1) O documento apresenta exercícios sobre inequações matriciais lineares (LMI) para síntese de realimentação de estados.
2) É mostrada a teoria para projetar LMIs que garantam o posicionamento dos polos em diferentes regiões do plano complexo, como semiplanos esquerdo e direito e faixa.
3) Também é mostrado como projetar uma LMI para posicionar os polos dentro de um setor cônico no semiplano esquerdo, definido por um fator de amortecimento mínimo.
Exercício 1 - Sistemas Discretos / Resposta em frequência
LMI para posicionar polos entre α1 e α2
1. EXERCÍCIOS LMI CONTROL TOOLBOX MATLAB
Manuel Ricardo Vargas Ávila
Manuel06_20@hotmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Controle Multivariável
RESUMO: O presente documento consiste em um 𝕯 ≜ {𝑧 𝜖 ℂ|𝐿 + 𝑧𝑴 + 𝑧̅ 𝑴′ < 0} (2)
desenvolvimento dos exercícios propostos (Inequações
Matriciais Lineares- LMI) na aula de controle
Sendo 𝑳 = 𝑳′ e M matrizes reais.
multivariavel. Para a solução de LMIs, será usado o
pacote de LMI CONTROL TOOLBOX de Matlab.
Corolário 1: Seja o modelo simplificado com base
PALAVRAS-CHAVE: Traço, Feasp, minCX, ganho em (2) (GAHINET et al., 1995), de modo que:
estabilizante.
𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝐿 + 𝑧𝑴 + 𝑧̅ 𝑴′ (3)
1 EXERCÍCIO 1 As regiões mais utilizadas em projetos de sistemas
de controle com otimizacao LMI são mostradas de acordo
Determine uma condição LMI que possibilite a o Colorario 1 e nas figuras 1 e 2.
síntese de uma realimentação de estados de forma a
garantir o posicionamento dos polos do sistema em malha Semiplano esquerdo, 𝑅𝑒(𝑧) < 𝛼1
fechada, nas seguintes regiões:
𝒇 𝕯 (𝒛) = −2𝛼1 + 𝑧 + 𝑧̅ (4)
1.1 BASE TEÓRICA
Considere o seguinte sistema controlável,
observável, linear e invariante no tempo:
̇
𝒙(𝒕) = 𝑨𝑥(𝑡) + 𝑩𝑢(𝑡)
(1)
𝒛(𝒕) = 𝑪𝑥(𝑡)
Sendo 𝑨 ∈ 𝓡 𝒏𝒙𝒏 , 𝑩 ∈ 𝓡 𝒏𝒙𝒑 , 𝑪 ∈ 𝓡 𝒎𝒙𝒏 , 𝑥(𝑡) é o Figura 1 - ℜ{𝜆} ≤ 𝛼1
vetor de estados, 𝒛(𝒕) a saída de interesse e 𝑢(𝑡) a
entrada de controle.
Semiplano direito, 𝑹𝒆(𝒛) > 𝛼2 :
O objetivo do problema é projetar uma condição LMI
que possibilite a síntese de uma realimentação de 𝒇 𝕯 (𝒛) = −2𝛼2 − 𝑧 − 𝑧̅ (5)
estados tal que os pólos de malha fechada fiquem em
uma determinada região especifica.
Considerando:
Teorema 1: (Estabilidade de Lyapunov) Dado o
sistema:
𝑥̇ = 𝐴𝑥
Existe uma solução 𝑷 > 0 simétrica de modo que
𝑨′ 𝑷 + 𝑷𝑨 + 𝑵 < 0, onde N > 0 (simétrica) é uma matriz
arbitrária ao ponto de operação [1].
Figura 2 - ℜ{𝜆} ≥ 𝛼2
Definição 1: A Região LMI é uma região convexa
no plano complexo, denotada por 𝒟 simétrica com
respeito ao eixo real (GAHINET et al., 1995), definida por:
1
2. Setor cônico com vértice na origem e ângulo semiplano direito, 𝑅𝑒(𝑧) > 𝛼2 , tendo que 𝛼2 ∈
interno de 2𝜃 onde 𝑹𝒆(𝒛)𝑡𝑔𝜃 < |𝑰𝒎(𝒛)| é ℜ:
descrito por:
∀𝑧 ∈ 𝐶, 𝑹𝒆(𝒛) > 𝛼2 ⟹ 𝟐𝜶 𝟐 𝑷 − (𝑨𝑷 + (𝑨𝑷)′ ) < 𝟎 (8)
(𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝑧 + 𝑧̅) (𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝑧 − 𝑧̅)
𝒇 𝕯 (𝒛) = [ ] (6)
(𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝑧̅ − 𝑧) (𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝑧 + 𝑧̅)
Agora considerando uma síntese de realimentação
de estados em (1):
𝑢 = 𝑲𝑥
O sistema em malha fechada fica na forma:
𝑥̇ = (𝑨 + 𝑩𝑲)𝑥 (9)
Agora fazendo substituição em (7), nós podemos
encontrar a LMI que define o posicionamento a esquerda
de uma reta vertical que passa por 𝜶 𝟏 :
−2𝛼1 𝑷 + (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ < 0 (10)
Figura 3 - Sector definido por 𝜃
A equação (10) não é uma LMI, então nós devemos
fazer uma transformação para que seja uma LMI.
