1. SISTEMA AXONOMÉTRICO

2. • Este sistema de representación nos proporciona, al igual que el Sistema Cónico,
una visión directa y de muy fácil interpretación al primer golpe de vista de los
Sistema axonométrico: cuerpos
• El tipo de proyección que se emplea es este sistema es, como en el Sistema
Fundamentos Diédrico Ortogonal, Cilíndrica Ortogonal.
Etimológicamente, el término • El Sistema Axonométrico Ortogonal emplea un solo plano de proyección
denominado Plano del cuadro o de proyección (coincidente con nuestro
axonométrico quiere decir eje y soporte, generalmente el papel) sobre el que se proyectan directamente los
medida (axo-métrico). Fue definido elementos representados.
por el matemático francés Desargües • Además intervienen 3 planos auxiliares que proporcionan otras tantas
en el Siglo XVII, siglo de las proyecciones, cada punto del espacio queda totalmente definido con estas tres
proyecciones auxiliares y la directa sobre el plano del cuadro.
sistematizaciones científicas.
• Los tres planos auxiliares antedichos forman entre sí un triedro trirrectángulo
(poliedro formado por tres planos que se cortan dos a dos, según ángulos rectos)
que tiene su vértice O coincidente con el plano del cuadro.

3. Sistema axonométrico:
Designación o nomenclatura. • Las proyecciones directa y secundarias de un punto se
unen según un segmento paralelo siempre a alguno de los
ejes axonométricos .
Las intersecciones entre los planos • Las mencionadas rectas, contenidas o paralelas a los ejes
auxiliares o caras del triedro axonométricos se denominan rectas axonométricas
trirrectángulo son las 3 aristas de (isométricas cuando se representan en este sistema).
dicho triedro concurrentes en su
vértice O y que proyectadas sobre el
plano del cuadro denominaremos ejes
axonométricos OX, OY y OZ. Nos
servirán de referencia y medida. Los
planos comprendidos entre ellos se
denominan XOY, XOZ y ZOY.
Las proyecciones secundarias de un
punto A se designan a’, a” y a’” (o A1,
A2 y A3) según pertenezcan a los
planos XOY, XOZ o ZOY
respectivamente.
Las proyecciones secundarias de una
recta R se designan r’, r” y r”‘ (o r1, r2,
r3) según pertenezcan a los planos
XOY, XOZ o ZOY respectivamente.
Las trazas de un plano β se designan
β’, β” y β”‘ (o β1, β2, β3) según
correspondan a los planos XOY, XOZ o
ZOY respectivamente.

4. Triángulo de trazas
Sus lados son perpendiculares a la proyección de los ejes
Al triángulo formado por las trazas generadas
por la sección entre el triedro y un plano P axonométricos opuestos y sus vértices coinciden en estos,
paralelo al plano del cuadro se denomina su ortocentro coincide con el origen de coordenadas o
triángulo de las trazas o triángulo vértice del triedro. Fig. 5
fundamenta. Fig.a4.

5. P. Isométrica, Dimétrica,
• La suma total de ángulos entre los tres ejes es siempre
Trimétrica 360º y por tanto en este caso el ángulo comprendido entre
En función de la inclinación que el ellos será de 120º, cuando se da esta circunstancia, la
triedro tenga respecto del plano de perspectiva axonométrica adopta el término particular de
ISOMÉTRICA.
proyección, así resultará en
proyección la posición relativa de los • Si la inclinación del triedro es tal que dos de los ejes
ejes. forman 2 ángulos iguales y uno desigual, estamos en otro
caso particular denominado DIMÉTRICA, denominándose
TRIMÉTRICA cuando los tres ángulos son desiguales.
Figuras 5 A B y C.

6. Escalas gráficas y reducciones.
Ángulo de pendiente Cuando la proyección es ortogonal al plano de
En general, cuando un segmento oblicuo a proyección, la magnitud de la proyección es igual
un plano se proyecta sobre él, dicha a la verdadera magnitud del segmento
proyección experimenta una reducción. El multiplicada por el coseno del ángulo que este
ángulo a comprendido entre el plano de forma con el plano. Este coseno recibe el nombre
proyección y cada una de las aristas, que se de coeficiente de reducción en el sistema de
denomina ángulo de pendiente, determina representación axonométrico. Figura 1.
la reducción correspondiente a cada eje

