El documento presenta varios ejemplos y problemas resueltos relacionados con series de Taylor y aproximaciones numéricas de funciones. Se calculan derivadas, se construyen polinomios de Taylor, se grafican funciones frente a sus aproximaciones y se analizan errores.

1. Taller <br />Determine el n-ésimo polinomio de Taylor centrado en c de:<br /> n = 4 , c = 1 = xi<br />Rta: siguiendo la serie de Taylor se hallan las cuatro derivadas para formar el polinomio de la siguiente manera:<br />Ahora formando el polinomio tenemos:<br />, n = 4 , c = 1 = xi<br />Rta: Al igual que el punto anterior se determinan las cuatro derivaras de la función: Ahora formando el polinomio tenemos:<br />Para f(x) = arcsen (x)<br />Escribir el polinomio de Mclaurin P3(x) para f(x).<br />Rta: El polinomio de Mclaurin consiste en la serie de Taylor centrada en cero (xi=0), además P3(x) significa que se trunca en la tercera derivada. <br />Completar la siguiente tabla para P3(x) y para f(x) (Utilizar radianes).<br />Rta: ahora reemplazando los valores en la función f(x) y en la función aproximada hallada anteriormente P3(x) se llena la tabla.<br />Como tenemos la función podemos calcular el error verdadero:<br />x-0,75-0,5-0,2500,250,50,75f(x)-0,8481-0,5236-0,252700,25270,52360,8481P3(x)-0,8203-0,5208-0,252600,25260,52080,8203%E3,2780,53480,0395700,039570,53483,278<br />Dibujar sus graficas en los mismos ejes coordenados.<br />Graficando la función y la función aproximada tenemos:<br />Confirme la siguiente desigualdad con la ayuda de la calculadora y complete la tabla para confirmar numéricamente.<br /> Siendo Sn la serie que aproxima la f(x) dada.<br />Grafique y analice los resultados obtenidos<br />Rta: como se trata de una función logarítmica la mejor forma de aproximarla es usando la serie de Mclaurin es decir la serie de Taylor centrada en cero. Entonces obteniendo las derivas de la función se tiene:Derivando tenemos:<br />S2 significa que la serie se trunca en n=2 (segunda derivada) y S3 significa que la serie se trunca en n=3 (tercera derivada).<br />Ahora reemplazamos para cada uno de los valores de la tabla.<br />x0,00,20,40,60,81S20,00,180,320,420,480,5In (x+1)0,00,1820,3360,4700,5780,693S30,00,1830,3410,4920,6510,833<br />Como se observa la desigualdad se cumple, además se puede acercar que S3 se acerca más al comportamiento de la función real, esto es debido a que utiliza mas términos de la serie.<br />A partir de la serie de Taylor demostrar las expresiones de diferencia finita regresiva y diferencia finita centrada.<br />Rta: Para la diferencia finita regresiva:<br />Para la diferencia finita centrada:<br />La diferencia finita centrada resulta de la resta de la diferencia finita progresiva f(xi+1) y la diferencia finita regresiva f(xi-1), entonces:<br />Usando los términos de la serie de Taylor, aproxime la función f(X)=cos(x) en x0=π/3 con base en el valor de la función f y sus derivadas en el punto x1=π/4. Empiece con solo el termino n=0 agregando sucesivamente un término hasta que el error porcentual sea menor que la tolerancia, tomando 4 cifras significativas.<br />Rta: Conociendo la función se puede determinar el valor real f(π/3)=0,5 aproximando la función con la serie de Taylor se tiene:<br />Tolerancia:<br />El paso h=xi+1-xi= (π/3- π/4)= π/12, <br />Aproximación de orden cero n=0:<br /> <br />Hallando el error relativo porcentual y el error verdadero se tiene:<br />Para el primer orden de aproximación, adicionando la primera derivada:<br />Para el segundo orden de aproximación:<br />Adicionando términos sucesivamente hasta que se cumpla que Ea ≤ Es<br />Oder nfn(x)Aprox. f(π/3)єt(%)Єa(%)0Cos x0,7071067841,4---1-sen x0,521986664,435,46452-Cos x0,497754490,454,86833sen x0,499869150,030,42304Cos x0,500007550,0020,02775-sen x0,50000036,08E-050,0014<br />