Unidad1 conceptosfundamentalesalgebra

Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL
Fundamentos Matemáticos
Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio

UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA
Estimado alumno, iniciamos el estudio de la asignatura abordando temas fundamentales
que se requiere conocer dentro del maravilloso mundo de las matemáticas; aunque la
matemática va más allá del estudio de los números, comenzaremos revisando el sistema
de números reales porque las dificultades que suelen presentarse en temas más
avanzados surgen de la falta de comprensión de los principios básicos de la materia.

1.1 Sistema de números reales

Para iniciar el estudio del tema vaya al texto básico y revise el
capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, la sección
1.1, Números Reales, o si tiene la posibilidad visite el
siguiente enlace web disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

¿Qué le pareció la lectura? Le resulto fácil entender la explicación del sistema de
números reales, ¿verdad? …

Ahora que ya tiene una idea sobre el tema, es necesario aclararle algunas nociones
básicas en relación a este contenido. En el siguiente esquema le ofrecemos los tipos de
números usados en matemáticas:

Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).

Además recuerde, los números reales cumplen con ciertas propiedades, las mismas que
con seguridad ya las identificó y revisó la explicación que sobre cada una de ellas se
incluye en el texto básico.
Dentro de este primer tema revisemos rápidamente tres conceptos matemáticos que son:

Recta numérica

Pues bien, otro de los temas que se encuentra en este apartado es representar el conjunto
de números reales y a estos asociarlos con los puntos de una línea recta; teniendo claro
que:

A la izquierda del origen (0) se encuentran los reales negativos y a la derecha los
reales positivos.

Recuerde, existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los
puntos de una recta, es decir a cada número real le corresponde un punto en la
recta y viceversa.

Los números reales sobre la recta se encuentran ordenados de izquierda a derecha
de menor a mayor.

Valor absoluto

Revise en el texto básico capítulo 1, lo concerniente a valor absoluto, en este tema usted
encontrará la definición, propiedades y ejemplos del valor absoluto.

Notación científica

Algo muy importante también es poder expresar en notación científica cantidades
sumamente grandes o pequeñas en la forma c x 10n y que deben cumplir con la
condición que usted ya revisó en el texto básico; sin embargo, con la finalidad de
reforzar lo estudiado de cómo representar un número en notación científica, veamos los
siguientes ejemplos:



Convertir el número 4210254 a notación científica.

1. Aplicar la definición de notación científica, que dice
4.210254 x 106 que c debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10, en
este caso vemos que 4 es menor que 10, por lo tanto,
cumple con la condición.

2. El exponente n debe ser un número entero, en este
caso 6 es un entero positivo e indica que el punto
decimal debe moverse 6 lugares a la derecha.

Convertir el número 0.00000000054897 a notación científica.
1. Aplicar la definición de notación científica, que dice
5.4897 x 10-10 que c debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10, en
este caso vemos que 5 es menor que de 10, por lo
tanto cumple con la condición.

2. El exponente n debe ser un número entero, en este
caso -10 es un entero negativo e indica que el punto
decimal debe moverse 10 lugares a la izquierda.

Espero que estos ejercicios le hayan ayudado a entender mejor lo que es una notación
científica, ahora le invito a desarrollar los ejercicios que a continuación se plantean y los
que se proponen en el texto básico.

Actividad recomendada

Convierta los siguientes números a notación científica:

5875445639887756
0.000000000023654

Continuemos con el siguiente tema


1.2 Exponentes y radicales

Empecemos este tema revisando en el texto básico el capítulo
1: Conceptos fundamentales de álgebra, el apartado 1.2,
Exponentes y Radicales.

Exponentes

Con la lectura que acaba de realizar seguramente ya logró comprender que la
potenciación resulta del producto de factores repetidos, por ejemplo:

7.7.7.7.7, se escribe 75 en donde 7 es la base y 5 el exponente. Una vez que ya asimiló
esto, conviene aprender las leyes de exponentes, para simplificar las diferentes
expresiones algebraicas que encuentre. Cuando revisó las explicaciones que en el texto
básico se incluyen, se habrá dado cuenta que también hay ejercicios desarrollados, los
que le ayudarán a comprender de mejor forma la utilización de las mismas.

Una vez que usted ya tiene claro este tema desarrollemos el siguiente ejercicio,
aplicando las leyes de exponentes para los números reales.

Ejemplo
Simplifique la siguiente expresión:

Simplificación Procedimiento
Como el exponente afecta a toda la fracción, lo que
se hace es elevar al exponente tanto el numerador
como el denominador.
Como el exponente es negativo, aplicar el siguiente
teorema a-1 = 1/a, tanto al numerador como al
denominador.
Y por último cuando se tiene un exponente elevado a
otro exponente, colocamos la base y multiplicamos
los exponentes.


Como se habrá dado cuenta, para poder simplificar se requiere conocer las leyes de
exponentes, además, los ejercicios se pueden presentar de diferente forma, pero si sabe
el procedimiento y las leyes va a poder aplicarlo en cualquier caso.

Siga desarrollando los ejercicios que se proponen a continuación para que vaya
practicando.


Utilizando las leyes de los exponentes simplifique las siguientes expresiones:

Además, puede desarrollar más ejercicios remitiéndose en el texto básico al apartado 1.2
del tema que estamos desarrollando.

Radicales

Los radicales se consideran la operación contraria de la potenciación en la que nos dan la
potencia y el exponente y debemos encontrar la base, esta operación se llama radicación.
Observe el siguiente gráfico:

√
Radicando
Índice

Raíz
Radical

Por lo tanto, si M y a son números reales y n es un número entero positivo mayor que 1,
entonces a es la raíz n-esima de M si y solo si: an = M.

