionadas com ligações soldadas apenas em alguns dos
elementos da seção, o coeficiente de redução da área depende da relação entre o
comprimento longitudinal l das soldas e a largura b da chapa ligada.
Coef de redução Ct Relação entre l e b (l > b)
1,0 bl 2≥
0,87 blb 5,12 ≥>
0,75 blb ≥>5,1
N
N
N
b
h
b < 2h/3
C = 0,85 se
b > 2h/3
C = 0,90 se
t
t
N
t
C = 0,75
N

4.1.6. Exemplos
1. Calcular a espessura necessária de uma chapa de 100mm de largura, sujeita a um esforço
axial de tração de 100 kN. Resolver o problema utilizando o aço comercial (MR-250), com
tensão admissível yt f6,0=σ .
Solução: Para o aço MR 250, tem-se a seguinte tensão admissível referente à área bruta:
2
151502506,0
cm
kN
MPat ==×=σ
Área bruta necessária: 2
67,6
15
100
cm
N
A
t
g ===
σ
Espessura necessária: cmt 67,0
10
67,6
== → adota-se 5/16” = 7,94 mm
2. Resolver o problema precedente para o dimensionamento no estado limite último.
Solução: Admitindo-se que o esforço de tração seja provocado por uma carga variável de
utilização, a solicitação de cálculo vale:
kNNN qd 1501005,1 =×== γ
a área bruta necessária é obtida pela expressão: 2
67,6
259,0
150
cm
f
N
A
yt
d
g =
×
==
φ
espessura necessária: cmt 67,0
10
67,6
== → adota-se 5/16” = 7,94 mm
No caso tração centrada devida a cargas variáveis, os métodos dos Estados Limites e o de
Tensões Admissíveis fornecem o mesmo dimensionamento.

3. Duas chapas 7/8”×300mm são emendadas por traspasse com 8 parafusos φ 7/8”.
Verificar se as dimensões das chapas são satisfatórias para uma carga axial de tração de
300 kN, admitindo-se aço MR 250 (ASTM A36).
300mm
N=300 kN
t=22mm
t=22mm
N=300 kN
22mm 22mm
Solução:
O tipo de ligação adotado introduz excentricidade no esforço axial. Contudo, o problema
será resolvido admitindo-se as chapas sujeitas a esforço axial.
Área bruta: cm22,254,2
8
7
=×
2
60,6622,230 cmAg =×=
A área líquida na seção furada é obtida deduzindo-se a área de quatro furos com diâmetro
7/8”+1/8”=2,54 cm.
( ) 2
04,4422,254,2430 cmAn =××−=
Admitindo-se que a solicitação seja produzida por uma carga permanente de grande
variabilidade, o esforço solicitante de cálculo vale:
kNNN qd 4203004,1 =×== γ
cálculo dos esforços resistentes:
área bruta: kNN resd 5,14982560,669,0, =××=
área líquida: kNN resd 2,13914004,4475,0, =××=
Os esforços resistentes são superiores aos esforços solicitantes, concluindo-se que
as dimensões satisfazem com folga.

4. Duas chapas (280mm × 20mm) são emendadas por traspasse com furos d = 20mm,
abertos por punção. Calcular o esforço resistente de projeto das chapas, admitindo-se
submetidas à tração axial. Dado: Aço MR 250.
Aço: MR 250: fy = 250 MPa fu = 400 MPa
7575 75 75
N
20
280mm
1
2
a
1
3
3
3
1
2 3
20
N
505040505040
Solução
O efeito da excentricidade no esforço de tração é desprezado
O diâmetro dos furos é: 20 + 3,5 = 23,5 mm
Seção bruta das chapas: Ag = 28 × 2 = 56 cm2
Seção líquida:
1-1-1: ( ) 2
6,46235,2228 cmAn =××−=
2-2-2: 2
2
45,48235,24
54
5,7
228 cmAn =×





×−
×
×+=
3-3-3: 2
2
0,55235,25
54
5,7
428 cmAn =×





×−
×
×+=
A menor seção líquida correspondente à reta 1-1-1.
Esforços resistentes
Área bruta: kNN resd 126025569,0, =××= (126 tf)
Área liquida: kNN resd 1398406,4675,0, =××= (139,8 tf)
Resposta: Nd,res = 1260 kN
Note-se que neste exemplo, o escoamento da seção bruta ocorrerá antes da ruptura da
seção líquida.

