συνέχεια

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Θεμελιώδεις Θεώρημα (μέρος 1ο)
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
2 Δεκεμβρίου 2013

2. Θεώρημα
Εάν το σύνολο v1 , v2 , . . . , vm είναι βάση του χώρου V και το
σύνολο w1 , w2 , . . . , wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου V
τότε m = n.

3. Θεώρημα
Εάν το σύνολο v1 , v2 , . . . , vm είναι βάση του χώρου V και το
σύνολο w1 , w2 , . . . , wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου V
τότε m = n.
΄Εστω m < n
W = VC ⇒ Wx = VCx ⇒ Wx = V (Cx)
Ο μηδενόχωσρος του πίνακα C έχει μη-μηδενικά στοιχεία. ΄Αρα
το Cx = 0 έχει μη-τετριμένη λύση
Οπότε και το Wx = VCx = 0 έχει μη-τετριμένη λύση
΄Ατοπο επειδή τα wi είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
.

4. Θεώρημα
Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδια
βάση με τον χώρο γραμμών του U.

5. Θεώρημα
Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδια
βάση με τον χώρο γραμμών του U. (΄Αρα οι δύο χώροι
ταυτίζονται).

6. Θεώρημα
Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδια
βάση με τον χώρο γραμμών του U. (΄Αρα οι δύο χώροι
ταυτίζονται).
Απόδειξη.




1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3 
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0

7. Θεώρημα
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίδιος με τον χώρο στηλών του U.
Απόδειξη.




1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3 
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0

8. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.




1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3 
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0

9. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.




1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3 
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U

10. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.




1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3 
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμών
του U

11. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.




1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3 
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμών
του U
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλών
του U

12. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.




1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  , U =  0 0 1 4 −3 
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμών
του U
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλών
του U
Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A που
αντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.