Apostila Cálculo 1-Sebastião

MAT – 001 – CÁLCULO 1
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG
CÁLCULO 1 – AULA 01
CAP. 1– FUNÇÕES:
1.1– RELAÇÕES:
Consideremos os conjuntos { }4,3,2,1=A e { }8,7,6,5,4,3,2,1=B . Vamos determinar o Produto
Cartesiano AXB , que é o conjunto dos pares ordenados ( )yx, , onde Ax ∈ e
By ∈ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,4,7,4,6,4,...,3,1,2,1,1,1=AXB .
Podemos perceber que este conjunto possui 32 pares ordenados.
Vamos, agora, fazer uma correspondência entre os elementos Ax ∈ e By ∈ , de acordo com
uma lei de formação qualquer, por exemplo, y é o dobro de x .
Num diagrama de flechas:
Conjunto Partida Contra-Domínio
Podemos expressar o resultado obtido por um conjunto de pares ordenados relacionados pela
lei xy 2= . Este conjunto é: ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,4,6,3,4,2,2,1
A este conjunto damos o nome de RELAÇÃO e representamos pela letra R:
( ) ( ) ( ) ( ){ }8,4,6,3,4,2,2,1=R
Uma forma mais prática de representar esta Relação é: ( ){ }xyAXByxR 2/, =∈= .
A Relação acima pode ser ainda representada graficamente num sistema de coordenadas
cartesianas, onde convenciona-se representar y no eixo vertical (ordenada) e x no eixo
horizontal (abscissa).
1
2
3
4
1
2
4
6
8
3
5
7
A B
y = 2x
x y

By ∈
Vamos admitir, agora, que esta relação xy 2= seja definida no Produto Cartesiano ℜℜX , isto
é, o Produto AXB , onde ℜ=A e ℜ=B , sendo ℜ o Conjunto dos Números Reais.
Assim, ( ){ }xyXyxR 2/, =ℜℜ∈= .
Neste caso, a representação geométrica da Relação é a reta:
OBSERVAÇÃO:
Quando a Relação é definida no Produto Cartesiano ℜℜX não é necessário representa-la na
forma de Conjuntos ( ){ }xyXyxR 2/, =ℜℜ∈= . Uma vez que o Conjunto Partida e o Contra-
domínio estão bem definidos, basta indicar a Relação apenas pela Lei de Correspondência, ou
seja, xy 2= .
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
7
8
0
Ax ∈
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
7
8
ℜ∈y
ℜ∈x

1.2 – FUNÇÃO: DEFINIÇÃO:
Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação f de A em B recebe o nome de Função
se, e somente se, para todo elemento Ax ∈ existir um e somente um elemento By ∈ tal que o par
ordenado ( )yx, satisfaça a relação f .
Simbolicamente, escrevemos: ( ) ( ){ }xfyAXByxf =∈= /, , onde:
• ( )xfy = é a lei de correspondência entre as variáveis x e y ;
• x é a variável independente;
• y é a variável dependente.
EXEMPLOS:
01) A relação xy 5= é uma função definida de ℜ=A em ℜ=B pois, para cada valor real da
variável independente x podemos obter um e somente um valor real para a variável
dependente y, tais que xy 5= .
02) A relação 2
xy = é uma função definida de ℜ=A em +ℜ=B .
03) A relação xy =2
NÃO é função, pois xy ±= , ou seja, para um único valor de x existem
dois valores diferentes para y .
x
y
ℜ ℜ
xy 5=
- 1
1
- 2
2
1
4
ℜ
x y
2
xy =
ℜ

1.3 – DOMÍNIO:
Seja a função f definida de ℜ⊂A em ℜ⊂B pela lei ( )xfy = .
Chama-se de Domínio da função f ao conjunto ( )fD dos elementos Ax ∈ para os quais
existem os elementos By ∈ , tais que cada par ordenado ( )yx, satisfaça a lei ( )xfy = .
Para se determinar, algebricamente, o Domínio ( )fD de uma função, basta verificar as suas
condições de existência. Verifique, nos exemplos a seguir, como isto pode ser feito.
EXEMPLOS:
Determinar o Domínio ( )fD das funções definidas pelas sentenças a seguir no campo dos
números reais:
01) xy =
Para que ℜ∈x , devemos ter 0≥x .
Portanto ou
02) 2
16 xy −=
Devemos ter 016 2
≥− x , isto é, o Domínio desta função é o conjunto de valores de x que
verificam uma inequação de segundo grau, cujas raízes são 4−=x e 4=x .
Fazendo o estudo de sinais no eixo dos números reais teremos:
Portanto:
4
2
ℜ ℜ
- 2
- 4 4
- - - - - - - - --------+ + + + + + + +
x
m/a m/ac/a
( ) { }44/ ≤≤−ℜ∈= xxfD
( ) +ℜ=fD ( ) { }0/ ≥ℜ∈= xxfD
xy =2

03) ( )4log 2
−= xy
Devemos ter 042
>−x . Tal como no exemplo anterior, devemos resolver uma inequação de
segundo grau cujas raízes são 2−=x e 2=x .
Fazendo o estudo de sinais, obtemos:
Portanto:
04) xxy −−= 4.3
Chamando
( )
( )



−=
−=
xxh
xxg
4
3
teremos ( ) ( ) ( )xhxgxf .= .
Para que ( )xf exista, é necessário que ( )xg e ( )xh sejam definidas simultaneamente. Sendo
assim, o Domínio de ( )xf será a interseção dos Domínios de ( )xg e ( )xh .
a) Domínio de ( )xg :
Devemos ter 303 ≥⇒≥− xx
b) Domínio de ( )xh :
Devemos ter 404 ≤⇒≥− xx
Portanto
05)
3−
=
x
x
y
Chamando
( )
( )



−=
=
3xxh
xxg
teremos ( ) ( )
( )xh
xg
xf = .
Novamente, para que ( )xf exista, é necessário que ( )xg e ( )xh sejam definidas
simultaneamente. E, tal como aconteceu no exemplo anterior, o Domínio de ( )xf será a
interseção dos Domínios de ( )xg e ( )xh .
- 2 2
x
m/am/a c/a
+ + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - -
( ) { }43/ ≤≤ℜ∈= xxfD
( ) { }22/ >−<ℜ∈= xouxxfD

a) Domínio de ( )xg :
Devemos ter 0≥x
b) Domínio de ( )xh ;
Devemos ter 303 >⇒>− xx
Portanto
06)
3−
=
x
x
y
Devemos ter 0
3
≥
−x
x
e 3≠x .
Para resolvermos esta equação, devemos fazer o estudo de sinais do numerador e do
denominador e fazer a interseção. Assim:
Portanto:
OBSERVAÇÃO:
As funções estudadas nos exemplos 05 e 06 parecem iguais, mas não são. Observe que elas
possuem Domínios diferentes. Quando se fala que “a raiz do quociente é igual ao quociente das
raízes do numerador e do denominador” estamos nos referindo a uma Propriedade Operatória.
Isto quer dizer que essa propriedade só é válida se ambas as raízes existirem simultaneamente.
Não foi isto que aconteceu no nosso caso.
Só podemos afirmar que duas funções são iguais quando possuírem:
• o mesmo Domínio;
• a mesma Imagem;
• o mesmo gráfico.
x
0
x
3
x
0 3
- - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + +
+ + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + +
( ) { }3/ >ℜ∈= xxfD
( ) { }30/ >≤ℜ∈= xouxxfD

1.4 – IMAGEM:
Chama-se de Imagem de uma função f definida de ℜ⊂A em ℜ⊂B pela lei ( )xfy = ao
conjunto ( )fIm dos elementos By ∈ para os quais existem os elementos Ax ∈ , tais que os pares
ordenados ( )yx, pertençam à função.
A Imagem é um subconjunto do Contra-domínio.
A melhor estratégia para se descobrir a Imagem de uma função é obter o seu Domínio,
esboçar o seu gráfico e, aí sim, identificar no gráfico obtido a Imagem. Este raciocínio se justifica
pelo fato de que a Imagem de uma função é conseqüência imediata do seu domínio.
Entretanto, para o caso de algumas funções elementares, pode-se tentar obter a Imagem
algebricamente. Para isto, devemos explicitar x como função de y e estudar as condições de
existência da função obtida.
EXEMPLOS:
Determinar a Imagem ( )fIm das funções definidas pelas sentenças a seguir no campo dos
números reais:
01) 12
+= xy
Isolando a variável x :
112
−±=⇒−= yxyx
Devemos ter: 101 ≥⇒≥− yy
Portanto:
ℜ⊂A ℜ⊂B
( )xfy =
( )fIm( )fD
x y
( ) { }1/Im ≥ℜ∈= yyf

02) 2
4 xy −=
Isolando a variável x :
22222
444 yxyxxy −±=⇒−=⇒−=
Devemos ter:



≥
≥−
0
04 2
y
y
Estudando-se os sinais e fazendo a interseção, obtemos:
OBSERVAÇÃO:
A determinação da Imagem ( )fIm de uma função se torna mais simples após fazermos o
esboço do gráfico da função. Isto será estudado na próxima aula.
( ) { }20/Im ≤≤ℜ∈= yyf

CAP. 1– FUNÇÕES:
1.5 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO:
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos ( )yx, do plano cartesiano xy tais
que ( )fDx ∈ , ( )fy Im∈ e ( )xfy = .
OBSERVAÇÃO:
De acordo com a definição, a necessidade de que uma função f associe um e somente um
valor de y para cada valor particular de x corresponde à condição geométrica de que dois pontos
distintos do gráfico de uma função não podem possuir a mesma abscissa. As figuras abaixo
mostram exemplos de gráficos de relações que não correspondem a funções.
y
x
( )fIm
( )fD
( )xfy =
x = abscissa
y = ordenada
1x
1y
2y
x
y
Não é função

EXEMPLOS
A seguir são esboçados alguns gráficos de algumas funções elementares com os respectivos
Domínios e Imagens:
01) 12
+= xy ou ( ) 12
+= xxf .
02) 2
4 xy −= ou ( ) 2
4 xxf −=
x
y
Não é função
y
x
0
1
12
+= xy
( )
( ) { }1/Im ≥ℜ∈=
ℜ=
yyf
fD
y
x
2− 2
2
4 xy −=
2
( ) { }
( ) { }20/Im
22/
≤≤ℜ∈=
≤≤−ℜ∈=
yyf
xxfD
0

03) xy = ou ( ) xxf =
04)
x
y
1
= ou ( )
x
xf
1
= .
0
y
x
x
y
1
= ( )
( ) *
*
Im ℜ=
ℜ=
f
fD
y
x
0
xy =
( )
( ) +
+
ℜ=
ℜ=
f
fD
Im

1.6 - TIPOS DE FUNÇÕES:
1.6.1 – FUNÇÃO PAR:
Uma função f definida pela lei ( )xfy = é chamada de Função Par se, e somente se,
tivermos:
( ) ( )xfxf =− para todo ( )fDx ∈
A conseqüência desta definição é que o gráfico de uma função par possui uma simetria em
relação ao eixo y (eixo das ordenadas).
EXEMPLOS:
01) ( ) 2
4 xxf −= é uma função Par, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf =−=−−=− 22
44 .
02) ( ) 2
1
x
xf = é uma função Par, pois ( )
( )
( )xf
xx
xf ==
−
=− 22
11
.
y
x
y
xx− 0
( ) ( ) fyxfyx ∈−⇒∈ ,,
y
x
22−
4
0
( ) 2
4 xxf −=
( )
( ) { }4/Im ≤ℜ∈=
ℜ=
yyf
fD
y
x
0
( ) 2
1
x
xf = ( )
( ) *
*
Im +ℜ=
ℜ=
f
fD

1.6.2 – FUNÇÃO ÍMPAR:
Uma função f definida pela lei ( )xfy = é chamada de Função Ímpar se, e somente se,
tivermos:
( ) ( )xfxf −=− para todo ( )fDx ∈
A conseqüência desta definição é que o gráfico de uma função ímpar possui uma simetria em
relação à origem dos eixos coordenados.
EXEMPLOS:
01) ( ) xxf 2= é uma função Ímpar, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf −=−=−=− 2.2 .
02) ( ) 3
xxf = é uma função Ímpar, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf −=−=−=− 33
.
y
y
y−
x
x
x−
0
( ) ( ) fyxfyx ∈−−⇒∈ ,,
y
x
0
( ) xxf 2= ( )
( ) ℜ=
ℜ=
f
fD
Im
y
x
0
( ) 3
xxf = ( )
( ) ℜ=
ℜ=
f
fD
Im

OBSERVAÇÃO:
O fato de havermos definido funções pares ou ímpares não significa, necessariamente, que
toda função deva ter uma dessas classificações. Existem funções que não são pares e nem
ímpares.
EXEMPLO:
A função f definida por ( ) xxxf −= 2
não é par e nem ímpar, pois:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )


−≠−
≠−
⇒+=−−−=−
xfxf
xfxf
xxxxxf 22
1.6.3 – FUNÇÃO POLINOMIAL:
É toda função f definida da forma ( ) n
nnn
AxAxAxAxf ++++= −−
...2
2
1
10 , onde
ℜ∈nAAAA ,...,,, 210 são os coeficientes e ℵ∈n representa o grau da função polinomial.
CASOS PARTICULARES:
A) Função Constante: É toda função f definida por uma equação da forma ( ) kxf = , onde
ℜ∈k . O seu gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas.
y
x
0
( ) xxxf −= 2
1
41
( )
( )






≥ℜ∈=
ℜ=
4
1
/Im yyf
fD
y
x
k
0
ky =
( )
( ) { }kf
fD
=
ℜ=
Im

B) Função Linear: É toda função f definida por uma equação do tipo ( ) baxxf += , onde
ℜ∈ba, .
Nesta função a é chamado de Coeficiente Angular e b é chamado de Coeficiente Linear.
O seu gráfico é uma reta.
C) Função Identidade: É a função f definida por ( ) xxf = . O seu gráfico é a bissetriz dos
quadrantes ímpares do sistema de coordenadas cartesianas.
D) Função Quadrática: É toda função f definida pela equação cbxaxy ++= 2
, com *
ℜ∈a e
ℜ∈cb, . O Domínio ( )fD de qualquer Função Quadrática é o conjunto dos Reais e o seu gráfico
é uma parábola que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo, dependendo do
sinal do coeficiente a .
y
x
0
( ) baxxf += ( )
( ) ℜ=
ℜ=
f
fD
Im
y y
x x
0
0
0>a
0<a
y
x
0
( ) xxf =
( )
( ) ℜ=
ℜ=
f
fD
Im