5.
Para o perfil [U381×50,4 kg/m]
(15”), em aço MR250 da figura,
calcular o esforço resistente de
tração.
O diâmetro dos conectores é
d = 22mm.
Área da seção transversal do
perfil Ag = 64,2 cm2
Solução
381mm
150
85
1
N
8585
10.2
86.4 1
Aço: MR 250: fy = 250 MPa fu = 400 MPa
a) escoamento da seção bruta
ygresd fAN 9,0, = kNN resd 1444252,649,0, =××=
b) ruptura da seção líquida
diâmetro do furo considerado: 22 + 3,5 = 25,5 mm
Área líquida: ( ) 2
8,5302,155,242,64 cmAn =××−=
Área líquida da seção 1-1 = 2
3,408,5375,0 cmAn =×=
unresd fAN 75,0, = kNN resd 1210403,4075,0, =××=
6. Calcular o diâmetro do tirante em aço ASTM A36 (MR250), capaz de suportar uma
carga axial de 150kN (15tf), sabendo-se que a transmissão da carga será feita por um
sistema de rosca e porca. Admite-se que a carga seja do tipo permanente, com grande
variabilidade (γf = 1,4).
Solução:
Barras rosqueadas:
ut
f
g
f
N
A
75,0×
=
φ
γ 2
77,10
4075,065,0
1504,1
cmAg =
××
×
=
Adota-se parafuso com diâmetro d = 3,81mm (1½”), cuja área é Ag = 11,40 cm2
.

7. Para a cantoneira [L 178×102×12,7] (7”×4”×½”) indicada na Figura, determinar:
a) a área líquida, sendo os conectores de diâmetro d = 22 mm (7
/8”);
b) o maior comprimento admissível, para esbeltez máxima λ=240.
178mm
76
medidas em milímetros
76
102
(a)
64
64
12.7
(b)
76
38
12.7
1 2
(c)
1
2
1
2
2
761153838
O cálculo pode ser feito rebatendo-se a cantoneira segundo seu eixo (Figura c).
Comprimentos líquidos dos percursos:
Diâmetro dos furos d = 22 + 3,5 = 25,5 mm.
Percurso 1-1-1: mm5,2165,2527,12102178 =×−−+
Percurso 2-2-2: mm6,2225,253
1154
76
764
76
7,12102178
22
=×−
×
+
×
+−+
O percurso 1-1-1 é crítico.
a) seção líquida: 2
4,2727,16,21 cmAn =×=
b) o maior comprimento desta cantoneira trabalhando como tirante será:
Para cantoneira [L 178 × 102 × 12,7], tem-se raio de giração mínimo: imin = 2,21 cm.
Índice de esbeltez máximo para peças tracionadas: 240
min
≤=
i
l
λ
Logo minmax 240 il ×= cml 53021,2240max =×=

5. TRELIÇAS
Definição
Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O
ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados
unicamente nos nós.
Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um
mesmo plano.
Para se calcular uma treliça deve-se:
a) determinar as reações de apoio;
b) determinar as forças nas barras.
A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é:
vbn +=2
onde:
b= número de barras
n= número de nós
v= número de reações de apoio
Adota-se como convenção de sinais:
barras tracionadas: positivo
setas tracionando o nó
barras comprimidas: negativo
setas comprimindo o nó
Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e
analíticos.
Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós,
abaixo exemplificado.