Multiplicando (10) a esquerda por 𝒘′ e a direita por 𝒘,
1.2 Faixa: 𝜶 𝟐 ≤ 𝕽{𝝀} ≤ 𝜶 𝟏 , 𝜶 𝟏 > 𝟎, 𝜶 𝟐 > 𝟎
considerando que 𝒘 = 𝑷−𝟏
−2𝑊 ′ 𝜶 𝟏 𝑷𝑊 + 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑷𝑊 + 𝑊 ′ 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0
Tendo que:
𝑷𝑊 = 1
−2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ + (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0
Reescrevendo:
−2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′𝐾′𝑊′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝐾𝑊 < 0
Figura4 - faixa 𝛼2 ≤ ℜ{𝜆} ≤ 𝛼1
Agora fazendo:
Corolario 2: A partir do teorema 1 e o corolário 1.
Para sistemas no tempo continuo, sendo 𝕯 no semipleno 𝒀 = 𝐾𝑊
esquerdo, de modo que:
A LMI é:
𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝑧 + 𝑧̅ < 0 −2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′ 𝑌′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝑌 < 0
{ (11)
𝑊 = 𝑊′ > 0
Fazendo substituição de (1, 𝑧, 𝑧̅) ↔ (𝑷, 𝑨𝑷, (𝑨𝑷)′ ),
tem-se que:
Agora fazendo substituição de (9) em (8), nós
semiplano esquerdo, 𝑅𝑒(𝑧) < 𝛼1 , tendo podemos encontrar a LMI que define o posicionamento a
que 𝛼1 ∈ ℜ: direita de uma reta vertical que passa por 𝜶 𝟐 :
∀𝑧 ∈ 𝐶, 𝑹𝒆(𝒛) < 𝛼1 ⟹ −𝟐𝜶 𝟏 𝑷 + 𝑨𝑷 + (𝑨𝑷)′ < 𝟎 (7)
2𝜶 𝟐 𝑷 − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 − 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ < 0 (12)
2
3. A equação (12) não é uma LMI, então fazendo 𝝈 =Constante de amortecimento, cuja ubiquação está no
transformação para que seja uma LMI: eixo real.
𝝈 = 𝜉𝑤 𝑛
2𝑊 ′ 𝜶 𝟐 𝑷𝑊 − 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑷𝑊 − 𝑊 ′ 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0
𝒘 𝒅 = Frequência de amortecimento, cuja ubiquação está
no eixo imaginário.
Considerando que:
𝒘 𝒅 = 𝑤 𝑛 √1 − 𝜉 2
𝑷𝑊 = 1
𝒘 𝒏 = Frequência natural, é a hipotenusa do triangulo
2𝜶 𝟐 𝑊 − (𝐴 + 𝐵𝐾)′ − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0 retângulo formado por os catetos de amortecimento 𝝈 e
frequência de amortecimento 𝒘 𝒅 .
Reescrevendo: O ângulo de apertura dos polos complexos 𝜃 , está
relacionado com o coeficiente de amortecimento 𝜉.
2𝜶 𝟐 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′ − 𝐵′ 𝐾 ′ 𝑊 ′ − 𝐴𝑊 − 𝐵𝐾𝑊 < 0 𝜉 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
Onde:
Agora fazendo: 0 ≤ |𝜉| ≤ 1
𝒀 = 𝐾𝑊
Considerando o Corolário1:
A LMI é:
Podemos definir que:
2𝜶 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′− 𝑌′ 𝐵′
− 𝐴𝑊 − 𝐵𝑌 < 0
{ 𝟐 (13) Setor cônico com vértice na origem e ângulo 𝜃, onde
𝑊 = 𝑊′ > 0 𝑹𝒆(𝒛)𝑡𝑔𝜃 < |𝑰𝒎(𝒛)| é descrito por (6).
Agora, a partir do Teorema1 e do corolário 2, para
Agora juntando (11) e (13), nós podemos definir
sistemas no tempo contınuo, sendo 𝒟 no semiplano
uma LMI, para garantir o posicionamento dos polos do
esquerdo, de modo que:
sistema em malha fechada, naquela faixa entre 𝜶 𝟏 e 𝜶 𝟐 .