Observação:
O ponto de ordenada máxima da parábola (quando 0>a ) ou o ponto de ordenada mínima
(quando 0<a ) é chamado de Vértice dessa parábola e as suas coordenadas podem ser
determinadas tomando-se:
a
b
xV
2
−= e
a
yV
4
∆
−= , sendo acb 42
−=∆ o Discriminante da
equação 02
=++ cbxax .
1.6.4 – FUNÇÃO RACIONAL:
É toda função definida da forma ( ) ( )
( )xQ
xP
xf = , com ( ) 0≠xQ , onde ( )xP e ( )xQ são funções
polinomiais.
EXEMPLOS:
01) ( )
1
1
2
++
+
=
xx
x
xf
02) ( )
32
4
2
3
++
−
=
xx
x
xf
03) ( ) 52 += xxf
1.6.5 – FUNÇÕES ALGÉBRICAS:
São funções que podem ser obtidas através de um número finito de operações algébricas
elementares, isto é, adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
EXEMPLOS:
01) ( ) 2
xxxf +=
02) ( ) 753 2
+−= xxxf
03) ( )
xx
x
xf
+
−
=
4 3
1

1.6.6 – FUNÇÕES TRANSCEDENTES:
Chamamos de Transcedente a toda função que não á algébrica, isto é, toda função que não
possa ser definida usando somente as operações algébricas elementares. São transcedentes as
funções:
• Exponenciais;
• Logarítmicas;
• Trigonométricas;
• Hiperbólicas.
EXEMPLOS:
01) ( ) x
xf 2=
02) ( ) xxf log=
03) ( ) xxf sen=
04) ( ) 43cos2
−+−= x
xxxf
1.6.7 – FUNÇÕES MODULARES:
São funções definidas com o uso do Módulo. De maneira geral, poderemos definir essas
funções na forma ( )xfy = , lembrando que ( )
( ) ( )
( ) ( )


<−
≥
=
0,
0,
xfsexf
xfsexf
xf .
EXEMPLOS:
01) ( ) xxf =
De acordo com a definição teremos ( )



<−
≥
=
0,
0,
xsex
xsex
xf
y
x
0
( ) xxf =
( )
( ) +ℜ=
ℜ=
f
fD
Im

02) ( ) ( ) ( )



−<−−
−≥+
=⇒



<+−−
≥++
=⇒+=
3,3
3,3
03,3
03,3
3
xsex
xsex
xf
xsex
xsex
xfxxf
03) ( ) 652
+−= xxxf
( ) ( )




<<−+−
≥≤+−
=⇒




<+−−+−
≥+−+−
=
32,65
32,65
065,65
065,65
2
2
22
22
xsexx
xouxsexx
xf
xxsexx
xxsexx
xf
1.6.8 – FUNÇÃO PERIÓDICA:
Dizemos que uma função f é periódica se existir um número positivo T tal que:
( ) ( )xfTxf =± para todo ( )fDx ∈
Ao menor valor de T que satisfaz esta condição damos o nome de Período da função f .
Os exemplos mais conhecidos de funções periódicas são as funções trigonométricas, que
serão estudadas futuramente.
y
x
3− 0
( ) 3+= xxf
( )
( ) +ℜ=
ℜ=
f
fD
Im
y
x
0 2 3
( ) 652
+−= xxxf
( )
( ) +ℜ=
ℜ=
f
fD
Im

EXEMPLO: ( ) ( ) ( )xfxfe
xse
xsex
xf =±



<<
≤≤
= 2
21,1
10,
y
x
4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4

1.6 – TIPOS DE FUNÇÕES:
1.6.7 – FUNÇÃO INJETORA:
Uma função f , definida de A em B pela lei ( )xfy = , é chamada Injetora quando:
( ) ( )212121 ,, xfxfxxseAxx ≠⇒≠∈∀
EXEMPLO:
A função ( ) xxf 5= é Injetora, pois 212121 55,, xxxxsexx ≠⇒≠∀ .
1.6.8 – FUNÇÃO SOBREJETORA:
Uma função f , definida de A em B pela lei ( )xfy = , é chamada Sobrejetora se:
( )xfyAxBy =∈∃∈∀ /,
Isto significa dizer que não sobram elementos no conjunto B, ou seja, a Imagem da função é o
próprio conjunto B.
A
B
Ax ∈ By ∈
( )xfy =
A
B
Ax ∈ By ∈
( )xfy =

EXEMPLO:
A função f definida de ℜ=A em +ℜ=B por 2
xy = é Sobrejetora, pois todo +ℜ∈y tem
correspondente ℜ∈x .
1.6.9 – FUNÇÃO BIJETORA:
Chamamos de Bijetora às funções que são Injetoras e Sobrejetoras, simultaneamente.
EXEMPLO:
A função f , definida de ℜ em ℜ pela lei 14 += xy , é Bijetora.
1.6.10 – FUNÇÃO INVERSA:
Se uma função f definida de A em B pela equação ( )xfy = é Bijetora, então podemos definir
de B em A a função 1−
f que é a Inversa da função f .
EXEMPLO:
A função Inversa de xy 2= é a função
2
x
y =
OBSERVAÇÕES:
O1: Se uma função f admite uma função Inversa 1−
f , então:
( ) ( )1
Im −
⊃ ffD
( ) ( )1
Im −
⊃ fDf
O2: Para se determinar a função Inversa 1−
f de uma função ( )xfy = , caso ela exista, deve-se
proceder da seguinte maneira:
• na sentença ( )xfy = trocar y por x e x por y ;
• em seguida, expressar y como função de x .

EXEMPLO: Obter a função Inversa de 35 −= xy .
Trocando as variáveis: 35 −= yx
Isolando a variável y :
5
3
5
+=
x
y , que é a função Inversa da função dada.
O3: Os gráficos de f e 1−
f são simétricos em relação à reta xy = .
De fato, se o ponto ( )ba, pertence ao gráfico de f , então o ponto ( )ab, pertence a 1−
f , e
vice-versa.
EXEMPLOS:
01) Seja a função f definida pela lei 2
xy = , com 0≥x .
Trocando x por y : xyyx ±=⇒= 2
Porém 0≥y , logo xy = é a função inversa de 2
xy = para 0≥x .
.
y
x
xy =
a
a
b
b
( )ba,
( )ab,
0
y
x
xy =
2
xy =
xy =
( ) ( )
( ) ( ) +
−
+
−
ℜ==
ℜ==
1
1
Im
Im
fDf
ffD

02) Sejam, agora, as funções ( ) 3
xxf = e ( ) 31
xxf =−
.
1.6.11 – FUNÇÃO COMPOSTA:
Dados os conjuntos não vazios A, B e C, uma função f definida de A em B por ( )tfy = e
uma função g definida de B em C por ( )xgt = , chama-se de Função Composta à função definida
pela lei ( )[ ]xgfy = , definida de A em C.
Observe os diagramas abaixo:
EXEMPLOS:
01) Seja a função f definida por 32
+= xy .
Chamando 32
+= xt , teremos ty = .
Portanto, ( )tfy = e ( )xgt = , ou seja, ( )[ ]xgfy = é uma função composta.
y
x
0 1
1
1−
1−
xy =
3
xy =
3
xy = ( ) ( )
( ) ( ) ℜ==
ℜ==
−
−
1
1
Im
Im
fDf
ffD
A
B
C
( )tfy = ( )xgt =
( )[ ]xgfy =

02) Seja a função definida pela lei ( )83sen 3
+−= xxy .
Fazendo 833
+−= xxt , teremos ty sen= .
Portanto, ( )tfy = e ( )xgt = , isto é, ( )[ ]xgfy = é uma função composta.
03) Seja a função definida pela lei ( )x
tgy 2= .
Fazendo xu = e u
t 2= , teremos tgty = .
Portanto, ( )tfy = , ( )ugt = e ( )xhu = , isto é, ( )[ ]{ }xhgfy = é um função composta.

1.7 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS:
1.7.1 – FUNÇÃO EXPONENCIAL:
A Função Exponencial é definida por uma equação que tem a forma x
ay = , com *
+ℜ∈a e
1≠a , isto é, a base a é um número Real positivo e diferente da unidade.
Curiosamente, o gráfico da Função Exponencial pode ser representado de duas formas, de
acordo com o valor da base.
a) Para 1>a , o gráfico da Função Exponencial tem a forma abaixo:
b) Para 10 << a , o gráfico da Função Exponencial tem a seguinte forma:
OBSERVAÇÃO:
Aplicam-se para as Funções Exponenciais as mesmas propriedades fundamentais da
Potenciação.
y
x
( )1>= aay x
0
1
( )
( ) *
Im +ℜ=
ℜ=
f
fD
x
y
0
1
( )10 <<= aay x
( )
( ) *
Im +ℜ=
ℜ=
f
fD

Exemplos:
01) Produto de Potências de mesma base: xxxx 22 22
33.3 +
=
02) Quociente de Potências de mesma base: xxx
x
x
22
2
2 23
2
3
== −
03) Potência de potência: ( ) xx 33
1010 =
1.7.2 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA:
Define-se uma Função Logarítmica pela equação log
x
a
y = , onde *
+ℜ∈a e 1≠a é a base e
0>x . A Função Logarítmica é a função Inversa da Exponencial x
ay = .
Como a Função Exponencial pode ter duas formas geométricas de representação, que
dependem do valor da base a , então a Função Logarítmica terá igualmente duas formas de
gráficos, de acordo com o valor da base. Vejamos um esboço desses gráficos:
a) Para 1>a o gráfico da Função Logarítmica tem a seguinte forma:
b) Para 10 << a o gráfico da Função Logarítmica tem a forma abaixo:
y
x
0 1
( )1log >= ay
x
a
( )
( ) ℜ=
ℜ= +
f
fD
Im
*
y
x
0 1
( )10log <<= ay
x
a ( )
( ) ℜ=
ℜ= +
f
fD
Im
*

OBSERVAÇÃO:
Uma vez que definimos a Função Logarítmica, é importante que façamos uma revisão das
Propriedades Operatórias de Logaritmos. Essas propriedades, com certeza, serão úteis em
problemas envolvendo este tipo de função.
PROPRIEDADE 1: Adição de Logaritmos: logloglog
MN
a
N
a
M
a
=+
PROPRIEDADE 2: Subtração de Logaritmos: logloglog N
M
a
N
a
M
a
=−
PROPRIEDADE 3: Logaritmo de Potência: 0,loglog >= Mparak
M
a
M
a
k
PROPRIEDADE 4: Mudança de Base: 10,
log
log
log ≠>= bebparaa
b
M
b
M
a
.

1.8 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
Apresentamos abaixo, a título de revisão os gráficos das Funções Trigonométricas, com os
respectivos Domínios, as Imagens e os respectivos Períodos.
A– FUNÇÃO SENO:
B– FUNÇÃO COSSENO:
y
x
períodoT =
0 π π2π−π2−
xy sen=
( )
( ) { }
π2
11/Im
=
≤≤−ℜ∈=
ℜ=
T
yyf
fD
1
1−
2
π
2
3π
2
5π
2
π
−
2
3π
−
2
5π
−
y
x
0
1
1− períodoT =
xy cos=
π2−
2
3π
−
π−
2
π
−
2
π π
2
3π π2

O Domínio, a Imagem e o Período da função cosseno são idênticos ao da função seno.
C– FUNÇÃO TANGENTE:
D– FUNÇÃO COTANGENTE:
y
x
períodoT =
tgxy =
0
2
π π
2
3π
2
π
−
π−
2
3π
−
( ) ( )
( )
π
π
=
ℜ=
Ζ∈



+−ℜ=
T
f
kkfD
Im
)(
2
.12
y
x
0
2
π π
2
3π π2
gxy cot=
2
π
−
π−
2
3π
−
π2−
períodoT =

E – FUNÇÃO SECANTE:
F – FUNÇÃO COSSECANTE:
( ) [ ] ( )
( )
π
π
=
ℜ=
Ζ∈−ℜ=
T
f
kkfD
Im
xy sec=
períodoT =
y
x
0
1
1−
2
π π
2
3π
2
π
−π−
2
3π
−
( ) ( ) ( )
( ) ( ] [ )
π
π
2
,11,Im
2
.12
=
∞−∞−=
Ζ∈



+−ℜ=
T
f
kkfD
U
y
x
períodoT =
0
1−
1
xy seccos=
2
π π
2
3π
π2
2
π
−
π−
2
3π
−π2−
( ) ( )
( ) ( ] [ )
π
π
2
,11,Im
=
∞−∞−=
Ζ∈−ℜ=
T
f
kkfD
U

1.9 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:
Como as Funções Trigonométricas são todas periódicas, então nenhuma delas é Bijetora.
Portanto, dentro do Domínio de cada uma, nenhuma delas tem função inversa.
Entretanto, podemos definir as funções inversas das trigonométricas, se restringirmos os seus
Domínios, para que elas se tornem Bijetoras nesses intervalos. Vejamos essas funções.
A– FUNÇÃO INVERSA DO SENO:
B– FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO:
y
x
1− 1
2
π
−
0
2
π
xy arcsen=
( ) { }
( )






≤≤−ℜ∈=
≤≤−ℜ∈=
22
/Im
11/
ππ
yyf
xxfD
y
x
1− 0 1
xy arccos=
2
π
π
( ) { }
( ) { }π≤≤ℜ∈=
≤≤−ℜ∈=
yyf
xxfD
0/Im
11/

C– FUNÇÃO INVERSA DA TANGENTE:
D– FUNÇÃO INVERSA DA COTANGENTE:
E– FUNÇÃO INVERSA DA SECANTE:
y
x
arctgxy =
0
2
π
2
π
−
( )
( ) 





−=
ℜ=
2
,
2
Im
ππ
f
fD
y
x
gxarcy cot=
0
2
π
π
( )
( ) ( )π,0Im =
ℜ=
f
fD
y
x
xarcy sec=
1− 0 1
2
π
π
( ) ( ] [ )
( ) 











=
∞−∞−=
π
ππ
,
22
,0Im
,11,
U
U
f
fD

F– FUNÇÃO INVERSA DA COSSECANTE:
y
x
0
1−
1
xy secarccos=
2
π
−
2
π
( ) ( ] [ )
( ) 











