1) A primeira aula prática de Análise Matemática II apresenta exemplos de primitivas de funções e propriedades das primitivas. 2) Os alunos devem determinar primitivas de várias funções. 3) A resolução das questões segue a ideia de que se P(f(x)) = F(x), então P(u(f(u))) = F(u).

1. An´
alise Matem´
atica II 1a Aula Pr´
atica 2o Semestre 2004/2005
1a Aula Pr´tica
a
Observa¸oes: Recorde que “P cos x = sen x” significa “uma primitiva de cos ´ . . . ”, e que so-
c˜ e
mando uma constante qualquer se obt´m outra primitiva. A no¸ao de primitiva e as suas
e c˜
propriedades elementares a usar nesta aula podem ser revistas observando os seguintes
exemplos:
P cos x = sen x porque D sen x = cos x
P 2 cos x = 2 sen x porque . . .
P(cos x + ex ) = sen x + ex porque “a derivada da soma ´ . . . ”
e
1
P cos 3x = · sen 3x porque D sen 3x = . . .
3
P 2x cos x2 = sen x2 porque . . .
1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex-
c˜
press˜o:
a
a) x5
√
b) x + x
√
3 x x
c) √ +
x 4
2
1 1
d) 2
+ √
x x x
1
e)
cos2 x
f) 2x
1
g) √
4 − x2
1
h)
5 + x2
i) ex+3
j) (x2 + 1)3
k) 2x−1
1
l) √
5
1 − 2x
2
m) tg x
2) Determine uma primitiva da fun¸ao:
c˜
a) sen 2x
b) e5x
c) x sen x2
x
d)
1 + x2
e) tg x
1/2

2. An´
alise Matem´
atica II 1a Aula Pr´
atica 2o Semestre 2004/2005
f) cotg x
1
g)
sen2 3x
1
h)
3x − 7
i) tg 2x
j) cotg(5x − 7)
k) tg x sec2 x
Obs. Note que a ideia da resolu¸ao ´ a mesma ideia que permitiu resolver 2.c) e at´
c˜ e e
2.b), 2.a), etc. Observe a regra geral:
Se P f (x) = F (x)
ent˜o P u f (u) = F (u)
a
l) cos3 x sen x
√
m) x x2 + 1
cos x
n)
sen2 x
ex
o)
2 + ex
x3
p) 8
x +1
q) sh(2x + 1) ch(2x + 1)
2
r) 3sen x sen 2x
√
tg x
s) √
x
ex
t) √
1 − e2x
u) tg3 x
2/2

8. An´
alise Matem´
atica II 2a Aula Pr´
atica 1o Semestre 2004/2005
2a Aula Pr´tica
a
1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex-
c˜
press˜o:
a
√
a) 3ex + x
2
1 4
b) 3
+ √
x x x
1
c) cotg(2x)
4
2
d) xe−x
cos(log x)
e)
x
f) x sh x2
2) Determine primitivas das seguintes fun¸oes:
c˜
1
a)
x−5
3
b)
(x + 2)2
1
c) 2+4
x
x
d)
x2 + 4
1
e) 2+x+1
x
x
f)
x2 + x + 1
3) Determine primitivas das seguintes fun¸oes:
c˜
a) sen2 x
b) cos2 x
c) cotg2 x
d) sec x
e) cosec x
f) sen3 x
g) cos3 x sen2 x
4) Determine primitivas das seguintes fun¸oes:
c˜
a) xex
b) log x
c) ex sen x
d) x2 sen x
e) arctg x
f) cos(log x)
1/1

13. An´
alise Matem´
atica II 3a Aula Pr´
atica 1o Semestre 2004/2005
3a Aula Pr´tica
a
1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex-
c˜
press˜o:
a
1
a)
x2 −1
3x + 1
b)
x3 − x
x4
c)
1−x
x+1
d)
x(x − 2)2
1
e)
(x + 1)(x2 + 1)
x+1
f) 5 + 4x3
x
1
g) 4 − x3 − x + 1
x
1
h)
(x2 + 1)2
1
i) 4+1
x
1/1