Apoios
Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as
forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo
rígido está apoiado.
Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e
recebem a seguinte classificação:
Apoio móvel
ou
• Impede movimento na direção normal (perpendicular)
ao plano do apoio;
• Permite movimento na direção paralela ao plano do
apoio;
• Permite rotação.
Apoio fixo
• Impede movimento na direção normal ao plano do
apoio;
• Impede movimento na direção paralela ao plano do
apoio;
• Permite rotação.
Engastamento
• Impede movimento na direção normal ao plano do
apoio;
• Impede movimento na direção paralela ao plano do
apoio;
• Impede rotação.
As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou
vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada.
Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais:
0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ AM

Método do equilíbrio dos nós
1. Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio.
No caso da treliça da figura, no
nó A tem-se um apoio móvel e no nó
B, um apoio fixo.
Como os apoios móveis
restringem somente deslocamentos os
perpendiculares ao plano do apoio,
tem-se uma reação vertical RA.
Como os apoios fixos
restringem deslocamentos paralelos e
perpendiculares ao plano do apoio,
tem-se uma reação vertical RB e uma
reação horizontal HE.
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
α
2 m
HE
50 kN
Verificar se a treliça é uma estrutura isostática
barras b = 9
nós n = 6
reações v = 3
vbn +=2 Conclusão:
3962 +=× a treliça é uma estrutura isostática
Cálculo do ângulo de inclinação das barras º45
2
2
=





= arctgα
a) Cálculo das reações de apoio
Equação de equilíbrio das forças na horizontal:
0=Σ HF conclusão: HE = 0
Equação de equilíbrio das forças na vertical:
0=Σ VF 05010050 =−−−+ EA RR 200=+ EA RR kN (1)
Equação de equilíbrio de momentos:
Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer
ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se
0=Σ AM 021004504 =×−×−× ER
4
400
=ER 100=ER kN
Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se:
200100 =+AR kN logo 100=AR kN
b) Cálculo das forças nas barras
Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças
devem estar tracionando o nó. Como não se sabe a priori se as forças nas barras são de
tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor determinado
for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser
mudado.

Nó A
A
RA
N2
N1 0=Σ HF → 02 =N
0=Σ VF
01100 =+ N → 1001 −=N kN
Nó B
B
100
45°
N4
50
N3
0=Σ HF
0º45cos43 =+ NN → 503 −=N kN
0=Σ VF
0º45450100 =−− senN → 7,704 =N kN
Nó C
N550
100
N6
C
0=Σ HF
0550 =+ N → 505 −=N kN
0=Σ VF
06100 =−− N → 1006 −=N kN
Nó D
45°
50
50
N7 N8
D
0=Σ HF
0º45cos750 =− N → 7,707 =N kN
0=Σ VF
0º45sen7,70850 =+−− N → 1008 −=N kN
Nó E
100
100
E
N9 0=Σ HF → 09 =N
Nó F Verificação
45° 45°
100
70,770,7
0,0 0,0
F
0=Σ HF
0º45cos7,70º45cos7,70 =+−
0 = 0 (verificado)
0=Σ VF
0º457,70º457,70100 =++− sensen
0 = 0 (verificado)

Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças
que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente. Portanto, não há
necessidade de se calcular as forças nos nós D e E.
Resultados
NAB= 100 kN compressão
NAF= 0
NBC= 50 kN compressão
NBF= 70,7 kN tração
NCF= 100 kN compressão
NCD= 50 kN compressão
NDF= 70,7 kN tração
NDE= 100 kN compressão
NFE= 0 kN
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
α
2 m
HE
50 kN
2. Calcular as forças em cada barra da treliça “mão francesa” da figura.
2.0 m 2.0 m
HA
1.0m
A
1.0m
HB B
RB
40 kN
α
E
θ
C
D
20 kN
Cálculo dos ângulos de inclinação das barras
º43,63
1
2
=== arctgα º56,26
2
1
=== arctgθ
0=Σ HF 040 =−− BA HH → 40=− BA HH kN
0=Σ VF 020 =−BR → 20=BR kN
0=Σ BM 04201402 =×−×−×+ AH → 60=AH kN 20=BH kN