−2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′ 𝑌 ′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝑌 < 0 𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝑧 + 𝑧̅ < 0
{ 2𝜶 𝟐 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′ − 𝑌 ′ 𝐵′ − 𝐴𝑊 − 𝐵𝑌 < 0 (14)
𝑊 = 𝑊′ > 0
Fazendo substituição de (1, 𝑧, 𝑧̅) ↔ (𝑷, 𝑨𝑷, (𝑨𝑷)′ ) em (6),
tem-se que:
1.3 Setor no semipleno-esquerdo: fator de
(𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝐴𝑃 + (𝐴𝑃)′) (𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝐴𝑃 − (𝐴𝑃)′)
amortecimento dos pólos maior que um [ ]< 𝟎 (15)
(𝒄𝒐𝒔𝜽)((𝐴𝑃)′ − 𝐴𝑃) (𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝐴𝑃 + (𝐴𝑃)′)
dado 𝝃 (Figura 3)
Primeiro, nós devemos descrever quem é 𝜽: Escrevendo que:
𝑻 𝟏 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝐴′
𝑻 𝟐 = 𝐴𝑃 − 𝑃𝐴′
𝑻 𝟑 = 𝑃𝐴′ − 𝐴𝑃
Fazendo substituição em (14):
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑻𝟏) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑻𝟐)
[ ]<0
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑻𝟑) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑻𝟏)
Agora considerando uma síntese de realimentação
Figura5 - Polos complexos conjugados de estados:
𝑢 = 𝑲𝑥
3
4. O sistema (1) em malha fechada:
A LMI que define a norma H2 é:
𝑥̇ = (𝑨 + 𝑩𝑲) 𝑥
⏟
̅
𝑨
Agora fazendo substituição em (15), nós podemos 𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝑾𝐶 𝑧 ′ + 𝒀′ 𝐷 𝑧𝑢 ′
[ ]<0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑊 𝑒 𝑌
encontrar a LMI que define o posicionamento dos polos 𝐶 𝑧 𝑾 + 𝐷 𝑧𝑢 𝒀 −𝐼
(𝟐𝟎)
′
no setor descrito pelo ângulo 𝜽: min(𝑡𝑟𝑎𝑐𝑜 𝑊) 𝑾= 𝑾 >0
{
𝑿 𝐵′ 𝑤
{[ ]>0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑋 𝑒 𝑊
{ 𝐵𝑤 𝑊
𝑠𝑖𝑛𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ ) 𝑐𝑜𝑠𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 − 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ )
[ ]<0
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷) 𝑠𝑖𝑛𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ )
(16)
Agora juntando a LMI (14) (posicionamento de polos
Nós podemos olhar que a equação (16) não é uma numa strip) com a LMI (20) (Norma H2), nós podemos
LMI em P e K obter uma minimização da norma sujeito ao
posicionamento dos polos numa strip.
Agora multiplicando a equação (16) pela matriz 𝑊 = 𝑷−𝟏
𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝑾𝐶 𝑧 ′ + 𝒀′ 𝐷′ 𝑧𝑢
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾′ (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾) + 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾 − 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′𝑾 [ ] < 0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑊 𝑒 𝑌
[
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾 − 𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾 + 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾)
]<0 (17) 𝐶 𝑧 𝑾 + 𝐷 𝑧𝑢 𝒀 −𝐼
𝑿 𝐵′ 𝑤
{[ ]>0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑋 𝑒 𝑊
𝐵𝑤 𝑊 (𝟐𝟏)
Agora a equação (17), resulta: −2𝜶 𝟏 𝑾 + 𝑾′ 𝐴′ + 𝑩′ 𝒀′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 < 0
2𝜶 𝟐 𝑾 − 𝑾′ 𝐴′ − 𝒀′ 𝑩′ − 𝐴𝑾 − 𝐵𝒀 < 0
{ 𝑾 = 𝑊′ > 0
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝐾′𝑾′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝐾′𝑾′)
[ ]<0 (18)
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵′ 𝐾 ′ 𝑾′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝐾𝑾) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝐾′𝑾′)
Agora usando a LMItoolbox de matlab podemos
definir as LMIs:
Fazendo 𝒀 = 𝐾𝑊 na equação (18):
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝑌′)
[ ]<0 setlmis([])
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵 ′ 𝑌′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝑌) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′)
%%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA
DE CADA UMA DAS MATRIZES
W=lmivar(1,[3 1])
Então a LMI que define o posicionamento dos polos Y=lmivar(2,[1 3])
no setor é: X=lmivar(1,[3 1])
% % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY WC'+Y'D ;
𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝑌′) CW+DY -I]
[ ]<0
{ 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵 ′ 𝑌′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝑌) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
′
𝑊= 𝑊 >0 lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
(19) lmiterm([1 2 1 W],Cz,1) %%%%% CzW
lmiterm([1 2 1 Y],Dzu,1) %%%%% DzuY
lmiterm([1 2 2 0],-1) %%%%% -I
2 EXERCÍCIO 2 % 2 LMI [ X Bw'; Bw W]
lmiterm([-2 1 1 X],1,1) %%%%% X
Usando o LMItoolbox, implemente a solução dos lmiterm([-2 2 1 0],Bw) %%%%% Bw
lmiterm([-2 2 2 W],1,1) %%%%% W
seguintes problemas:
% % 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0
Síntese de realimentação de estados para a lmiterm([3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖2 sujeito ao lmiterm([3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
posicionamento de pólos em uma strip. lmiterm([3 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW
Seja o seguinte sistema linear na forma: %%%% 4 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0
lmiterm([-4 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([-4 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([-4 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW
̇
𝑿(𝒕) = 𝑨𝑋(𝑡) + 𝐁U(t) + 𝑩 𝒘 𝑤(𝑡)
% 5 LMI W=W'>0
𝒁(𝒕) = 𝑪 𝒛 𝑋(𝑡) + 𝑫 𝒛𝒘 𝑊(𝑡) + 𝑫 𝒛𝒖 𝑈(𝑡) lmiterm([-5 1 1 W],1,1) %%%%% W>0
lmis=getlmis;
Onde Z(t) são as saídas de rendimento.
