1. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Robson Rodrigues da Silva
http: www.robson.mat.br e-mail: robsonmat@uol.com.br
8ª Lista de Exercícios – Exponencial e Logaritmos
Vimos que os problemas envolvendo crescimento populacional, juros compostos, disseminação de
doenças, desintegração de material radioativo etc, podem ser modelados através da função exponencial natural
1 n
y = e onde e é o famoso número de Euler definido por : e = lim (1 
x
) = 2,718...
n n
Questão 01. O modelo matemático que descreve o crescimento de uma cultura de bactérias é dada
125
,
por: P  onde P é o peso da cultura em gramas e t o tempo em horas. Utilizando esse
1  0,25e 0,4t
modelo, complete a tabela abaixo:
t 0 1 10
P
u u
Questão 02. Lembrando que (e )’ = e .u’ , determine a derivada das seguintes funções exponenciais:
2
5t
e) p  e t
x x 2x 2t+5
a) y = e b) y = 2e c) y = e d) p = e
senx x x -x
f) w = 5e g) w = x.e h) y = e + e
Questão 03.
x
a) Esboce o gráfico da função y = e .
x
b) Trace a reta tangente ao gráfico da função y = e no ponto de abscissa x = 1.
c) Determine a equação da reta tangente citada no item anterior.
0,03t
Questão 04. Estima-se que daqui a t anos, a população de um certo país será P(t) = 50e milhões
de habitantes.
a) Qual é a população atual desse país? Qual será a população daqui a 10 anos?
b) Atualmente qual é a taxa de variação da população com o tempo?
c) Quanto tempo será necessário para que a população desse país seja o triplo da atual?

2. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Robson Rodrigues da Silva
Questão 05. Na Arqueologia: em 1960, W.F.Libby ganhou o prêmio Nobel pela descoberta da
datação por carbono, uma técnica usada para determinar a idade de fósseis e artefatos.
Apresentamos a seguir uma descrição resumida da técnica.
A incidência de raios cósmicos nas camadas superiores da atmosfera converte parte do nitrogênio num isótopo
14
radioativo de carbono, C. A vegetação, pela absorção de dióxido de carbono (CO 2) da atmosfera, retém um pouco desse
14
isótopo.Todas as demais formas de vida também acabam retendo C pela cadeia alimentar. Enquanto vivo, o nível desse
isótopo no organismo é constante. Quando a planta, ou animal, morre, cessa a reposição de carbono 14 no organismo e esse
nível decresce, gradualmente, com o decorrer do tempo; a cada 5730 anos o nível de carbono 14 reduz-se à metade (tempo
de meia-vida). Nessas condições, esse nível, t anos após a morte, é dado por N(t) = N 0.e-kt , onde k é uma constante e vale
1,21.10-4. A partir dessas informações podemos obter uma estimativa da idade de um fóssil.
Testes realizados em um fóssil descoberto no sítio arqueológico de Debert, na Nova Escócia,
14
revelam que 28% do isótopo C original ainda estão presentes. Qual é a idade aproximada do fóssil,
14
sabendo-se que a lei matemática que descreve o nível do isótopo C daqui a t a anos é dado por
-kt -4
N(t) = N0.e onde, k = 1,21.10 e N0 representa o nível de carbono 14 encontrado atualmente nos
seres vivos?
u'
Questão 06. Lembrando que (lnu)'  determine a derivada das seguintes funções logarítmicas:
u
2
a) y = lnx b) y = 2lnx c) y = ln(2x) d) y = ln(x + 5x) e) y = ln(x+1)
ln x
m) y = ln( x  1 )
2
f) p = ln(2t + 5t) g) w = ln(5t) h) p = t.lnt I) w =
x
Questão 07. O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h30 o médico
o
da polícia chegou e, imediatamente, mediu a temperatura do cadáver, que era de 32,5 C . Uma hora
o
mais tarde, mediu a temperatura outra vez e ela era de 31,5 C. A temperatura do ambiente foi
o o
mantida constante a 16,5 C. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de 36,5 C, e
-2kt
suponha que a lei matemática que descreve o resfriamento do corpo é dada por D(t) = D 0.e , em
que t é o tempo em horas, D0 é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no
instante t = 0, D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente num instante t
qualquer, e k é uma constante positiva. Determine:
a) a constante k;
b) a hora em que a pessoa morreu.
Questão 08. A densidade populacional, a x quilômetros do centro de uma cidade, é dada por uma
-kx
função da forma D = A.e . Encontre essa função, sabendo-se que a densidade populacional no
2 2
centro da cidade é de 15000 hab/km , e a densidade a 10 km do centro é de 9000 hab/km .
Questão 09. A quantidade de uma certa substância radioativa remanescente após t anos é dada por
-kt
uma função da forma Q = Qoe , onde Qo é a quantidade inicial e k uma constante positiva. Encontre
o tempo de meia-vida dessa substância.

3. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Robson Rodrigues da Silva
http: www.robson.mat.br e-mail: robsonmat@uol.com.br
GABARITO – 8ª Lista de Exercícios – Exponencial e Logaritmos
Questão 01.
t 0 1 10
P 1 1,07 1,24
Questão 02.
x x 2x
a) y’=e b) y’=2 e c) 2.e d) p'  2.e 2t 5
f) w'  5.e senx . cos x g) w'  (1  x).e x h) y'  e x  e  x
2 5 t
e) p'  (2t  5).e t
Questão 03.
a) y  e x
x y 8
0 1 7
2; 7,4
1 2,7 6
2 7,4 5
4
3
1; 2,7
2
1 0; 1
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5
b) y  e x c) y  y 0  m( x  x 0 )
y'  e x y  2,7  2,7( x  1)
y  2,7x
y' (1)  e 1  2,7
tg 1 2,7  69º 48'
Questão 04.
a) t  0  P  50.e 0  50 milhões de habitantes b) P(t )  50.e 0,03 t
t  10  P  50.e 0,03.10  67,5 milhões de habitantes. P' (t )  15.e 0,03 t
,
P' (0)  15.e 0,03.0  15 milhões de habitantes/ano.
, ,
c) 150  50.e 0,03 t
3  e 0,03 t
ln 3  0,03t
t  37anos
Questão 05.
0,28N0  N0 .e kt
ln 0,28  ln e kt  1,27  kt
1,27
t  10496anos
1 21.10  4
,
Questão 06.
1 2 1 2x  5 1
a) y'  b) y'  c) y'  d) y'  e) y' 
x x x 2
x  5x x 1
4t  5 1 h) p'  ln t  1  ln x  1 1
f) p'  g) w '  i) w '  j) y' 
2t 2  5t t x2 2x  2

4. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Robson Rodrigues da Silva
Questão 07.
15  16.e 2.k.1 D  D 0 .e 2.0,03 .t
e  2k  0,94 20  16.e 0,06 .t
b)
a) ln e  2k  ln 0,94 1,25  e 0,06 .t
 2k ln e  ln 0,94 ln1,25  ln e 0,06 t
k  0,031 t  3,72 horas
t  3 : 43h
Hora que ocorreu o crime:
22 : 30  3 : 43  18 : 47h
Questão 08.
x  0  D 0  15000hab / km 2  A
x  10  D  9000
D  A.e k.x
9000  15000.e k.10
0,6  e k.10
ln 0,6  ln e k.10
k  0,051
D  15000.e 0,051 .x
Questão 09.
1
Q 0  Q 0 .e k.t
2
1
ln  ln e k.t
2
ln 2 1  kt
 ln 2  kt
ln 2 0,693
t 
k k