Matematicas financieras 2011-2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios
Contenido didáctico del curso Matemáticas Financieras

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CONTABLES ECONÓMICAS Y
DE NEGOCIOS

102007 – MATEMÁTICAS FINANCIERAS

GIRARDOT
Enero de 2011

1


LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURAS

Gráfica 1. Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de 39
tasas vencidas
Gráfica 2. Liquidación de intereses anticipados 49

Gráfica 3. Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y 50
anticipadas

Gráfico 4. Distribución Beta 2 119

Gráfico 5. Distribución Beta 127

Gráfica 6. Comparación VPN de dos proyectos 142

2


ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El módulo que se presenta hace parte del material didáctico correspondiente al
Curso Académico de Matemáticas Financieras, es un rediseño al texto escrito por
el Doctor Jorge S. Rosillo C. y editado por la UNAD en 2002. Se tomó esta
decisión con base en el levantamiento del estado del arte del material que se
venía trabajando hasta enero de 2005; en los últimos tres años ha sido revisado
continuamente por el director del curso virtual, Doctor Alexander Beltrán Echeverry
quién se desempeña como tutor en el CEAD de Girardot.

El producto resultante de esta mediación, tiene en cuenta los elementos
estructurales del material didáctico; por tanto está organizado de tal manera que
sirva como soporte pedagógico al curso de Matemáticas Financieras, el cual está
estructurado por el sistema de créditos académicos. Como material didáctico, su
intencionalidad es apoyar el trabajo académico de los aprendientes en función del
aprendizaje y el desarrollo cognitivo y meta-cognitivo de los aprendientes, en
correlación con las intencionalidades formativas del curso

3


INTRODUCCIÓN

El administrador de empresas puede desenvolverse profesionalmente en el nivel
operativo de la organización aplicando las cuatro funciones principales de la
administración: planeación, organización, dirección y control; en el nivel medio
como jefe de departamento o en la toma de decisiones a nivel institucional. En los
tres niveles se encarga de que los recursos sean productivos y contribuyan al
logro de las metas corporativas.

La comprensión, interpretación y aplicación de los conceptos propios de las
matemáticas financieras le permiten al aprendiente el desarrollo de habilidades
en el manejo de las herramientas financieras que le permitirán en el ejercicio
profesional proponer con argumentos sólidos alternativas de solución a las
problemáticas se presenten y que tengan que ver con la toma de decisiones sobre
evaluación de alternativas de inversión o de uso y aplicación de recursos
financieros.

Entre las posibilidades inmediatas de aplicación de las diferentes herramientas
financieras apropiadas mediante el estudio juicioso de las temáticas que
conforman el presente módulo, se encuentran: el Proyecto de Desarrollo
Empresarial (PDE) objeto del trabajo de grado y en la resolución de problemas
prácticos que se identifiquen en las actividades de proyección y apoyo a la
comunidad en que se desenvuelven los aprendientes. Este es el mayor atractivo
del estudio de esta rama de las matemáticas aplicadas.

Además de las competencias básicas, se pretenden desarrollar otras complejas y
transversales que permitan al estudiante, identificar, apropiar y transferir los
conceptos y las herramientas financieras aplicables en el análisis y evaluación de
proyectos de inversión y aplicar ese conocimiento en situaciones de toma de
decisiones en su gestión como empresario, como responsable del área financiera
de una organización o como miembro activo de su comunidad.

4


CONTENIDO

Pág.
Introducción 4
UNIDAD UNO COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO
7
Justificación 7
Objetivo General 7
Objetivos Específicos 7
Capítulo Uno. Interés 9
Lección 1 Conceptos 9
Lección 2 Concepto de interés simple 11
Lección 3 Concepto de interés compuesto 22
Lección 4 Tasas de interés 32
Lección 5 Conversión de tasas 40
Ejercicios para profundización de las temáticas 53
Capitulo Dos. Equivalencias con cuotas fijas 56
Lección 6 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas 56
fijas vencidas
Lección 7 Equivalencias entre un valor presente y una serie de 58
cuotas fijas vencidas
Lección 8 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas 59
fijas anticipadas
Lección 9 Equivalencia entre un valor presente y una serie de 60
cuotas fijas anticipadas
Lección 10 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas 61
Fijas vencidas con interés anticipado
Capitulo Tres. Equivalencias con cuotas variables 63
Lección 11 Gradientes Aritméticos y Geométricos 63
Lección 12 Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente 69
Lección 13 Gradiente Aritmético Creciente y Decreciente 72
Lección 14 Amortizaciones 78
Lección 15 Perpetuidades 91
Resumen de la Unidad Uno 92

5


UNIDAD DOS EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION 95
Justificación 95
Objetivo General 95
Objetivos Específicos 95

Capitulo Cuatro. Clases de evaluaciones y criterios de decisión 97
Lección 16 Evaluación de proyectos sociales 97
Lección 17 Criterios para evaluar proyectos de inversión 103
Lección 18 Valor Presente Neto –VPN 106
Lección 19 Tasa interna de Retorno –TIR 108
Lección 20 Costo Anual Uniforme Equivalente –CAUE 111

Capitulo Cinco. Análisis de Riesgos en los proyectos de
113
inversión
Lección 21 Sistemas de Análisis 113
Lección 22 Riesgo e Incertidumbre en Proyectos de Inversión 114
Lección 23 Métodos para Evaluar el Riesgo en la Evaluación de 116
proyectos de Inversión
Lección 24 Distribución Beta 2 122
Lección 25 Distribución Beta 130
Capítulo Seis. Alternativas Mutuamente Excluyentes 135
Lección 26 Alternativas Mutuamente Excluyentes 135
Lección 27 Tasa Verdadera 138
Lección 28 Tasa Ponderada 142
Lección 29 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de 145
Descuento
Lección 30 Proyectos con vidas diferentes 149
Resumen de la Unidad Dos 151
Glosario 156
Bibliografía y Cibergrafía 160

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UNIDAD UNO

COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO

Justificación

Con el estudio de esta unidad el aprendiente apropiará una serie de conceptos como:
interés, interés simple, interés compuesto, tasas de interés; asimismo comprenderá el
principio de equivalencia financiera y conocerá la manera de realizar todas las
conversiones posibles entre las diferentes tasas de interés.

Objetivo General
A partir de su reconocimiento y aplicación en casos prácticos, deducir las fórmulas
de interés simple e interés compuesto y establecer los parámetros para su
aplicación en las cuestiones financieras.

Objetivos específicos
 Deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto
 Encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de
Interés nominal dada o viceversa.
 Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos
 Establecer los parámetros que permitan la liquidación de intereses sobre
saldos mínimos
 Encontrar los parámetros que permitan calcular las sumas presentes
equivalentes a una serie de cuotas que crecen o decrecen en forma lineal
 Determinar una expresión matemática que calcule del valor de la primera cuota
para con base en el sistema de amortización se puedan calcular las restantes
 Elaborar tablas y gráficas de amortización de amortización para sistemas de
amortización diferentes

7


CAPÍTULO UNO INTERÉS

LECCIÓN UNO CONCEPTOS
En la sociedad primitiva los seres humanos se
autoabastecían: generalmente el hombre salía a cazar o
pescar para conseguir alimento o vestido y la mujer se
dedicaba a cuidar el fuego y a recoger frutos; no se
cazaba más de lo que se consumía.

El concepto de acumulación tuvo su origen en la sociedad artesanal, la cual se
caracterizó por la división del trabajo; esta sociedad estaba formada por
carpinteros, panaderos, alfareros, herreros, albañiles, ganaderos, agricultores, etc.
Quienes no solamente producían para su consumo, sino que generaban
excedentes, lo que les permitía intercambiar otros productos para satisfacer sus
necesidades de alimentación, vivienda, vestuario y educación.

Por ejemplo, el productor de papa sólo satisfacía parte de su necesidad de
alimento y para que el producto de su trabajo le sirviera como medio de vida,
debía intercambiar sus excedentes por otros productos, debía buscar otro
individuo que estuviera interesado en adquirir su producto. Se requería la
existencia de una necesidad recíproca para poder realizar el intercambio, sin ella
era imposible realizar la transacción; una vez se encontraban los dos individuos se
debía fijar cuántas unidades del producto ―A‖ serían necesarias para adquirir el
producto ―B‖, la relación entre la cantidad de un producto que se entrega para
obtener una unidad del otro, es el precio de un bien expresado en unidades del
otro bien.

Concepto de Interés

El concepto de interés tiene su origen en las transacciones que realizan dos o más
actores por el intercambio de bienes y servicios.

