O documento apresenta os conceitos básicos de ângulos, classificando-os em agudos, retos, obtusos, rasos e côncavos. Explica o que são ângulos adjacentes, complementares e suplementares, bem como ângulos de lados paralelos e exercícios de determinação de valores angulares.

1. ÂNGULOS
5ºano
Classificação de ângulos; ângulos adjacentes, complementares e
suplementares; ângulos verticalmente opostos; ângulos de lados
paralelos
1

2. Ângulos
 Um ângulo é um conjunto de pontos do plano
limitado por duas semirretas com a mesma origem.

3. B Ξ E
O símbolo Ξ lê-se
“ é coincidente com”.
C
A
B
F D
E
Dois ângulos são congruentes se, sobrepostos um sobre o
outro, todos os seus elementos coincidem.
 Na figura ABC e DEF são ângulos congruentes.

4. Ângulo Agudo:
Mede menos de 90°
Ângulo Reto:
Mede 90°
Ângulo Obtuso:
Maior do que 90° e
menor do que 180°
Ângulo Raso:
Mede 180°
Ângulo Côncavo
Maior do que 180° e
menor do que 360°
Giro:
Mede 360°

5. BISSECTRIZ DE UM ÂNGULO
Cada ponto P da bissetriz B, está à mesma distância dos
lados do ângulo.
Â
B
P
A BISSECTRIZ de um ângulo Â, é a semirreta que divide
o ângulo em duas partes iguais.

6. 1
V
.
Traçar a bissetriz de um ângulo. Com a régua traça
uma semirreta a partir do ponto V (vértice do ângulo).

7. 2 A partir do ponto V, traça outra semirreta, formando,
neste caso, um ângulo agudo.
V
.

8. 3
Profª Helena Borralho 2012/13
Com centro no ponto V, traça um arco de circunferência
que intersete as duas semirretas, definindo o ponto A e B
V B
A

9. 4 Fazendo centro em A e B, traça dois arcos com raio
maior que AB, de forma a que se intersetem.
V B
A
C

10. V B
A
C
5
A partir do ponto V, traça uma semirreta
que passe pelo ponto C.
A esta semirreta, que divide o
ângulo em duas partes iguais,
chamamos Bissetriz.

11. ÂNGULOS COMPLEMENTARES ÂNGULOS SUPLEMENTARES
a
b
a + b = 90°
Dois ângulos cuja soma das suas
amplitudes é 90°.
Dois ângulos cuja soma das suas
amplitudes é 180°.
ba
a + b = 180°

12. ÂNGULOS ADJACENTES ÂNGULOS CÔNCAVO E CONVEXO
Dois ângulos que têm o mesmo
vértice e um lado comum que os
separa.
ba
a + b = 180°
Quando duas retas se intersetam,
formam dois pares de ângulos
verticalmente opostos. Dois ângulos
cuja soma é 360°.
ângulo côncavo
ângulo convexo
a
b
a + b = 360°

13. Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos não adjacentes complementares.
São ângulos não adjacentes complementares
os ângulos: [BOC] e [DOE].

14. Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos adjacentes.
São ângulos adjacentes
os ângulos: [DBA] e [CBD].

15. Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos não adjacentes, mas com um lado comum.
São ângulos não adjacentes com um lado comum
os ângulos: [DBA] e [EBA].

16. Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos não adjacentes, sem lados comuns.
São ângulos não adjacentes sem lados comuns
os ângulos: [EBA] e [CBD].

17. Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos adjacentes suplementares.
São ângulos adjacentes suplementares
os ângulos: [COD] e [DOE].

18. .
a
d
c
b
<a = <b <c = <d
Quando duas retas se intersetam, formam dois pares de ângulos
verticalmente opostos

20. ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS
NA FIGURA ABAIXO OS DOIS ÂNGULOS TÊM OS LADOS PARALELOS
E SÃO AMBOS ÂNGULOS AGUDOS (A SUA AMPLITUDE É MAIOR DO
QUE 0° E MENOR DO QUE 90°).
Os dois ângulos
assinalados são
geometricamente iguais.
As duas retas são
intersetadas por uma
terceira reta, formam-se
ângulos de lados paralelos

21. ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS
Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados
paralelos e são ambos ângulos obtusos (a sua
amplitude é maior do que 90° e menor do que 180°.
Os dois ângulos assinalados são
geometricamente iguais.