4
5. Síntese de realimentação de estados para a 3 EXERCÍCIO 3
minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖∞ sujeito ao
posicionamento de pólos em uma strip. Test os problemas do item anterior considerando o
sistema do exemplo 7 do artigo Scherer et al:
Multiobjective Output-Feedback Control, IEEE-TAC 1997.
A LMI que define a norma Hinfinito está definida por:
Considere o seguinte sistema:
𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝐵𝑤 𝐵𝑤
[ 𝐵𝑤 −𝛾 2 𝐼 𝐷′ 𝑤 ] < 0 (22) 𝐴 𝑩 𝒘 𝐵
𝐶𝑧 𝑾 𝐷𝑤 −𝐼 𝒙̇ 𝟏 ⏞0 10 2 𝒙𝟏 ⏞1 ⏞0
{ 𝑾 = 𝑾′ > 0 [ 𝒙̇ 𝟐 ] = [−1 1 0 ] [ 𝒙 𝟐 ] + [0 ] 𝑤 + [1 ] 𝑢
𝒙̇ 𝟑 0 2 −5 𝒙 𝟑 1 0
𝑥1
Agora juntando a LMI (14) (posicionamento de polos 𝑦 = [0 1 0] [ 𝑥2 ] + ⏟ 𝑤 2
⏟
numa strip) com a LMI (22) (Norma Hinfinito), nós 𝑪 𝑥3 𝐷𝑤
podemos obter uma minimização da norma sujeito ao
posicionamento dos polos numa strip: E tem saídas de rendimento definidas por:
0 1 0 𝒙𝟏 0 𝑥2
𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝐵𝑤 𝐵𝑤 𝒛 = [0 0 1] [ 𝒙 𝟐 ] + [0] 𝑢 = [ 𝑥3 ]
[ 𝐵𝑤 −𝛾 2 𝐼 𝐷′ 𝑤 ] < 0 ⏟0 0 0 𝒙𝟑 ⏟1 𝑢
𝐶𝑧 𝑾 𝐷𝑤 −𝐼 𝑪𝒛 𝑫 𝒛𝒖
(23)
−2𝜶 𝟏 𝑾 + 𝑾′ 𝐴′ + 𝑩′ 𝒀′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 < 0
2𝜶 𝟐 𝑾 − 𝑾′ 𝐴′ − 𝒀′ 𝑩′ − 𝐴𝑾 − 𝐵𝒀 < 0 Síntese de realimentação de estados para a
{ minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖2 sujeito ao
𝑾 = 𝑊′ > 0
posicionamento de pólos em uma strip.
Agora usando a LMItoolbox de matlab podemos definir
as LMIs:
%%% SINTESE DE REALIMENTACAO DE ESTADOS PARA
MINIMIZACAO DE H2 SUJEITO AO
%%% POSICIONAMENTO DE POLOS EM UMA STRIP.