La necesidad de intercambiar de los individuos para satisfacer sus necesidades y
las limitantes del intercambio que generaba la ―necesidad recíproca‖, fue haciendo
germinar el establecimiento de un bien que fuera aceptado por todos para
negociar. Inicialmente, este bien fue el ganado y servía para expresar el precio
de cualquier transacción; poco a poco fueron surgiendo otros productos, el oro y la
plata que se usaron como dinero cumpliendo funciones de unidad de valor y medio
de cambio desplazando a otros sistemas de cambio por su fácil manejo hasta
llegar a nuestro días con el papel moneda de aceptación universal, como
instrumento de intercambio.

8


De la misma forma que en la sociedad artesanal se producían excedentes para
poder intercambiar, en la sociedad contemporánea los excedentes de dinero de
los individuos que no se consumen se llaman AHORRO, los cuales pueden
invertirse o cederse a otros en el instante del tiempo que los soliciten para
satisfacer sus necesidades. El costo o el rendimiento de estas transacciones se
llaman INTERÉS.

Partamos de un ejemplo para fundamentar este concepto: supongamos que
tenemos dos personas que tienen el mismo dinero para invertir y ambos son
comerciante, el dinero disponible de cada uno de ellos es de $10 millones, pero
tienen diferentes negocios; el primero de ellos se llama Linda Plata, es joyera e
importa joyas de Panamá y el segundo es don Armando Rico, quien ofrece al
mercado perfumes importados de Francia.

Mensualmente estos individuos adquieren $10.000,000 en mercancías, pero los
dos obtienen resultados diferentes. Doña Linda obtiene una ganancia de
$300.000 en el mes y don Armando $500,000 en el mismo lapso de tiempo.
Observemos que teniendo la misma inversión reciben beneficios diferentes,
podemos definir entonces el INTERÉS como la utilidad que se tiene sobre una
inversión en ―X‖ tiempo, o sea:

Utilidad
Interés =
Inversión

Siendo el interés del comerciante en joyas = 3% mensual y el interés

del comerciante en perfumes = 5% mensual.

Dado el caso de que una tercera persona, por ejemplo Justo Sin Plata, necesite
$10.000.000 y se los solicite a don Armando, éste se los cedería solamente si le
reconoce una tasa de interés igual a la que le rinden sus inversiones, es decir, al
5% mensual; de aquí nace otro concepto conocido con el nombre de TASA DE
INTERÉS DE OPORTUNIDAD que quiere decir que cualquier inversionista está
dispuesto a ceder su dinero, si se le reconoce una tasa de interés igual o superior
a la que rinden sus inversiones.

9


LECCIÓN DOS INTERÉS SIMPLE
Siendo el interés la utilidad sobre la inversión, se puede tomar el ejemplo anterior
en el cual el comerciante en joyas doña Linda Planta de Rico, gana mensualmente
$300.000 con $10.000.000 invertidos; si continuamos su análisis indefinidamente,
es decir, mes a mes, el resultado es el siguiente:

MES DINERO GANANCIA DINERO
INVERTIDO ACUMULADO
1 $10.000.000 $300.000 $10.300.000
2 $10.000.000 $300.000 $10.600.000
3 $10.000.000 $300.000 $10.900.000
.
.
N $10.000.000 $300.000

Si: Utilidad
Interés =
Inversión

Utilidades = 3% x $10.000.000 = $300.000 en cada período, para este caso, cada
mes.

Lo anterior se puede presentar simbólicamente de la siguiente forma:

Dinero invertido = P
Tasa de Interés = i

Utilidad = Inversión x Tasa de interés
Utilidad = Pi

10


MES DINERO INVERTIDO UTILIDADES

1
2 P Pi
3 P Pi
. P Pi
.

n P Pi

Lo anterior quiere decir que doña Linda Plata de Rico tiene unas utilidades (Pi)
por período y si quiere saber cuántas utilidades ha generado su inversión desde
el momento en que la realizó, simplemente deberá multiplicar las utilidades de
cada período por el número de ellos transcurridos a la fecha, desde el momento
en que realizó la inversión.
Generalizando a n los períodos, se tendrían en este punto unas utilidades
acumuladas Pin y el total de dinero acumulado sería igual a la inversión inicial
más las utilidades acumuladas; a esta suma se le conoce con el nombre de
MONTO o VALOR FUTURO y en términos simbólicos se representa de la
siguiente forma:

P = Valor de la inversión ó valor actual
F = Valor futuro
n = Número de períodos
%i = Tasa de interés

F = inversiones + Utilidades Acumuladas

F = P + Pin

F = p (1 + in)

11


Nótese que en el ejemplo doña Linda Plata, no reinvirtió las ganancias sino
siempre invirtió la misma cantidad ($10 millones); es decir, cuando no hay
reinversión de las utilidades se conoce con el nombre de inversiones a INTERÉS
SIMPLE.

Ejemplo 1

¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy
$4.000.000 a una tasa de interés simple del 3% mensual?

El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de
flujo de la siguiente manera:
Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos
con una flecha hacia abajo, en una escala de tiempo que pueden ser años,
semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo
período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés
está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o
sea 60 meses.

i = 3% mensual
F

60 meses
P = 4.000.000

F = P (1 + in)

F= $4.000.000 (1 + 0.03 (60))

F= $11.200.000

Lo anterior quiere decir que don Juan Pérez se ganó $7.200.000 en los 5 años y
adicionalmente tiene el dinero que invirtió o sea $4.000.000.

SUPUESTO: El inversionista no hace ningún retiro de dinero en el lapso de tiempo
considerado.

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Ejemplo 2

Armando Rico recibió hoy $3.450.000 del Banco de Bogotá por una inversión que
realizó hace tres semestres; si la tasa de interés es del 2% mensual, ¿cuánto
dinero invirtió don Armando?

Como se explicó anteriormente, el punto de partida es realizar el gráfico o flujo
de caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:

En razón a que la tasa es mensual se deben expresar los tres semestres en
meses, para que los elementos estén en la misma base.

0 i=2% mensual F = 3.450.000

18 meses = 3 Semestres
P

Reemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:

F = P (1 + in)

F = $3.450.000 porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades

I = 2% mensual

N = 3 semestres = 18 meses

Entonces,

3.450.000 = P (1 + 0,02 (18))
3.450.000 = P (1 + 0,36)

13


P = $2.536.764,71
Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.
Ejemplo 3

Patricia Fernández recibió un préstamo de $3.000.000, que debe pagar en 18
meses; si al final del plazo debe cancelar $3.850.000, calcular la tasa de interés
simple del préstamo.

P = 3.000.000
18 meses

0 F = 3.850.000

Nótese que se dibujaron los $3.000.000 con una flecha hacia arriba, puesto que se
está tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del
préstamo tienen un ingreso y cuando cancela el crédito ella tiene un desembolso,
por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo.

Si se toma como referente el prestamista, el gráfico sería el siguiente:

F = 3.850.000

0

18 meses

P = 3.000.000

14


Reemplazando los datos de la ecuación se tiene:

F = P (1 + in)

3.850.000 = 3.000.000 (1 + i% (18))

Expresándolo en términos porcentuales se tiene,

Ejemplo 4
Armando Mendoza recibió un préstamo de $7.000.000 de Beatriz Pinzón
Solano, si canceló $10.500.000 y la tasa de interés fue del 2% mensual
simple, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?

Gráfico para Armando Mendoza

P = 7.000.000
i = 2% mensual

0
F = 10.500.000

15


Gráfico para Beatriz Pinzón Solano

F = 10.5000.000
i = 2% mensual
0

P = 7.000.000

Reemplazando en la ecuación se tiene:

F = P (1 + in)

10.500.000 = 7.000.000 (1 +(2%)n)

Recuerde que 2% = 0,02

1,5 – 1 = 0,02n

0,5 = 0,02n

n = 25 meses

Nótese que la tasa de interés se expresó en meses porque está dada en meses.

Ejemplo 5

Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la
siguiente forma: $3.000.000 dentro de 6 meses, $4.000.000 dentro de un año y
$5.000.000 en año y medio.

