Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.gr

1. Μερικές βασικές συναρτήσεις
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Κάθε χρόνο, σε κάθε τμήμα της Γ Λυκείου που διδάσκω μαθηματικά κατεύθυνσης θέτω την εξής εργασία:
«Να σχεδιάσετε σε ένα χαρτόνι τις βασικές γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που έχει το σχολικό βιβλίο και να καταγράψετε τις κυριότερες
ιδιότητες (πχ. πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, μονοτονία, συμμετρίες, ακρότατα και 1 – 1)».
Το σκεπτικό είναι να ενασχοληθούν οι μαθητές όσο γίνεται περισσότερο με τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων και να εκτιμήσουν τις
πληροφορίες που μας προσφέρει το σχήμα. Η γραφική παράσταση συνάρτησης f περιέχει συνοπτικά όλα τα χαρακτηριστικά της συνάρτησης.
Στις Πανελλαδικές εξετάσεις του 2016 (κανονικές και επαναληπτικές) η γραφική παράσταση είχε την τιμητική της. Φέτος, είναι ήδη είναι στη «μόδα»
ανάλογα θέματα που αφορούν την γραφική παράσταση συναρτήσεων. Ας τα προτιμήσουμε, από τα διαδοχικά υπαρξιακά θεωρήματα που έχουν μια
στείρα μεθοδολογία τις περισσότερες φορές και δεν προσφέρουν τίποτα στο μαθητή.
Παρακάτω βλέπετε την εργασία (2016) της μαθήτριας Βασιλικής Λέκκου από το 3ο
ΓΕΛ Πετρούπολης.
Αθήνα 5/1/2017

3. 1) Η πολυωνυμική συνάρτηση  f x x  
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών: R
Συμμετρίες: -
Μονοτονία: γνησίως αύξουσα στο R
Ακρότατα: -
1 – 1: ναι
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών: R
Συμμετρίες: -
Μονοτονία: γνησίως φθίνουσα στο R
Ακρότατα: -
1 – 1: ναι
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών:  β
Συμμετρίες: άρτια
Μονοτονία: - (σταθερή)
Ακρότατα: -
1 – 1: όχι

4. 2) Η πολυωνυμική συνάρτηση   2
f x x , 0    .
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών:  0,
Συμμετρίες: άρτια
Μονοτονία: γνησίως φθίνουσα στο  ,0 και γνησίως
αύξουσα στο  0,
Ακρότατα: ελάχιστο στο  0,0
1 – 1: όχι
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών:  ,0
Συμμετρίες: άρτια
Μονοτονία: γνησίως αύξουσα στο  ,0 και γνησίως
φθίνουσα στο  0,
Ακρότατα: μέγιστο στο  0,0
1 – 1: όχι

5. 3) Η πολυωνυμική συνάρτηση   3
f x x , 0    .
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών: R
Συμμετρίες: περιττή
Μονοτονία: γνησίως αύξουσα στο R
Ακρότατα: -
1 – 1: ναι
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών: R
Συμμετρίες: περιττή
Μονοτονία: γνησίως φθίνουσα στο R
Ακρότατα: -
1 – 1: ναι

6. 4) Η ρητή συνάρτηση  
α
f x , α 0
x
  .
Πεδίο Ορισμού: *
R
Σύνολο τιμών: *
R
Συμμετρίες: περιττή
Μονοτονία: γνησίως φθίνουσα στο    ,0 , 0, 
Ακρότατα: -
1 – 1: ναι
Πεδίο Ορισμού: *
R
Σύνολο τιμών: *
R
Συμμετρίες: περιττή
Μονοτονία: γνησίως αύξουσα στο    ,0 , 0, 
Ακρότατα: -
1 – 1: ναι

7. 5) Οι συναρτήσεις  f x x ,  g x x .
Πεδίο Ορισμού:  0,
Σύνολο τιμών:  0,
Συμμετρίες: -
Μονοτονία: γνησίως αύξουσα στο  0,
Ακρότατα: ελάχιστο στο σημείο  0,0
1 – 1: ναι
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών:  0,
Συμμετρίες: άρτια
Μονοτονία: γνησίως φθίνουσα στο  ,0 και γνησίως αύξουσα
στο  0,
Ακρότατα: ελάχιστο στο σημείο  0,0
1 – 1: όχι

8. 6) Οι τριγωνικές συναρτήσεις:  f x x  ,  f x x  ,  f x x 
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών:  1,1
Συμμετρία: Περιττή. Περιοδική με περίοδο 2π.
Μονοτονία: γνησίως αύξουσα στα
π 3π
0, , ,2π
2 2
   
   
   
και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
π 3π
,
2 2
 
 
 
Ακρότατα: μέγιστο στα σημεία
π
,1
2
 
 
 
ελάχιστο
στο σημείο
3π
, 1
2
 
 
 
.
1 – 1: όχι
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών:  1,1
Συμμετρίες: Άρτια. Περιοδική με περίοδο 2π.
Μονοτονία: γνησίως αύξουσα στο  π,2π και
γνησίως φθίνουσα στο  0,π
Ακρότατα: ελάχιστο στο σημείο  π, 1 και
μέγιστο στα σημεία    0,1 , 2π,1
1 – 1: όχι
Πεδίο Ορισμού:  x / συνx 0 R
Σύνολο τιμών: R
Συμμετρίες: Περιττή. Περιοδική με περίοδο π.
Μονοτονία: γνησίως αύξουσα στο
π π
,
2 2
 
 
 
Ακρότατα: -
1 – 1: όχι

9. 7) Η εκθετική συνάρτηση   x
f x α , 0 1    .
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών:  0,
Συμμετρίες: -
Μονοτονία: γνησίως αύξουσα στο R
Ακρότατα: -
1 – 1: ναι
Πεδίο Ορισμού: R
Σύνολο τιμών:  0,
Συμμετρίες: -
Μονοτονία: γνησίως φθίνουσα στο R
Ακρότατα: -
1 – 1: ναι

10. 8) Η λογαριθμική συνάρτηση  f x log x, 0 1    .
Πεδίο Ορισμού:  0,
Σύνολο τιμών: R
Συμμετρίες: -
Μονοτονία: γνησίως αύξουσα στο  0,
Ακρότατα: -
1 – 1: ναι
Πεδίο Ορισμού:  0,
Σύνολο τιμών: R
Συμμετρίες: -
Μονοτονία: γνησίως φθίνουσα στο  0,
Ακρότατα: -
1 – 1: ναι