18. alise Matem´
An´ atica II 4a Aula Pr´
atica 1o Semestre 2004/2005
4a Aula Pr´tica
a
1) Calcule os seguintes integrais:
3
x
a) dx
2 x2 − 25
4
x3
b) dx
2 x−1
e2
c) x log x dx
e
2) Considere a fun¸ao F : R+ → R definida pela identidade:
c˜
x t2 +1
e t
F (x) = dt
1 t
1
a) Mostre que F ( x ) = −F (x), para todo x ∈ R+ .
b) Mostre que F ´ diferenci´vel em R+ e calcule F (x) para todo x ∈ R+ .
e a
3) Sendo F a fun¸ao definida em R pela seguinte express˜ calcule F (x) para todo x ∈ R.
c˜ ao,
0
a) F (x) = sen2 t dt
x
x2
b) F (x) = log(1 + t2 ) dt
x
x
ex+t
c) F (x) = dt
0 t2 + 1
4) Dada uma fun¸ao cont´
c˜ ınua ϕ : R → R, mostre que a fun¸ao f : R → R definida pela
c˜
express˜o
a
x
f (x) = (x − t)ϕ(t) dt
0
´ duas vezes diferenci´vel em R.
e a
5) Calcule todas as primitivas da fun¸ao definida por ex em R {0}.
c˜
6) Calcule uma primitiva de:
sen x
a) (Recorra a substitui¸ao cos x = t.)
` c˜
(1 − cos x)3
1
b)
sen x(1 − cos x)3
7) Mostre que existe uma (e uma s´ fun¸ao f : R → R que verifica as seguintes condi¸oes:
o) c˜ c˜
⎧ ex
⎪f (x) =
⎪ para todo x ∈ R
⎨ (ex + 1)2
⎪f (0) = 0
⎪
⎩
f (1) = 1
1/2

19. An´ atica II
alise Matem´ 4a Aula Pr´
atica 1o Semestre 2004/2005
8) Calcule os seguintes integrais:
8
dx
a) √
1 x x+1
1
√
4 − x2
b) dx (Sugest˜ substitui¸ao x = 1/t)
ao: c˜
1/2 x4
1/2
dx
c) √ (x = sen2 t)
1/4 x − x2
2
e2x + 2e3x
d) dx
1 1 − ex
π/2
sen x
e) dx (cotg x = t)
π/4 sen x + cos x
2/2

26. An´ atica II
alise Matem´ 5a Aula Pr´
atica 2o Semestre 2004/2005
5a Aula Pr´tica
a
1) Determine a area da regi˜ compreendida entre o eixo dos xx e o gr´
´ ao afico da fun¸ao
c˜
f (x) = (x + 2)−2 , x ∈ [0, 2] .
2) Determine a area delimitada pelas curvas
´
y = x , y = sen x , x = π/2 .
3) Determine a area do conjunto de todos os pontos (x, y) que verificam as condi¸oes:
´ c˜
x2 + y 2 ≤ 10
|x| + |y | ≥ 4
4) Calcule a ´
area e o comprimento do bordo da regi˜ plana delimitada pelas linhas de
ao
equa¸oes y = x + 1 e y = (x − 1)2 .
c˜
5) Calcule a area da regi˜ delimitada pelo gr´
´ ao afico de y = log x e pela recta que o intersecta
nos pontos de abcissa 1 e e. Calcule o comprimento da linha que delimita esta regi˜o.a
6) Calcule a area da regi˜ delimitada pelos gr´
´ ao aficos das fun¸oes f e g definidas em R por:
c˜
f (x) = 3x3 − x2 − 10x
g(x) = −x2 + 2x
7) Calcule a area da regi˜ delimitada pelas curvas de equa¸ao x = 3 − y 2 e x = y + 1.
´ ao c˜
8) Considere a fun¸ao f : R → R definida por:
c˜
cos x (x ≤ 0)
f (x) =
ex (x > 0)
a) Determine todas as primitivas de f em R.
b) Determine todas as primitivas de f em R {0}.
c) Determine a primitiva F de f em R {0} tal que F (1) = F (−π) = 0.
3 + cos x x
9) Calcule uma primitiva de , recorrendo a substitui¸ao tg = t.
` c˜
1 + sen x 2
2x
10) Calcule uma primitiva de .
4x − 1
1/1