−=
∞−∞−=
2
,00,
2
Im
,11,
ππ
U
U
f
fD

1.10 – TRANSLAÇÃO DE GRÁFICOS:
O estudo da translação de gráficos é importante, pois nos permite obter gráficos de outras
funções semelhantes a funções conhecidas, a partir dos gráficos também conhecidos.
A translação pode ser Vertical, horizontal ou simultânea (vertical e horizontal).
Vamos estudar cada uma separadamente.
1.10.1 – TRANSLAÇÃO VERTICAL:
Para que possamos entender como interpretar a translação vertical do gráfico de uma função,
vamos fazer um exemplo envolvendo funções elementares.
Vamos, então, traçar, no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, os gráficos das funções
quadráticas definidas por 2
xy = , 12
−= xy e 12
+= xy .
Percebemos que os gráficos das funções definidas por 12
+= xy e 12
−= xy nada mais são
do que o resultado da translação do gráfico de 2
xy = de uma unidade para cima e para baixo,
respectivamente.
Observamos também que, com a translação vertical, o Domínio se manteve o mesmo para as
três funções, porém a Imagem dessas funções foi alterada.
12
+= xy
2
xy =
12
−= xy
y
x
1
0
1−

Podemos, então, generalizar a translação vertical de k unidades ( )Ζ∈k de uma função
definida por ( )xfy = para ( ) kxfy += .
1.10.2 – TRANSLAÇÃO HORIZONTAL:
Tal como fizemos na translação Vertical, vamos também tomar um exemplo para mostrar a
translação horizontal.
Vamos construir, no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, os gráficos das funções
quadráticas definidas pelas equações 2
xy = , ( )2
1−= xy e ( )2
1+= xy .
Observamos que os gráficos das funções definidas por ( )2
1−= xy e ( )2
1+= xy nada mais são
do que os resultados da translação horizontal do gráfico de 2
xy = de uma unidade para a direita e
para a esquerda, respectivamente.
Podemos, então, generalizar a translação horizontal de k unidades ( )Ζ∈k de uma função
definida por ( )xfy = para ( )kxfy += .
( ) ( ) ( )xffunçãodaunidadeskdeverticaltranslaçãokkxf ⇒Ζ∈+
2
xy =
( )2
1+= xy
( )2
1−= xy
y
x
1− 0 1
( ) ( ) ( )xffunçãodaunidadeskdehorizontaltranslaçãokkxf ⇒Ζ∈+

EXEMPLOS:
01)
x
yemunidadesdeverticaltranslação
x
y
xx
x
y
x
x
y
1
2
1
2
1212
=⇒+=⇒+=⇒
+
= .
02) ( ) xycurvanaunidadedehorizontaltranslaçãoxy log11log =⇒−=
03) ⇒+
−
= 3
2
1
x
y Neste exemplo, temos uma translação horizontal de 2 unidades para a direita
e uma translação vertical de 3 unidades para cima no gráfico da função
x
y
1
= .
x
x
y
12 +
=
y
x
2
2
1
−
0
( )
( ) { }2Im
*
−ℜ=
ℜ=
f
fD
y
x
0 1 2
( )1log −= xy
( ) ( )
( ) ℜ=
∞=
f
fD
Im
,1
y
x
3
2
1
+
−
=
x
y
3
20
( ) { }
( ) { }3Im
2
−ℜ=
−ℜ=
f
fD

1.11 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS:
1.11.1 – INTRODUÇÃO:
O estudo de Funções Hiperbólicas visa a simplificar e resolver uma infinidade de problemas
matemáticos e físicos que envolvem combinações de Funções Exponenciais de base Natural.
Chamamos de exponencial ou logaritmo de base natural àqueles cuja base é o número
irracional e, chamado de Número Neperiano e aproximadamente igual a 2,718.
Assim: ⇒x
e exponencial de base natural
⇒x
elog logaritmo de base natural
Teremos oportunidade de conhecer e definir este número irracional com todos os detalhes no
próximo capítulo, quando tratarmos de Limites.
Por enquanto, é suficiente aceitarmos a definição dada a este número e realizarmos
operações com ele, com faríamos com qualquer outro número irracional.
Teremos oportunidade de verificar, futuramente, que o Número Neperiano representa para o
Cálculo uma importância igual ou até maior que alguns números irracionais conhecidos (e
essenciais) como são os números π , 2 , 3 , etc.
1.11.2 – ORIGEM DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS:
Consideremos a circunferência de raio unitário e centro na origem dos eixos coordenados,
cuja equação é 122
=+ yx .
y
x
122
=+ yx
0
y
x
α

Da Trigonometria sabemos que, para um determinado ângulo α, temos:
αcos=x ⇒abscissa da circunferência
⇒= αseny ordenada da circunferência
Vemos que estas expressões satisfazem a equação da circunferência 122
=+ yx .
Vamos considerar, agora, a Hipérbole Eqüilátera 122
=− yx , cujo gráfico é mostrado abaixo:
Podemos mostrar que as expressões
2
αα −
+
=
ee
x e
2
αα −
−
=
ee
y , com ℜ∈α , satisfazem a
equação desta hipérbole eqüilátera.
Substituindo as expressões acima na equação, teremos:
1
4
4
4
2
4
2
22
222222
==
+−
−
++
=




 −
−




 + −−−− αααααααα
eeeeeeee
Portanto, podemos afirmar que:
2
αα −
+
=
ee
x é abscissa da hipérbole eqüilátera 122
=− yx ;
2
αα −
−
=
ee
y é ordenada da hipérbole eqüilátera 122
=− yx .
Por analogia com a Trigonometria, estas expressões recebem nomes apropriados, que são:
2
αα −
+
=
ee
x ⇒ Cosseno Hiperbólico de α ⇒ αcosh=x
y
x
0 x
y
xy =
xy −=
122
=− yx

2
αα −
−
=
ee
y ⇒ Seno Hiperbólico de α ⇒ αsenh=y
αα
αα
−
−
+
−
=
ee
ee
x
y
⇒ Tangente Hiperbólica de α ⇒ αtgh
x
y
=
αα
αα
−
−
−
+
=
ee
ee
y
x
⇒ Cotangente Hiperbólica de α ⇒ αgh
y
x
cot=
αα −
+
=
eex
21
⇒ Secante Hiperbólica de α ⇒ αh
x
sec
1
=
αα −
−
=
eey
21
⇒ Cossecante Hiperbólica de α ⇒ αh
y
seccos
1
=
O número Real α é chamado de argumento hiperbólico.
1.11.3 – FUNÇÃO SENO HIPERBÓLICO:
Definição:
Gráfico:
Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) xx senhsenh −=−
2
senh
xx
ee
xy
−
−
==
y
x
0
xy senh=
( )
( ) ℜ=
ℜ=
f
fD
Im

1.11.4 – FUNÇÃO COSSENO HIPERBÓLICO:
Definição:
Gráfico:
Paridade: Função Par ⇒ ( ) xx coshcosh =−
1.11.5 – FUNÇÃO TANGENTE HIPERBÓLICA:
Definição:
Gráfico:
2
cosh
xx
ee
xy
−
+
==
y
x
0
1
xy cosh= ( )
( ) [ )∞=
ℜ=
,1Im f
fD
xx
xx
ee
ee
tghxy −
−
+
−
==
y
x
1
0
1−
tghxy =
( )
( ) ( )1,1Im −=
ℜ=
f
fD

Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) tghxxtgh −=−
1.11.6 – FUNÇÃO COTANGENTE HIPERBÓLICA:
Definição:
Gráfico:
Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) ghxxgh cotcot −=−
1.11.7 – FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA:
Definição:
Gráfico:
xx
xx
ee
ee
ghxy −
−
−
+
== cot
y
x
1
0
1−
ghxy cot=
( )
( ) ( ) ( )∞−∞−=
ℜ=
,11,Im
*
Uf
fD
xx
ee
hxy −
+
==
2
sec
y
x
0
1
hxy sec=
( )
( ) ( ]1,0Im =
ℜ=
f
fD

Paridade: Função Par ⇒ ( ) hxxh secsec =−
1.11.8 – FUNÇÃO COSSECANTE HIPERBÓLICA:
Definição:
Gráfico:
Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) hxxh seccosseccos −=−
xx
ee
hxy −
−
==
2
seccos
y
x
0
hxy seccos=
( )
( ) *
*
Im ℜ=
ℜ=
f
fD

1.12 – RELAÇOES ENTRE AS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS:
Demonstramos a seguir três tipos de relações entre as Funções Hiperbólicas. Teremos a
oportunidade de ver que essas relações são muito parecidas com as relações que já conhecemos
entre as funções trigonométricas.
1.12.1 – RELAÇÃO FUNDAMENTAL:
Demonstração:
Vimos que
2
cosh
xx
ee
x
−
+
= e
2
senh
xx
ee
x
−
−
= .
Portanto:
22
22
22
senhcosh 




 −
−




 +
=−
−− xxxx
eeee
xx
4
22
senhcosh
2222
22
xxxx
eeee
xx
−−
−+−++
=−
1
4
4
senhcosh 22
==− xx
1.12.2 – RELAÇÕES DERIVADAS:
Demonstração:
Dividindo a Relação Fundamental 1senhcosh 22
=− xx por x2
cosh , obtemos:
1senhcosh 22
=− xx
1sec 22
=+ xtghxh 1seccoscot 22
=− xhxgh

1secsec1
cosh
1
cosh
senh
cosh
cosh 2222
22
2
2
2
=+⇒=−⇒=− xtghxhxhxtgh
xx
x
x
x
Dividindo a Relação Fundamental 1senhcosh 22
=− xx por x2
senh , obtemos:
1seccoscotseccos1cot
senh
1
senh
senh
senh
cosh 2222
22
2
2
2
=−⇒=−⇒=− xhxghxhxgh
xx
x
x
x
1.12.3 – RELAÇÕES COM A EXPONENCIAL:
Demonstração:
Usando as definições das Funções Hiperbólicas, temos:
x
xxxxxxxxx
e
eeeeeeeee
xx ==
−++
=
−
+
+
=+
−−−−
2
2
222
senhcosh
x
xxxxxxxxx
e
eeeeeeeee
xx −
−−−−−
==
+−+
=
−
−
+
=−
2
2
222
senhcosh
APLICAÇÕES:
01) Sendo 0<x e hxx sec3cosh = , achar todas as Funções Hiperbólicas de x .
SOLUÇÃO:
3cosh3cosh
cosh
3
cosh 2
±=⇒=⇒= xx
x
x
Porém, ℜ∈∀> xx ,1cosh . Portanto:
Da Relação Fundamental: 1senhcosh 22
=− xx
Portanto: ( ) 2senh2senh13senh1senh3 2222
±=⇒=⇒−=⇒=− xxxx
Como 0senh0 <⇒< xx . Logo:
x
exx =+ senhcosh x
exx −
=− senhcosh
3cosh =x
2senh −=x

Para obter as demais funções hiperbólicas basta usar as suas definições, ou seja:
3
2
cosh
senh −
==
x
x
tghx . Racionalizando:
2
3
senh
cosh
cot
−
==
x
x
ghx . Racionalizando:
3
1
cosh
1
sec ==
x
hx . Racionalizando:
2
1
senh
1
seccos
−
==
x
hx . Racionalizando:
02) Provar que ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+
SOLUÇÃO:
Usando a definição do seno hiperbólico:
( )
2
..
2
senh
babababa
eeeeee
ba
−−−−+
−
=
−
=+
Aplicando as relações com a exponencial:
( ) ( )( ) ( )( )
2
senhcosh.senhcoshsenhcosh.senhcosh
senh
bbaabbaa
ba
−−−++
=+
Mas: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +++=++
e: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +−−=−−
Portanto: ( )
2
cosh.senh2senh.cosh2
senh
baba
ba
+
=+ ⇒ ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+
3
6
−=tghx
2
6
cot −=ghx
3
3
sec =hx
2
2
seccos −=hx

03) Provar que ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+
SOLUÇÃO:
Usando a definição do cosseno hiperbólico:
( )
2
..
2
cosh
babababa
eeeeee
ba
−−−−+
+
=
+
=+
Aplicando as relações com a exponencial:
( ) ( )( ) ( )( )
2
senhcosh.senhcoshsenhcosh.senhcosh
cosh
bbaabbaa
ba
−−+++
=+
Mas: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +++=++
e: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +−−=−−
Portanto: ( )
2
senh.senh2cosh.cosh2
cosh
baba
ba
+
=+ ⇒ ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+
04) Provar que xxx cosh.senh22senh =
SOLUÇÃO:
Do exercício 02, vimos que ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+ .
Fazendo xba == , teremos:
( ) xxxxxx cosh.senhcosh.senhsenh +=+
xxx cosh.senh22senh =
05) Provar que xxx 22
senhcosh2cosh +=
SOLUÇÃO:
Do exercício 03, vimos que ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+ .
Fazendo xba == , teremos:

( ) xxxxxx senh.senhcosh.coshcosh +=+
xxx 22
senhcosh2cosh +=
06) Sendo 3senhcosh =+ xx , achar x , xsenh e xcosh .
SOLUÇÃO:
Das relações com a exponencial: x
exx =+ senhcosh
Portanto: log
3
3
e
x
xe =⇒=
Observação:
O logaritmo cuja base é o Número Neperiano e é chamado de Logaritmo Natural ou Logaritmo
Neperiano, e é indicado por eln .
Então:
2
3
13
322
senh
1
3ln3ln3ln3ln −
=
−
=
−
=
−
=
−
−−
eeeeee
x
xx
⇒
2
3
13
322
cosh
1
3ln3ln3ln3ln +
=
+
=
+
=
+
=
−
−−
eeeeee
x
xx
⇒
3ln=x
3
4
senh =x
3
5
cosh =x