7. Las rectas axonométricas (paralelas a los ejes axonométricos)
Escalas gráficas y experimentarán reducciones idénticas a las de sus ejes
correspondientes.
reducciones.
• En Isométrica el ángulo de pendiente es igual para los tres
Las reducciones de las unidades de los ejes y por tanto el coeficiente de reducción (C=0,816), la
ejes o de segmentos axonométricos reducción que los ejes experimentan es por tanto, la misma.
(paralelos a estos) expresados según
coordenadas x, y, z, pueden calcularse • En Dimétrica tenemos 2 ángulos de pendiente diferentes,
multiplicándola verdadera magnitud por uno para dos de los ejes y otro para el tercero, los primeros
el coeficiente de reducción experimentarán una reducción diferente a la del tercero.
correspondiente o bien gráficamente
• En Trimétrica 3 son los ángulos de pendiente, uno para cada
uno de los ejes y tres serán por tanto los coeficientes de
reducción a aplicar.

8. • Son 2 dos los métodos, según la charnela de abatimiento
Escalas gráficas escogida, que podemos emplear para calcular las escalas gráficas
conocidos los ejes y en ambos casos el procedimiento consiste en
situar, mediante abatimiento, las aristas del triedro en verdadera
A menudo no nos darán como datos magnitud colocando sobre ellas las unidades de medida para
posteriormente desabatir y obtener de este modo la proyección
los coeficientes de reducción gráfica sobre los ejes de las unidades de medida con sus correspondientes
sino el ángulo que forman entre sí los reducciones.
ejes. A partir de este dato tendremos
que calcular las reducciones. • Primer método: obtención de las escalas gráficas abatiendo a
partir de las trazas del triángulo fundamental.

9. Escalas gráficas
En lugar de abatir sobre el plano • Segundo método: obtención de las escalas
secante P, paralelo al plano del cuadro,
las caras del triedro y con ellas un par gráficas abatiendo a partir de las alturas del
de ejes como hemos visto, podemos triángulo fundamental.
abatir uno a uno los tres ejes del
sistema a partir de planos que,
conteniéndolos sean perpendiculares
al plano del cuadro.

10. Alfabeto del punto. • Un punto puede estar situado, con relación
al triedro de referencia:
Un punto viene determinado por sus • En uno de los 8 octantes.
coordenadas A (x, y, z), estas definen • Contenido en algún plano del triedro.
la posición de las proyecciones
secundarias (a’, a’’ y a’’’ sobre los • Contenido en los ejes o aristas del triedro.
planos XOY, XOZ y YOZ
respectivamente) (A1, A2 y A3 sobre
los planos XOY, XOZ y YOZ
respectivamente según otros
autores) y principal del punto (A).
Conociendo dos de estas cuatro
proyecciones tenemos definido al
punto.

12. La recta en el sistema
axonométrico.
Determinación de la recta. Trazas de una recta.
Una recta queda definida por sus
proyecciones directa y secundarias. R (r’, • Las trazas de la recta son los puntos de intersección de
r’’, r’’’) o bien (r1, r2, r3) dicha recta con las caras del triedro.
Como en Sistema Diédrico Ortogonal, una • Se designan con mayúsculas y subíndice numerado T1, T2 y
recta queda determinada por dos puntos T3 correspondiendo al plano o cara XOY, XOZ, YOZ
contenidos en ella, A y B.
• La proyección directa R surge de unir las respectivamente (Hr, para el plano XOY, Vr para el plano
directas de estos dos puntos A y B. X=Z, Wr para el plano YOZ, según algunos autores).
•Las proyecciones secundarias de unir las
secundarias correspondientes a A y B.
Figura 1.
Determinación de la recta. Trazas de una recta. Recta contenida en un plano de proyección.

13. Posiciones particulares de las rectas I
Recta contenida en un plano de proyección: La proyección principal y una secundaria son coincidentes, el
resto coinciden en los ejes. Figura 3.
Recta paralela a un plano del triedro: La proyección principal es paralela a la secundaria perteneciente al
plano al que la recta es paralela, las otras dos son paralelas a los ejes que definen dicho plano. Figura 4.
Recta perpendicular a un plano del triedro: La proyección secundaria en dicho plano queda reducida a un
punto, coincidente con la traza de la recta en dicho plano. Las otras dos proyecciones secundarias y la
propia principal son paralelas al eje que no contiene al plano al que la recta es perpendicular. Figura 5
Recta que corta a un eje: El punto por donde la proyección principal corta al eje es traza doble y por ahí
pasan dos proyecciones secundarias, la tercera proyección secundaria pasa por el origen. Figura 6.