33. An´ atica II
alise Matem´ 6a Aula Pr´
atica 1o Semestre 2004/2005
6a Aula Pr´tica
a
1) Calcule o volume do elipsoide gerado pela rota¸ao, em torno da recta y = 0, da regi˜
c˜ ao
do plano delimitada pela elipse de equa¸ao
c˜
2 2
x y
+ =1,
a b
onde a e b s˜o maiores que zero.
a
2) Calcule o volume do s´
olido gerado pela rota¸ao, em torno do eixo indicado, da regi˜ do
c˜ ao
plano delimitada pelas curvas dadas.
a) y = x2 , y = 4 , x = 0 (s´ no primeiro quadrante); eixo dos yy
o
b) y = 1/x , y = 0 , x = 0, 1 , x = 1; eixo dos xx
c) y = x2 , x = y 2 ; eixo dos xx
3) Considere a fun¸ao g : D → R definida por g(x, y) = (
c˜ 1 − x2 − y 2 )−1 no dom´
ınio D
desta express˜o.
a
a) Determine o dom´ ınio D e represente-o geometricamente. Diga se ´ um conjunto
e
limitado, e justifique.
b) Verifique se a fun¸ao g ´ limitada.
c˜ e
c) Identifique as linhas de n´
ıvel da fun¸ao g e represente-as graficamente. Calcule o
c˜
contradom´ınio de g.
d) Mostre que o conjunto D ´ aberto.
e
∂g ∂g
e) Determine ∂x
e ∂y
para (x, y) ∈ D.
4) Calcule as derivadas parciais, para cada ponto (x, y) ∈ R2 , da fun¸ao g definida por
c˜
x2 y
2
g(x, y) = e−t dt .
1
5) Calcule as derivadas parciais, nos pontos em que existam, da fun¸ao f : R2 → R definida
c˜
por:
a) ⎧ x+y
⎨ se (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2
⎩
0 se (x, y) = (0, 0)
b)
⎧
⎨x 3x2 + y 2
se (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2
⎩
0 se (x, y) = (0, 0)
1/1

39. An´ atica II
alise Matem´ 7a Aula Pr´
atica 1o Semestre 2004/2005
7a Aula Pr´tica
a
1) Considere a fun¸ao g : D → R definida por g(x, y) = log |y − x2 | no dom´
c˜ ınio D desta
express˜o.
a
a) Determine o dom´ ınio D e represente-o geometricamente. Diga se ´ um conjunto
e
limitado, e justifique.
b) Verifique se a fun¸ao g ´ limitada.
c˜ e
c) Identifique as linhas de n´
ıvel da fun¸ao g e represente-as graficamente. Calcule o
c˜
contradom´ınio de g.
d) Mostre que o conjunto D ´ aberto.
e
∂g ∂g
e) Determine ∂x
e ∂y
para (x, y) ∈ D.
2) Considere a fun¸ao f definida por
c˜
1
f (x, y) =
x2 − y2
no conjunto D em que a express˜o do 2o membro faz sentido.
a
a) Determine e represente graficamente o dom´
ınio de f .
b) Determine as linhas de n´ de f e esboce-as graficamente.
ıvel
c) Determine o contradom´
ınio de f .
∂f ∂f
d) Determine ∂x
e ∂y
no ponto (1, 0).
3) Considere o subconjunto de R2 definido por:
D = (x, y) : xy > 1
a) Represente-o graficamente e diga se ´ aberto, fechado ou limitado. Identifique a sua
e
fronteira.
b) Dˆ um exemplo de uma sucess˜ de termos em D que convirja para um ponto n˜
e ao ao
pertencente a D.
4) Considere a fun¸ao f : D → R definida por:
c˜
D = (x, y) : xy > 0
f (x, y) = x log(xy)
a) Interprete geometricamente o dom´ ınio D e determine o seu interior, exterior e fron-
teira. Diga se D ´ aberto, fechado, limitado. (Justifique a resposta.)
e
b) A fun¸ao f ´ cont´
c˜ e ınua no seu dom´
ınio? Justifique a resposta.
c) Mostre que para qualquer semi-recta S com origem no ponto (0, 0) e contida em D o
limite
lim f (x, y)
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈S
existe e n˜o depende de S.
a
1/2

