1. ANALISIS DA ESTABILIDAD ABSOLUTA DE UM SISTEMA NA FORMA
DE LURE’S A TRAVES DO CRITÉRIO DO CÍRCULO
Manuel Ricardo Vargas Ávila
Manuel06_20@hotmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
ELE222- Sistemas Não Lineares
RESUMO: O presente documento consiste em um do círculo para estudar a estabilidade absoluta de um
relato das atividades desenvolvidas durante o capítulo 10 sistema não linear.
do libro NONLINEAR SYSTEM de Hassan K. Khalil da
disciplina do Programa de Pós-Graduação em 2 BASE TEÓRICA
Engenharia Elétrica -sistemas não lineares, chamado
analises de um sistema em malha fechada, o qual
consiste num desenvolvimento das técnicas de 2.1 PROBLEMA DE LURE
estabilidade absoluta (Lure) chamadas o critério do
círculo e critério de Popov. Será feita uma breve A maioria dos sistemas não lineares podem ser
introdução dos principais conceitos envolvidos sobre a representados a traves do seguinte sistema:
determinação da estabilidade absoluta de um sistema na
forma de Lure. Em seguida, será feito um
desenvolvimento teórico sobre o problema de LURE, a
condição do setor clássico, uma vez definido a condição
do setor, é mostrado a determinação da estabilidade
absoluta do sistema a traves do critério do círculo.
Finalmente, serão mostrados e discutidos os resultados
a traves de gráficos e simulações com simulink.
Figura 1. Sistema na forma de Lure
PALAVRAS-CHAVE: Sin memoria, critério do círculo,
Nyquist, Matlab.
O qual tem um sistema linear realimentado
negativamente com um elemento não linear ( .
1 INTRODUÇÃO O sistema da figura 1 pode ser representado como:
Muitos sistemas físicos não lineares podem ser ̇ +BU(t)
representados como uma conexão em malha fechada de (1)
um sistema dinâmico lineal e um elemento ( não linear
(sistema na forma de LURE). Este sistema é dito
assintoticamente estável se:
1 . Para encontrar a matriz A (Matriz dinâmica do
sistema), nós devemos encontrar a matriz jacobiana:
Nós devemos ter em conta que o elemento não
linear posem duas restrições que fazem que | (2)
, e por tanto que o sistema não seja
assintoticamente estável. As duas restrições serão
U=Vetor de entradas
definidas na base teórica do relatório.
B=Matriz que considera cada uma das entradas
C=Matriz de saída
Para fazer o estudo da estabilidade absoluta de um
D=Matriz que considera a influência direta das entradas
sistema não linear na forma de Lure, existem 2 técnicas
na saída
chamadas critério do círculo e critério de Popov. As
duas usam o diagrama de Nyquist como base para definir
O elemento não linear , deve ser um elemento
se o sistema é assintoticamente estável ou não. Neste
que cumpra umas condições:
relatório nós vamos a fazer o desenvolvimento do critério
1
A definição é presentada na base teórica
setor=
1

2.  A função avaliada no origem deve
ser, por tanto
 Deve ser uma função simétrica ímpar,
é dizer
2.2 CONDIÇÃO DO SETOR
Figura 3. Estabilidade absoluta- caso local
Figura 2. (a) Setor global; (b) Setor local
Definição 1: Uma função continua [ →
pertence ao setor [ ]se existem dois
números não-negativos e , onde
, tais que
(3)
se verifica. A relação (3) pode ser escrita na forma
Figura 4. Estabilidade absoluta- caso global
[ ][ ] (4)
A equação (4) é chamada condição do setor. Esta 2.3.1 CRITÉRIO DO CIRCULO
condição garante que esteja localizada no
primeiro e terceiro quadrante e ainda que .A O critério do círculo permite investigar a estabilidade
satisfação de uma dada condição de setor pode ser absoluta usando apenas o diagrama de Nyquist do
caracterizada tanto de forma local quanto global. sistema linear. Isto é muito importante porque o diagrama
de Nyquist pode ser determinada de forma experimental.
Tendo o diagrama de Nyquist , pode-se determinar
2.3 ESTABILIDADE ABSOLUTA os setores admissíveis para as quais o sistema é
absolutamente estável.
Baseado no sistema na forma de Lure (Figura 1) e Teorema 1: Considere o sistema (1), onde (A,B)
da condições do setor (4), nós podemos definir a são controlável, (A,C) são observável e cumpre a
estabilidade absoluta da seguinte maneira. condição do setor (4) globalmente. Então o sistema é
absolutamente estável se: [1]
Definição 2: Considere o sistema (1), onde a não-
linearidade satisfaz uma dada condição do setor. [ ]
Este sistema é globalmente absolutamente estável se a
origem é globalmente assintoticamente estável para É Hurwitz.
qualquer não-linearidade em um dado setor. Este sistema
será localmente absolutamente estavel se a origem é Onde:
assintoticamente estável para qualquer não-linearidade
parcialmente contida em um dado setor [1]. G(s) é a função de transferência do sistema linear.
Em conclusão nós podemos olhar que a
estabilidade absoluta é uma característica exclusiva do E
sistema e do setor escolhido, por tanto é válida para
qualquer não-linearidade pertencente ao setor.
2