Si la tasa de interés es del 10% semestral simple, determinar, ¿cuánto dinero le
prestó el Banco Santander a Sofía?
Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la
tasa de interés, se tiene:

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6 meses = un semestre

Un año = dos semestres

Año y medio = tres semestres

Gráfico para el Banco Santander

3.000.000 4.000.000 5.000.000

0 1 2 3 Semestre
s

i = 10% semestral
P

Gráfico para Sofía Vergara

i = 10% semestral

0 1 2 3 Semestre

P
3.000.000
4.000.000
5.000.000

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Observando el gráfico y el planteamiento del problema, se tiene una concepción
diferente a la tratada en los ejemplos anteriores en los cuales se tenía un solo
ingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo plantea tres desembolsos en el
futuro para el caso de Sofía. La solución de este tipo de problema se basa en el
mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futuro
de manera independiente.

Cada pago que hace Sofía, se considera dentro del total de la cuota, una parte
correspondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco
Santander, los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una
devolución de una parte de la inversión. Este concepto es congruente con la
definición de valor futuro, como el consolidado de la inversión más las utilidades
explicado al principio de este capítulo; en este caso las utilidades y la inversión se
devolverán al Banco en tres pagos y no en uno.

F = P (1 + in)

Analizando cada pago independiente se tiene:

Pago 1 = P1 = = $2.727.272,73

Pago 2 = P2 = = $3.333.333,33

Pago 3 = P3 = = $3.846.153,85

Por lo tanto el valor del préstamo sería:

PT = P1 + P2 + P3

PT = $ 2.727.272,73 + $ 3.333.333,33 + $ 3.846.153,85

P T = $ 9.906.759,91

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Ejemplo 6

Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo de un año y se
propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra
$1.000.000; dentro de tres meses, ahorrará $1.000.000; dentro de un semestre,
ahorrará $1.500.000 y dentro de 10 meses, ahorrará $1.700.000.

¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le
paga el Banco es del 1% mensual simple?

Gráfico para Natalia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F=?
meses
1.000.000
1.000.000
1.500.000
1.700.000
i = 1% mensual, 1% = 0.01

Se debe recordar que los desembolsos o ingresos deben estar expresados en el
mismo período de tiempo que la tasa de interés.

Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera
independiente por lo tanto se tiene:

Ahorro o inversión #1 = F1

La inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período #1 dura exactamente
en el banco 12 meses, por lo tanto n = 12.

F1 = P1 (1 + in)

F1 = 1.000.000 (1 + 0,01(12)) = $1.120.000

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La inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período #3 dura exactamente
en el banco 9 meses (12 meses-3meses), por tanto n = 9.

F2 = P2 (1 + in)

F2 = 1.000.000 (1 + 0,01(9)) = $1.090.000

La inversión o ahorro de $1.500.000 que hace Natalia en el período #6 dura
exactamente en el banco 6 meses (12 – 6 meses), por lo tanto n = 6.

F3 = P3 (1 + in)

F3 = 1.500.000 (1 + 0,01(6)) = $1.590.000

La inversión o ahorro de $1.700.000 que hace en el período # 10 dura
exactamente en el banco 2 meses (12 meses – 10 meses), por lo tanto n = 2.
F4 = P4 (1 + in)

F4 = 1.700.000 (1 + 0,01(2)) = $1.734.000

Por lo tanto, el dinero que tendría acumulado Natalia París dentro de un año será:

F = F1 + F2 + F3 + F4

F = $5.534.000

Como conclusión final, podemos dejar despejadas cada una de las variables que
intervienen en la ecuación original de INTERES SIMPLE, quedando de la siguiente
manera:

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VALOR FUTURO VALOR PRESENTE

TASA DE INTERES NUMERO DE PERIODOS

21


LECCIÓN TRES INTERÉS COMPUESTO

En el caso de interés simple se consideró que las ganancias eran iguales para
todos los períodos, puesto que la inversión permanecía constante. Cuando se
trata de interés compuesto, las utilidades no son iguales para todos los períodos
puesto que la inversión varía de un período a otro, en razón de que las utilidades
obtenidas en un período se reinvierten en el siguiente.

Tomando nuevamente el ejemplo con el que se inició el capítulo, donde la
inversionista Linda Plata tenía $10,000,000 disponibles; si doña Linda invierte
estos dineros a una tasa del 3% mensual y reinvierte sus utilidades, se tendría el
siguiente resultado:

MES DINERO GANANCIA DINERO
INVERTIDO ACUMULADO

1 $10.000.000 10.000.000 * 0,03 = 300.000 10.00.000+300.000
=10.300.000

2 $10.300.000 10.300.000 * 0,03 = 309.000 10.300.000+309.000
= 10.609.000

3 $10.609.000 10.609.000 * 0,03 = 318.270 10.609.000+318.270
=10.927.270

.

.

n

Lo anterior lo podemos generalizar de la siguiente forma:

P= Inversión

%i= Tasa de Interés

Utilidad = Inversión X i = Pi

F= Valor futuro

22


DINERO
MES INVERTIDO GANANCIA DINERO ACUMULADO

1 P P (i) P + Pi = P(1 +i)

P(1+i)
2 P(1+i) (i) P (1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2

P(1+i)2+P(1+i) = P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3
3 P(1+i)2 P(1+i)2(i)

4 . . .

. . . .

n P(1+i)n

Generalizando, se concluye que cuando se reinvierten las utilidades (interés
compuesto) el dinero acumulado a valor de futuro se puede definir como:

F = P (1+i)n

Si se aplica la anterior equivalencia al caso de doña Linda, se puede plantear el
siguiente ejercicio:
Cuánto dinero acumulará (valor futuro) doña Linda dentro de tres meses a una
tasa de interés del 3% mensual, si invierte $10.000.000 inicialmente:
F = P (1+i)n

F= $10.000.000 (1+0,03)3

F = $10.927.270

Valor que coincide con los $10.927.270 obtenidos en la primera tabla.

En conclusión, la gran diferencia del interés compuesto radica en la reinversión de
utilidades. Si se comparan los dineros acumulados en el tercer mes para el caso
de doña Linda con una inversión de $10.000.000 al 3% mensual, se obtienen los
siguientes resultados:
Interés simple: dinero acumulado al tercer mes $10.900.000
Interés compuesto: dinero acumulado al tercer mes $10.927.270

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Ejemplo 1

¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy
$4.000.000 a una tasa de interés compuesto del 3% mensual?

El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de
flujo de la siguiente manera:

Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos
con una flecha hacia abajo en una escala de tiempo que pueden ser años,
semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo
período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés
está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o
sea 60 meses.

i = 3% mensual
F

60 meses

P = 4,000,000

F = P (1 + i )n

F = 4.000.000 (1 + 0, 03)60 = $ 23.566.412,42
Este mismo ejemplo con tasa de interés simple, obtuvo un valor futuro de
$11.200.000

Ejemplo 2

Armando Rico recibió hoy $3. 450.000 del Banco de Bogotá por una inversión que
realizó hace tres semestres: si la tasa de interés es del 2% mensual compuesto,
¿Cuánto dinero invirtió don Armando?

Como se explicó anteriormente el punto de partida es realizar el gráfico o flujo de
caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:

En razón de que la tasa es mensual, se deben expresar los tres semestres en
meses, para que los dos elementos tengan la misma base:

24


F = 3.450.000
0 i = 2% mensual

18 meses = 3 semestres
P
Reemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:

F = P ( i + i) n

F = $ 3.450.000, porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades
i= 2% mensual
n= 3 semestres = 18 meses

Entonces,

$ 3.450.000 = P (1 + 0.02) 18

$ 3.450.000 = P (1,42824624758)

P = $2.415.549,84

Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.

Ejemplo 3

Patricia Fernández recibió un préstamo de $3.000.000 que debe pagar en 18 meses;
si al final del plazo debe cancelar $3.850.000 calcular la tasa de interés del préstamo.

P = 3.000.000
18 meses

0

25


Nótese que se dibujaron los $3.000.000 con una flecha hacia arriba, puesto que se
está tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del préstamo
tiene un ingreso y cuando ella cancela el crédito tiene un desembolso, por lo cual se
dibuja con una flecha hacia abajo.

Si se toma como referente al prestamista el gráfico sería el siguiente:

F = 3.850.000
0

18 meses
P = 3.000.000

Reemplazando los datos de la ecuación se tiene

Hacemos la división y podemos sacar raíz 18 a ambos lados

En términos porcentuales, i = 1,3955% mensual

Ejemplo 4

Armando Mendoza recibió un préstamo de $7.000.000 de Beatriz Pinzón Solano,
si canceló $10.500.000 y la tasa de interés fue del 2% mensual compuesto,
calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?