40. An´ atica II
alise Matem´ 7a Aula Pr´
atica 1o Semestre 2004/2005
2
d) Sendo E = (x, y) ∈ R2 : y = e−1/x , calcule, se existir, o limite:
lim f (x, y)
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈E
e) Existe lim(x,y)→(0,0) f (x, y)? Justifique a resposta.
1+ (x − 1)(x − 2)
5) Calcule uma primitiva de .
x
2/2

46. An´ atica II
alise Matem´ 8a Aula Pr´
atica 2o Semestre 2004/2005
8a Aula Pr´tica
a
1) Considere a fun¸˜o f : D → R definida por
ca
1
f (x, y) = √ ,
xy − 1
onde D = {(x, y) : xy > 1).
a) Interprete geometricamente o dom´
ınio.
b) Justifique que f ´ cont´
e ınua em D.
c) Existe algum ponto fronteiro a D ao qual f seja prolong´vel por continuidade?
a
d) Indique o contradom´
ınio de f .
2) Estude quanto a continuidade a fun¸ao f : R2 → R definida por:
` c˜
⎧
⎪x2 se x2 + y 2 < 2y
⎨
f (x, y) = |x| se x2 + y 2 = 2y
⎪ 2
⎩
y se x2 + y 2 > 2y
3) Seja f : R2 {(0, 0)} → R a fun¸ao dada por:
c˜
x2 − y 2
f (x, y) = 1 +
x2 + y 2
Calcule, se existir, o limite lim(x,y)→(0,0) f (x, y).
4) Repita o exerc´ anterior, com a fun¸˜o
ıcio ca
x2 − y 2
f (x, y) = 1 + xy · .
x2 + y 2
5) Considere a fun¸˜o f : R2 → R dada por:
ca
⎧ x+y
⎨ se (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2
⎩
0 se (x, y) = (0, 0)
Estude a fun¸ao f quanto a continuidade.
c˜ `
6) Considere a fun¸ao f : R2 → R dada por:
c˜
⎧
⎪ x 3x2 + y 2
⎨ se (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2
⎪
⎩0 se (x, y) = (0, 0)
Estude a fun¸ao f quanto a continuidade.
c˜ `
1/2

47. An´
alise Matem´
atica II 8a Aula Pr´
atica 2o Semestre 2004/2005
7) Verifique se a fun¸ao f : R2 {(0, 0)} → R definida pela express˜
c˜ ao
xy 2
f (x, y) =
x2 + y 4
´ prolong´vel por continuidade ao ponto (0, 0).
e a
8) Calcule (ou mostre que n˜o existe) cada um dos seguintes limites:
a
sen x − sen y
a) lim
(x,y)→(0,0) x − 2y
y2
b) lim (z + 1) sen 3x
(x,y,z)→(0,1,1) x
2/2

