Semantic Web
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Semantic Web - Vorlesungsinhalt
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     1. Einführung
     2. Semantic Web Basisarchitektur
           Die Sprachen des Sem...
3. Wissensrepräsentation und Logik
3
    Semantic Web Architektur

                                                  Inter...
Semantic Web - Vorlesungsinhalt
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    1    2    3     4     5      1.12.2009 – Vorlesung Nr. 6                       7    ...
3. Wissensrepräsentation und Logik
    3.1 Ontologien in Philosophie und Informatik

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3. Wissensrepräsentationen
    3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik

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    3.2 Wiederholung Aussagenlogik un...
3. Wissensrepräsentationen
    A friend of Einstein‘s,
       3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
    Kurt ...
3. Wissensrepräsentationen
    3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik

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    Logik – Grundlagen
    ■      nur...
3. Wissensrepräsentationen
    3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik

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    Logik – Grundlagen
    ■ Worther...
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     Logik – Grundlagen


       "...
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     Logik – Grundlagen


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     Logik – Grundlagen
     ■ Syn...
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     Was ist Semantik
     ■ Bsp.:...
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     Was ist Semantik
     ■ Model...
3. Wissensrepräsentationen
      3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik

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     Wie funktioniert Logik?
    ...
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16   Aussagenlogik (Propositional Log...
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17   Aussagenlogik (Propositional Log...
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18   Aussagenlogik (Propositional ...
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19   Prädikatenlogik erster Stufe (Fi...
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20   Prädikatenlogik erster Stufe (Fi...
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21   Prädikatenlogik erster Stufe (Fi...
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22   FOL: Syntax
     ■ „richtiges“ Fo...
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     Prädikatenlogik erster Stufe (...
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24   FOL: Beispiel Addition

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25   FOL: Beispiel Verwandschaftsverh...
3. Wissensrepräsentationen
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26   FOL: Beispiel Pinguine

        ...
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     3.2 Wiederholung Aussagenlogik...
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28   Aussagenlogik: Modelltheoretische...
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29   Aussagenlogik: Modelltheoretische...
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30   Prädikatenlogik: Modelltheoretisc...
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31   Prädikatenlogik: Modelltheoretisc...
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32   Prädikatenlogik: Modelltheoretisc...
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33   Der Begriff der logischen Konsequ...
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34   Logische Äquivalenzen - Beispiel...
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     3.2 Wiederholung Aussagenlogik...
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36   Normalformen
     ■ Zu jeder Form...
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37   Normalformen
     ■ Ziel: Umwandl...
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38   Negationsnormalform
     ■ Alle N...
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39   Negationsnormalform
     ■ Beispi...
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40   Pränexnormalform (I)
     ■ erst ...
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41   Pränexnormalform (II)
     ■ Dann...
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42   Pränexnormalform (III)
     ■ “Ex...
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43   Pränexnormalform - Zusammenfassun...
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     ■ “Ex...
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45   Konjunktive Normalform (Klauselfo...
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46   Konjunktive Normalform (Klauselfo...
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47   Eigenschaften von Normalformen
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55   Resolution (Prädikatenlogik)
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56   Unifikationsalgorithmus
      ■ ...
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57   Unifikation


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58   Resolution (Prädikatenlogik)
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66   Resolution (Prädikatenlogik) - B...
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67   Resolution (Prädikatenlogik) - B...
3. Wissensrepräsentationen
     3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik

68   Eigenschaften der Resolution für ...
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     3.2 Wiederholung Aussagenlogik...
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     3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik

70   Eigenschaften der Prädikatenlogik...
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     3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik

71   Eigenschaften der Prädikatenlogik...
3. Wissensrepräsentationen
     3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik

72   Eigenschaften der Aussagenlogik

...
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     3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik

73   Wichtige Fragmente der Prädikaten...
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     3.2 Wiederholung Aussagenlogik...
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3. Wissensrepräsentation und Logik
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     Semantic Web Architektur

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Semantic Web
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01.12.2009, 06- Logik als Grundlage des Semantic Web

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In dieser 'Semantic Web' Vorlesung wird die Logik als Grundlage des Semantic Web adressiert. Themen sind dabei:
- Logik
- Aussagenlogik
- Prädikatenlogik
- Normalisierung
- Resolution

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01.12.2009, 06- Logik als Grundlage des Semantic Web