Nó B
N2
N1
63.4°
20 kN
20 kN
B
0=Σ HF
0220 =+− αsenN → 4,222 =N kN
0=Σ VF
0cos2120 =−− αNN → 101 =N kN
Nó A
26.6°
60 A
10
N4
N3
0=Σ VF
0310 =+ θsenN → 4,223 −=N kN
0=Σ HF
0cos3460 =++ θNN
0cos4,22460 =−+ θN → 404 −=N kN
Nó E
40 N6
E
N5 0=Σ HF
0640 =− N → 406 =N kN
0=Σ VF → 05 =N kN
Nó D
20
D
40
26.6°
N7
0=Σ VF
0720 =+− θsenN → 7,447 =N kN
0=Σ HF
0cos7,4440 =− θ → 0 = 0 (verificado)
Nó C
22,4 0,0 44,7
22,4
C
26.6°
26.6° 26.6°
40
Verificação
0=Σ HF
0cos7,4440cos4,22cos4,22 =+−− θθθ
0=0 kN (verificado)
0=Σ VF
0sen7,44sen4,22sen4,22 =−+ θθθ
10 + 10 – 20 =0 (verificado)

Resultados
NAB= 10 kN tração
NAC= 22,4 kN compressão
NAE= 40 kN compressão
NBC= 22,4 kN tração
NCE= 0
NCD= 44,7 kN tração
NED= 40 kN compressão
22,4 kN T
22,4 kN C
40 kN C
10kNT
A
B
20 kN
44,7 kN T
40 kN CE
α
θ
0
D
C 40 kN
3. Determinar os esforços nas barras da treliça da figura
G HF
2m 2m 2m
B
α
RA
A
100 kN70 kN
C
70 kN
D
2m
HE
1.5m
RE
E
Verificar se a treliça é uma estrutura isostática
barras b = 13
nós n = 8
reações v = 3
vbn +=2 Conclusão:
31382 +=× a treliça é uma estrutura isostática
Cálculo do ângulo de inclinação das barras º87,36
2
5,1
=





= arctgα
α=36,87º → sen = 0,600 cos = 0,800 tg = 0,750
Equação de equilíbrio das forças na horizontal:
0=Σ HF conclusão: HE = 0
Equação de equilíbrio das forças na vertical:
0=Σ VF 07010070 =−−−+ EA RR 240=+ EA RR kN (1)
Equação de equilíbrio de momentos:
Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer
ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se
0=Σ AM 067041002708 =×−×−×−× ER
8
960
=ER 120=ER kN
Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se:
240120 =+AR kN logo 120=AR kN

Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças
devem estar tracionando o nó. Como não se sabe a priori se as forças nas barras são de
tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor determinado
for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser
mudado.
Nó A
N120
AF
A NAB
α
0=Σ VF
0sen120 =− αAFN → 200=AFN kN
0=Σ HF
0cos =− αAFAB NN → 160−=ABN kN
Nó F
200
F
α
N
N
FB
FG
0=Σ VF
0sen200 =+ FBNα → 120−=FBN kN
0=Σ HF
0cos200 =+− FGNα → 160=FGN kN
Nó B
160
α
120 BGN
70
B
BCN
0=Σ VF
0sen70120 =−−+ αBGN
→ 33,83=BGN kN
0=Σ HF
0cos160 =++ αBGBC NN → 67,226−=BCN kN
Nó C
100
66,67
NCG
NCD
C
0=Σ HF
067,66 =− CDN → 67,66=CDN kN
0=Σ VF
0100 =−CGN → 100=CGN kN
Nó G
160
83,33
100
G
α α NGH
NGD
0=Σ VF
0100sen33,83 =−+ αGDN → 33,83=GDN kN
0=Σ HF
0160cos33,83cos33,83 =−−+ ααGHN
→ 160=GHN kN

Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças
que agem nos nós D, H e E são iguais às dos nós B, F e A, respectivamente. Portanto, não
há necessidade de se calcular as forças nos nós D, H e E.
160kN C
200kN
T
G HF
2m 2m 2m
70 kN
120kNC
α
RA
200kN
T
BA 160kN C
100 kN
160kN T
83,3kN
T
100kNC
C266,67kN C
160kN T
83,3kN
T
120kNC
70 kN
D266,67kN C
2m
HE
1.5m
RE
E
Resultados
Barra Esforço L (m)
NAB= 160 kN compressão 2,0
NBC= 266,67 kN compressão 2,0
NCD= 266,67 kN compressão 2,0
NDE= 160 kN compressão 2,0
NFG= 160 kN tração 2,0
NGH= 160 kN tração 2,0
NAF= 200 kN tração 2,92
NBG= 83,33 kN tração 2,92
NGD= 83,33 kN tração 2,92
NHE= 200 kN tração 2,92
NBF= 120 kN compressão 1,5
NCG= 100 kN compressão 1,5
NDH= 120 kN compressão 1,5

Dimensionamento
BARRAS TRACIONADAS
Barra Esforço L (m) Nd (kN) Perfil
NFG= 160 kN tração 2,0
NGH= 160 kN tração 2,0
NAF= 200 kN tração 2,5
NBG= 83,33 kN tração 2,5
NGD= 83,33 kN tração 2,5
NHE= 200 kN tração 2,5
Coeficiente de majoração das ações: 4,1=fγ
BARRAS COMPRIMIDAS
Barra Esforço L (m) Nd (kN) Perfil
NAB= 160 kN compressão 2,0
NBC= 226,67 kN compressão 2,0
NCD= 226,67 kN compressão 2,0
NDE= 160 kN compressão 2,0
NCF= 120 kN compressão 1,5
NCG= 100 kN compressão 1,5
NDH= 120 kN compressão 1,5
Coeficiente de majoração das ações: 4,1=fγ

6. LIGAÇÕES
6.1. Ligações com conectores
As ligações em estruturas metálicas podem ser feitas por meio dos seguintes
conectores:
• Rebites
• Parafusos comuns
• Parafuso de alta resistência
6.1.1. Rebites
Os rebites são conectores instalados a quente (~1000ºC). Após o resfriamento, o
rebite se retrai e aperta as chapas entre si. O esforço do aperto é variável, não podendo
garantir um valor mínimo para os cálculos.
A partir de 1950 as ligações rebitadas foram substituídas por ligações parafusadas
ou soldadas.
6.1.2. Parafusos
Parafusos comuns
Os parafusos são conectores com cabeça quadrada ou sextavada, possuindo rosca e
porca.
arruela
comprimento do parafuso
comprimento de aperto
arruela
porca
rosca
fuste
cabeça
Figura __ Parafuso com porca e arruelas
Os parafusos comuns são instalados com aperto, que mobiliza atrito entre as
chapas. Entretanto, este aperto é muito variável, não podendo garantir um valor mínimo a
se considerar nos cálculos.
Devido a isto, os parafusos comuns são calculados de modo análogo aos rebites,
por meio das tensões de apoio e de corte.
Ligações denominadas tipo apoio: transferência de tração entre as chapas ligadas

σ
σ
d
Ft2
2F
t1
Ft2
τ
τ
τ
τ
σ
Figura Forças atuantes no parafuso
A transmissão dos esforços se dá por apoio das chapas no fuste do parafuso e
esforço de corte na seção transversal do parafuso.
Tensões de corte:
4
2
d
F
π
τ = Tensões de apoio:
td
F
⋅
=σ
onde:
F = esforço transmitido pelo conector no plano de corte
t = espessura da chapa considerada
d = diâmetro do conector
Parafusos de alta resistência
Os parafusos de alta resistência são fabricados com aços tratados termicamente. O
mais usual é o ASTM A325.
As forças de atrito resultantes entre as chapas, devido ao aperto dos parafusos,
podem ser levados em consideração nos cálculos.
FP = Força de
protensão do
parafuso
d
2F
t1
Ft2
Forças de
compressão
entre as chapas
Ft2
2F
P
Forças de
atrito (Fat)
F
Figura Forças atuantes nas chapas