1.13 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS:
Estudaremos nesta aula as Funções Hiperbólicas Inversas. Como as Funções Hiperbólicas
são definidas por combinações de exponenciais, veremos que cada Função Hiperbólica Inversa
terá a sua definição dada por uma expressão logarítmica.
1.13.1 – FUNÇÃO INVERSA DO SENO HIPERBÓLICO:
A – Notação: xy senharg= ou xy 1
senh−
= , onde arg = argumento.
B – Definição:
Se xy senharg= , então yx senh=
Assim, por definição:
2
yy
ee
x
−
−
= .
Resolvendo esta equação exponencial na variável y :
x
e
exee y
yyy
2
1
2 =−⇒=− −
Multiplicando por y
e , obtemos:
0122
=−− yy
xee , que é uma equação de 2o
grau cuja variável é y
e .
Aplicando a Fórmula de Bhaskara, resulta:
1
2
122
2
442 2
22
+±=⇒
+±
=⇒
+±
= xxe
xx
e
xx
e yyy
Como 0>y
e e ℜ∈∀>+ xxx ,12
, então 12
++= xxey
Isolando a variável y , obtém-se: ( )1ln 2
++= xxy

C – Gráfico:
1.13.2 – FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HIPERBÓLICO:
A – Notação: xy cosharg= ou xy 1
cosh−
=
B – Definição:
Se xy cosharg= , então yx cosh=
Assim, por definição:
2
yy
ee
x
−
+
= .
Resolvendo esta equação exponencial na variável y :
x
e
exee y
yyy
2
1
2 =+⇒=+ −
Multiplicando por y
e , obtemos:
0122
=+− yy
xee , que é uma equação de 2o
grau cuja variável é y
e .
1
2
122
2
442 2
22
−±=⇒
−±
=⇒
−±
= xxe
xx
e
xx
e yyy
Uma vez que 0>y
e e ℜ∈∀<− xxx ,12
, então devemos ter 1≥x .
Nestas condições, a exponencial y
e tanto pode ser definida para 12
−+= xxey
quanto para
12
−−= xxey
.
Porém, como a função cosseno hiperbólico não é bijetora (lembre-se de que ela é par), então
convenciona-se tomar apenas o ramo positivo da função.
y
x
0
xy senharg=
( )
( ) ℜ=
ℜ=
f
fD
Im

Isto equivale a tomarmos:
⇒−+= 12
xxey
C – Gráfico:
1.13.3 – FUNÇÃO INVERSA DA TANGENTE HIPERBÓLICA:
A – Notação: tghxy arg= ou xtghy 1−
=
B – Definição:
Se tghxy arg= , então tghyx =
Assim, por definição: yy
yy
ee
ee
x −
−
+
−
= .
y
y
y
yyyyy
e
e
e
x
xeeexexe
1
−=+⇒−=+ −−
Multiplicando por y
e , obtemos:
( )
x
x
e
x
x
exxeexxe yyyyy
−
+
=⇒
−
+
=⇒+=−⇒−=+
1
1
1
1
111 2222
.
Como 0>y
e , devemos ter 110
1
1
<<−⇒>
−
+
x
x
x
,
( )1ln 2
−+= xxy
y
x
0 1
xy cosharg= ( ) [ )
( ) +ℜ=
∞=
f
fD
Im
,1

Portanto:
C – Gráfico:
1.13.4 – FUNÇÃO INVERSA DA COTANGENTE HIPERBÓLICA:
A – Notação: ghxy cotarg= ou xghy 1
cot −
=
B – Definição:
Se ghxy cotarg= , então ghyx cot=
yy
ee
ee
x −
−
−
+
= .
y
y
y
yyyyy
e
e
e
x
xeeexexe
1
+=−⇒+=− −−
Multiplicando por y
e , obtemos:
( )
1
1
1
1
111 2222
−
+
=⇒
−
+
=⇒+=−⇒+=−
x
x
e
x
x
exxeexxe yyyyy
.
Como 0>y
e , devemos ter 110
1
1
>−<⇒>
−
+
xoux
x
x
.
x
x
y
−
+
=
1
1
ln
y
x
1− 0 1
tghxy arg=
( ) ( )
( ) ℜ=
−=
f
fD
Im
1,1

Portanto:
C – Gráfico:
1.13.5 – FUNÇÃO INVERSA DA SECANTE HIPERBÓLICA:
A – Notação: hxy secarg= ou xhy 1
sec −
=
B – Definição:
Se hxy secarg= , então hyx sec=
ee
x −
+
=
2
.
22 =+⇒=+ −
y
yyy
e
x
xexexe
Multiplicando por y
e , obtemos:
022 22
=+−⇒=+ xeexexxe yyyy
.
1
1
ln
−
+
=
x
x
y
y
x
1− 0 1
ghxy cotarg=
( ) ( ) ( )
( ) *
Im
,11,
ℜ=
∞⊂−∞−=
f
fD

x
x
e
x
x
e
x
x
e yyy
222
11
2
122
2
442 −±
=⇒
−±
=⇒
−±
=
Como a função hxy sec= não é bijetora, toma-se o ramo positivo da função, isto é:
⇒≤<
−+
= 10
11 2
xe
x
x
ey
C – Gráfico:
1.13.6 – FUNÇÃO INVERSA DA COSSECANTE HIPERBÓLICA:
A – Notação: hxy seccosarg= ou xhy 1
seccos −
=
B – Definição:
Se hxy seccosarg= , então hyx seccos=
ee
x −
−
=
2
.
22 =−⇒=− −
y
yyy
e
x
xexexe







 −+
=
x
x
y
2
11
ln
y
x
0 1
hxy secarg=
( ) ( ]
( ) +ℜ=
=
f
fD
Im
1,0

Multiplicando por y
e , obtemos:
022 22
=−−⇒=− xeexexxe yyyy
.
x
x
e
x
x
e
x
x
e yyy
222
11
2
122
2
442 +±
=⇒
+±
=⇒
+±
=
Como 0>y
e e *2
,11 ℜ∈∀>+ xx , então:
• para
x
x
ex y
2
11
0
++
=⇒>
• para
x
x
ex y
2
11
0
+−
=⇒<
Podemos, ainda, escrever:
⇒
+
+=
x
x
x
ey
2
11
C – Gráfico:







 +
+=
x
x
x
y
2
11
ln
y
x
0
hxy seccosarg=
( )
( ) *
*
Im ℜ=
ℜ=
f
fD

1.14 – RELAÇÕES ENTRE FUNÇÕES HIPERBÓLICAS E TRIGONOMÉTRICAS:
Nesta aula conheceremos as relações entre as Funções Hiperbólicas e as Funções
Trigonométricas. Veremos que essas relações só poderão ser definidas com a aplicação da
unidade imaginária.
Para chegarmos até as relações, devemos primeiramente conhecer as chamadas Fórmulas de
Euler.
Essas Fórmulas serão obtidas utilizando-se Séries de Potências, que será objeto de estudos
futuros.
O estudo de Série de Potências mostra que as funções x
e , xsen e xcos podem ser definidas
como polinômios generalizados da seguinte maneira:
( )
...
!1
...
!3!2!1!0
13210
+
−
+++++=
−
n
xxxxx
e
n
x
, onde ...,3,2,1=n
( )
...
!1
...
!3!2
1
132
+
−
+++++=
−
n
xxx
xe
n
x
(A)
( )
( )
( )
...
!12
1...
!6!4!2!0
cos
12
1
6420
+
−
−++−+−=
−
−
n
xxxxx
x
n
n
, onde ...,3,2,1=n
( )
( )
( )
...
!12
1...
!6!4!2
1cos
12
1
642
+
−
−++−+−=
−
−
n
xxxx
x
n
n
(B)
( )
( )
...
!12
1...
!7!5!3!1
sen
12
1
7531
+
−
−++−+−=
−
−
n
xxxxx
x
n
n
, onde ...,3,2,1=n (C)
Fazendo em (A) ix α= , onde ℜ∈α e 1−=i (unidade imaginária), temos:
...
!7!6!5!4!3!2
1
765432
+−−++−−+=
αααααα
αα
iiiie i
Reagrupando os termos, teremos:






+−+−++−+−= ...
!7!5!3
...
!6!4!2
1
753642
ααα
α
αααα
ie i
(D)

Substituindo (B) e (C) em (D), resulta:
(E)
Trocando α por α− em (E), obtemos:
( ) ( )ααα
−+−=−
sencos ie i
mas: ( ) αα coscos =− e ( ) αα sensen −=−
Logo:
(F)
As expressões (E) e (F) acima são chamadas de Fórmulas de Euler.
Fazendo (E) + (F), tem-se:
ααααα αααα
cos2sencossencos =+⇒−++=+ −− iiii
eeiiee
Então:
2
cos
ii
ee αα
α
−
+
=
Comparando com a definição do cosseno hiperbólico, podemos escrever que:
Fazendo (E) - (F), tem-se:
ααααα αααα
sen2sencossencos ieeiiee iiii
=−⇒+−+=− −−
Então:
2
sen
ii
ee
i
αα
α
−
−
=
Comparando com a definição do seno hiperbólico, podemos escrever que:
ααα
sencos ie i
+=
ααα
sencos ie i
−=−
( ) αα coscosh =i
( ) αα sensenh ii =

Da mesma forma, podemos definir as relações entre as demais funções por:
As expressões obtidas acima mostram as relações entre Funções Hiperbólicas de argumento
imaginário puro com Funções Trigonométricas de argumento real.
Vamos obter agora as relações contrárias, isto é, as relações entre Funções Trigonométricas
de argumento imaginário puro e Funções Hiperbólicas de argumento real.
Vimos que:
αα sensenh ii = (1)
αα coscosh =i (2)
Fazendo xi=α em (1), teremos:
( ) ( )x
i
ixixixixiiix −=⇒=−⇒= senh
1
sensensenhsen.senh
mas: ( ) xx senhsenh −=− (função ímpar) e i
i
−=
1
Portanto:
Fazendo xi=α em (2), teremos:
( ) ixxixiix coscoshcos.cosh =−⇒=
mas: ( ) xx coshcosh =− (função par).
Portanto:
Da mesma forma que se fez no caso anterior, obtemos as demais relações, que são:
( ) αα tgiitgh = ( ) αα giigh cotcot −=
( ) αα secsec =ih ( ) αα seccosseccos iih −=
xiix senhsen =
xix coshcos =
itghxixtg = ghxiixg cotcot −= hxix secsec = hxiix seccosseccos −=

CAP. 2 – LIMITES
2.1 – CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE :
Nesta aula, iniciaremos o estudo de Limites.
Para começarmos a entender o conceito de Limite de uma função num ponto, vamos agir de
forma intuitiva.
Para isto, vamos considerar, por exemplo, a função definida por ( )
2
42
−
−
=
x
x
xf , cujo Domínio é
( ) { }2/ ≠ℜ∈= xxfD , isto é, a função é definida para todo valor Real de x , com exceção de 2=x .
Vamos estudar o comportamento da função ( )xf nas proximidades (ou vizinhanças) do ponto
2=x , isto é, vejamos o que acontece com a função quando atribuímos à variável x valores cada
vez mais próximos de 2.
Neste caso, dizemos que vamos fazer x tender a 2.
Temos duas possibilidades:
1a
: x tende a 2 por valores inferiores a 2:
Construindo uma tabela, dando valores para x e efetuando os cálculos, temos:
x 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 …
( )xf 3 3,5 3,75 3,9 3,99 3,999 …
2a
: x tende a 2 por valores superiores a 2:
Construindo uma tabela, dando valores para x e efetuando os cálculos, temos:
x 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 …
( )xf 5 4,5 4,25 4,1 4,01 4,001 …

Analisando os resultados obtidos nas duas tabelas, podemos verificar que:
a) ( ) 01,499,301,299,1 <<⇒<< xfx
( ) 01,0401,0401,0201,02 +<<−⇒+<<− xfx
( ) 01,0401,001,0201,0 <−<−⇒<−<− xfx ou
b) ( ) 001,4999,3001,2999,1 <<⇒<< xfx
( ) 001,04001,04001,02001,02 +<<−⇒+<<− xfx
( ) 001,04001,0001,02001,0 <−<−⇒<−<− xfx ou
Notamos que, quando x tende a 2, ( )xf tende a 4, isto é, quanto mais próximo do valor 2
tomarmos o valor de x , mais próximo de 4 vamos obter o valor de ( )xf .
Observamos também que podemos ter ( )xf tão próximo de 4 quanto quisermos. Para isto,
basta tomar x cada vez mais próximo de 2.
Generalizando, se quisermos que ( )xf esteja próximo do valor 4 de uma distância menor que
0>ε , basta tomar valores de x próximos a 2 de uma distância 0>δ .
Por exemplo,se queremos que ( )xf esteja próximo de 4 de uma distância 001,0<ε , devemos
tomar x próximo a 2 de uma distância 001,0<δ .
ATENÇÃO: Observe que ( )xf não é definida para 2=x . Porém, podemos tomar valores para
x tão próximos de 2 quanto quisermos, obtendo valores para ( )xf tão próximos de 4 quanto
também o quisermos. Mas jamais estamos fazendo 2=x (e nem podemos fazê-lo).
Vamos verificar o que está acontecendo graficamente com esta função nas proximidades (ou
vizinhanças) do ponto 2=x .
( ) 01,0401,02 <−⇒<− xfx
( ) 001,04001,02 <−⇒<− xfx

2.2 – DEFINIÇÃO DE LIMITE NO PONTO:
Dizemos que o limite de uma função ( )xf quando x tende a a ( ℜ∈a ) é igual a L, e
escrevemos ( ) Lxf
ax
=
→
lim se, para um número infinitesimal 0>ε , existir em correspondência um
número infinitesimal 0>δ , sendo ( )εδδ = , tais que:
Observe que “construímos” esta definição no item anterior, quando conceituamos a definição
de Limites de uma forma intuitiva.
Exemplo:
Usando a definição, mostre que ( ) 1747lim3
=−
−
x
x
.
SOLUÇÃO:
Devemos mostrar que, para qualquer número infinitesimal 0>ε existe um número infinitesimal
0>δ , sendo δ função de ε , tais que ( ) ε<−17xf sempre que δ<− 3x .
y
x
0
ε+4
4
ε−4
δ−2 2 δ+2
( ) 2,2
2
42
≠+=
−
−
= xsex
x
x
xf
( ) { }
( ) { }4Im
2
−ℜ=
−ℜ=
f
fD
( ) δε <−≠<− axeaxquesempreLxf

