Εισαγωγή στην απαλοιφή του Γκαους

1. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Απαλοιφή Γκάους
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
15 Οκτωβρίου 2013

2. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Διαδικαστικά
Τα 6 τμήματα των φροντιστηρίων για πρωτοετείς θα
ξεκινήσουν αύριο. Περισσότερα στην ιστοχώρο του
μαθήματος.
Οι αίθουσα Δ1 βρίσκεται στο κτήριο του μεταπτυχιακού
προγράμματος σπουδών (Ιάσωνος 10).
Τα εργαστήρια βρίσκονται στον 2ο όροφο του κτιρίου της
Γκλαβάνη.
Τα φροντιστήρια για τους μη-πρωτοετεις θα ξεκινησουν την
μεθεπόμενη εβδομάδα.

3. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Τετραγωνικά συστήματα
Στις επόμενες εβδομάδες θα
περιοριστούμε στην
περίπτωση m = n
΄Οσες οι εξισώσεων τόσοι και
οι άγνωστοι.

4. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Ερώτηση
Πόσες λύσεις έχει το παρακάτω σύστημα;
5x1 + 2x2 − 3x4 = 4
12x1 − 7x2 + 2x3 = 8
−3x1 + 4x2 + 5x3 = 10

5. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Παρατηρήσεις
΄Ενα σύστημα είναι εύκολο να λυθεί αν είναι διαγώνιο (ή
τριγωνικό)

6. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Παρατηρήσεις
΄Ενα σύστημα είναι εύκολο να λυθεί αν είναι διαγώνιο (ή
τριγωνικό)
΄Ενα σύστημα είναι εύκολο και να μελετηθεί αν είναι
διαγώνιο (ή τριγωνικό)

7. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Παρατηρήσεις
΄Ενα σύστημα είναι εύκολο να λυθεί αν είναι διαγώνιο (ή
τριγωνικό)
΄Ενα σύστημα είναι εύκολο και να μελετηθεί αν είναι
διαγώνιο (ή τριγωνικό)
Για να λύσουμε/μελετήσουμε ένα σύστημα αρκεί να το
κάνουμε τριγωνικό (άνω)

8. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Ορισμοί
Απαλοιφή του Γκάους είναι
ένας αλγόριθμος που
μετατρέπει ένα σύστημα σε
ένα ισοδύναμο άνω
τριγωνικό.

9. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Σύστημα 4 × 4
x2 + 2 x3 − x4
x1 + x3 + x4
−x1 + x2 − x4
2 x2 + 3 x3 − x4


0 1 2 −1
1 0 1 1

A=
−1 1 0 −1
0 2 3 −1
=1
=4
=2
=7
 
1
4 
b= 
2 
7

10. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Σύστημα 4 × 4

0
1
M =
−1
0
1
0
1
2
2
1
0
3
−1
1
−1
−1

1
4

2
7

11. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Σύστημα 4 × 4


1
0 1 2 −1 1
 1 0 1 1 4 εναλλαγές εξ. −1
 −−−− 

−1 1 0 −1 2 − − − − →  0
0
0 2 3 −1 7



1 0 1 1 4
1 0
Ε3−Ε2→Ε3
0 1 1 0 6 Ε4−2 Ε2→Ε4 0 1

 −−−− 
0 1 2 −1 1 − − − − → 0 0
0 2 3 −1 7
0 0


1 0 1 1 4
0 1 1 0 6 


0 0 1 −1 −5
0 0 0 0 0

0
1
1
2
1
1
1
1

1 1 4
0 −1 2 Ε1+Ε2→Ε2
 −− − −
− − −→
2 −1 1
3 −1 7

1 4
0 6  Ε4−Ε3→Ε4
 −− − −
− − −→
−1 −5
−1 −5

12. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Σύστημα 4 × 4


1
0 1 2 −1 1
 1 0 1 1 4 εναλλαγές εξ. −1
 −−−− 

−1 1 0 −1 2 − − − − →  0
0
0 2 3 −1 7



1 0 1 1 4
1 0
Ε3−Ε2→Ε3
0 1 1 0 6 Ε4−2 Ε2→Ε4 0 1

 −−−− 
0 1 2 −1 1 − − − − → 0 0
0 2 3 −1 7
0 0


1 0 1 1 4
0 1 1 0 6 


0 0 1 −1 −5
0 0 0 0 0

0
1
1
2
1
1
1
1

1 1 4
0 −1 2 Ε1+Ε2→Ε2
 −− − −
− − −→
2 −1 1
3 −1 7

1 4
0 6  Ε4−Ε3→Ε4
 −− − −
− − −→
−1 −5
−1 −5

13. Εισαγωγή
Η λύση
x4 = k,
x3 = −5 + k,
x2 = 11 − k
x1 = 9 − 2k
όπου k οποιοσδήποτε
πραγματικός αριθμός.
Παράδειγμα

14. Εισαγωγή
Παράδειγμα
Ερώτηση
1
Αλλάξτε την τιμή του δεξιού μέλους τις τέταρτης εξίσωσης
του παραπάνω συστήματος και υπολογίστε την λύση του.
2
Αλλάξτε την τιμή του συντελεστή του τέταρτου αγνώστου
της τέταρτης εξίσωσης του παραπάνω συστήματος και
υπολογίστε την λύση του.
3
Προσπαθήστε να βγάλετε γενικά συμπεράσματα.