6.2. Espaçamento entre conectores
Espaçamentos máximos:
Os espaçamentos máximos entre conectores são utilizados para impedir penetração
de água e sujeita nas interfaces. Eles são da ordem de 15.t para peças comprimidas e 25.t
para peças tracionadas, sendo t a espessura da chapa.
A distância máxima de um conector à borda da chapa deve ser 12.t, não superior a
150mm.
Espaçamentos mínimos: (ver p.56 do livro do PFEIL)
A Figura abaixo resume as indicações da NBR 8800 para espaçamentos mínimos,
no caso de furos padrão.
a=1,75d
Bordas cortadas
ou serradas
com tesoura
a
a
3d
3d 3d
d
Figura __ Espaçamentos construtivos recomendados para conectores, com furos padrão.
Valores de a para bordos laminados ou cortados com maçarico.
( )
( )
( )
( )






≥
≤≤+
<<+
≤+
=
mmdd
mmdmmd
mmdmmd
mmdmmd
a
3325,1
33269
26197
196

6.3. Dimensionamento
Dimensionamento dos conectores e dos elementos de ligação (sem efeito de fadiga)
Resistência dos aços utilizados nos conectores
Tipo de conector fy (MPa) fu (MPa)
Grau 1 415Rebites ASTM A502
ou EB-49 Grau 2 525
Parafusos comuns
ASTM A307
d ≤ 102mm (4”) 415
(12,7 ≤ d ≤ 25,4)mm
(½” ≤ d ≤ 1”)
635 825
Parafusos de alta
resistência ASTM A325 (25,4 ≤ d ≤ 38,1)mm
(1” ≤ d ≤ 1 ½”)
560 725
Parafusos de alta
resistência ASTM A490
(12,7 ≤ d ≤ 38,1)mm
(½” ≤ d ≤ 1½”)
895 1035
ASTM A36 250 400
Barras rosqueadas
ASTM A588 345 455
O dimensionamento dos conectores no estado limite último é feito com base nas
modalidades de ruptura da ligação, representadas na Figura abaixo.
Figura: Modalidades de ruptura em ligações com conectores
a) ruptura por corte do fuste do conector;
b) ruptura por esmagamento da chapa na superfície de apoio do fuste do conector;
c) ruptura por rasgamento da chapa entre o furo e a borda ou entre dois furos consecutivos;
d) ruptura por tração da chapa na seção transversal líquida.

6.3.1. Dimensionamento ao corte
A resistência de cálculo de conectores ao corte é dada por 0,6fu, onde fu é a tensão
de ruptura à tração do aço do parafuso.
nvvdv RR φ= ( )ugnv fAR 6,0=
onde:
φv = 0,60 para parafusos comuns e barras rosqueadas
φv = 0,65 para parafusos de alta resistência e rebites
Rnv = resistência nominal para um plano de corte
fu = tensão de ruptura à tração do aço do parafuso
Resistências nominais para um plano de corte
Rebites ( )ugnv fAR 6,0=
Parafusos e barras rosqueadas: ( )( )ugnv fAR 6,07,0=
Parafusos de alta resistência (A325 ou A490), com
rosca fora do plano de corte
( )ugnv fAR 6,0=
Parafusos de alta resistência em ligações por atrito
Verificar em adição a resistência ao
deslizamento
A utilização do coeficiente 0,70 para parafusos comuns e barras rosqueadas admite
a situação mais desfavorável de plano de corte passando pela rosca, considerando a área da
seção efetiva da rosca igual a 0,7 da área da seção do fuste.
No caso de parafusos de alta resistência, em ligações por atrito, é necessário
verificar adicionalmente a resistência ao deslizamento da ligação.
6.3.2. Dimensionamento ao esmagamento da chapa (pressão de apoio)
No caso de furação padrão, a resistência Rd à pressão de apoio entre o fuste do
conector e a parede do furo é dada pela seguinte expressão:
( )ud ftdR 3φ= com 75,0=φ
onde:
d = diâmetro nominal do conector;
t = espessura da chapa;
fu = resistência à ruptura por tração do aço da chapa.