26


Gráfico para Armando Mendoza

P = $ 7.000.000

i = 2% mensual

F = $10.500.000
0

Gráfico para Beatriz Pinzón Solano

F = $10.500.000

0 i = 2 % mensual

P = $ 7.000.000

Reemplazando en la ecuación se tiene:

F = P (1 + i ) n

2% = 0,02

10.500.000 = 7.000.000 (1 + 0.02) n

Aplicando logaritmos en base 10 a ambos lados de la ecuación se tiene:

Por propiedades de logaritmos , la n pasa a multiplicar

0,17609125 = n . (0,0086001717)

27


n = 20,47 meses

Nótese que la respuesta se expresó en meses porque la tasa de interés está dada en
meses.

Ejemplo 5

Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente
forma: $ 3.000.000 dentro de 6 meses, $ 4.000.000 dentro de un año y $ 5.000.000 en año
y medio. Si la tasa de interés es del 10% semestral compuesto, determinar, ¿cuánto
dinero le prestó el Banco Santander a Sofía?

Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la tasa
de interés, se tiene:

6 meses = un semestre
un año = dos semestres :
año y medio = tres semestres

Gráfico para el Banco Santander
5.000.000
3.000.000

0 1 2 3 semestres

i = 10% semestral
P

28


Gráfico para Sofía Vergara

i = 10% semestral

0 1 2 3
semestres

P 3.000.000 4.000.000 5.000.000

Del problema, se tiene una concepción diferente a la tratada en los ejemplos
anteriores en los cuales se tenía un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Este
ejemplo plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofía. La solución de
este tipo de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cada
ingreso o desembolso en el futuro de manera independiente.

Cada pago que hace Sofía se considera dentro del total de la cuota una parte
correspondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco Santander,
los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una devolución de una parte
de la inversión. Este concepto es congruente con la definición de valor futuro, como el
consolidado de la inversión más las utilidades explicado al principio de este capítulo:
en este caso las utilidades y la inversión se devolverán al Banco en tres pagos y no en
uno.

Analizando cada pago independientemente se tiene:

Pago 1 = P1 = = $2.727.272,73

Pago 2 = P2 = = $3.305.705,12

Pago 3 = P3 = = $3.756.574

29


Por lo tanto, el valor del préstamo sería:

P = P1 +P2 +P3

P = $ 9.789.631,86

Ejemplo 6

Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo dentro de un año y se
propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra $1.000.000;
dentro de tres meses, ahorrará $ 1.000.000; dentro de un semestre, ahorrará $ 1.500.000 y
dentro de 10 meses, ahorrará $ 1.700.000.

¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga el
Banco es del 1% mensual compuesto?

Gráfico para Natalia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F =?

meses
1.000.000 1.000.000 1.500.000 1.700.000

Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera independiente,
por lo tanto se tiene:

Ahorro o inversión # 1 = F1

30


La inversión o ahorro de $1.000.000 que se hace en el período # 1 dura exactamente en el
banco 12 meses, por lo tanto n = 12
F1 = P1 (1+ i)n
F1 = 1.000.000 (1+0,01) 12 = $1.126.825,03
La inversión o ahorro de $1.000.000 que hace en el período 3 dura exactamente en
el banco 9 meses (12 meses - 3 meses) por lo tanto n = 9

F2 = P2 (1+ i)n
F2 = 1.000.000(1+ 0,01)9 = $1.093.685,27
La inversión o ahorro de $ 1.500.000 que hace Natalia en el período 6 dura exactamente en
el banco 6 meses (12 meses - 6 meses) por lo tanto n = 6

F3 = P3 (1+ i)n
F3 = 1.500.000 (1 + 0,01)6 =$1.592.280,22
La inversión o ahorro de $1.700.000 que hace Natalia en el período 10 dura exactamente
en el banco 2 meses (12 meses - 10 meses) por lo tanto n = 2

F4 =P3 (1+ i)n
F4 = 1.700.000 (1 + 0,01)2 =$1.734.170

Por lo tanto, el dinero que tendrá acumulado Natalia París dentro de un año será:

F = F1 + F2 + F3 + F4
F = $5.546.960,53

31


Como conclusión final, podemos dejar despejadas cada una de las variables que
intervienen en la ecuación original de INTERES COMPUESTO, quedando de la
siguiente manera:

VALOR FUTURO VALOR PRESENTE

TASA DE INTERES NUMERO DE PERIODOS

32


LECCIÓN CUATRO TASAS DE INTERÉS

El concepto de tasa de interés, se aplica a la relación entre el valor a pagar como
interés y el capital recibido en préstamo por el cual se debe pagar ese interés en
un tiempo determinado. Se expresa en términos de porcentaje y su nomenclatura
es: i%.

Tasa de Interés Nominal

Es la tasa de interés que generalmente se aplica a todas las operaciones financieras y
que aparece estipulada en los contratos. Cuando opera este tipo de tasa, se entiende
que las utilidades por intereses no se reinvirtieron en el periodo.

Tasa de Interés Efectiva

Los usuarios del sistema financiero se enfrentan a un problema en el diario vivir en las
transacciones personales o de empresa, pues usualmente en todas las operaciones que se
realizan se habla de tasa efectiva como referencia o criterio para tomar decisiones.
La mayoría de ejecutivos en finanzas o ejecutivos comerciales de empresas del
sistema financiero, productivo o de servicios opinan que la tasa efectiva es equivalente
a la tasa real, es decir, según ellos el interés que realmente se cobra al cliente. ¿Será
esto cierto?

Con el ejemplo siguiente se deducirá el concepto de tasa de interés efectiva; supóngase;
que doña Linda Plata de Rico tiene disponibles $100 millones, los cuales no necesita sino
hasta dentro de un año, y desea invertirlos. Con este objetivo, se dirige al Banco de
Bogotá y le plantea la situación al señor Armando Bueno, gerente de la sucursal de Suba
y antiguo compañero de la universidad. Él le ofrece que le pagará por los $100 millones
una tasa del 40% anual y que los intereses se liquidarán trimestre vencido, doña
Linda, administradora de empresas de gran prestigio profesional en la capital
colombiana, hace el siguiente cálculo:

33


Plazo: Un año
Tasa de interés: 40% anual
Liquidación de interés: Trimestre vencido
Inversión: $100 millones
Número de liquidaciones por año: 4
Tasa trimestral o del período: 40% / 4 = 10%

TRIMESTRE SALDO INICIAL INTERESES SALDO FINAL
i = 10%
1 100,00 $10,00 $ 110,00
2 110 $11,00 $ 121,00
3 121 $12,10 $ 133,10
4 133,10 $13,31 $ 146,41
TOTAL $46,41

La inversionista recuerda que: tasa de interés se define como utilidad sobre la inversión; en
este caso las utilidades serían la suma de la columna interés que es de 46,41 en el año,
si la inversión fue de $100 millones quiere decir que se obtuvo un interés (%) o
rentabilidad de en un año

Si el 40% de interés se hubiera liquidado solo al final del año, doña Linda habría
obtenido $40 de intereses, es decir, que lo que establece la diferencia es el número de
liquidaciones de intereses que hay en el plazo fijado (para este caso son 4 las
liquidaciones en el año).

Para deducir el concepto de tasa nominal y efectiva se toman varios casos, los cuales se
derivan de considerar como punto de partida los $100 millones y el plazo de un año
pero con diferentes formas de liquidar los intereses por ejemplo, bimestralmente,
semestralmente, etc.

34


TASA FORMA DE LIQUIDACIONES

40% Semestre vencido
40% Trimestre vencido
40% Bimestre vencido
40% Mes vencido
40% Día vencido

Para el primer caso 40% anual semestre vencido, lo primero que se tiene que definir es la
tasa del período. En este caso es semestral, o sea que la tasa periódica (semestral) sería
igual a 40% dividido entre los dos semestres del año, lo que equivale a un 20% semestral;
si se considera el plazo de un año se puede hacer el cálculo que se realizó para el 40%
anual trimestre vencido, es decir:

Plazo: Un año
Tasa de interés: 40% anual
Liquidación de interés: Semestre vencido
Inversión: $100 millones
Número de liquidaciones 2
poaño:
Tasa trimestral o del período:

SEMESTRE SALDO INICIAL INTERESES SALDO FINAL
1 100 20 120

2 120 24 144

Total 44

Intereses primer trimestre = Saldo inicial x Tasa de interés

Intereses primer trimestre = $100 x 20% = $20

35


Saldo final primer trimestre = Saldo inicial + Intereses

Saldo final primer trimestre = 100 + 20 = 120 ;

El saldo final del primer semestre pasa a ser el saldo inicial del segundo semestre.