22. a
b
c
d
e
f
g h
r
s
t
internos
externos
(c, e) ; (d, f)
(a, g) ; (b, h)

23. ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E EXTERNOS
Os ângulos de lados paralelos que se seguem denominam-se :
𝑎 = 𝛽
(obtusos)
𝑎 = 𝛽
(agudos)
𝑎 = 𝛽
(obtusos)
𝑎 = 𝛽
(agudos)

24. CONCLUSÃO

25. Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos agudos alternos internos não congruentes.
São ângulos agudos alternos internos não congruentes
os ângulos: b e c.

26. Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos agudos de lados paralelos.
São ângulos agudos de lados paralelos
os ângulos: b e e.

27. Exercício
No desenho, entre os ângulos assinalados, identifica
um par de ângulos obtusos de lados paralelos.
São ângulos obtusos de lados paralelos
os ângulos: c e e.

28. Exercício 1
Determina o valor da amplitude do ângulo ABE.

29. Exercício 1
Determina o valor da amplitude do ângulo ABE.
Dado que:
- reta AC ∥ reta DF e
- os ângulos ABE e FEB são ângulos alternos
internos
Concluiu-se que:
- os ângulos ABE e FEB são ângulos congruentes,
têm igual amplitude e
A amplitude do ângulo ABE é 90°.

30. Exercício 2
Determina o valor da amplitude do ângulo d.

31. Exercício 2
Determina o valor da amplitude do ângulo d.
Dado que:
- reta que t ∥ u
- o ângulo b é verticalmente oposto ao
ângulo de 50º e mede 50º,
- ângulo b é alterno interno com o c e
também mede 50º e
- c e d são verticalmente opostos e com igual
amplitude
Concluiu-se que:
A amplitude do ângulo d é 50º.

32. Exercício 3
Determina o valor da amplitude do ângulo d.

33. Exercício 3
Determina o valor da amplitude do ângulo e.
Dado que:
- reta que t ∥ u
- o ângulo de 55° é verticalmente oposto ao
ângulo b e este alterno interno com o c, que
mede também 55°, e é suplementar com o
ângulo e, dado que n ∥ o, medindo portanto
125°.
(180°-55°).
A amplitude do ângulo e é 125º.

34. Exercício 4
Determina o valor da amplitude do ângulo b.

35. Exercício 4
Determina o valor da amplitude do ângulo b.
Dado que:
- reta que [AB] ∥ [CD] e que
- o ângulo de 60° é congruente ao ângulo a e
este é adjacente e suplementar com o ângulo
b, o ângulo b mede portanto 120°.
(180°-60°=120°).
A amplitude do ângulo b é 120°.

36. Exercício 5
Determina o valor da amplitude do ângulo c.

37. Exercício 5
Determina o valor da amplitude do ângulo c.
Dado que:
- O ângulo de 125° é adjacente e suplementar
com o ângulo a, que mede portanto 55°
(180°-125°) e
- o ângulo a é verticalmente oposto ao ângulo
b , e portanto com 55° de amplitude,
A amplitude do ângulo c é igual a:
180°-(90°+55°)=35°.
A amplitude do ângulo c é 35°.

38. Exercício 6
Determina o valor da amplitude do ângulo h.

39. Exercício 6
Determina o valor da amplitude do ângulo h.
Dado que a reta r é paralela à reta s o ângulo com
135° de amplitude é congruente com o ângulo
formado pelos ângulos adjacentes h e b, somando
135°.
Como o ângulo b é um ângulo reto, o ângulo h
mede:
135° - 90° = 45°
A amplitude do ângulo h é 45°.

40. Exercício 7
Determina o valor da amplitude do ângulo h.

41. Exercício 7
Determina o valor da amplitude do ângulo b.
Dado que a reta t é paralela à reta u, o ângulo
com 120° de amplitude é alterno interno com o
ângulo formado pelos ângulos adjacentes a e b.
O ângulo b mede:
120° - 40° = 80°
A amplitude do ângulo b é 80°.

42. Exercício 8
Determina o valor da amplitude do ângulo b.

43. Exercício 8
Determina o valor da amplitude do ângulo b.
O ângulo com 40° de amplitude é verticalmente
oposto e congruente ao ângulo a.
Os ângulos a e b são ângulos adjacentes e
complementares, somando 90°.
O ângulo b mede:
90° - 40° = 50°
A amplitude do ângulo b é 50°.

44. Exercício 9
Determina o valor da amplitude do ângulo c.

45. Exercício 9
Determina o valor da amplitude do ângulo c.
O ângulo com 55° de amplitude é verticalmente
oposto e congruente ao ângulo a, que é alterno
interno e congruente ao ângulo b, dado que a reta
m é paralela à reta n.
Os ângulos b e c são ângulos adjacentes e
suplementares, somando 180°.
O ângulo c mede:
180° - 55° = 125°
A amplitude do ângulo c é 125°.