Assim: ε<−− 1747x ε<− 217x
( ) ε<− 3.7 x ε<− 3.7 x
ε<− 3.7 x
7
3
ε
<−x
Portanto, existe
7
ε
δ = que satisfaz a definição de limite no ponto.
Então podemos dizer que ( ) 1747lim3
=−
→
x
x
.
2.3 – PROPRIEDADES DE LIMITES :
Uma vez que conceituamos e definimos o Limite de uma função num ponto, vamos enunciar
as suas propriedades.
É importante observar que essas propriedades se aplicam para limites gerais, isto é, limites
que não tenham indeterminação.
O estudo de limites indeterminados será feito mais adiante.
Sejam, então, as funções ( )xf e ( )xg , e os números reais k, a, L e M.
Vamos, ainda, admitir que ( ) Lxf
ax
=
→
lim e lim
ax→
( ) Mxg = .
P1: Teorema da Unicidade e Existência:
O Limite de uma função, quando existe, é único.
Podemos ilustrar esta propriedade graficamente.
y
x
0 a
L
( )xfy =
y
x
0 a
1L
2L
( )xfy =
( ) Lxf
ax
=
→
lim
( ) existenãoxf
ax
lim→

Observa-se que o Limite no ponto 2=x da função mostrada no gráfico da direita não existe,
pois o comportamento da função é diferente para valores menores e maiores que 2.
Estes Limites serão tratados nas próximas aulas.
P2:
Exemplos:
01) ( ) 3562722 limlimlim 3
3
3
3
3
=+=+=+
→→→
xxxx
xxx
02) ( ) 60401008484 limlimlim 5
2
5
2
5
=−=−=−
→→→
xxxx
xxx
P3:
Exemplo:
322.16.. limlimlim 4
2
4
2
4
===
→→→
xxxx
xxx
P4:
Exemplos:
01) 55lim1
=
→x
02) 100100lim50
=
−→x
( ) ( )[ ] ( ) ( ) MLxgxfxgxf
axaxax
±=±=±
→→→
limlimlim
( ) ( )[ ] ( ) ( ) MLxgxfxgxf
axaxax
... limlimlim ==
→→→
kk
ax
=
→
lim

P5:
Exemplo:
( ) 7
4
33 2
2
2
2
2
2
2 lim
lim
lim =
+
=
+
→
→
→ x
x
x
x
x
x
x
P6:
Exemplo:
( ) ( ) 125511 3
3
2
2
32
2
limlim ==





+=+
→→
xx
xx
P7:
Exemplo:
883
2
3
2
limlim =−==
−→−→
xx
xx
P8: Teorema do Confronto:
Sejam f , g e h funções tais que os seus Domínios sejam subconjuntos de ℜ e seja ax =
um ponto pertencente a esses subconjuntos.
Se ( ) Lxf
ax
=
→
lim , ( ) Lxg
ax
=
→
lim e se ( ) ( ) ( )xgxhxf ≤≤ nas vizinhanças do ponto ax = , então
podemos afirmar que ( ) Lxh
ax
=
→
lim .
( )
( )
( )
( )
0,
lim
lim
lim ≠==
→
→
→
Mpara
M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
( )[ ] ( ) n
n
ax
n
ax
Lxfxf =





=
→→
limlim
( ) ( ) Lxfxf
axax
==
→→
limlim

A demonstração deste Teorema pode ser feita usando-se a definição de Limites. Entretanto,
podemos visualizá-lo graficamente.
y
x
0 a
L
f
h
g

2.4 – CONTINUIDADE NUM PONTO :
O conceito de Continuidade, aplicado a funções reais a variáveis reais, é de extrema
importância para o Cálculo.
Devemos estar atentos para os pontos de descontinuidade de uma função, principalmente
quanto ao comportamento da função nas vizinhanças desses pontos.
Por exemplo, serão nesses pontos de descontinuidade que o gráfico da função pode possuir
Assíntotas, que serão estudadas mais adiante.
Definimos a Continuidade de uma função da seguinte maneira:
⇒ Dizemos que uma função f definida pela equação ( )xfy = é contínua num ponto ax = do
seu Domínio se forem verificadas, simultaneamente, as três condições abaixo:
Se pelo menos uma das condições acima não for satisfeita, dizemos que a função é
descontínua no ponto ax = .
EXEMPLOS:
01) Estudar a continuidade da função ( ) 22
−= xxf no ponto 2=x .
SOLUÇÃO:
⇒ ( ) ( ) 22222 2
=⇒−= ff (existe)
⇒ ( ) ( ) 22222 2
2
2
2
2
22
limlimlimlim =−=−=−=
→→→→ xxxx
xxxf (existe)
(1) existe ( )af , isto é, a função possui valor numérico em ax = ;
(2) existe e é finito o ( )xf
ax
lim→
;
(3) ( ) ( )afxf
ax
=
→
lim

⇒ como ( ) ( )222
2
lim fx
x
=−
→
, então a função é contínua no ponto 2=x .
Podemos confirmar esta continuidade, pelo esboço do gráfico da função.
02) Verificar se a função definida por ( )





=
≠
−
+−
=
2,3
2,
2
442
xse
xse
x
xx
xf é contínua no ponto 2=x .
SOLUÇÃO:
Para 2≠x , podemos fazer
( ) 2
1
2
2
44
22
−=
−
−
=
−
+−
x
x
x
x
xx
⇒ ( ) 32 =f (existe)
⇒ ( ) ( ) 0222limlim 22
=−=−=
→→
xxf
xx
(existe)
⇒ Como ( ) ( )2lim2
fxf
x
≠
→
, entendemos que a função é descontínua no ponto 2=x .
Graficamente:
y
x
2−
0 2
2
( ) 22
−= xxf
( )
( ) [ )∞−=
ℜ=
,2Im f
fD
y
x
0 2
2−
3
( )xf ( )
( ) *
Im ℜ=
ℜ=
f
fD

03) Verificar a descontinuidade da função ( )



>
≤−
=
3,2
3,2
xse
xsex
xf no ponto 3=x .
SOLUÇÃO:
⇒ ( ) 1233 =−=f (existe)
⇒ Para ( ) ( ) 12323 limlim 33
=−=−=⇒<
→→
xxfx
xx
⇒ Para ( ) 223 limlim 33
==⇒>
→→ xx
xfx
Podemos perceber que o comportamento da função para valores de x próximos de 3, mas
menores que 3, é diferente do seu comportamento para valores próximos de 3, mas maiores que
3, isto é, o Limite da função à esquerda de 3 é diferente do Limite à direita.
Então, de acordo com o Teorema da Unicidade, podemos afirmar que a função dada não
possui limite no ponto 3=x .
Portanto, a função é descontínua nesse ponto.
Graficamente:
Os conceitos aqui estudados sobre continuidade e descontinuidade serão muito explorados
nas próximas aulas.
y
x
0
2−
2 3
1
2
( )xf

2.5 – LIMITES LATERAIS:
Para que possamos conceituar Limites Laterais, vamos considerar o seguinte exemplo:
Estudar a continuidade da função ( )



≥+−
<+
=
2,62
2,2
xsex
xsex
xf no ponto 2=x .
SOLUÇÃO:
Aplicando as condições de Continuidade num ponto, temos:
a) ( ) ( ) 226222 =⇒+−= fxf (existe);
b) ( ) ????lim2
=
→
xf
x
⇒ Para ( ) ( ) ( ) 422 limlim 22
=+=⇒+=
→→
xxfxxf
xx
⇒ Para ( ) ( ) ( ) 26262 limlim 22
=+−=⇒+−=
→→
xxfxxf
xx
De acordo com o Teorema da Unicidade, o limite de uma função num ponto, quando existe,
deve ser único.
Então, no nosso exemplo, entendemos que não existe o ( )xf
x
lim2→
.
Portanto, a função é descontínua em 2=x .
Graficamente:
A descontinuidade apresentada neste exemplo nos permite enxergar o conceito de Limites
Laterais.
y
x
4
2
2−
0 2
3
( ) 2+= xxf
( ) 62 +−= xxf
( )
( ) ( )4,Im ∞−=
ℜ=
f
fD

Pode-se observar que, quando x tende a 2 por valores inferiores a 2, ( )xf tende a 4.
Neste caso, dizemos que o Limite Lateral à Esquerda de 2=x é igual a 4, e representamos
por: ( ) 4lim2
=
−
→
xf
x
.
Da mesma forma, quando x tende a 2 por valores superiores a 2, ( )xf tende a 2.
Neste caso, dizemos que o Limite Lateral à Direita de 2=x é igual a 2, e representamos
por : ( ) 2lim2
=
+
→
xf
x
.
Concluímos ainda que, para que uma função ( )xf tenha limite num ponto ax = , é necessário
que ela tenha Limites Laterais neste ponto e que eles sejam iguais.
Se ( ) ( )xfxf
axax
limlim +−
→→
≠ , então não existe ( )xf
x
lim→
.
OBSERVAÇÃO:
Para se estudar os Limites Laterais de uma função ( )xf num ponto ax = , podemos
considerar dois pontos, um à esquerda e outro à direita de ax = , situados a uma distância 0>h
deste ponto.
Pode-se estudar os Limites Laterais da função no ponto ax = , fazendo-se:
EXEMPLOS:
01) Calcular os Limites Laterais da função ( )
3
92
−
−
=
x
x
xf no ponto 3=x e verificar se o limite
da função existe neste ponto.
SOLUÇÃO:
a) Limite Lateral à Esquerda:
ha − a ha +
x
( ) ( )
( ) ( )hafxf
hafxf
hax
hax
+=
−=
→→
→→
+
−
limlim
limlim
0
0

( ) ( ) ( ) 66
6969
33
93
3
9
limlimlimlimlim 00
2
0
2
0
2
3
=−=
−
−−
=
−
−+−
=
−−
−−
=
−
−
→→→→→ −
h
h
hh
h
hh
h
h
x
x
hhhhx
b) Limite Lateral à Direita:
( ) ( ) ( ) 66
6969
33
93
3
9
limlimlimlimlim 00
2
0
2
0
2
3
=+=
+
=
−++
=
−+
−+
=
−
−
→→→→→ +
h
h
hh
h
hh
h
h
x
x
hhhhx
Como os Limites Laterais existem e são iguais, podemos afirmar que 6
3
92
3
lim =
−
−
→ x
x
x
.
Graficamente:
02) Repetir o exercício anterior para a função ( )
x
x
xf
−
−
=
2
2
no ponto 2=x .
SOLUÇÃO:
a) Limite Lateral à Esquerda:
( )
( )
1
22
22
22
22
2
2
limlimlimlimlim 00002
===
+−
+−
=
−−
−−
=
−
−
→→→→→ − h
h
h
h
h
h
h
h
x
x
hhhhx
b) Limite Lateral à Direita:
( )
( )
1
22
22
22
22
2
2
limlimlimlimlim 00002
−=
−
=
−
−
=
−−
−−
=
+−
+−
=
−
−
→→→→→ + h
h
h
h
h
h
h
h
x
x
hhhhx
Como
x
x
x
x
xx −
−
≠
−
−
+−
→→ 2
2
2
2
limlim 22
, então não existe o
x
x
x −
−
→ 2
2
lim2
.
y
x
6
3
3−
0 3
( )
3
92
−
−
=
x
x
xf
( ) { }
( ) { }6Im
3
−ℜ=
−ℜ=
f
fD

Graficamente:
x
y
1
1−
0
( )
x
x
xf
−
−
=
2
2

2.6 – LIMITES ENVOLVENDO INFINITO:
Vamos procurar entender o conceito de Limites Envolvendo Infinito de uma forma intuitiva,
como fizemos com o Limite de uma função num ponto.
Por exemplo, vamos estudar o comportamento da função ( ) 2
1
x
xf = nas proximidades (ou
vizinhanças) do ponto 0=x , isto é, vamos atribuir valores para x cada vez mais próximos de zero
e verificar o que acontece com a função.
Temos duas possibilidades:
1a
- x tende a zero pela direita:
x 1 0,5 0,25 0,1 0,01 0,01 •••
f(x) 1 4 16 100 10.000 1.000.000 •••
2a
- x tende a zero pela esquerda:
x -1 - 0,5 - 0,25 - 0,1 - 0,01 - 0,001 •••
f(x) 1 4 16 100 10.000 1.000.000 •••
Os resultados obtidos nas tabelas acima indicam que, à medida em que a variável x tende a
zero, a função assume valores cada vez maiores.
Como podemos tomar a variável x tão próxima de zero quanto quisermos, a função tende a
crescer indefinidamente.
Neste caso, expressamos este comportamento da função dizendo que o limite de ( ) 2
1
x
xf = ,
quando x tende a zero, é infinito , e escrevemos:
( ) ∞==
→→
2
00
1
limlim x
xf
xx

Graficamente:
Vamos tomar agora a função definida por ( )
2
2
−
=
x
xf , cujo gráfico é apresentado na figura
abaixo:
Observando atentamente o gráfico acima, podemos verificar que:
• quando x tende a 2 pela direita, ( )xf aumenta indefinidamente;
• quando x tende a 2 pela esquerda, ( )xf diminui indefinidamente.
Expressamos estes fatos escrevendo:
∞=
−+
→ 2
2
lim2 xx
e −∞=
−−
→ 2
2
lim2 xx
x
y
0
( ) 2
1
x
xf =
x
y
0
1−
2
( )
2
2
−
=
x
xf

Em geral, podemos dizer que existem quatro possibilidades para limites laterais num ponto
( )ℜ∈= aax que envolvem o infinito.
Para nossa melhor compreensão, vamos visualiza-las graficamente:
1a
)
2a
)
3a
)
x
y
0 a
( )xf
( ) ∞=
+
→
xf
ax
lim
y
x
0 a
( )xf
( ) ∞=
−
→
xf
ax
lim
y
x
0 a
( )xf
( ) −∞=
+
→
xf
ax
lim

4a
)
2.7 – LIMITES NO INFINITO:
Tal como foi feito no item anterior, vamos conceituar Limites no Infinito a partir de um exemplo,
isto é, vamos atingir este conceito de uma forma intuitiva.
Para isto, vamos tomar a função definida por ( )
x
xf
1
= e estudar o seu comportamento quando
a variável x cresce ou decresce indefinidamente.
1o
Caso: x cresce indefinidamente:
x 1 5 10 100 1.000 10.000 •••
f(x) 1 0,2 0,1 0,01 0,001 0,0001 •••
2o
Caso: x decresce indefinidamente:
x - 1 - 5 - 10 - 100 - 1.000 - 10.000 •••
f(x) - 1 - 0,2 - 0,1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 •••
Em ambos os casos, observamos que ( )xf tende a zero.
Então escrevemos:
e
y
x
0 a
( )xf
( ) −∞=
−
→
xf
ax
lim
( ) 0
1
limlim ==
∞→∞→ x
xf
xx
( ) 0
1
limlim ==
−∞→−∞→ x
xf
xx