53. An´ atica II
alise Matem´ 9a Aula Pr´
atica 1o Semestre 2004/2005
9a Aula Pr´tica
a
Nota¸˜o: fv (u) ´ a derivada da fun¸ao f no ponto u, segundo o vector v.
ca e c˜
Quanto a defini¸ao de diferenciabilidade: “f ´ diferenci´
` c˜ e avel em (a, b)” ´ equivalente a:
e
r1 (x, y)
lim =0
(x,y)→(a,b) (x, y) − (a, b)
com r1 (x, y) = f (x, y) − f (a, b) + α(x − a) + β(y − b) ,
∂f ∂f
onde α = (a, b) e β = (a, b).
∂x ∂y
1) Calcule, se existirem, os seguintes limites:
sen(x + y)
a) lim
(x,y)→(0,0) x+y
1
−
b) lim e x2 +y 2 +z 2
(x,y,z)→(0,0,0)
x2 − 2x − y 2 + 4y − 3
c) lim 1+
(x,y)→(1,2) (x − 1)2 + (y − 2)2
2) Considere a fun¸ao f : D → R2 definida pela express˜
c˜ ao
x
f (x, y) = log(4 − x2 − y 2 ),
x2 + y 2
ınio D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x2 + y 2 < 4}.
no dom´
a) Represente geometricamente o conjunto D, e diga se ´ aberto, fechado ou limitado.
e
b) Mostre que f n˜ ´ prolong´
ao e avel por continuidade a nenhum ponto fronteiro a D.
3) Considere a fun¸ao f : R2 → R dada por:
c˜
⎧ 2
⎨(x2 + y 2 ) sen x se (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2
⎩
0 se (x, y) = (0, 0)
ınua em R2 .
a) Mostre que f ´ cont´
e
b) Calcule as derivadas parciais na origem.
4) Seja f : R2 → R a fun¸ao definida por:
c˜
x2 + y 2 se x + y > 0
f (x, y) =
x+y se x + y ≤ 0
a) Calcule, caso existam, as derivadas parciais de f no ponto (0, 0).
b) Determine, se existirem, as derivadas de f segundo o vector (1, 1) nos pontos (1, 1) e
(1, −1).
1/2

54. An´
alise Matem´
atica II 9a Aula Pr´
atica 1o Semestre 2004/2005
5) Considere a fun¸ao f : R2 → R definida por
c˜
f (x, y) = x sen y .
Verifique se a fun¸ao ´ diferenci´
c˜ e avel no ponto (1,0), recorrendo a defini¸ao de diferenci-
` c˜
abilidade.
6) Estude a fun¸ao f definida em R3 {(0, 0, 0)} pela express˜
c˜ ao
2 +y 2 +z 2 )
f (x, y, z) = e−1/(x
quanto a diferenciabilidade, e calcule as suas derivadas parciais.
`
2/2

61. An´
alise Matem´
atica II 10a Aula Pr´
atica 2o Semestre 2004/2005
10a Aula Pr´tica
a
Nota¸˜o: Matriz jacobiana de f no ponto u: (J f )(u) ou (J f )u .
ca
1) Seja g a fun¸ao definida em R2 por:
c˜
x+y se xy > 0
g(x, y) =
0 se xy ≤ 0
∂g ∂g
a) Calcule ∂x
(0, 0) e ∂y
(0, 0).
b) Calcule g(1,1) (0, 0). Que pode concluir quanto a diferenciabilidade de g no ponto
`
(0, 0)?
2) Seja f a fun¸ao definida em R2 por:
c˜
⎧ 3
⎨ x se (x, y) = (0, 0)
g(x, y) = x2 + y 2
⎩
0 se (x, y) = (0, 0)
a) Mostre que f ´ cont´
e ınua em todo o seu dom´
ınio.
b) Estude f quanto a diferenciabilidade no ponto (0, 0).
`
3) Prove que a fun¸ao f : R2 → R definida por
c˜
⎧
⎨xy sen 1
2 + y2
se (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x
⎩
0 se (x, y) = (0, 0)
´ diferenci´
e avel. Mostre que as derivadas parciais n˜ s˜ cont´
ao ao ınuas na origem.
4) Seja F : D → R2 a fun¸ao definida por
c˜
xy y2 − x
F (x, y) = , ,
1 − x2 − y 2 x
no dom´
ınio de existˆncia desta express˜o.
e a
a) Represente geometricamente o dom´
ınio D.
b) Determine o dom´
ınio de diferenciabilidade de F .
c) Calcule F(1,1) (1, 2).
5) Considere a fun¸ao g : R3 → R3 definida por:
c˜
g1 (u, v, w) = eu cos v cos w
g2 (u, v, w) = eu cos v sen w
g3 (u, v, w) = eu sen v
a) Determine o dom´
ınio de diferenciabilidade de g e defina a derivada g (0, 0, 0).
1/2