setlmis([]) clc
%%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE clear all
CADA UMA DAS MATRIZES A=[0 10 2;-1 1 0;0 2 -5];
W=lmivar(1,[3 1]) B=[0;1;0];
Y=lmivar(2,[1 3]) Bw=[1 0 0;0 0 0;1 0 0];
gamma=lmivar(1,[1 1]) Cz=[0 1 0;0 0 1;0 0 0];
u=5 Dzu=[0;0;1];
uu=7
%%% ALOCACAO DA FAIXA DOS POLOS
% % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY Bw WCz'+Y'Dzu';
Bw' -gamma*I Dw'; u=5;
% CzW+Dzu*Y Dw -I]%%%%% se agrego nuevo uu=6;
termino Dzu*Y
lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW setlmis([])
lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B' %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE
lmiterm([1 2 1 0],Bw') %%% Bw' CADA UMA DAS MATRIZES
lmiterm([1 2 2 gamma],-1,1) %%% -gamma*I W=lmivar(1,[3 1])
lmiterm([1 2 3 0],Dzw') %%% Dzw' Y=lmivar(2,[1 3])
lmiterm([1 3 1 W],Cz,1) %%% Cz X=lmivar(1,[3 1])
lmiterm([1 3 1 Y],Dzu,1) %%% Dzu*Y
lmiterm([1 3 3 0],-1) %%% -I % % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY WC'+Y'D ; CW+DY
-I]
% % 2 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0 lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([2 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([2 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B' lmiterm([1 2 1 W],Cz,1) %%%%% CzW
lmiterm([2 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW lmiterm([1 2 1 Y],Dzu,1) %%%%% DzuY
lmiterm([1 2 2 0],-1) %%%%% -I
%%%% 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0
lmiterm([-3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW % 2 LMI [ X Bw'; Bw W]
lmiterm([-3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B' lmiterm([-2 1 1 X],1,1) %%%%% X
lmiterm([-3 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW lmiterm([-2 2 1 0],Bw) %%%%% Bw
lmiterm([-2 2 2 W],1,1) %%%%% W
% 4 LMI W=W'>0
lmiterm([-4 1 1 W],1,1) %%%%% W>0 % % 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0
lmiterm([3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmis=getlmis; lmiterm([3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([3 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW
5
6. %%%% 4 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0 %%%%% A norma H2 do sistema em malha fechada é
lmiterm([-4 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW dada por
lmiterm([-4 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([-4 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW G2=sqrt(trace(Wopt))
% 5 LMI W=W'>0 G2= 0.8425
lmiterm([-5 1 1 W],1,1) %%%%% W>0
lmis=getlmis;
c=mat2dec(lmis,eye(3),eye(1,3),eye(3)) Síntese de realimentação de estados para a
options=[10^-5,0,0,0,0] minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖∞ sujeito ao
[copt,xopt]=mincx(lmis,c,options)
posicionamento de pólos em uma strip.
Wopt=dec2mat(lmis,xopt,W)
Yopt=dec2mat(lmis,xopt,Y)
Xopt=dec2mat(lmis,xopt,X); %%% SINTESE DE REALIMENTACAO DE ESTADOS PARA
MINIMIZACAO DE Hinfinito SUJEITO AO
%%%%GANHO %%% POSICIONAMENTO DE POLOS EM UMA STRIP
K=Yopt*inv(Wopt)
clc
K=[-4.8824 -12.5450 -0.7992] clear all
A=[0 10 2;-1 1 0;0 2 -5];
B=[0;1;0];
%%%%% alocação dos autovalores de (A+BK) Bw=[1;0;1];
Cz=[1 0 0;0 0 0;0 0 0];
AA=A+B*K; Dzw=0;
eig(AA) Dzu=[0;1;0];
𝜆12 − 5.4862 ± 5.1869i %%% ALOCACAO DA FAIXA DOS POLOS
𝜆3 = -5.5725 u=30;
%%%%% Fazendo simulação do sistema em malha uu=31;
fechada com realimentação de estados
setlmis([])
C=[0 1 0]; %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE
D=0; CADA UMA DAS MATRIZES
T = 0:0.1:1; % simulation time = W=lmivar(1,[3 1])
10 seconds Y=lmivar(2,[1 3])
U =ones(size(T)) ; % u = 1, a step gamma=lmivar(1,[1 1])
input
[XX,YY]=lsim(A+B*K,B,C,D,U,T); % simulate CON % % 1 LMI [WA'+AW + Y'B'+BY Bw
REALIMENTACION K WCz'+Y'Dzu'; Bw' -gamma*I Dw';
plot(T,YY) % CzW+Dzu*Y Dw -I]%%%%% se agrego nuevo
grid termino Dzu*Y
lmiterm([1 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([1 2 1 0],Bw') %%% Bw'
lmiterm([1 2 2 gamma],-1,1) %%% -gamma*I
lmiterm([1 2 3 0],Dzw') %%% Dzw'
lmiterm([1 3 1 W],Cz,1) %%% Czw
0.18 lmiterm([1 3 1 Y],Dzu,1) %%% Dzu*Y
lmiterm([1 3 3 0],-1) %%% -I
0.16
% % 2 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]<0
0.14
lmiterm([2 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
0.12 lmiterm([2 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