Graficamente:
Vamos tomar, agora, como exemplo, a função definida por ( ) x
xf
1
2= cujo Domínio é
( ) ∗
ℜ=fD e estudar o seu comportamento nas vizinhanças do ponto 0=x (usando Limites
Laterais) e no infinito.
a) Limite Lateral à Direita de zero:
Se ∞→→∞→⇒→ ∞+
22
1
0
1
x
e
x
x , portanto ∞=
+
→
x
x
1
0
2lim
b) Limite Lateral à Esquerda de zero:
Se 0
1
2
1
22
1
0
1
→
∞
→→→−∞→⇒→ ∞
∞−− x
e
x
x , portanto 02
1
0
lim =
−
→
x
x
c) Limite no Infinito:
Se 1220
1 0
1
→→→⇒∞→ x
e
x
x
Se 1220
1 0
1
→→→⇒−∞→ x
e
x
x
y
x
0
( )
x
xf
1
=

Portanto: 12
1
lim =
∞→
x
x
e 12
1
lim =
−∞→
x
x
Graficamente: y
1
0
x
( ) x
xf
1
2=

2.8 – ASSÍNTOTAS:
2.8.1 – Definição:
Dizemos que uma reta r é Assíntota da curva de uma função ( )xf se a distância de um ponto
variável ( )yxP , da curva até essa reta tende a zero, à medida em que o ponto tende ao infinito.
A Assíntota pode ser uma reta vertical, horizontal ou oblíqua.
Podemos observar que, quando a curva da função possui uma Assíntota, a curva tende a
essa reta.
A determinação das Assíntotas de uma curva (quando existem), é feita com a aplicação de
limites.
Vejamos como isto é feito.
2.8.2 – Assíntota Vertical:
Dizemos que a reta ax = é Assíntota Vertical da função ( )xf se pelo menos uma das
condições abaixo for verificada:
1a
)
y
x
( )xf
0
r
( )yxP ,
( ) ∞=
+
→
xf
ax
lim

2a
)
3a
)
4a
)
OBSERVAÇÃO:
O ponto ax = deve ser um ponto de descontinuidade da função.
EXEMPLO:
Seja a função definida por ( ) tgxxf = para
22
ππ
<<− x
Temos: ∞=
−
→
tgx
x
lim
2
π
e −∞=
+
−→
tgx
x
lim
2
π
Portanto, as retas
2
π
−=x e
2
π
=x são Assíntotas Verticais da função ( ) tgxxf = .
( ) ∞=
−
→
xf
ax
lim
( ) −∞=
+
→
xf
ax
lim
( ) −∞=
−
→
xf
ax
lim
y
x
0
2
π
−
2
π
( ) tgxxf =

2.8.3 – Assíntota Horizontal:
Dizemos que a reta by = , com ℜ∈b , é uma Assíntota Horizontal da função ( )xf se pelo
menos uma das condições abaixo for satisfeita:
1a
)
2a
)
EXEMPLO:
Seja a função definida por ( ) arctgxxf = .
Temos:
2lim
π
=
∞→
arctgx
x
e
2lim
π
−=
−∞→
arctgx
x
.
Portanto, as retas
2
π
−=y e
2
π
=y são Assíntotas Horizontais da função ( ) arctgxxf = .
2.8.4 – Assíntota Oblíqua:
Caso uma função ( )xf tenha uma Assíntota Oblíqua, essa Assíntota será uma reta cuja
equação tem a forma reduzida baxy += , com ∗
ℜ∈a e ℜ∈b , onde:
( ) bxf
x
=
∞→
lim
( ) bxf
x
=
−∞→
lim
y
x
0
2
π
2
π
−
( ) arctgxxf =

OBSERVAÇÃO:
Caso
( )
x
xf
x
lim∞→
seja nulo ou infinito, então não existem Assíntotas Oblíquas.
EXEMPLO:
Determinar a equação da Assíntota Oblíqua da curva da função definida por ( )
x
xx
xf
122
−+
= .
( ) 1
12
1
12
22
2
limlimlim =





−+=
−+
==
∞→∞→∞→ xxx
xx
x
xf
a
xxx
( )[ ] 2
1
2
1212
limlimlimlim
222
=





−=
−−+
=





−
−+
=−=
∞→∞→∞→∞→ xx
xxx
x
x
xx
axxfb
xxxx
Portanto, a reta 2+= xy é uma Assíntota Oblíqua do gráfico da função dada.
Graficamente:
( )
x
xf
a
x
lim∞→
=
( )[ ]axxfb
x
−=
∞→
lim
y
x
02−
2
21−−
21+−
2+= xy
( )
x
xx
xf
122
−+
=

OBSERVAÇÃO:
Pode-se comprovar também que a reta 0=x (eixo y ) é uma Assíntota Vertical do gráfico
desta função, isto é, ∞=
−+
−
→ x
xx
x
122
0
lim e −∞=
−+
+
→ x
xx
x
122
0
lim (VERIFIQUE).
APLICAÇÃO IMPORTANTE DE ASSÍNTOTAS:
O exemplo resolvido a seguir ilustra uma particularidade de certas funções que possuem
Assíntotas.
Consideremos, então, o problema de se determinar todas as Assíntotas do gráfico da função
definida por ( )
4
2
2
2
−
++
=
x
xx
xf , cujo Domínio é ( ) { }2,2−−ℜ=fD , isto é, esta função é descontínua
nos pontos 2−=x e 2=x .
a) Assíntotas Verticais:
Temos: ∞=
−
++
−
−→ 4
2
2
2
2
lim x
xx
x
; −∞=
−
++
+
−→ 4
2
2
2
2
lim x
xx
x
−∞=
−
++
−
→ 4
2
2
2
2
lim x
xx
x
; ∞=
−
++
+
→ 4
2
2
2
2
lim x
xx
x
Portanto, as retas 2−=x e 2=x são Assíntotas Verticais desta função.
b) Assíntota Horizontal:
Temos 1
4
2
2
2
lim =
−
++
∞→ x
xx
x
e 1
4
2
2
2
lim =
−
++
−∞→ x
xx
x
Portanto, 1=y é Assíntota Horizontal desta função.
c) Assíntota Oblíqua:
A função dada não possui Assíntota Oblíqua, pois
( ) 0lim ==
∞→ x
xf
a
x
.
De acordo com os resultados obtidos acima, o gráfico desta função,aparentemente, é:

Entretanto, existe algo errado com o esboço deste gráfico.
O gráfico desenhado acima mostra que as curvas têm simetria com relação ao eixo y .
Esta é uma característica das funções pares e a função estudada não é par.
Portanto, o gráfico acima está errado. O gráfico correto é mostrado abaixo.
y
x
0
1
2− 221−
y
x
0
1
2− 221−6−
( )
4
2
2
2
−
++
=
x
xx
xf

O que ocorreu com esta função é um caso particular em que a curva intercepta a Assíntota.
Isto pode ocorrer também com relação à Assíntota Oblíqua. Isto é, se a curva possui uma
Assíntota Oblíqua, ela pode interceptar essa Assíntota.
Para verificar se o gráfico de uma determinada função intercepta as Assíntotas Horizontal ou
Oblíqua (quando existirem), basta igualar a equação da curva com a equação da Assíntota.
Se a equação resultante possuir solução Real, é porque existe essa interseção e ela ocorre
exatamente sobre a(s) raiz(es).
No exemplo anterior isto ocorreu no ponto 6−=x pois, para 1=y , temos:
642421
4
2 22
2
2
−=⇒−=+⇒−=++⇒=
−
++
xxxxx
x
xx

2.9 – SÍMBOLOS DE INDETERMINAÇÃO:
Na resolução de Limites, são freqüentes os casos em que aparecem operações que não têm
significado algébrico, isto é, operações que não podem ser realizadas algebricamente.
Essas operações recebem o nome de Símbolos de Indeterminação.
São elas:
EXEMPLOS:
1)
0
0
3
92
3
lim =
−
−
→ x
x
x
(indeterminado)
2) ∞=
→
.0
1
.sen 2
0
lim x
x
x
(indeterminado)
3)
∞
∞
=
+∞→ 1
5
3
2
lim x
x
x
(indeterminado)
4) ( ) ∞−∞=−
∞→
32
2lim xx
x
(indeterminado)
5) 0log
1
0
0lim =
+
→
x
x
x (indeterminado)
6) 0log
1
lim ∞=
∞→
x
x
x (indeterminado)
7) ∞
→
= 1log
1
1
lim
x
x
x (indeterminado)
Para se resolver um Limite que tenha uma destas indeterminações, é necessário eliminar a
indeterminação.
Isto pode ser feito, dependendo do Limite, com o uso da Fatoração, da aplicação de
Conjugados ou aplicando-se Limites Fundamentais.
∞
∞−∞∞∞
∞
∞
1;;.0;0;;
0
0 00
e

EXEMPLOS:
1)
0
0
1
133
lim1
=
−
+−+
→ x
xx
x
(indeterminado)
Multiplicando e dividindo por ( )133 +++ xx , que é o conjugado do numerador, temos:
( )( )1331
133
133
133
.
1
133
1
133
limlimlim 111 +++−
−−+
=
+++
+++
−
+−+
=
−
+−+
→→→ xxx
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
xxx
( )
( )( ) ( ) 2
1
133
2
1331
12
1
133
limlimlim 111
−=
+++
−
=
+++−
−−
=
−
+−+
→→→ xxxxx
x
x
xx
xxx
2) ( ) ∞−∞=+−−
∞→
11lim xx
x
(indeterminado)
Multiplicando e dividindo pelo conjugado ( )11 ++− xx , obtemos:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
11
2
11
11
11
11
.11 limlimlim =
++−
−
=
++−
−−−
=
++−
++−
+−−
∞→∞→∞→ xxxx
xx
xx
xx
xx
xxx
3)
( )
0
01
33
2
lim =
−
++−
→ ax
axax
ax
( )0≠a (indeterminado)
Fatorando o numerador e o denominador, encontramos:
( ) ( )( )
( )( ) 2222233
2
3
1111
limlimlim a
a
aaxx
x
aaxxax
xax
ax
axax
axaxax
−
=
++
−
=
++−
−−
=
−
++−
→→→
2.10 – LIMITE FUNDAMENTAL TRIGONOMÉTRICO:
O limite da razão
x
xsen
, quando x tende a zero, é igual à unidade, isto é:
1
sen
lim0
=
→ x
x
x

DEMONSTRAÇÃO:
Temos dois casos a considerar:
1o
Caso: x pertence ao 1o
Quadrante 





<<
2
0
π
x .
Vamos considerar a circunferência trigonométrica, cuja equação é 122
=+ yx .
.
Da figura , observamos que:
tgxxxBDBCAC <<⇒<< sen
Tomando os inversos:
x
x
xxtgxxx sen
cos1
sen
111
sen
1
>>⇒<<
Multiplicando por xsen ( 0sen >x no 1o
Quadrante):
x
x
x
cos
sen
1 >> ou 1
sen
cos <<
x
x
x (A)
y
x
O A B
C
D
122
=+ yx
tgxBD
xBC
xAC
=
=
= sen

2o
Caso: x pertence ao 4o
Quadrante 





<<− 0
2
x
π
.
.
Da figura, podemos notar que:
xxtgxACBCBD sen<<⇒<<
Tomando os inversos:
xxx
x
xxtgx sen
11
sen
cos
sen
111
>>⇒>>
Multiplicando por xsen ( 0sen <x no 4o
Quadrante):
1
sen
cos <<
x
x
x (B)
Percebemos que, tanto no primeiro quanto no segundo caso, as desigualdades são as
mesmas, isto é A = B.
Tomando, agora, o limite para x tendendo a zero, teremos:
1coslim0
=
→
x
x
e 11lim0
=
→x
Portanto, pelo Teorema do Confronto, podemos afirmar que 1
sen
lim0
=
→ x
x
x
.
EXEMPLOS:
1)
0
0
senlim0
=
→ x
x
x
(indeterminado)
y
x
O A B
C
D
122
=+ yx
tgxBD
xBC
xAC
=
=
= sen

Podemos escrever:
1
1
1
sen
1
sen
1
sen
lim
limlim
0
00
====
→
→→
x
x
x
xx
x
x
xx
2)
0
0arcsen
lim0
=
→ x
x
x
(indeterminado)
Chamando: txxt senarcsen =⇒=
Se 00 →⇒→ tx
Então:
1
sen
arcsen
limlim 00
==
→→ t
t
x
x
tx
Observação:
Os limites resolvidos acima também podem ser considerados como fundamentais.
3)
0
0
2
cos
lim2
=
−→ x
x
x
π
(indeterminado)
Se
2
2
ππ
→⇒→
x
z
Da Trigonometria, sabemos que 





−= xx
2
sencos
π
.
Portanto, podemos escrever:
2
2
2
sen
2
1
2
1
sen
2
2
sen
2
cos
limlimlimlim 2222 −





 −
=
−






−
=
−






−
=
− →→→→ x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
ππ
πππ
Multiplicando o numerador e o denominador por
x2
π
, teremos:

( ) 




 −





 −
=
−





 −
=
− →→→→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
2
2
.
2
2
.sen
.
2
2.
2
2
2
sen.
2
2
cos
limlimlimlim 2222
π
π
π
π
π
ππ
Fazendo t
x
x
=




 −
2
2
.π , podemos observar que, se 2→x , então 0→t .
Assim, podemos escrever:
4
1.
4
sen
.
22
cos
limlimlim 022
πππ
π
===
− →→→ t
t
xx
x
txx
4)
0
0
2
3
lim0
=





→ x
tg
x
x
(indeterminado)












=












=












=






→
→
→→→
2
sen
2
cos.3
2
sen
2
cos.3
3
cos
2
sen
3
2
3
lim
lim
limlimlim
0
0
000 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
x
xxx
Dividindo o numerador e o denominador por x3 , temos:
6
1.
6
1
1
2
2
sen
..
6
1
2
cos
6
3
2
sen.
6
1
2
cos
3
2
sen
2
cos
2
3
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
0
0
0
0
0
0
0
==












