Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.gr

1. Το θεώρημα του Χατζόπουλου
Δίνονται οι συναρτήσεις f,g,h : A  R με 0
x A τέτοιες ώστε:
    0 0
g x h x
      g x f x h x  για κάθε x A
    0 0
g x h x m   R
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0
x με  0
f x m  .
Ιστορικά σχόλια
Αυτό το θεώρημα το εμπνεύστηκα από μια λύση ενός μαθητή που παραγώγισε κατά
μέλη μια ανισοτική σχέση! Με αφορμή αυτή την κίνηση δόθηκαν οι απαραίτητες
προϋποθέσεις και σας παρουσιάζουμε το θεώρημα που εμπνευστήκαμε!
Η καταγραφή του θεωρήματος έγινε μέσα στο πούλμαν στην διαδρομή από Αθήνα –
Θεσσαλονίκη για τη πενθήμερη εκδρομή του 1ου
ΓΕΛ Πετρούπολης (5/12/2016)!
Γεωμετρική ερμηνεία
Αν οι g h
C ,C έχουμε κοινή εφαπτομένη (ε) στο σημείο με τετμημένη 0
x τότε η (ε)
εφάπτεται και της f
C στο 0
x .
Απόδειξη του θεωρήματος
Έστω    0 0
g x h x k  τότε η δεδομένη σχέση γίνεται για 0
x x
         0 0 0 0 0
g x f x h x k f x k f x k      
Για κάθε x A έχουμε:
           
             0 0 0
g x f x h x g x k f x k h x k
g x g x f x f x h x h x 1
       
     
 Αν 0 0
x x x x 0    η σχέση (1) γίνεται:
           0 0 0
0 0 0
g x g x f x f x h x h x
x x x x x x
  
 
  
Έχουμε:
       
0 0
0 0
x x x x
0 0
g x g x h x h x
lim lim m
x x x x 
 
 
 
 
άρα από το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε:
   
0
0
x x
0
f x f x
lim m
x x





2.  Αν 0 0
x x x x 0    η σχέση (1) γίνεται:
           0 0 0
0 0 0
g x g x f x f x h x h x
x x x x x x
  
 
  
Έχουμε:
       
0 0
0 0
x x x x
0 0
g x g x h x h x
lim lim m
x x x x 
 
 
 
 
άρα από το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε:
   
0
0
x x
0
f x f x
lim m
x x




Επομένως:
 0
f x m 
Εφαρμογή 1η
Δίνεται η συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε:
 2 2
x x 1 f x x x 1       για κάθε x R
Να αποδείξετε ότι  f 0 1  
Λύση
Έστω, οι συναρτήσεις   2
g x x x 1, x    R και   2
h x x x 1,x   R
με    g 0 h 0 1  . Για x 0 αποδεικνύεται ότι  f 0 1 .
Έχουμε:
 g x 2x 1    και  h x 2x 1  
άρα
   g 0 h 0 1   
Από το θεώρημα του Χατζόπουλου προκύπτει:
 f 0 1  

3. Εφαρμογή 2η
(δημιουργία Παύλου Τρύφωνα)
Για τη συνάρτηση  f : 0,1  Rισχύει
 
   
ln ex
ln x
ln ex
1
e f x
e
  για κάθε  x 0,1 .
Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0
1
x
e
 με
1
f e
e
    
 
.
Λύση
Αν  
 
   
ln ex
ln x
ln ex
1
g x e , h x
e
  ,  x 0,1 τότε:

1 1
g h 1
e e
   
    
   

1 1
g h ... e
e e
          
   
Οπότε από το Θ.Χ έχουμε:
1
f e
e
    
 
Σημείωση: Η συνάρτηση f είναι η    f x ln x, x 0,1   .
Επίλογος
Τελικά το «θεώρημα του Χατζόπουλου» είναι ένα όνειρο αφού υπάρχει σε βιβλίο του
Spivac όπως θα δείτε παρακάτω, επομένως κατά προέκταση και σε πολλά βοηθήματα
του εμπορίου!
Η μόνη διαφορά είναι ότι στην άσκηση του Spivac απαιτεί      f α g α h α  ενώ
στο δικό μας θεώρημα απαιτούμε ανάλογα    f α h  , δηλαδή δεν είναι αναγκαίο
να δίνουμε ότι ισούται και με g(α), αφού προκύπτει απλά.
Επομένως, το παραπάνω άρθρο - ανάρτηση έχει να κάνει με την εύθυμη σκοπιά της
ημέρας και όχι ως αφορμή για μια νέα ανακάλυψη στα μαθηματικά.

4. και σε άλλο βοήθημα του εμπορίου εμφανίζεται η ίδια άσκηση…