lmiterm([2 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW
0.1
%%%% 3 LMI [WA'+AW+BY+B'Y'+2uW]>0
0.08 lmiterm([-3 1 1 W],1,A','s') %%%% WA'+AW
lmiterm([-3 1 1 Y],B,1,'s') %%% BY+Y'B'
0.06 lmiterm([-3 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW
0.04 % 4 LMI W=W'>0
lmiterm([-4 1 1 W],1,1) %%%%% W>0
0.02
lmis=getlmis;
0
c=mat2dec(lmis,eye(3),eye(1,3),eye(1))
-0.02
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 options=[10^-5,0,0,0,0]
[copt,xopt]=mincx(lmis,c,options)
Wopt=dec2mat(lmis,xopt,W)
Yopt=dec2mat(lmis,xopt,Y)
Figura6 - Simulação dos estados do sistema com Gammaopt=dec2mat(lmis,xopt,gamma)
realimentação de estados %%%%GANHO
K=Yopt*inv(Wopt)
K=[ -5.7055 -12.9999 0.0020]
6
7. Seja o seguinte sistema linear na forma:
%%%%% alocação dos autovalores de (A+BK)
AA=A+B*K; 𝑿̇ = 𝑨𝑋 + 𝐁U + 𝑩 𝒘 𝑊
eig(AA)
𝒀 = 𝑪𝑋 + 𝑫 𝒘 𝑊
𝜆12 =−5.5680 ± 5.5450i
(24)
𝜆3 = -5.8639
𝒁 𝟐 = 𝑪 𝒛𝟐 𝑋 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝑈 + 𝐃 𝐳𝐰𝟐 𝑊
%%%%% Fazendo simulação do sistema em malha
fechada com realimentação de estados 𝒁∞ = 𝑪 𝒛∞ 𝑋 + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝑈 + 𝐃 𝐳𝐰∞ 𝑊
D=0;
T = 0:0.1:1; % simulation time =
10 seconds Com realimentação dinâmica:
U =ones(size(T)) ; % u = 1, a step
input
[XX,YY]=lsim(A+B*K,B,Cz,D,U,T); % simulate CON 𝝃̇ = 𝐴 𝑘 𝛏 + 𝐵 𝑘 𝒀
REALIMENTACION K (25)
plot(T,YY)
grid 𝑼 = 𝐶𝑘 𝝃 + 𝐷𝑘 𝑌
Onde:
𝑿 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
0.16 𝑾 = 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 ( Sinal de perturbação)
𝒀 = 𝑆𝑎í𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
0.14
𝒁 = 𝑆𝑎í𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
0.12 𝝃 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑼 = 𝑆𝑖𝑛𝑎𝑖 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒
0.1
0.08 O sistema em malha fechada é:
0.06
0.04 𝑋̇ 𝑐𝑙 𝐴 𝑐𝑙 𝑋 𝑐𝑙 𝐵 𝑐𝑙
0.02
⏞𝑿̇ ⏞𝐴 + 𝐁𝐷 𝑘 𝑩𝐶 𝑘 ⏞ ⏞𝑩 𝒘 + 𝐵𝐷 𝑘 𝑫 𝒘
𝑿
[ ̇]= [ ][ ̇] + [ ] 𝑾
𝝃 𝐵𝑘 𝑪 𝐴𝑘 𝝃 𝐵𝑘 𝑫 𝒘
0
-0.02 𝐶 𝑐𝑙2 𝐷 𝑐𝑙2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 𝑿
𝒁 𝟐 = ⏞ 𝒛𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑪
[𝑪 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐶 𝑘 ] [ ̇ ] + ⏞ 𝐳𝐰𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 ] 𝑾
[𝐃
𝝃
Figura7 - Simulação dos estados do sistema com
𝐶 𝑐𝑙∞ 𝐷 𝑐𝑙∞
realimentação de estados 𝑿
⏞
𝒁∞ = [𝑪 𝒛∞ + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐷 𝑘 𝑪 ⏞
𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐶 𝑘 ] [ ̇ ] + [𝐃 𝐳𝐰∞ + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 ] 𝑾
𝝃
%%%%% A norma Hinfinito do sistema em malha
fechada é dada por
Gamma=sqrt(Gammaopt) Equação correspondente ao espaço de estados em
malha fechada:
Gamma= 1.4510
𝑋̇ 𝑐𝑙 = 𝑨 𝒄𝒍 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑩 𝒄𝒍 𝑊
𝒁 𝟐 = 𝑪 𝒄𝒍𝟐 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑫 𝒄𝒍𝟐 𝑊
4 EXERCÍCIO 4
𝒁∞ = 𝑪 𝒄𝒍∞ 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑫 𝒄𝒍∞ 𝑊
Determine uma condição LMI que possibilite a
síntese de uma realimentação dinâmica de saída de
forma a garantir:
‖𝑇 𝑤𝑧 ‖2 ≤ 𝛽
A é estável e ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖2 ≤ 𝛽 se existe uma matriz 𝑷
simétrica e 𝑸 tal que:
[
𝐴′ 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 ] < 0 (𝟐𝟔)
𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼
𝑷 𝐶 𝑍′
[ ]>0 (𝟐𝟕)
𝐶𝑍 𝑸
Figura8 – Realimentação dinâmica de saída { 𝑇𝑟(𝑸) < 𝛽
7
8. O objetivo do exercício é calcular 𝑨 𝒌 , 𝑩 𝒌 , 𝑪 𝒌 , 𝑫 𝒌 do Onde:
compensador dinâmico (25), de forma garantir que 𝜎(𝑨 𝒄𝒍 )
tenham parte real negativa. ̂ = 𝑌𝐴𝑋 + 𝑌𝐵𝐷 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑁𝐵 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑌𝐵𝐶 𝑘 𝑀′ + 𝑁𝐴 𝑘 𝑀
𝑨
Nós vamos definir agora as seguintes matrizes: ̂ = 𝑌𝐵𝐷 𝑘 + 𝑁𝐵 𝑘
𝑩
(36)
𝑋 𝐼 ̂ = 𝐷 𝑘 𝐶𝑋 + 𝐶 𝑘 𝑀′
𝑪
𝝅𝟏 = [ ] (28)
𝑀′ 0
̂ = 𝐷𝑘
𝑫
𝐼 𝑌
𝝅𝟐 = [ ] (29) Agora fazendo substituição de (33), (34) e (35) em
0 𝑁′
(32), nós podemos definir a primeira LMI que garante a
minimização da norma H2 considerando uma
Agora multiplicando ao lado esquerdo de (26) por realimentação dinâmica de saída:
𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅′𝟏 , 𝑰) e o lado direito por 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅 𝟏 , 𝑰).
𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 + 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵
̂ 𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 + ̂ ′
̂ 𝑨 ̂
𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤
′ ̂ ̂ 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶 + 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩 ̂ 𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤 ] < 0 (37)
𝝅′𝟏 0 𝐴 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 𝝅 𝟏 0 [ 𝑨 + (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝑩 𝑩
[ ][ ][ ]<0 ̂
𝐵 𝑤 ′ + (𝐵𝑫 𝐷 𝑤 )′ ̂
(𝑌𝐵 𝑤 )′ + (𝑩 𝐷 𝑤 )′ −𝐼
0 𝐼 𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼 0 𝐼
𝝅′ 𝑨′𝑷 + 𝝅′𝟏 𝑷𝐴 𝝅′𝟏 𝑷𝐵 𝑤 𝝅 𝟏 0 É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ .
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
[ 𝟏 ][ ]<0
𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼 0 𝐼
Agora multiplicando ao lado esquerdo de (27) por
′ ′ ′ 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅′𝟏 , 𝑰) e o lado direito por 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅 𝟏 , 𝑰).
𝝅 𝟏 𝑨′𝑷𝝅 𝟏 + 𝝅 𝟏 𝑷𝐴𝝅 𝟏 𝝅 𝟏 𝑷𝐵 𝑤
[ ]<0 (30)
𝐵 𝑤 ′𝑷𝝅 𝟏 −𝐼
𝝅′𝟏 0 𝑷 𝐶 𝑍′ 𝝅 𝟏 0
[ ][ ][ ]>0
0 𝐼 𝐶𝑍 𝑸 0 𝐼
Agora considerando:
𝝅′𝟏 𝑷 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′ 𝝅 𝟏 0
[ ][ ]>0
𝝅′𝟏 𝑷 = 𝝅 𝟐′ 𝐶𝑍 𝑸 0 𝐼
(31)
𝑷𝝅 𝟏 = 𝝅 𝟐 𝝅′𝟏 𝑷𝝅 𝟏 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′
[ ]>0 (38)
𝐶𝑍 𝝅𝟏 𝑸
Fazendo substituição em (30) Fazendo substituição de (31) em (38)
𝝅′ 𝑨′𝝅 𝟐 + 𝝅 𝟐 ′𝐴𝝅 𝟏 𝝅 𝟐 ′𝐵 𝑤 𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′
[ 𝟏 ]<0 (32) [ ]>0 (39)
𝐵 𝑤 ′𝝅 𝟐 −𝐼 𝐶𝑍 𝝅𝟏 𝑸
Agora fazendo substituição de (28) e (29) em (39):
Considerando:
𝑋 𝐼
𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 = [ ] (40)
𝐴 = 𝑨 𝒄𝒍 𝐼 𝑌
𝐶 𝑍 𝝅 𝟏 = [𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍 ̂𝑪 𝐶 𝑍 +𝐷 𝑍 ̂ 𝐶]
𝑫 (41)
Agora fazendo substituição de (28) e (29) em (32):
Onde ̂ 𝒆 ̂ são definidas por (36).
𝑪 𝑫
̂ ̂ Agora fazendo substituição de (40) e (41) em (39),
𝝅′𝟐 𝐴𝝅 𝟏 = [ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 ] (33) nós podemos definir a segunda LMI que garante a
̂𝑨 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶
𝑩
minimização da norma H2 considerando uma
𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′
𝑪 ̂′
𝑨 realimentação dinâmica de saída:
𝝅′𝟏 𝑨′ 𝝅 𝟐 = [ ̂ ̂] (34)
(𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩
̂ 𝑋 𝐼 (𝐶 𝑍 𝑋)′ + (𝐷 𝑍 ̂ )′
𝑪
𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤
𝝅 𝟐 ′𝐵 𝑤 = [ ] (35) [ 𝐼 𝑌 𝐶 𝑍 ′ + (𝐷 𝑍 ̂ 𝐶)′ ] > 0 (42)
𝑫
𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤
𝑩
𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍̂𝑪 𝐶𝑍 + 𝐷𝑍̂ 𝐶
𝑫 𝑄
É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , 𝑸 e ̂ .