=












=












=






→
→
→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
x
x
x
x
x
x

2.11 – LIMITE FUNDAMENTAL EXPONENCIAL:
O limite da seqüência
x
x






+
1
1 , quando ∞→x , é igual ao número irracional e, chamado de
Número Neperiano e aproximadamente igual a 2,718.
DEMONSTRAÇÃO:
Queremos provar que e
x
x
x
=





+
∞→
1
1lim .
Para isto, vamos inicialmente desenvolver a expressão ( )n
ba + aplicando o conceito de
Binômio de Newton.
( ) 011133322211100
... ababababababba nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CCCCCC +++++=+ −−−−−
Temos:
( ) !0
1
!!0
!
!0!0
!0
==
−
=
n
n
n
n
Cn
( )
( )
( ) !1!1!1
!1
!1!1
!1 n
n
nn
n
n
Cn
=
−
−
=
−
=
( )
( )( )
( )
( )
!2!2
1
!2!2
!21
!2!2
! 2
2 nnnn
n
nnn
n
n
Cn
−
=
−
=
−
−−
=
−
=
( )
( )( )( )
( )
( )( )
!3
23
!3
21
!3!3
!321
!3!3
! 23
3 nnnnnn
n
nnnn
n
n
Cn
+−
=
−−
=
−
−−−
=
−
=
•
•
•
Fazendo 1=a ,
x
b
1
= e xn = , teremos:
•••+




+−
+




−
+





+





=





+ −−− 3
323
2
22
1
10
1.
1
.
!3
23
1.
1
.
!2
1.
1
.
!1
1.
1
.
!0
11
1 xxxx
x
x
xxx
x
xx
x
x
xx
•••+





+−+





−++=





+ 2
23
1
!3
11
1
!2
1
!1
1
!0
11
1
xxxx
x

Tomando o limite para ∞→x , resulta:
•••++++++=





+
∞→ !5
1
!4
1
!3
1
!2
1
!1
1
!0
11
1lim
x
x x
Pode-se observar que o resultado do limite é uma soma de infinitos termos, que decrescem
cada vez mais rapidamente.
Esta soma particular recebe o nome de Número Neperiano e é indicada pela letra e.
Assim:
APLICAÇÕES:
1) Prove que ( ) ex x
x
=+
→
1
0
1lim
Fazendo
x
t
t
x
11
=⇒=
Se ∞→⇒→ tx 0
Então: ( ) e
t
x
t
t
x
x
=





+=+
∞→→
1
11 limlim
1
0
2) Prove que ( )ℜ∈=





+
∞→
ke
x
k k
x
x
1lim
Fazendo
t
k
xt
x
k
=⇒=
Se 0→⇒∞→ tx
Então: ( ) ( ) k
k
t
t
t
k
t
x
x
ett
x
k
=





+=+=





+
→→∞→
1
00
111 limlimlim
3) Prove que ( )ℜ∈=





+
+
∞→
ke
x
kx
x
1
1lim
e
x
x
x
=





+
∞→
1
1lim

eee
xxx
k
k
x
x
x
kx
x
===





+





+=





+
∞→∞→
+
∞→
1.1.
1
1.
1
1
1
1 limlimlim
OBSERVAÇÃO:
Os limites resolvidos acima podem ser considerados também como fundamentais.
4) Calcular ( )10
1
lim0
≠>
−
→
aea
x
ax
x
Podemos verificar que o limite acima possui indeterminação da forma
0
0
.
Vamos, então, fazer a substituição: tata xx
+=⇒=− 11
Tomando logaritmos na base a em ambos os termos dessa igualdade, teremos:
( ) ( )
logloglog
11 t
a
t
a
a
a
x
x
++
=⇒=
Se 00 →⇒→ tx
Tomando os limites:
( )
log
limlim 1
00
1
t
a
t
x
x
t
x
a
+
→→
=
−
Dividindo o numerador e o denominador por t, resulta:
( ) ( ) ( )
logloglimloglim
lim
log
limlim
11
.
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
00
e
a
t
a
t
t
a
t
t
t
a
t
x
x t
t
t
t
t
x
a
====
−
+
→
+
→
→
+
→→
Mas: log
log
log
log
1 a
ee
a
a
a
e
a
== (Propriedade de Mudança de Bases)
O logaritmo de base e é chamado de Logaritmo Natural ou Logaritmo Neperiano e é indicado
pela notação: a
a
e
lnlog = .
Portanto:
a
x
ax
x
ln
1
lim0
=
−
→

OBSERVAÇÃO:
O limite acima deve ser considerado como fundamental a partir dessa demonstração.
5) Calcule
x
x x
x






+
−
∞→ 1
1
lim
Podemos observar que este limite possui a indeterminação da forma
∞
∞
.
Como ele é um limite que envolve Função Exponencial, vamos tentar escreve-lo na forma do
Limite Exponencial Fundamental.
Podemos fazer:
x
x
x
x
x
x
x
x xxx
x
x
x
x
x






+
−=





+
−
+
+
=





+
−+−
=





+
−
∞→∞→∞→∞→ 1
2
1
1
2
1
1
1
111
1
1
limlimlimlim
Tomando: 1
2
1
2
−−=⇒=
+
−
t
xt
x
Se 0→⇒∞→ tx
Com estas substituições, teremos:
( ) ( ) ( ) 221
0
2
1
0
1
2
0
1.1.11
1
1
limlimlimlim
−−−
→
−
→
−−
→∞→
==+





+=+=





+
−
eettt
x
x
t
t
t
t
t
x
x
2.12 – LIMITE FUNDAMENTAL POLINOMIAL:
Vamos considerar a função polinomial:
( ) m
mmm
AxAxAxAxP ++++= −−
...2
2
1
10
onde ℜ∈mAAAA ,...,,, 210 e Ν∈m .
Podemos considerar dois casos:
1o
Caso: A variável ( )ℜ∈→ aax
Neste caso:

( ) )...( 2
2
1
10limlim m
mmm
axax
→→
( ) ( )aPAaAaAaAxP m
mmm
ax
=++++= −−
→
...2
2
1
10lim
Assim:
Isto é, o limite de um polinômio inteiro e racional na variável x , quando ( )ℜ∈→ aax , é igual
ao valor numérico desse polinômio para ax = .
EXEMPLO:
( ) 1028422.4224 22
2
lim =−+=−+=−+
→
xx
x
2o
Caso: A variável ±∞→x
Neste caso:
( ) )...( 2
2
1
10limlim m
mmm
xx
±∞→±∞→
A probabilidade desse limite possuir uma indeterminação da forma ∞−∞ é muito grande.
Vamos, então, usar o artifício de colocar em evidência o termo de maior grau do polinômio.
( ) 







++++=
±∞→±∞→
m
mm
xx xA
A
xA
A
xA
A
xAxP
0
2
0
2
0
1
0 ...1limlim
Porém, quando ±∞→x , podemos verificar que:
0;...;0;0
0
2
0
2
0
1
→→→ m
m
xA
A
xA
A
xA
A
Portanto, podemos concluir que:
Isto é, o limite de um polinômio inteiro e racional na variável x , quando ±∞→x , é igual ao
limite quando ±∞→x do seu termo de maior grau.
( ) ( )aPxP
ax
=
→
lim
( ) m
xx
xAxP 0limlim ±∞→±∞→
=

EXEMPLOS:
1) ( ) ∞==−+−
∞→∞→
323
2432 limlim xxxx
xx
2) ( ) ( ) −∞=−=−−
∞→∞→
442
3324 limlim xxx
xx
3) ( ) −∞==+−
−∞→−∞→
545
2532 limlim xxxx
xx
4) ( ) ( ) ∞=−=−−
−∞→−∞→
55
3324 limlim xxx
xx
2.13 – LIMITE FUNDAMENTAL RACIONAL:
Vamos considerar a função racional:
( )
( ) n
nnn
m
mmm
BxBxBxB
AxAxAxA
xQ
xP
...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
+++
++++
= −−
−−
onde: Ν∈Ν∈ℜ∈ℜ∈ nemBBBBAAAA nm ;,...,,,;,...,,, 210210
Podemos considerar dois casos:
1o
Caso: A variável ( )ℜ∈→ aax
( )
( ) n
nnn
m
mmm
axax BxBxBxB
AxAxAxA
xQ
xP
...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
limlim +++
++++
= −−
−−
→→
Neste caso:
( )
( )
( )
( )aQ
aP
BaBaBaB
AaAaAaA
xQ
xP
n
nnn
m
mmm
ax
=
+++
++++
= −−
−−
→ ...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
lim
Ou seja:
( )
( )
( )
( )aQ
aP
xQ
xP
ax
=
→
lim

Podemos fazer três observações a respeito deste resultado:
1a
) Se ( ) 0=aP e ( ) 0≠aQ , então
( )
( )
0lim =
→ xQ
xP
ax
;
2a
) Se ( ) 0=aP e ( ) 0=aQ , então
( )
( ) 0
0
lim =
→ xQ
xP
ax
(indeterminado)
Neste caso, o limite é resolvido com o uso da fatoração, pois tanto ( )xP quanto ( )xQ são
divisíveis por ( )ax − .
3a
) Se ( ) 0≠aP e ( ) 0=aQ , teremos
( )
( )
( )
0lim
aP
xQ
xP
ax
=
→
.
Neste caso, devemos aplicar Limites Laterais para verificar a existência ou não do limite.
2o
Caso: A variável ±∞→x
( )
( ) n
nnn
m
mmm
xx BxBxBxB
AxAxAxA
xQ
xP
...
...
2
2
1
10
2
2
1
10
limlim +++
++++
= −−
−−
±∞→±∞→
Neste caso, é muito grande a possibilidade de se obter indeterminações das formas
∞−∞
∞
∞
ou .
Repetindo o procedimento adotado para limites de funções polinomiais, vamos colocar em
evidência os termos de maior grau do numerador e do denominador.
Assim:
( )
( )








++++






++++
=
±∞→±∞→
n
nn
m
mm
xx
xB
B
xB
B
xB
B
xB
xA
A
xA
A
xA
A
xA
xQ
xP
0
2
0
2
0
1
0
0
2
0
2
0
1
0
...1
...1
limlim
Para ±∞→x , teremos:
0;...;0;0;0;...;0;0
0
2
0
2
0
1
0
2
0
2
0
1
→→→→→→ n
n
m
m
xB
B
xB
B
xB
B
xA
A
xA
A
xA
A
Portanto:
( )
( ) n
m
xx xB
xA
xQ
xP
0
0
limlim ±∞→±∞→
=

Isto é, o limite de uma função racional no infinito é igual ao limite no infinito do quociente dos
termos de maior grau do numerador e do denominador dessa função.
OBSERVAÇÃO:
Podemos tirar três conclusões a respeito deste resultado:
1a
) Se nm = , então
( )
( ) 0
0
lim B
A
xQ
xP
x
=
±∞→
;
2a
) Se nm > , então
( )
( )
±∞=
±∞→ xQ
xP
x
lim ;
3a
) Se nm < , então
( )
( )
0lim =
±∞→ xQ
xP
x
EXEMPLOS:
1)
9
7
144
568
12.22
52.32.2
12
532
2
2
2
2
2
lim =
++
+−
=
++
+−
=
++
+−
→ xx
xx
x
2) 0
5
0
32
12
1
lim ==
+
−
→ x
x
x
3)
0
0
1
13
1
lim =
−
−
→ x
x
x
(indeterminado)
Usando a fatoração:
( )( ) ( ) 31111
1
11
1
1 2
1
2
1
3
1
limlimlim =++=++=
−
++−
=
−
−
→→→
xx
x
xxx
x
x
xxx
4)
0
1
3
25
lim3
−
=
−
−
→ x
x
x
Neste caso, temos que aplicar Limites Laterais para verificar a existência do limite.
a) Limite Lateral à Direita:
( ) −∞=
−−
=
−+
+−
=
−
−
→→→ + h
h
h
h
x
x
hhx
21
33
3.25
3
25
limlimlim 003

b) Limite Lateral à Esquerda:
( ) ∞=
−
+−
=
−−
−−
=
−
−
→→→ − h
h
h
h
x
x
hhx
21
33
3.25
3
25
limlimlim 003
Como os limites laterais no ponto 3=x são diferentes, entendemos que não existe o limite.
5) ∞===
+−
++
∞→∞→∞→
2
3
5
3
45
3
2
6
12
226
limlimlim x
x
x
xx
xx
xxx
6) 0
5
2
5
2
15
132
limlimlim 3
2
3
2
===
−
+−
−∞→−∞→−∞→ xx
x
x
xx
xxx
7)
3
7
3
7
3
7
352
27
limlimlim 9
9
942
59
−=
−
=
−
=
−−
+
∞→∞→∞→ xxx x
x
xxx
xx
8) −∞===
+
+
−∞→−∞→−∞→ 2
3
2
3
52
23 3
6
9
6
9
limlimlim
x
x
x
x
x
xxx
9)
( )
( )
∞===
+
−
=
+
−
∞→∞→∞→∞→
10
45
10
6
105
10
23
52
5 3
2
4
.3
4
.3
12
53
12
53
limlimlimlim
x
x
x
x
x
x
x
xxxx

CAP. 3 - DERIVADAS
3.1 – INTRODUÇÃO:
O estudo de Derivadas, de maneira geral, trata do problema de se determinar a taxa de
variação de uma grandeza quando outra grandeza, da qual ela depende, sofrer alterações.
A motivação para a descoberta desse conceito veio de problemas físicos simples, como
problemas de cinemática onde se quer, por exemplo, conhecer a velocidade de um objeto em
movimento num determinado instante.
Para se chegar ao conceito de Derivada, é necessário primeiramente que façamos algumas
definições, como faremos a seguir.
3.2 – ACRÉSCIMOS:
3.2.1 – ACRÉSCIMO DE UMA VARIÁVEL:
Chama-se Acréscimo de uma variável x , e representa-se por x∆ , à diferença entre dois
valores particulares 1x e 2x dessa variável.
3.2.2 – ACRÉSCIMO DE UMA FUNÇÃO:
Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio é um subconjunto de ℜ .
Se atribuirmos à variável x um acréscimo x∆ , vamos obter em correspondência um
acréscimo para a função ( )xfy = , que indicaremos por y∆ .
x
1x 2x
x∆
12 xxx −=∆