Intereses segundo semestre = 120 x 20% = $24

Saldo final del segundo semestre =120+ 24 = $144

Lo anterior quiere decir que los $ 100 millones invertidos, por el efecto de la reinversión de
utilidades generaron $44 millones de intereses, lo que significa una rentabilidad del 44%
es decir $44 millones de utilidad dividido entre los $100 millones de inversión. En relación
con lo anterior, se puede concluir que la tasa efectiva se obtiene por los efectos de la
reinversión de las utilidades o intereses; cuando esto no se da, se obtiene lo que se llama
tasa de interés nominal. Se puede deducir que existe un paralelo entre el interés simple y
la tasa nominal y el interés compuesto y la tasa efectiva. En las dos primeras, no se tiene
en cuenta la reinversión mientras que en las dos últimas sí.

Con base en los ejemplos se obtiene una fórmula para calcular la tasa efectiva, la cual se
expresa de la siguiente forma:

ie = Tasa de interés efectiva
ip = Tasa periódica
n= Número de liquidaciones de intereses en el plazo fijado

Si se toman los ejemplos analizados anteriormente, se obtiene lo siguiente:

1) Si se tiene una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿cuál es la tasa efectiva anual?

Tasa periódica = ip

Tasa anual
ip = ——————————————— = 0,10 = 10 % trimestral
# de períodos en el año

= 0,4641 o 46,41% efectivo anual

36


Si se considera el mismo ejemplo, es decir 40% anual trimestre vencido, pero en lugar
de calcular la tasa efectiva anual se calcula la tasa efectiva semestral

n = Número de liquidaciones en el período = 2 en un semestre

ie = (1 + 0.10)2 - 1 = 0,21 = 21% efectiva semestral

2) Si se tiene una tasa anual del 40% semestre vencido, calcular la tasa efectiva anual

n = número de liquidaciones = 2
ie= (1 + 0,20)2 - 1 = 0,44 ó 44% efectiva anual

Con base en la siguiente información calcular la tasa efectiva anual:

TASA ANUAL FORMA DE LIQUIDACIÓN NÚMERO DE i
DE INTERESES LIQUIDACIONES PERIÓDICA
POR AÑO
40% Semestre vencido 2 20% semestral
40% Trimestre vencido 4 10% trimestral
40% Bimestre vencido 6 6,67% bimestral
40% Mes vencido 12 3,33% mensual
40% Día vencido 360 0,11% diario

Las dos primeras tasas fueron calculadas anteriormente, a continuación se obtienen las
restantes:

40% anual bimestre vencido

Número de liquidaciones en un año: 6
ie anual = (1+0,0667)6 - 1 = 0,4732

37


40% anual mes vencido

ie anual = (1+ 0,0333)12 - 1 = 0,4816

40% anual día vencido

ie anual = (1+ 0,001111)360 - 1 = 0,4914
De acuerdo con los cálculos se obtuvieron las siguientes cifras:

FORMA DE LIQUIDACIÓN NUMERO DE
TASA ANUAL DE INTERESES LIQUIDACIONES TASA
POR AÑO EFECTIVA
40% Semestre vencido 2 44,00%

40% Trimestre vencido 4 46,41%

40% Bimestre vencido 6 47,32%

40% Mes vencido 12 48,16%

40% Día vencido 360 49,14%

Como se observa en la tabla anterior, a medida que se aumenta el número de
liquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo tomando otros dos
casos, supóngase que el gerente señor Armando Bueno le ofrece a doña Linda que le
liquidará intereses 2 veces al día o sea cada 12 horas o tres veces al día o sea cada
8 horas; veamos qué tasa efectiva anual se obtiene:

38


40% anual liquidando intereses cada 12 horas

ip = 0,40 / 720 = 0,0005555
n = 360 x 2 = 720 períodos
ie anual = (1 + 0,0005555)720 - 1 = 0,491659
Ahora analizando el caso del 40% anual liquidando intereses cada 8 horas
ip = 0,40 / 1080 = 0,00037037
n = 360 x 3 = 1.080 periodos
ie anual = (1 + 0,00037037)1080 - 1 = 0,491714

Como se observa, a medida que se aumenta el número de liquidaciones se
incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo, este valor tiende a estabilizarse,

es decir, su comportamiento es exponencial como se observa en el gráfico
siguiente.

60.000%
T
A
S 50.000%
A
S
40.000%
E
F
E 30.000%
C
T
I 20.000%
V
A
S 10.000%

0.000%
0 2 4 6 8 10 12 14

NUMERO DE CAPITALIZACIONES

Gráfica 1. Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de
tasas vencidas

39


Con lo anterior se explica lo que en matemáticas se conoce con el nombre de interés
continuo, que se expresa así:
La letra e es la sigla del número de Euler
ie = ei - 1 o constante de Napier, tan importante como
y es equivalente a 2,718281….
(No confundir con la e de efectiva en ie )
Que para el caso del 40% anual se obtiene:

i e = e 0,40 -1 = 2 ,7182810,40 - 1

i e = 0,49182

Cifra que coincide cuando se liquidan 720 y 1080 veces en el año. Si se siguen
aumentando el número de liquidaciones, no se va a obtener una cifra mayor. La fórmula
anterior se conoce con el nombre de interés continuo o capitalización continua.

Con base en los cálculos realizados anteriormente, se concluye que la tasa de
interés efectiva está íntimamente ligada con el interés compuesto, es decir,
considera la reinversión de utilidades.

40


LECCIÓN CINCO CONVERSIÓN DE TASAS
El concepto de tasa efectiva permite convertir las tasas de un período a otro fácilmente;
este concepto es de gran utilidad en Matemáticas Financieras, por cuanto permite
solucionar situaciones recurrentes, donde los períodos de los flujos de caja
(ingresos y desembolsos) no coinciden con los períodos de las tasas de interés.

Ejemplo 1

Con una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿calcular la tasa semestral
equivalente?

Este ejercicio se puede resolver de varias formas:

Primera forma

i= 40% anual trimestre vencido

i periódica = i anual / # períodos en el año

i periódica = i trimestral = 0,40 / 4 =0,10

Con base en la tasa periódica se puede calcular la tasa efectiva anual

ie = tasa de interés efectiva anual
Donde n es el número de liquidaciones en el año.

La tasa de interés está especificada inicialmente como i = 40% anual trimestre vencido, lo
que quiere decir que los intereses se van a liquidar cada trimestre, o sea que al
año se liquidan 4 veces, una al final de cada trimestre, por lo tanto:

ie= (1+0,10) 4 -1 = 0,4641
Con base en el anterior resultado se puede calcular la tasa semestral partiendo de
calcular la efectiva anual.

ie = ( 1 + ip )n - 1
0,4641 = ( 1 + isemestral ) 2 -- 1

n = 2, porque los intereses se liquidan 2 veces (1 año = 2 semestres)

41


1,4641 = ( 1+ isemestral ) 2

1,21 = 1 + i semestral

1,21 -1 = i semestral

0,21 = 2 1 %

Segunda forma

i = 40% anual trimestre vencido
i periódica = i trimestral = = 0,10

Obsérvese que el período toma como referencia el que está estipulado en la liquidación de
intereses, para nuestro ejemplo es trimestre vencido. La forma de liquidación siempre
aparece adyacente a la tasa de interés anual.

Con base en la tasa trimestral se puede calcular la semestral, utilizando la ecuación de
tasa efectiva.

ie = (1+ip) n -1
i semestral = (1 + i trimestral ) 2 - 1

i semestral = (1 + 0,10 ) 2 - 1 = 0,21

Es el mismo resultado que se obtuvo en la primera forma.

Ejemplo 2

Con una tasa del 30% anual bimestre vencido, calcular:

a. La tasa semestral equivalente.

b. La tasa mensual equivalente.

42


a. Tasa Semestral

Primera forma
i = 30% anual bimestre vencido
Bimestre = cada 2 meses

i periódica = i bimestral = = 0,05, dividido entre 6 porque hay 6 bimestres en un año.

ie = (1+ ip ) n -1

ie = (1 + 0,05) 6 - 1 = 0,3400

Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la semestral

ie = (1+ ip) n -1

0,34 = ( 1 + i semestral )2-1

1,34 = (1+ i semestral)2

1,157625 =1 + i semestral

1,157625 -1 = i semestral

0,157625 = i semestral

15,7625% = i semestral

43


Segunda forma


Bimestre = cada 2 meses

i periódica = i bimestral = = 0,05

ie = (1+ i periódica) n -1 La tasa mayor se asume como la tasa
efectiva, en este caso la semestral.

i semestral =(1 + 0,05 ) 3 - 1 = 0,157625 ó 15,7625%

n = 3, porque en un semestre hay 3 bimestres.

b. Tasa mensual

Primera forma


ie = (1+ 0,05)6 - 1 = 0,3400

Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la tasa mensual

ie = 0,34
i = ( 1 + i periódica)n - 1

0,34 = (1 + i mes )12 -1

n = 12 meses, porque un año tiene 12 meses, y al ser la tasa mensual se liquidarán 12
veces en el año.