14. Posiciones particulares de las rectas II
Recta que pasa por el origen: Las tres trazas de R coinciden en el origen y por tanto pasan por aquí principal y
secundarias. Para determinar las proyecciones secundarias de R nos auxiliamos de un punto A de la recta.
Figura 7.
Recta perpendicular en el origen al plano del cuadro: Su proyección directa y sus trazas quedan reducidas a
un punto coincidente con O. Las proyecciones secundarias, son prolongaciones de los ejes de coordenadas.
Figura 8.
Recta perpendicular al plano del cuadro en un punto cualquiera: Su proyección directa y sus trazas quedan
reducidas a un punto coincidente con O. Las proyecciones secundarias son paralelas a los ejes. Figura 9.
Estos dos últimos tipos de rectas se denominan proyectantes sobre el cuadro.

15. Trazas del plano en el sistema axonométrico.
• Las trazas se designan con mayúscula prima, segunda y tercera
Sistema axonométrico. El según corresponda a la intersección con el auxiliar XOY, XOZ o YOZ
respectivamente: P (P’, P’’, P’’’) Figura 1A.
plano • Con letras griegas y subíndices 1, 2 y 3 según pertenezcan a XOY,
XOZ o YOZ respectivamente según algunos autores (β1, β2, β3)
Se define un plano en este sistema por Figura 1B. Definen estas trazas el denominado triángulo de las
sus trazas o rectas de intersección de trazas, cuyos vértices se encuentran sobre los ejes del sistema.
• Las trazas, como rectas que son, tienen proyecciones directa,
dicho plano con los planos de coincidente con la propia intersección, y secundarias, coincidentes
referencia. una con la principal y las otras dos con los ejes que determinan el
plano auxiliar que genera la traza. Ocurre que, por simplificar, no se
dibujan todas estas proyecciones secundarias, como ocurría en
Sistema Diédrico Ortogonal.

16. Determinación de un
plano.
Plano determinado por dos rectas que se
cortan.
Dos rectas R y S que se cortan en A,
determinan un plano, para ello, bastará unir
las trazas homólogas de ambas rectas. En el
ejemplo, la traza P’’’ del plano la dibujamos al
cerrar el triángulo de las trazas no teniendo
que dibujar por tanto las trazas de las rectas
sobre el plano YOZ. Figura 3.
Plano determinado por tres puntos no
alineados.
Uniendo los puntos dos a dos, tenemos dos
rectas que se cortan en un punto y por tanto
estamos en el caso anterior.

17. Posiciones particulares del plano I
Plano paralelo a uno de los ejes: Dos de las trazas del plano son paralelas al eje. El triángulo de las trazas tiene
un vértice impropio, el correspondiente al eje en cuestión. Este plano es perpendicular al secundario que no
contiene al eje al que es paralelo. Algunos autores los denominan con poca propiedad según otros, Proyectantes
Secundarios. Figura 4.
Plano paralelo a un plano del triedro: Dos de sus trazas son paralelas al plano en cuestión y por tanto a los ejes
que lo determinan. La tercera o restante, es impropia. Figura 5.

18. Posiciones particulares del plano II
Plano que pasa por un eje: Quedan confundidas sobre este eje dos de las trazas del plano, la tercera converge en
O con las otras dos. Este plano también es proyectante secundario. Figura 6.
Plano que pasa por el origen: Las tres trazas pasan por O. Conocidas dos de ellas, la tercera (P’’ en el ejemplo) la
calcularemos auxiliándonos de una recta R contenida en este plano y por tanto con sus trazas coincidentes con las
homólogas del plano (T1 y T3 en P’ y P”’ respectivamente). Calculamos la proyección de R, r’’ sobre el plano ZOX,
y su traza T2 sobre dicho plano. La traza P’’ del plano buscada debe pasar por O y por T2. Figura 7.
Plano perpendicular al plano del cuadro: Sus tres trazas y todos los elementos en él contenidos coinciden sobre
la recta que lo define. Este plano puede considerarse como proyectante sobre el plano del cuadro. Figura 8.

19. Presentación realizada por
Malena Benito
2013
Dibujos y contenidos de
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