Graficamente:
Temos: ⇒∆=− xxx 12 acréscimo da variável
( ) ( ) ⇒∆=− yxfxf 12 acréscimo da função
Como: xxx ∆+= 12 , podemos escrever:
( ) ( )11 xfxxfy −∆+=∆
ou, genericamente:
Esta é a forma generalizada de se escrever o Acréscimo de uma função definida pela lei
( )xfy = para um Acréscimo x∆ na sua variável x .
EXEMPLOS:
01) Achar o Acréscimo da função definida por ( )ℜ∈+= babaxy ,
Temos: ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆
No nosso caso:
( ) ( )baxbxxay +−+∆+=∆
baxbxaaxy −−+∆+=∆
xay ∆=∆ (o acréscimo da função é diretamente proporcional ao acréscimo da variável)
02) Encontrar o Acréscimo da função dada por 2
xy = .
( ) ( )xfxxfy −∆+=∆
( ) 22
xxxy −∆+=∆
y
x
0
( )22 xfy =
( )11 xfy =
y∆
1x 2x
x∆
( )xfy =
( ) ( )xfxxfy −∆+=∆

222
2 xxxxxy −∆+∆+=∆
( )xxxy ∆+∆=∆ 2 (O acréscimo da função não é proporcional ao acréscimo da variável).
3.3 – TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO:
Chama-se de Taxa Média de Variação (ou Razão Incremental) de uma função ( )xfy = ao
quociente de y∆ por x∆ .
A Taxa Média indica a “velocidade média de variação” de uma função num determinado
intervalo do seu Domínio.
EXEMPLOS:
01) Achar a Taxa Média de Variação da função definida por 85 += xy
Temos:
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+
=
∆
∆
No nosso caso:
( ) ( )
x
xxx
x
y
∆
+−+∆+
=
∆
∆ 8585
x
xxx
x
y
∆
−−+∆+
=
∆
∆ 85855
5
5
=
∆
∆
=
∆
∆
x
x
x
y
Conclusão: a velocidade de variação da função é constante em qualquer ponto.
02) Encontre a Taxa Média de Variação da função xxy 32
+= no ponto 2=x .
Temos:
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+
=
∆
∆
No nosso caso:
( ) ( ) ( )
x
xxxxxx
x
y
∆
+−∆++∆+
=
∆
∆ 33 22
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
MT
∆
−∆+
=
∆
∆
=..

x
xxxxxxxx
x
y
∆
−−∆++∆+∆+
=
∆
∆ 3332 222
( ) 32
32
+∆+=
∆
∆
⇒
∆
+∆+∆
=
∆
∆
xx
x
y
x
xxx
x
y
No ponto 2=x , teremos: x
x
y
∆+=
∆
∆
7
3.4 – TAXA INSTANTÂNEA:
Consideremos, por exemplo, a função definida por 12
+= xy .
Vamos determinar as Taxas Médias de Variação desta função nos seguintes intervalos:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]xe ∆+1;105,1;1;1,1;1;2,1;1;5,1;1;2;1
a) Intervalo [ ]2;1 :
( ) ( ) 3
1
25
12
12
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
b) Intervalo [ ]5,1;1 :
( ) ( ) 5,2
5,0
225,3
15,1
15,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
c) Intervalo [ ]2,1;1 :
( ) ( ) 2,2
2,0
244,2
12,1
12,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
d) Intervalo [ ]1,1;1 :
( ) ( ) 1,2
1,0
221,2
11,1
11,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
e) Intervalo [ ]05,1;1 :
( ) ( ) 05,2
05,0
21025,2
105,1
105,1
=
−
=
−
−
=
∆
∆ ff
x
y
f) Intervalo [ ]x∆+1;1 :
( ) ( ) x
x
xx
x
fxf
x
y
∆+=
∆
∆+∆
=
−∆+
−∆+
=
∆
∆
2
2
11
11 2

Os resultados obtidos acima parecem nos dizer que a Taxa Média tende a 2 , à medida em
que o acréscimo x∆ tende a zero.
Portanto, o Limite da Taxa Média de Variação desta função, quando o acréscimo x∆ tende a
zero é igual a 2 .
Este resultado é chamado de Taxa Instantânea de Variação.
Então, definimos:
“Taxa Instantânea de uma função ( )xfy = é o limite da Taxa Média de Variação
x
y
∆
∆
desta
função quando x∆ tende a zero.”
3.5 – DERIVADA OU FUNÇÃO DERIVADA:
Vamos considerar uma função definida no campo dos Reais pela lei ( )xfy =
.Chama-se de Derivada ou Função Derivada de ( )xfy = ao limite do quociente de y∆ por
x∆ , quando x∆ tende a zero.
A Derivada da função ( )xfy = pode ser indicada por um dos símbolos abaixo:
( ) ( ) ( )[ ]
.
.
;;;;; xf
dx
d
xfyxfy
dx
dy
′′
Neste curso, nos limitaremos a utilizar apenas uma das três primeiras notações apresentadas
acima.
A Derivada nada mais é do que a Taxa Instantânea genérica, ou seja:
EXEMPLOS:
Usando a definição, encontre as derivadas das seguintes funções:
01) 2
2xy =
x
y
IT
x ∆
∆
=
→∆
lim0
..
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
dx
dy
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
limlim 00

Por definição:
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
lim0
No nosso caso:
( )
x
xxx
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
22
0
22
lim
x
xxxxx
dx
dy
x ∆
−∆+∆+
=
→∆
222
0
2242
lim
( ) ( ) x
dx
dy
xx
x
xxx
dx
dy
xx
424
24.
limlim 00
=⇒∆+=
∆
∆+∆
=
→∆→∆
Portanto, a Derivada da função ( ) 2
2xxf = é a função ( ) xxf 4=′ .
02) 3
xy =
Por definição:
( ) ( )
x
xfxxf
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
lim0
No nosso caso:
( )
x
xxx
dx
dy
x ∆
−∆+
=
→∆
33
0
lim
x
xxxxxxx
dx
dy
x ∆
−∆+∆+∆+
=
→∆
33223
0
33
lim
( ) ( ) 222
0
22
0
333
33.
limlim x
dx
dy
xxxx
x
xxxxx
dx
dy
xx
=⇒∆+∆+=
∆
∆+∆+∆
=
→∆→∆
03) ( ) xxf =
Por definição: ( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim0
No nosso exemplo: ( )
x
xxx
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim0
Observamos que o limite acima possui uma indeterminação da forma
0
0
. Portanto, vamos
fazer uso do conjugado, isto é, vamos tomar:
( )
( ) ( )xxxx
x
xxxx
xxx
xxx
xxx
x
xxx
xf
xxx +∆+∆
∆
=
+∆+∆
−∆+
=
+∆+
+∆+
∆
−∆+
=′
→∆→∆→∆
limlimlim 000
.
( ) ( )
x
xf
xxx
xf
x 2
11
lim0
=′⇒
+∆+
=′
→∆

04) ( )
x
xf
1
=
Por definição: ( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim0
No nosso exemplo: ( )
x
xxxxf
x ∆
−
∆+=′
→∆
11
lim0
( ) ( )
( )xxxx
x
x
xxx
xxx
xf
xx ∆+∆
∆−
=
∆
∆+
∆−−
=′
→→∆ ..limlim 00
( )
( )
( ) 2
0
11
lim x
xf
xxx
xf
x
−=′⇒
∆+
−
=′
→∆

3.6 – DERIVADA NUM PONTO:
Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio ( )fD é um subconjunto dos Reais e seja 0x um ponto
desse Domínio.
A derivada desta função no ponto 0x , que indicaremos pelas notações ( )0xf ′ ou ( )0xy′ , é
definida por:
OBSERVAÇÕES:
O1: Como conseqüência da definição, podemos verificar que a função ( )xfy = só será
derivável no ponto 0x se:
a) existir ( )0xf , isto é, a função possui valor numérico no ponto 0x ;
b) a função seja definida nas vizinhanças do ponto 0x (para justificar a aplicação do limite
neste ponto);
c) exista e seja finito o
( ) ( )
0
0
lim0
xx
xfxf
xx −
−
→
.
O2: Se
( ) ( )
0
0
lim0
xx
xfxf
xx −
−
→
existir somente para valores inferiores ou superiores a 0x , ou se este
limite possui resultados diferentes à esquerda e à direita de 0x , dizemos que se trata de
Derivadas Laterais e indicamos por:
( )
( ) ( )
⇒
−
−
=′
−
→
−
0
0
0 lim
0
xx
xfxf
xf
xx
Derivada Lateral à Esquerda de 0x
( )
( ) ( )
0
0
0 lim0
xx
xfxf
xf
xx −
−
=′
→

( )
( ) ( )
⇒
−
−
=′
+
→
+
0
0
0 lim
0
xx
xfxf
xf
xx
Derivada Lateral à Direita de 0x
O3: Se ( ) ( )00 xfxf +−
′=′ então dizemos que a derivada da função ( )xfy = existe no ponto 0x e
é igual a ( )0xf ′ .
O4: A derivada de uma função num ponto (quando existe) nada mais é do que o valor
numérico da função derivada naquele ponto
EXEMPLOS:
Usando a definição, achar as derivadas das funções definidas a seguir nos pontos dados:
01) ( ) 2
3xxf = no ponto 5=x .
1a
Solução:
Aplicando a definição de Derivada, temos:
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
lim0
( ) ( )
x
xxxxx
x
xxx
xf
xx ∆
−∆+∆+
=
∆
−∆+
=′
→∆→∆
222
0
22
0
336333
limlim
( ) ( ) ( ) ( ) xxfxx
x
xxx
xf
xx
636
36.
limlim 00
=′⇒∆+=
∆
∆+∆
=′
→∆→∆
No ponto 5=x , teremos: ( ) ( ) 3055.65 =′⇒=′ ff .
2a
Solução:
Aplicando a definição de Derivada no Ponto:
( )
( ) ( )
0
0
0 lim0
xx
xfxf
xf
xx −
−
=′
→

( ) ( ) ( )
5
753
5
5
5
2
55
limlim −
−
=
−
−
=′
→→ x
x
x
fxf
f
xx
( ) ( ) ( )( )
5
5.5.3
5
25.3
5 limlim 5
2
5 −
−+
=
−
−
=′
→→ x
xx
x
x
f
xx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 30555.355.35 lim5
=′⇒+=′⇒+=′
→
ffxf
x
02) ( ) 1+= xxf no ponto 15=x .
( ) ( ) ( )
15
41
15
15
15 limlim 1515 −
−+
=
−
−
=′
→→ x
x
x
fxf
f
xx
Aplicando o conjugado do numerador, obtemos:
( )
( )( )41.15
15
41
41
.
15
41
15 limlim 1515 ++−
−
=
++
++
−
−+
=′
→→ xx
x
x
x
x
x
f
xx
( ) ( )
8
1
15
41
1
15 lim15
=′⇒
++
=′
→
f
x
f
x
03) ( ) tgxxf = no ponto
4
π
=x .
( )
4
4
4
4
4 limlim
44
π
π
π
π
π
ππ
−






−
=
−






−
=





′
→→ x
tgtgx
x
fxf
f
xx












−






−





=
−












−
=





′
→→
4
cos.cos.
4
cos.
4
sen
4
cos.sen
4
4
cos
4
sen
cos
sen
4 limlim
44
ππ
ππ
π
π
π
π
ππ
xx
xx
x
x
x
f
xx
Da Trigonometria, sabemos que: ( )BAABBA −=− sencos.sencos.sen .
Portanto, pode-se dizer que: 





−=





−





4
sencos.
4
sen
4
cos.sen
πππ
xxx .

Assim, podemos escrever:





−






−
=




′
→→
4
cos.cos
1
.
4
4
sen
4 limlim
44
ππ
π
π
ππ
xx
x
f
xx
Como o primeiro limite é Fundamental e vale 1, então:
2
4
2
2
1
4
cos
1
4
cos.cos
1
4 2
2
4
lim =





′⇒








=






=






=





′
→
π
ππ
π
π
f
x
f
x
04) ( ) 1−= xxf no ponto 1=x .
( ) ( ) ( )
1
1
1
111
1
1
1 limlimlim 111 −
−
=
−
−−−
=
−
−
=′
→→→ x
x
x
x
x
fxf
f
xxx
Porém, de acordo com a definição de Módulo ou Valor Absoluto, podemos escrever:
( )



<−−−=−
≥−−=−
01,11
01,11
xsexx
xsexx
⇒
( )



<−−=−
≥−=−
1,11
1,11
xsexx
xsexx
Como queremos obter a derivada no ponto 1=x , entendemos que devemos calcular as
derivadas laterais neste ponto, isto é:
( ) ( ) ( ) 11
1
1
1
1
1 limlimlim 111
−=−=
−
−−
=
−
−
=′
→→→
−
− xxx x
x
x
x
f
( ) 11
1
1
1
1
1 limlimlim 111
==
−
−
=
−
−
=′
→→→
+
+ xxx x
x
x
x
f
Como ( ) ( )11 +−
′≠′ ff , entendemos que a função dada não possui derivada no ponto 1=x .
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS:
Para que você se auto-avalie com relação ao assunto estudado nesta aula, sugerimos que
você tente resolver os exercícios abaixo:

01) Mostre que a derivada da função ( )
1
3
−
=
x
xf no ponto 4=x é igual a
3
1
− .
02) Mostre que a derivada da função ( ) x
exf = no ponto 3=x é igual a 3
e .
03) Mostre que a função ( ) xxxf 42
−= não possui derivada no ponto 4=x .
3.7 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA NO PONTO:
Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio ( )fD é um subconjunto dos Reais e seja 0x um ponto
desse Domínio.
Vamos admitir que o gráfico dessa função possua uma reta tangente pelo ponto 0x e que essa
tangente não seja perpendicular ao eixo x e vamos considerar também uma reta secante curva
pelos pontos 0x e x , conforme se pode ver na figura abaixo:
Da figura, temos:
α = inclinação da reta tangente (ângulo que a reta tangente forma com o sentido positivo do
eixo x );
β = inclinação da reta secante (ângulo que a reta secante forma com o sentido positivo do
eixo x );
0xxx −=∆ (Acréscimo da variável);
( ) ( )0xfxfy −=∆ (Acréscimo da função)
y
x
0
( )xf
( )0xf
α β
β
y∆
x∆
0x x
( )xfy =
Reta secante
Reta tangente

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