62. An´
alise Matem´
atica II 10a Aula Pr´
atica 2o Semestre 2004/2005
b) Sendo f uma fun¸ao de R3 em R2 , diferenci´
c˜ avel no ponto (1, 0, 0), mostre que f ◦ g
´ diferenci´vel em (0, 0, 0) e determine (f ◦ g) (0, 0, 0), sabendo que:
e a
∂f
(1, 0, 0) = (1, 2)
∂x
∂f
(1, 0, 0) = (−1, 0)
∂y
∂f
(1, 0, 0) = (−1, 3)
∂z
2/2

69. An´
alise Matem´
atica II 11a Aula Pr´
atica 2o Semestre 2004/2005
11a Aula Pr´tica
a
1) Determine a equa¸ao do plano tangente ao gr´
c˜ afico da fun¸ao f (x, y) = 3x2 − y 2 no ponto
c˜
correspondente a (5, 2). Determine as equa¸oes da recta normal a esse plano no mesmo
c˜
ponto.
2) Determine as equa¸oes das rectas tangente e normal a curva de equa¸ao x+y −log xy = e
c˜ ` c˜
no ponto (x, y) = (1, e).
3) Determine a equa¸ao do plano que ´ tangente ao parabol´
c˜ e oide de equa¸ao z = 2x2 + 3y 2
c˜
e que ´ paralelo ao plano de equa¸ao 4x − 6y − z = 10.
e c˜
4) Para cada um dos seguintes casos, determine a equa¸ao do plano tangente ao gr´
c˜ afico da
fun¸ao f no ponto correspondente ao ponto P do dom´
c˜ ınio de f . Sendo p o polin´
omio
cujo gr´fico ´ esse plano, compare o erro que se comete ao aproximar f (Q) por p(Q) com
a e
a distˆncia entre P e Q.
a
1
a) f (x, y) = , P = (4, 3), Q = (3.92, 3.01)
x2 + y2
b) f (x, y) = x0.5 y 0.3 , P = (1, 1), Q = (1.05, 0.97)
c) f (x, y) = x sen x, P = (0, 0), Q = (0.003, 0, 004)
d) f (x, y) = log(xy), P = (1, 2), Q = (1.01, 2.02)
5) Sejam ϕ : R3 → R2 uma fun¸ao diferenci´
c˜ avel em R3 e ψ : R2 → R a fun¸ao definida por
c˜
ψ(u, v) = arctg(u2 + v) .
Calcule (ψ ◦ ϕ) (0, 0, 0), sabendo que ϕ(0, 0, 0) = (1, 2) e que as coordenadas da derivada
de ϕ no ponto (0, 0, 0) s˜ as fun¸oes dadas por:
ao c˜
L1 (x, y, z) = 2x + 3y + z
L2 (x, y, z) = x − y + z
6) Considere a fun¸ao f definida por
c˜
z(x − y)2
f (x, y, z) =
(x − y)4 + z 2
no dom´
ınio de existˆncia desta express˜o.
e a
a) Determine todos os limites (na origem) segundo rectas.
b) Mostre que a fun¸ao n˜ tem limite na origem.
c˜ ao
7) Considere a fun¸ao F : R3 → R definida por
c˜
F (x, y, z) = G(x2 − y 2 , y 2 − z 2 ) ,
e c˜ avel em R2 .
onde G ´ uma fun¸ao real diferenci´
Indique em que pontos F ´ diferenci´vel e mostre que
e a
yzFx (x, y, z ) + xzFy (x, y, z ) + xyFz (x, y, z ) = 0
para qualquer (x, y, z) ∈ R3 .
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