6.3.3. Dimensionamento ao rasgamento da chapa
No caso de furação padrão, a resistência Rd ao rasgamento da chapa entre
conectores ou entre um conector e uma borda, é dada por:
( )ud ftaR φ= com 75,0=φ
onde:
a = distância entre o centro do furo e a extremidade da chapa medida na direção da força
solicitante para a resistência ao rasgamento entre um furo extremo e a borda da chapa;
a = distância entre o centro do furo e a borda do furo consecutivo, medida na direção da
força solicitante para a determinação da resistência ao rasgamento da chapa entre furos,
igual a (s – d / 2), sendo s o espaçamento entre os centros de furos;
t = espessura da chapa;
fu = resistência à ruptura por tração do aço da chapa.
6.3.4. Dimensionamento à tração da chapa
A resistência de cálculo de conectores a corte é dada por:
nttdt RR φ=
onde:
φv = 0,65 para parafusos comuns e barras rosqueadas
φv = 0,75 para parafusos de alta tensão e rebites
Rnt = resistência nominal à tração
igual a 0,6fu, onde fu é a tensão de ruptura à tração do aço do parafuso.
Rebites: ugnt fAR =
Parafusos e barras rosqueadas: para parafusos e barras rosqueadas, com diâmetro
nominal igual ou superior a 12mm, Rnt pode ser expresso em função da área bruta (Ag) do
fuste: ugnt fAR 75,0= , onde, 0,75 representa a relação entre a área efetiva da parte
rosqueada e a área bruta do fuste.
Parafusos de alta resistência em ligação por atrito: No caso de parafusos de alta
resistência, em ligações por atrito, é necessário verificar adicionalmente a resistência ao
deslizamento da ligação.

6.3.5. Ruptura por cisalhamento de bloco
Os elementos de ligação também devem ser dimensionados de forma a impedir a
ruptura por cisalhamento de bloco em um perímetro definido pelos furos, envolvendo
cisalhamento nos planos paralelos à força e tração em um plano normal a força. Conforme
ilustrado na figura abaixo.
Av = área
cisalhada
lv
NN
lt
At = área
tracionada
Av = área
cisalhada
N
lt
lv
At = área
tracionada
N
Figura: Ruptura por cisalhamento de bloco de uma chapa de ligação. O esforço é transferido à
chapa pelos conectores, ligados a outra chapa ou perfil.
A ruptura por cisalhamento de bloco pode ocorrer ao longo de uma linha de conectores
Condições para o dimensionamento:
Norma Condição Resistência de cálculo (Rd)
NBR 8800 quando tv ll 3≥ ( )( )utvd fAAR 6,0+= φ com 75,0=φ
se utnuvn fAfA >6,0 ( )tgyvnud AfAfR += 6,0φ com 75,0=φ
ASIC/95
se vnutnu AfAf 6,0> ( )tnuvgyd AfAfR += 6,0φ com 75,0=φ
onde: Avg = área cisalhada bruta Avn = área cisalhada líquida
Atg = área tracionada bruta Atn = área tração líquida
6.3.6. Combinação de conectores
O trabalho em conjunto de conectores diferentes depende da rigidez da ligação
executada com cada tipo.
Em construções novas ou existentes, os parafusos de alta resistência, em ligações
por atrito, podem ser considerados trabalhando em conjunto com rebites.