1,34 = (1 + i mes )12

1,02469 = 1 +i mes
1,02469 – 1 = i mes
0,02469 = i mes
2,469% = i mes

44


Segunda forma



Utilizando la fórmula de tasa efectiva se tiene:

ie = (1 + i periódica) n - 1

0,05 = ( 1 + i mes )2 – 1 La tasa mayor se asume como la tasa
efectiva, en este caso la bimestral.
1,05 = (1+ i mes) 2

1,02469 = 1 + i mes
1,02469 - 1 = i mes
0,02469 = i mes

i mes = 2,469%

Obsérvese que se consideró la tasa del 5% bimestral como efectiva; la razón es
muy sencilla, los meses están contenidos dentro del bimestre. Lo mismo
sucedería si se tuviera una tasa del 3% mensual y se preguntara la tasa
quincenal; como la quincena está contenida dentro del mes, el 3% se tomaría
como efectiva.

Ejemplo 3

Justo Pastor Malo recibió un préstamo del Banco Popular de $7.000.000 que
debe pagar en una sola cuota dentro de 2 años. Si la tasa de interés es del 24%
anual semestre vencido, ¿calcular el valor de la cuota que debe pagar Justo
Pastor al Banco Popular?

P = 7.000.000
2 años

0 i = 24 % anual semestre vencido F=?

45


Obsérvese que la tasa está estipulada en diferente período que el plazo, la primera en
semestres y la segunda en años; por lo anterior se debe efectuar la conversión:
correspondiente.

Primera forma

Se debe hallar la tasa de interés efectiva anual para que coincida con el período del
plazo que está dado en años, por lo tanto:

iea = (1+ i periódico) n -1

i periódica = i semestral = = 0,12

iea = (1+ 0,12) 2 -1= 0,2544

F =P(1+ i ) n

F = 7.000.000 (1+ 0,2544) 2

F = $11.014.635,52

• Segunda forma

i = 24% anual semestre vencido

i periódica = i semestral = = 0,12

Plazo = 2 años = 4 semestres, por lo tanto el gráfico puede expresarse de la siguiente
manera:

P = 7.000.000

1 2 3 4
semestres

0 F =?

i = 12% semestral
F =P(1+ i ) n

F = 7.000.000(1+ 0,12)4 = $ 11.014.635,52


 Tasas anticipadas

Para analizar este concepto se considera el siguiente caso hipotético; supóngase que
doña Linda Reina desea invertir $100 millones y se dirige al Banco Santander. Su
gerente, el doctor Pastor Bueno le ofrece una tasa del 40% anual año anticipado.
Veamos cómo sería el comportamiento con un gráfico, doña Linda no necesita el
dinero sino hasta dentro de un año.

$ 40 millones “hoy” $ 100 millones de devolución
Interés anticipado de la inversión en Un año

$ 100 millones
inversión

En el gráfico puede observarse que el inversionista invierte $100 millones y en el mismo
momento recibe los intereses correspondientes o sea $40 millones, es decir, que solo
invirtió $60 millones, lo cual puede resumirse en el siguiente gráfico:

$100 millones
1 año

$60 millones (Inversión)

En el gráfico anterior se tiene un valor presente que son los $60 millones y un valor futuro
dentro de un año por un valor de $100 millones. Si se aplica la primera equivalencia
(ver capítulo 1) se puede hallar el interés:

F= P (1 + i) n
F = $100.000.000,oo
P = $60.000.000,oo
n = 1 año

$100.000.000 = $60.000.000 ( 1 + i ) 1

= ( 1+ i )

1,6667 = 1+ i
i = 1 , 6667 - 1 = 0,6667 = 66,67% anual


Lo anterior quiere decir que para doña Linda Reina es equivalente el 40% anual año
anticipado ó el 66,67% anual año vencido. Si se hace el análisis utilizando la definición
dada en el primer capítulo, en el cual se dice que interés es igual a utilidad sobre
inversión se obtiene lo siguiente

i= = = = 0,6667 ó 66,67%

Si se expresa en términos porcentuales se tiene:

i= = = 0,6667 ó 66,67% anual

De lo anterior podemos generalizar la siguiente fórmula:

ia
i vencido = -----------------
(1- ia)
donde:

iv = i vencido
ia = interés anticipado

i vencido =

Con base en la conversión anterior, se pueden calcular las tasas efectivas cuando
son anticipadas.

Consideremos las siguientes posibilidades como una tasa única de 40% anual pero con
diferentes modalidades de liquidación de intereses y calculemos las tasas efectivas anuales
correspondientes.

TASA ANUAL LIQUIDACIÓN DE INTERESES

40% Semestre anticipado

40% Trimestre anticipado
40% Bimestre anticipado
40% Mes anticipado
40% Día anticipado
40% Cada 12 horas anticipado


(1) 40% anual semestre anticipado
i periódica = i semestral anticipada = = 20% semestre anticipado
i semestre vencida = = = 0,25

i efectiva anual = (1 + 0,25)2 -1 = 0,5625

(2) 40% anual trimestre anticipado
i periódica = i trimestral anticipada = = 10% trimestre anticipado
i trimestre vencido = = 0,111111

i efectiva anual = (1+0,11111) 4 -1 =0,524157

(3) 40% anual bimestre anticipado
i bimestral anticipado = = 6,67%
i bimestral vencida = = 0,07143

i efectiva anual = (1 + 0,07143)6 - 1 = 0,51282484

(4) 40% anual mes anticipado
i mes anticipado = = 0,03333
i vencida = = 0,03447919

i efectiva anual = (1 + 0,03447919)12 - 1 = 0,50196949

(5) 40% anual día anticipado
i día anticipado = = 0,001111
i vencida = = 0,00111235

i efectivo anual = (1 + 0,00111235)360 - 1 = 0,4921565

(6) 40% anual cada 12 horas anticipado
i cada 12 horas anticipado = = 0,00055556

i vencida = = 0,00055586

i efectiva anual = (1+ 0,00055586)720 - 1 = 0,49199053


Los cálculos anteriores se pueden resumir en la siguiente gráfica:

Gráfica 2. Liquidación de intereses anticipados
Con base en los cálculos realizados anteriormente, sobre las tasas efectivas considerando
diferentes sistemas de liquidación de intereses y las tasas efectivas vencidas y anticipadas,
se puede obtener el siguiente resumen

TASAS VENCIDAS TASAS ANTICIPADAS
# de #de
Tasa nominal liquidaciones T.E.A. Tasa nominal liquidaciones T.E.A.
por año por año
40% anual A. V. 1 40,00% 40% anual A. A. 1 66,67%

40% anual S.V. 2 44,00% 40% anual S.A. 2 56,25%

40% anual T.V. 4 46,41% 40% anual T.A. 4 52,42%

40% anual B.V. 6 47,32% 40% anual B.A. 6 51,28%

40% anual M.V. 12 48,16% 40% anual M.A. 12 50,20%

40% anual D.V. 360 49,14% 40% anual D.A. 360 49,22%

Con base en la tabla anterior se puede concluir lo siguiente: en las tasas vencidas a
medida que aumenta el número de liquidaciones aumenta la tasa efectiva anual
i
logrando como tasa máxima la capitalización continua ( ie= e - 1). El comportamiento


de las tasas anticipadas es inverso; a medida que aumenta el número de
liquidaciones disminuye la tasa efectiva anual, es decir, se logra la tasa efectiva
máxima en el caso de las anticipadas cuando es una sola liquidación.
En el gráfico siguiente se ve el comportamiento de las dos modalidades, vencida y
anticipada.

Gráfica 3. Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y
anticipadas

 Tasas efectivas con tasa de interés anticipadas

Este tipo de conversión es similar al descrito en los temas anteriores, simplemente
incluye un paso adicional que consiste en convertir las tasas periódicas anticipadas
en periódicas vencidas; en otras palabras, es hallar la tasa equivalente vencida a la
anticipada.


Ejemplo

Con una tasa del 20% anual trimestre anticipado, hallar la tasa mensual.