3. [ ] [ ]
[ ]( ) Onde:
[ ]
[ ]
é estritamente positiva real, ou seja:
(5)
{ }
Teorema 2: Considere um sistema na forma (1) e
cumpre a condição do setor (4) globalmente. Então
Para definir o critério do círculo, nós primeiro o sistema é absolutamente estável se uma das condições
devemos traçar o diagrama de Nyquist do sistema linear. seguintes é satisfeita. [3]
 Se , o diagrama de Nyquist de
não entra no círculo D.
 Se , é Hurwitz e o diagrama
de Nyquist G (s) encontra-se à direita da linha vertical
e definido por [ ] .
 Se , é Hurwitz e o diagrama
de Nyquist de G (s) encontra-se no interior do disco de
"D".
Figura5. Diagrama de Nyquist
Logo devemos traçar o círculo.
Figura 7. Critério do circulo
Figura6. Círculo no caso que
O qual está definido como:
3

4. 3 ANALISIS DA ESTABILIDAD ̇ (11)
ABSOLUTA DE UM SISTEMA NÃO
LINEAR (PENDULO) A TRAVES DO
CRITERIO DO CIRCULO. 3.2 SISTEMA NA FORMA DE LURE
3.1 SISTEMA NÃO LINEAR (PENDULO)
Figura 9. Sistema na forma de LURE
Figura8. Pendulo
3.2.1 LINEARIZAÇÃO DO SISTEMA (10) e (11)
A partir de (2) nós podemos encontrar a matriz
Usando a segunda lei de newton a gente pode dinâmica do sistema (A).
escrever a equação de movimento na direção tangencial:
̈ ̇ [ ]
Onde é a massa da bola, é a longitude do [ ]
braço, é o ângulo entre a vertical e o braço, ̇
aceleração angular, é a aceleração da gravidade, e é [ ]
o coeficiente de fricção.
Pegando como variáveis de estado e ̇
Então a representação do sistema linear fica:
nós podemos escrever as equações de estado
̇
̇ [ ] [ ] [ ]+ [ ]U(t)
̇
(12)
̇ ⏟ [ ][ ]
As constantes são definidas: 3.2.2 ELEMENTO NÃO LINEAR
(6)
(13)
Onde:
Então as equações de estados ficam:
̇ (7)
Então o gráfica da função (13) fica:
̇ ⏟ (8)
Onde o elemento não linear é:
(9)
Fazendo substituição de (9) em (8), as equações
de estados ficam:
̇ (10)
4

5. Sine Function
5 [ ][ ]
4
Agora a gente pode traçar o círculo com radio (5)
3
2
Function Value
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-2*pi -pi 0 pi 2*pi
Radians
Figura 9. Função , com
3.3 CONDIÇÃO DO SETOR
Figura 11. Círculo (r= 0.2926)
3.4 DIAGRAMA DE NYQUIST
A função de transferência do sistema linear é:
Fazendo em Matlab:
A=[0 1;0 -1];
B=[0;1];
C=[1 0];
syms s
I=[1 0;0 1];
G=C*inv(s*I-A)*B
Figura 10. Setor local Seu diagrama de bode fica:
Definição do setor: 50
Bode Diagram
(14)
Magnitude (dB)
0
| | (15)
-50
-100
Então (3) fica: -90
Phase (deg)
-135
-180
-2 -1 0 1 2
10 10 10 10 10
Frequency (rad/s)
Figura 12. Diagrama de bode
Por tanto a condição do setor fica:
5

6. Nós podemos olhar que a fase vai de -90 a -180 ,
por tanto o diagrama de nyquist fica:
Nyquist Diagram
20
15
10
5
Imaginary Axis
0
-5
-10
-15
-20
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
Real Axis
Figura 13. Diagrama de Nyquist
A nova condição do setor fica:
3.5 CRITÉRIO DO CIRCULO (16)
Agora traçando a figura11 com a figura 13, nós
vamos analisar a estabilidade absoluta do sistema a | | (17)
partir do teorema 2.
Por tanto a condição do setor fica:
Nyquist Diagram
0.25
[ ][ ]
0.2
0.15
0.1 Agora nós podemos traçar o círculo com radio (5).
Imaginary Axis
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2
Real Axis
Figura 14. Critério do circulo
Pelo teorema 2, Se , o diagrama de
Nyquist de não deve entrar no círculo D. Se nos olhamos
a figura 14, não cumpre o teorema, por tanto pela condição
definida de (6), o sistema não é absolutamente estável.
Então, nós vamos definir o limite de , no qual o teorema2 Figura 16. Círculo (r= 0.22272)
seja verdade e portanto o sistema seja absolutamente estável.
Agora aplicando o critério do círculo com o diagrama de
Definindo (6) como: nyquist da figura 13.
Figura 15. Setor local
6

7. Agora nos podemos traçar o círculo com radio (5).
Nyquist Diagram
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
Imaginary Axis
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
Real Axis
Figura 17. Critério do circulo Figura 19. Círculo (r= 0.2816)
Nós podemos olhar que o teorema2 é satisfeito, por Agora aplicando o critério do círculo com o diagrama de
tanto o sistema é absolutamente estável. nyquist da figura 13.
Agora definindo (6) como:
Nyquist Diagram
0.25
0.2
0.15
0.1
Imaginary Axis
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.6 -0.4 -0.2
Real Axis
Figura 20. Critério do circulo
Nós podemos olhar que o teorema2 é satisfeito, por
tanto o sistema é absolutamente estável.
Figura 18. Setor local
4 Conclusões
A nova condição do setor fica:
 O critério do círculo é uma técnica muito
(18) importante para investigar a estabilidade
absoluta de um sistema usando apenas o
diagrama de nyquist. Mas se comparamos esta
| | (19) técnica com o critério Popov, tem desvantagem
por que a técnica de Popov é menos
Por tanto a condição do setor fica: conservadora, ou seja a estimação é mais
parecida.
[ ][ ]
7

8.  Neste relatório nos logramos encontrar o limite
de no qual a través do critério do círculo o
sistema é absolutamente estável.
5 REFERÊNCIAS
[1] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, ,
1996.
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