𝑪 𝑫
8
11. 0 1 0 0 0 0 𝑸 − 𝑺𝑹−𝟏 𝑺′ > 0
𝑪 𝒄𝒍 = [ ]
0 0 1 0 0 0
Obtém-se:
0
𝑫 𝒄𝒍 = [ ]
0 𝑷 𝐴 𝑑 ′𝑷
[ ]>0 (52)
𝑷𝐴 𝑑 𝑷
6 EXERCÍCIO 6
Agora considerando as seguintes matrizes:
Determine uma condição LMI que permita a síntese 𝑋 𝐼
de uma realimentação dinâmica de saída estabilizante 𝝅𝟏 = [ ] (53)
𝑀′ 0
para o caso discreto no tempo.
𝐼 𝑌
𝝅𝟐 = [ ] (54)
Considere o sistema discreto dado por: 0 𝑁′
Agora pré e pós multiplicando todos os elementos
𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1] = 𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] (47) por 𝝅𝟏′ e 𝝅𝟏, obtém-se que:
O sistema (47) é assintoticamente estável se ∃𝑃 = 𝜋′1 0 𝑷 𝐴 𝑑 ′𝑷 𝜋1 0
𝑃 ′ > 0 tal que: [ ][ ][
0 𝜋1
]>0
0 𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝑷
𝑃 − 𝐴′𝑑 𝑷𝐴 𝑑 > 0 (48)
𝜋′1 𝑷 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝑷 𝜋1 0
[ ][ ]>0
𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝜋′1 𝑷 0 𝜋1
Nós podemos observar que (48) não é uma LMI.
𝜋′1 𝑷𝜋1 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝑷𝜋1
[ ]>0 (55)
Então seja: 𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝜋1 𝜋′1 𝑷𝜋1
𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) = 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] (49) Agora considerando:
O teorema de Lyapunov discreto é definido por: 𝝅′𝟏 𝑷 = 𝝅 𝟐 ′
Se: 𝑷𝝅 𝟏 = 𝝅 𝟐
Então (55) fica:
𝚫𝑽(𝒙 𝒄𝒍 [𝒌]) = 𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1]) − 𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) < 0 (50)
𝜋′1 𝜋2 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝜋2
[ ]>0 (56)
𝜋′2 𝐴 𝑑 𝜋1 𝜋′1 𝜋2
Então o sistema é A.E. Agora reescrevendo (50) a
partir de (49).
Agora fazendo substituição de (53) e (54) em (56):
𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1] − 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0
𝑋 𝐼
𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 = [ ] (57)
𝐼 𝑌
Agora a partir de (47): ̂ ̂
𝝅′𝟐 𝐴 𝑑 𝝅 𝟏 = [ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 ] (58)
̂𝑨 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶
𝑩
((𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘])′𝑷(𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) − 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0
𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′
𝑪 ̂′
𝑨
𝝅′𝟏 𝐴 𝑑 ′ 𝝅 𝟐 = [ ̂ ̂] (59)
(𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩
𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′(𝐴 𝑑 ′𝑷𝐴 𝑑 − 𝑷)𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0
Onde ̂ , ̂ , ̂ 𝑒 ̂ são definidas em (36).
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
Se:
𝑷 − 𝐴′𝑑 𝑷𝐴 𝑑 > 𝟎 (51)
Agora fazendo substituição de (57), (58) e (59) em
Então 𝚫𝑽(𝒙) < 0 (56), nós podemos definir a LMI que permite a síntese de
uma realimentação dinâmica de saída estabilizante para
Agora aplicando complemento de Schur em (51), o caso discreto no tempo.
o qual está definido da seguinte maneira:
𝑋 𝐼 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′
𝑪 ̂′
𝑨
𝑸 𝑺 𝐼 𝑌 ̂
(𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ ̂
𝑌 + 𝐶′𝑩
[ ]>0 >0
𝑺′ 𝑹 ̂ ̂
𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 𝑋 𝐼
[ ̂𝑨 𝑌𝐴 + 𝑩̂𝐶 𝐼 𝑌 ]
Considerando:
É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ .
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
𝑹>0
11
12. 7 REFERÊNCIAS
[1] LMI CONTROL TOOLBOX, For use with MATLAB
[2] Controle robusto, professor Alexandre Trofino
[3] Linear Quadratic Control, Peter Dorato and Chaouki Abdallah
12