Primera forma

i = 20% anual trimestre anticipado

iperiódica = itrimestral anticipada = =0,05

i vencido =

i trimestre vencido =

i trimestre vencido = =

i trimestre vencido = 0,052631578

iea = (1 + i periódica) n- 1

iea = (1 + 0,052631578)4 - 1

iea = 0,2277 o 22,77%

Con base en la tasa efectiva anual se calcula la tasa mensual

i ea = (1 + i periódica) n - 1

0,2277 = ( 1+ imes )12 - 1

1,2277 = ( 1 + imes ) 12

1,017244 = 1 + imes

1,017244 – 1 = imes

0,017244 = imes

imes = 1,7244%


Segunda forma

i = 20% anual trimestre anticipado

iperiódica = i trimestral anticipada = 0,20 / 4 = 0,05

i vencido = i anticipado / (1- i anticipado)

i trimestre vencido = i trimestre anticipado / (1- i trimestre anticipado)

i trimestre vencido = 0,05 / (1 – 0,05) = 0,05 / 0,95


Con base en la tasa trimestral vencida se puede calcular la tasa mensual y en
razón a que el mes está contenido dentro del trimestre, la tasa trimestral se puede
considerar como efectiva.


i ea = (1 + i periódica) n- 1

0,052631578 = (1+ imes) 3- 1

1,052631578= (1+ imes) 3

1,017244 = 1+ i mes

0,017244 = i mes i mes= 1,7244%


EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS

1. Sandra Muñoz canceló hoy $7.560.000 al Banco de Bogotá por un préstamo
que le fue otorgado hace un año. Calcular el dinero prestado a Sandra si:

a. La tasa de interés es del 3% mensual simple
b. La tasa de interés es del 3% mensual compuesto
c. La tasa de interés es del 4% mensual simple

2. Lady Noriega recibió un préstamo del Banco Santander de $10.000.000; si
canceló $13.500.000 en un solo pago, calcular el plazo del préstamo si:

a. La tasa de interés es del 2% mensual simple.
b. La tasa de interés es del 2% mensual compuesto.
c. La tasa de interés es del 2,5% mensual simple.

3. Pastor Bueno desea tener $20.000.000 dentro de 2 años para la cuota inicial de
un vehículo Audi, para lo cual se ha propuesto el siguiente plan de ahorros:

Hoy, ahorra $1.000.000
Dentro de 2 bimestres, $ 3.000.000
Dentro de 8 meses, $ 5.000000
Dentro de 1 año, $ 2.000.000
Dentro de año y medio, $7.000.000

El Banco de Bogotá le ha propuesto 3 planes:

Plan A: i = 1% mensual simple
Plan B: i = 2% mensual compuesto
Plan C: i = 2,5% bimestral simple

Nota: No olvidar que el plazo y la tasa de interés deben estar expresados en el
mismo período

a. Determinar el dinero acumulado dentro de 2 años de cada uno de los
planes.

b. ¿Cuál es el mejor plan?

4. En los ejemplos 1 a 6 de interés simple y 1 a 6 de interés compuesto que se
desarrollaron anteriormente en el módulo, comparar el ejemplo 1 de interés simple con
el ejemplo 1 de interés compuesto y así sucesivamente hasta el 6. Sacar las
conclusiones respectivas para cada una de las 6 comparaciones y presentar un informe.


5. Con base en una tasa del 30% anual mes vencido calcular:

a. Tasa trimestral
b. Tasa semestral

6. Con base en una tasa del 30% anual mes anticipado, calcular:

a. Tasa trimestral; b. Tasa semestral
c. Tasa efectiva anual; d. Tasa trimestral anticipada

7. Calcular las tasas efectivas anuales de las siguientes tasas nominales, compararlas y
graficarla en una hoja Excel. Obtener conclusiones:

a. 25% anual semestre vencido b. 25% anual trimestre vencido

c. 25% anual bimestre vencido d. 25% anual mes vencido

e. 25% anual día vencido f. 25% anual año anticipado

g. 25% anual semestre anticipado h. 25% anual trimestre
anticipado

i. 25% anual bimestre anticipado j. 25% anual mes anticipado

8. Si se tiene una tasa del 24% anual trimestre anticipado, calcular:

a. Tasa mensual

b. Tasa semestral

c. Tasa efectiva anual

d. Tasa trimestral

9. Cuánto dinero tendrá acumulado dentro de 5 años Juan Pérez si invierte hoy 5
millones en el Banco Santander, que le paga una tasa de interés del 20% anual
semestre anticipado.

10. Linda Plata recibió un préstamo de su amigo Armando Rico hace 2 años y medio.
Si Linda pagó hoy a Armando $12.133.450 y la tasa pactada fue del 28% anual
mes vencido, calcular el valor el préstamo.


11. En el problema anterior ¿Cuál sería el valor del préstamo si la tasa de interés
fuera del 32% anual bimestre anticipado?

12. Linda de Bonito planea adquirir un vehículo CITROEN dentro de 2 años y se ha
propuesto el siguiente plan de ahorros para este lapso de tiempo:

Hoy, ahorra $1.500.000 Dentro de 2 bimestres, $4.000.000
Dentro de 2 trimestres, $6.000.000 Dentro de un año, $3.000.000
Dentro de 18 meses, $5.000.000

Si la cuota inicial que se requiere para adquirir ese vehículo dentro de 2 años es de
$23.500.000 y la tasa de interés que le pagan por su dinero ahorrado es del 32% anual
trimestre vencido, ¿tendrá doña Linda el dinero suficiente para la cuota inicial del
vehículo?


CAPÍTULO DOS EQUIVALENCIAS CON CUOTAS FIJAS

Una de las formas más utilizadas en nuestro sistema financiero es el pago de prés-
tamos a través de cuotas fijas, en el lenguaje de las Matemáticas Financieras se les llama
anualidades o rentas (no importa si la cuota fija es anual, semestral, trimestral o
mensual, se seguirá llamando anualidad). La relación que existe entre las cuotas
fijas y un valor presente o un valor futuro se conoce con el nombre de
equivalencias.

LECCIÓN SEIS EQUIVALENCIAS ENTRE UN VALOR
FUTURO Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS
Cuotas fijas = A

Valor futuro = F

N = Número de períodos

i% = Tasa de interés por período

Para poder ver la relación que existe entre una serie de cuotas fijas (iguales) y un :
futuro F, considere que el señor Armando Casas tiene excedentes de liquidez cada
período y quiere invertirlos para tener dentro de un lapso de tiempo n el suficiente
dinero para adquirir una finca en la sabana de Bogotá. Estos ahorros se harán al
final de cada período a una tasa de interés del i %. Gráficamente el comportamiento del
problema sería el siguiente:

F
n-2 n-1
0 1 2 3 4 12
n

Con base en el gráfico anterior, se puede considerar cada punto del tiempo en el
cual se hace el ahorro como un valor presente en relación con el período n en el
cual se retirará el dinero para comprar la finca que en este caso sería el valor futuro.
Por ejemplo, el ahorro que se hace en el período n-1 que tiene un valor de $A sí se
considera que estará invertido solo un período, su valor futuro correspondiente será
igual a A(1+i) (ver fórmulas del capítulo 1).


Si tomamos el ahorro de $A en el período n-2 su valor futuro será A(1+i)2, para el
período n-3 se obtendría A(1+i) 3, para el período n-4 se obtendría A(1+i) 4 y así
sucesivamente hasta llegar al período 1; donde el valor futuro del ahorro A sería
A(1+i)(n-1) y el ahorro que se hace en el período n, como coincide con el retiro del
dinero no genera intereses, por lo cual su valor futuro sería A(1+i) 0 o sea A porque
toda cantidad elevada a la cero es igual a uno.

Si se suman todos los valores futuros de cada uno de los ahorros de cada período se
obtiene:

F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n-1) Ecuación # 1

Si se multiplica esta ecuación por (1+ i) y se le llama Ecuación 2, se obtiene lo
siguiente:
F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)n Ecuación # 2

Si restamos la ecuación #1 de la ecuación #2 se obtiene:

Ec #2 F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ......... + A(1+i) (n-1) + A(1+i)n

- Ec #1 F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + …...... + A(1+i) (n-1)

F(1+i) - F = A(1+ i) n - A , despejando se tiene

F + Fi - F = A(1+ i) n - A

F + Fi - F = A [(1+i)n -1]

Fi = A[(1+i)n -1]

Fórmula 1

La anterior ecuación es la equivalencia entre un valor futuro y una cuota fija vencida o
anualidad.