Al igual que en la potenciación las leyes de los radicales son muy importantes, usted
debe familiarizarse con ellas; recuerde que los radicales obedecen a las mismas leyes de
los exponentes pero con distinta simbología.


Algo muy importante que usted debe tener en cuenta es que las raíces de índice par y
radicando negativo no están definidas dentro del conjunto de los números reales. Una
aplicación que se realiza con los radicales es la racionalización que tiene por objeto
eliminar los radicales del numerador o del denominador.

Veamos el siguiente ejemplo:

Simplifique la siguiente expresión:

16
81


Dividir el radical tanto en el numerador como
√ en el denominador

Sacar las raíces de cada uno de los términos de
la expresión.

Para reforzar el aprendizaje de esta parte realice lo siguiente.


Es el momento de acudir al texto básico para ubicar los ejercicios, que se encuentran al
final del apartado 1.2 y desarrolle los que considere necesarios para entender mejor este
tema.

Si al realizar cualquiera de los ejercicios surgiera alguna dificultad, puede comunicarse
con sus profesores para despejar las inquietudes que hubieren.



1.3 Expresiones algebraicas

Regrese de nuevo al texto básico y revise el capítulo 1: Conceptos
fundamentales de álgebra, el tema 1.3, Expresiones Algebraicas, o si tiene
la posibilidad visite el siguiente enlace web disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_elemental#Expresiones_algebraicas

Después de la lectura comprensiva que acaba de realizar, usted ya sabe que:

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen
entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.1

Por ejemplo 3x2 es un monomio que posee los siguientes elementos:
2 que es el grado de la expresión.
3 que es el coeficiente.
x2 que es la parte literal de la expresión.

Y el polinomio es una expresión algebraica que se forma de la suma o resta de dos o
más monomios. Por ejemplo 3x2+2x-7. Todo esto usted ya lo revisó en su texto básico;
así como la definición, clasificación y el algebra de polinomios.

Además, con los polinomios podemos realizar las operaciones fundamentales como son
la suma, resta, multiplicación y división, para esto se aplica las propiedades de los
números reales.

Veamos el siguiente ejemplo:

Expresemos como polinomio lo siguiente

(3x+2) (x-5) (5x+4)

1
Santos Cuervo, L.(2001): Expresiones Algebraicas, Ministerio de Educación, [en línea] Disponible en: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_
didacticos /Polinomios/monomios.htm [consulta 2009-10-15]



Aplicar la multiplicación de polinomios
3x2 – 15x + 2x -10 (5x+4)
entre los dos primeros factores.

3x2 -13x -10 (5x+4) Simplificar términos semejantes.

15x3 + 12x2 – 65x2 – 52x – 50x
Aplicar la multiplicación de polinomios.
-40

15x3– 53x2 – 102x -40 Simplificar términos semejantes

Otro de los temas que usted debe tener en claro es el siguiente:

Productos notables: Nos permiten obtener el resultado directamente sin necesidad de
hacer las operaciones respectivas, mediante algunas reglas que ya las revisó en el texto
básico.

Veamos entonces el siguiente ejemplo:

(x2 + 2y)( x2 - 2y) = x4- 4y2

Factorización: es transformar en un producto de dos o más polinomios de grado inferior
al polinomio dado. Dentro de esta parte hay varios métodos de factorización que usted
los debe saber y utilizar en las diferentes operaciones que realice.

Ejemplo
Factorar el siguiente polinomio x5 - 4x3 + 8x2 – 32


(x5 - 4x3) + (8x2 - 32)
Agrupar términos.



x3 (x2 - 4) + 8 (x2 - 4)
Sacar el factor común de las dos expresiones.

(x3+ 8) (x2 - 4)
Igualmente sacar el factor común polinomico.

(x+2) (x2-2x+4) (x+2) (x-2) Resolver la suma de cubos en el primer factor
y también en el segundo factor aplicar la
diferencia de cuadrados.

(x+2)2(x-2) (x2-2x+4) Simplificar términos semejantes.

Acuda nuevamente al texto básico y desarrolle los ejercicios que se encuentran al final
del tema 1.3, realice los que usted considere necesarios para reforzar el conocimiento.

1.4 Expresiones fraccionarias

Una vez que haya estudiado las expresiones algebraicas puede profundizar en las
expresiones fraccionarias, en donde debe saber que el numerador y el denominador de la
fracción son polinomios o en otras palabras es un cociente de polinomios.

Ahora es el momento para realizar lo siguiente:

Revise en el texto básico el capítulo 1: Conceptos
fundamentales de álgebra, el acápite 1.4, Expresiones
Fraccionarias.
Espero que la lectura le haya resultado de fácil comprensión; sin embargo, para que
usted asimile mejor realicemos el siguiente ejercicio.

Simplifique la expresión



Aplicar los casos de factorización para poder
simplificar la expresión dada:

En el numerador una diferencia de cuadrados y
en el denominador una diferencia de cubos.

Y por último simplificar el factor (y – 5) que se
encuentra en el numerador y en el denominador
respectivamente.


Es conveniente ir al final de cada sección y desarrollar la mayor cantidad de ejercicios
que usted considere necesario.

Si tuvo alguna dificultad no dude en contar con nosotros, que gustosos despejaremos sus
inquietudes.

Recuerde que el conocimiento de esta materia usted lo logrará
revisando con especial atención los fundamentos teóricos y
especialmente desarrollando los ejercicios propuestos.

Hemos concluido el estudio de esta primera unidad, lo invito a responder por lo tanto, la
siguiente autoevaluación que le permitirá conocer su nivel de conocimientos.


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