6.3.7. Dimensionamento à tração e a corte simultâneos – fórmulas de interação
No caso de incidência simultânea de tração e corte, verifica-se a interação das duas
solicitações por meio de expressões empíricas que fornecem o limite superior da
resistência de cálculo à tração.
• Barras rosqueadas ou parafusos comuns:
dugntt VfAR 93,164,0 −<φ
• Parafusos de alta tensão (d < 38mm), com rosca no plano de corte:
• Rebites e parafusos de alta tensão (d < 38mm), com rosca fora do plano de corte:
onde Vd é o esforço cortante solicitante de projeto atuando na seção considerada.
6.3.8. Resistência ao deslizamento em ligações por atrito
A resistência ao deslizamento deve ser mais que a força de corte transmita na
ligação devida à combinação mais desfavorável de carga em um estado limite de utilização
(sem majoração). Nos valores indicados para o coeficiente de atrito está incluído um
coeficiente de segurança contra o deslizamento da ordem de 1,2.
Força máxima de atrito PFF cat µµ ==max,
onde:
P = força de protensão inicial no parafuso
µ = coeficiente de atrito entre as superfícies
Se, além da força F de tração longitudinal, as chapas estiverem também sujeitas a uma
força de tração perpendicular, T a força de compressão Fc entre as chapas é reduzida a:
( )TPFat −= µmax,
Segundo a NBR 8800, a resistência ao deslizamento pode ser calculada por:
( )TPRv −= µξ
onde:
P = força mínima de protensão dada nas Tabelas A-55 do Anexo A (Livro PFEIL p.290)
ξ = fator de redução que dependo do furo, sendo igual a 1,0 para furo do tipo padrão.
µ = 0,28, exceto no caso de superfície com banho vinílico, quando µ = 0,25.

Exemplos
1. Duas chapas de 204mm × 12,7mm (½”) em aço ASTM A36 são emendadas com chapas
laterais de 9,5mm e parafusos comuns (A307) φ 22mm. As chapas estão sujeitas às forças
Ng=200kN, oriunda de carga permanente de grande variabilidade e Nq=100kN, de carga
variável de utilização. Verificar a segurança da emenda. Dados: coeficientes de majoração
das ações γg=1,4 e γq=1,5.
51
t=9,5mm
204mm
N
medidas em milímetros
64
t=9,5mm
N
38
51
6438
70
t=12,7mm
7051 51
Solução
• Esforço solicitante de projeto
qqggd NNN γγ +=
kNNd 4301005,12004,1 =×+×=
• Esforço resistente de cálculo
O esforço resistente de cálculo à tração (Rdt) será o menor dentre os encontrados nos
seguintes casos:
a) corte (corte duplo nos parafusos)
nvdt RR φ= com φv = 0,60 para parafusos comuns e barras rosqueadas
Chapa de aço A36 = MR250 → fy = 250 MPa e fu = 400 MPa
Parafuso comum A 307 → fu = 415 MPa
2
2
88,3
4
22,2
cmAg =
×
=
π
( )( )ugd fAR 6,07,0φ= com φ = 0,60
( ) ( ) kNRd 487625,416,088,37,060,0 =××××××=

b) ruptura por pressão de apoio
udt ftdR 3φ= com 75,0=φ
( ) kNRdt 152264027,122,2375,0 =×××××=
onde:
d = diâmetro do conector = 2,22 cm
t = espessura da chapa = 1,27 cm (Notar que as espessuras das duas chapas de 9,5mm
resultam em (9,5+9,5) 19mm, valor maior do que a espessura da chapa de 12,7mm).
fu = tensão última do aço A36 da chapa = fu = 40 kN/cm2
.
nº de parafusos = 6
c) Ruptura por rasgamento da chapa
udt ftaR φ= com 75,0=φ
( ) kNRdt 116664027,11,575,0 =××××=
o valor de a será o menor entre os seguintes valores:
a=5,10
a = distância entre o centro do furo e a extremidade da chapa, medida na direção
do esforço para resistir ao rasgamento entre um furo e a borda da chapa.
a=5,89
a = distância entre centros de furos consecutivos, medida na direção da força
solicitante para determinação da resistência ao rasgamento da chapa entre
furos; igual a ( )2/dsa −= , sendo s o espaçamento entre centros de furos.
( ) cma 89,52/22,20,7 =−=
t = espessura da chapa = 1,27 cm
fu = tensão última do aço A36 da chapa = fu = 40 kN/cm2
.
nº de parafusos = 6
d) tração na chapa (12,7mm)
• ruptura da seção líquida
undt fAR φ= com 75,0=φ
( )[ ] 2
12,1627,135,022,234,20 cmAn =×+×−=
kNRdt 4844012,1675,0 =××=
• escoamento da seção bruta
ydt ftbR φ= com 90,0=φ
kNRdt 5832527,14,2090,0 =×××=

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