LECCIÓN SIETE EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y
UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS
La equivalencia entre un valor presente y una cuota fija se deduce de la fórmula
número 1 simplemente reemplazando F por P(1+i)n, que es la fórmula base de las
Matemáticas Financieras.

Fórmula 2

De las fórmulas 1 y 2 se puede calcular el valor de la cuota fija de la siguiente forma:

Fórmula 3

Fórmula 4


LECCIÓN OCHO EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR FUTURO Y UNA
SERIE DE CUOTAS FIJAS ANTICIPADAS
Utilizando el procedimiento anterior, se pueden calcular las equivalencias entre cuotas fijas
anticipadas y los valores presente y futuro; utilicemos el gráfico que tomamos como
referencia para calcular las equivalencias anteriores pero considerando que las cuotas se
realizan anticipadamente o sea:
F

0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n

El paso inicial es calcular el valor futuro de cada uno de los ahorros A; nótese que en el
período n no hay ahorro y sí lo hay en el período cero. Esta es la diferencia que hay con
respecto al gráfico de las cuotas vencidas, pues las cuotas fijas se consideran
anticipadamente o a principios de cada período, por lo tanto el valor futuro obtenido con
base en el diagrama anterior sería:

F = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)n

Si a esta ecuación la llamamos la ecuación número 1 y la multiplicamos por (1+i)
obtenemos la ecuación número 2.

F (1+i) = A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n+1)

Si sacamos la diferencia entre las dos ecuaciones, como se hizo para determinar la
fórmula 1 se obtiene:

Fórmula 5


LECCIÓN NUEVE EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y
UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS ANTICIPADAS
Con base en la equivalencia anterior entre un valor futuro y una cuota fija anticipada se
puede obtener la existente entre un valor presente y una cuota fija anticipada,
simplemente reemplazando F por P( 1+ i ) n

despejamos P

Fórmula 6

De las fórmulas 5 y 6 podemos obtener el valor de la anualidad en función del valor
presente o del valor futuro, simplemente transponiendo términos.

Fórmula 7

Fórmula 8

Las anteriores equivalencias permiten pactar una serie de transacciones en el mundo real.


LECCIÓN DIEZ EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR FUTURO Y
UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS CON INTERESES
ANTICIPADOS
Este caso se presenta cuando en un crédito se pactan cuotas uniformes vencidas
pero le cobran intereses anticipadamente, es decir en el momento de recibir el
préstamo el beneficiario no recibe la totalidad sino la diferencia entre el valor del
crédito y los intereses correspondientes al primer período.

En este caso como el usuario pago los intereses anticipadamente, en la última
cuota no se pagarían intereses, sino que la totalidad del valor pagado sería abono
a capital.

La equivalencia a usar en este caso sería:

Fórmula 9

A continuación se tratan casos prácticos relacionados con las equivalencias
expuestas anteriormente.

Ejemplo 1 Doña Linda Reina recibió un préstamo del Banco de Bogotá por diez
millones de pesos para cancelar en 12 cuotas mensuales iguales vencidas con una tasa
del 3% mensual. Calcular el valor de las cuotas.

Gráficamente se tendría la siguiente interpretación del problema:

$10.000.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses

0
A= ?
I = 3%

Al identificar los datos conocidos se puede determinar que se debe utilizar la fórmula 4


P = Valor presente, es en este caso, el valor del préstamo o sea $ 10.000.000

i = 3%

n = 12 meses

Tenemos las tres variables, por lo cual podemos calcular la cuota fija A

Alternativamente se puede escribir de la siguiente forma reemplazando el 3% por 0.03

A= $1.004.620,85

Lo que significa que doña Linda Reina debe cancelar mensualmente una cuota fija igual a
$1.004.620,85 durante 12 meses.


CAPÍTULO TRES EQUIVALENCIAS CON CUOTAS VARIABLES

LECCIÓN ONCE GRADIENTES
El sistema financiero colombiano además de las cuotas fijas, utiliza métodos alternos para
sus créditos, las cuotas variables es uno de ellos, la filosofía de esta forma de pago
es realizar incrementos periódicos en los pagos de los usuarios. Desde este punto
de vista se generan dos formas de aplicarlo; la primera de ellas es incrementos en
cantidades fijas, este sistema se conoce con el nombre de gradiente aritmético; o
incremento en las cuotas mediante un porcentaje fijo, lo que se conoce con el nombre de
gradiente geométrico, veamos con unos ejemplos como opera cada uno de ellos.

Gradiente Aritmético

Consideremos el caso de don Pastor Bueno, quién solicitó un crédito de $15 millones al
Banco Santander; para pagar en un plazo de 3 años con pagos semestrales e incrementos
de $ 100.000 a partir de la segunda cuota, si el interés es del 15% semestral, calcular el
valor de las cuotas que debe pagar don Pastor Bueno al Banco.

Gráficamente el problema se expresa así:

$ 15.000.000

0 6 semestres

A
A+100.000
A+200.000

A+300.000
A+400.000

A+500.000

El problema se puede resolver utilizando la equivalencia, base de las matemáticas
financieras explicada en el capítulo 1, o sea, F = P( 1 + i)n, que para el problema
planteado sería de la siguiente manera:


1. Traer a valor presente cada una de las cuotas:

2. Por el concepto de equivalencia igualar el valor del préstamo al valor presente de las
cuotas, es decir :

3. Hallar el valor de A

Podemos empezar resolviendo los denominadores, así:

Vamos a separar los elementos del numerador y a dividir cada uno de ellos por su
respectivo denominador; por ejemplo en el segundo término voy a separar la letra A
del valor $100.000 y a cada uno de ellos lo divido en 1,3225, entonces divido 1A en
1,3225 y $100.000 también en 1,3225 (Ejemplo )
Quedando

Agrupamos los términos comunes y obtenemos:

Para que le coincida el
resultado, utilice Excel.
Si trabaja solo con tres o
cuatro decimales se
desviará un poco de la
A = $3.753.834,56 respuesta.

Este sería el valor de la cuota # 1 y aumentándole $100.000 cada semestre,
obtendremos el valor de las siguientes cuotas.

Alternativamente se pueden utilizar las fórmulas de gradiente aritmético que se
derivan de la fórmula matriz para resolver el problema planteado; sin embargo el
problema se puede resolver fácilmente, utilizando del menú principal de Excel
herramientas de la siguiente forma:


Hoja de Excel

A B C D E F G
1 Semestre Flujos de caja
2 0 -15.000.000 Valor
3 1 20 ———— > préstamo
Colocar
cualquier
valor
4 2 =B3+100.000
5 3 =B4+100.000 =VNA (0,15; B3:B8)+B2
4 =B5+100.000
7 5 =B6+100.000
8 6 =B7+100.000

El primer paso es colocar sobre la hoja de cálculo los ingresos y desembolso de
dinero que tiene la transacción (Flujos de Caja). Si nos colocamos en la posición de la
entidad financiera, el desembolso lo hace cuando entrega el dinero al cliente, los
ingresos cuando recibe los pagos; en el ejemplo se consideró que el préstamo era de
$15.000.000; como es un desembolso para el Banco, le colocamos signo negativo,
los ingresos de dinero que corresponde a los pagos del cliente no los conocemos solo
sabemos que se incrementan en $100.000 cada uno de ellos.

Para calcular el valor de los pagos que es nuestro objetivo, se coloca primero que todo
en la columna A de las filas 2 a la 8 el encabezado semestre y luego, los períodos
de los flujos de caja los cuales son en este caso de cero a seis (O a 6); en la columna B
con el encabezado flujos de caja se coloca en las filas 2 a la 8 los ingresos y egresos de
la transacción para la entidad financiera comenzando con el valor del préstamo que
colocamos en la celda B2, en las celdas B3 a B8 se colocan los pagos que hace el
cliente. Como éstos se desconocen, en la celda B3 se registra cualquier valor, pero con
signo contrario al valor del préstamo y se formulan los siguientes; es decir, el pago 2
sería igual al pago 1, incrementado en $100.000 o sea = B3 +100.000 y el pago 3
como =B4 +100.000 y así sucesivamente, hasta llegar al pago 6 que se formularía
como =B7 +100.000 como muestra la figura.

Una vez terminado de formular los ingresos y desembolsos de la transacción, se
coloca en cualquier otra celda para nuestro caso G5 el cálculo del valor presente
neto (VNA), de los flujos de caja a la tasa dada (15% semestral), que quedan de la
siguiente forma:

= VNA (0,15; B3:B8) + B2

TASA DE INTERÉS

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