  1. 1. Semantic Web Vorlesung Dr. Harald Sack Hasso-Plattner-Institut für Softwaresystemtechnik Universität Potsdam Wintersemester 2009/10 Blog zur Vorlesung: http://sewe0910.blogspot.com/ Die nichtkommerzielle Vervielfältigung, Verbreitung und Bearbeitung dieser Folien ist zulässig (Lizenzbestimmungen CC-BY-NC).
  2. 2. Semantic Web - Vorlesungsinhalt 2 1. Einführung 2. Semantic Web Basisarchitektur Die Sprachen des Semantic Web - Teil 1 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 4. Ontology Engineering 5. Semantic Web Applications Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  3. 3. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3 Semantic Web Architektur Interface & Application Trust Proof Ontology-Level Unifying Logic Query: Ontology: OWL Rule: RIF Crypto SPARQL RDFS Data Interchange: RDF XML / XSD URI / IRI Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  4. 4. Semantic Web - Vorlesungsinhalt 4 1 2 3 4 5 1.12.2009 – Vorlesung Nr. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 3.1.Ontologien in der Philosophie und der Informatik 3.2.Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.3.RDFS-Semantik 3.4.Beschreibungslogiken 3.5.OWL und OWL-Semantik 3.6.Regeln mit RIF/SWRL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  5. 5. 3. Wissensrepräsentation und Logik 3.1 Ontologien in Philosophie und Informatik 5 Logik zur Formalisierung ontologischer Modelle Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  6. 6. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 6 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  7. 7. 3. Wissensrepräsentationen A friend of Einstein‘s, 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik Kurt Gödel found a hole in 7 the center of Mathematics... Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  8. 8. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 8 Logik – Grundlagen ■ nur knappe und informelle Wiederholung □ siehe Bachelorstudium Mathematik I, etc. ■ im Weiteren Verlauf wird ein solides Verständnis der Grundlagen der Logik vorausgesetzt, daher bitte selbstständig wiederholen □ siehe auch U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  9. 9. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 9 Logik – Grundlagen ■ Wortherkunft: λογος =[griech.] Wort, Lehre, Rede,... ■ Definition (für unsere Vorlesung): Logik ist die Lehre vom formal korrekten Schließen. ■ Warum „formale Logik“? --> Automatisierbarkeit! ■ Konstruktion einer „Rechenmaschine“ für Logik Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  10. 10. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 10 Logik – Grundlagen "... omnes humanas ratiocinationes ad calculum aliqvem characteristicum qvalis in Algebra combinatoriave arte et numeris habetur, revocandi, qvo non tantum certa arte inventio humana promoveri posset, sed et controversiae multae tolli, certum ab incerto distingvi, et ipsi gradus probabilitatum aestimari, dum disputantium Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) alter alteri dicere posset: calculemus." aus einem Brief an Ph. J. Spencer, Juli 1687 Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  11. 11. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 11 Logik – Grundlagen „alle menschlichen Schlussfolgerungen müssten auf irgendeine mit Zeichen arbeitende Rechnungsart zurückgeführt werden, wie es sie in der Algebra und Kombinatorik und mit den Zahlen gibt, wodurch nicht nur mit einer unzweifelhaften Kunst die menschliche Erfindungsgabe gefördert werden könnte, sondern auch viele Streitigkeiten beendet werden könnten, das Sichere vom Unsicheren unterschieden und selbst die Grade der Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Wahrscheinlichkeiten abgeschätzt werden könnten, da ja der eine der im Disput Streitenden zum anderen sagen könnte: Lasst uns doch nachrechnen!“ aus einem Brief an Ph. J. Spencer, Juli 1687 Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  12. 12. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 12 Logik – Grundlagen ■ Syntax: Zeichen ohne Bedeutung definiert Regeln, wie zulässige Zeichenfolgen gebildet werden dürfen ■ Semantik: Bedeutung der Syntax definiert Regeln, wie die Bedeutung von komplexen Zeichenfolgen aus der Bedeutung von atomaren Zeichenfolgen abgeleitet werden kann If (i<0) then display (“negatives Guthaben!“) Syntax Zuweisung von Gebe die Meldung “negatives Guthaben!“ aus, Bedeutung wenn der Kontostand i unter 0 Euro sinkt. Bedeutung, z.B. ‘die reale Welt‘ Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  13. 13. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 13 Was ist Semantik ■ Bsp.: Programmiersprachen Berechnung der Fakultät FUNCTION f(n:natural):natural; Intendierte Semantik BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1); f : n → n! END; formale Semantik Syntax Verhalten des Programms € bei der Ausführung Prozedurale Semantik Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  14. 14. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 14 Was ist Semantik ■ Modelltheoretische Semantik ■ Modelltheoretische Semantik nimmt die semantische Interpretation künstlicher und natürlicher Sprachen dadurch vor, indem sie „Bedeutung mit genau definierter Interpretation in einem Modell gleichsetzt“ Alfred Tarski (1901-1983) ■ = formale Interpretation in einem Modell ■ z.B. modelltheoretische Semantik für Aussagenlogik ■ Zuweisung von Wahrheitswerten „wahr“ und „falsch“ zu Prädikatsymbolen und ■ Beschreibung der Junktoren durch Wahrheitswertetafeln Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  15. 15. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 15 Wie funktioniert Logik? ■ Jede Logik L:=(S,⊨) besteht aus einer Menge von Sätzen S und einer Schlussfolgerungsrelation ⊨ ■ Sei Φ ⊆ S und φ ∈ S : Φ⊨φ ■ „ φ ist eine logische Konsequenz von Φ“ oder „aus den Sätzen von Φ folgt der Satz φ“ ■ Gilt für 2 Sätze φ,ψ ∈ S sowohl {φ} ⊨ ψ als auch {ψ} ⊨ φ, Dann sind die Sätze φ und ψ logisch äquivalent φ≡ψ Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  16. 16. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 16 Aussagenlogik (Propositional Logic) ■ Bereits in der griechischen Antike legen Philosophen der Stoa die Grundlagen für die Aussagenlogik ■ Chryssipos von Soli beschreibt im 3. Jhd. v. Chr. in seiner „grammatikalischen Logik“ eine erste vollständige Junktorenlogik Chryssipos von Soli (281-208 v. Chr.) ■ George Boole beschreibt die heutige Aussagenlogik 1854 in seinem Werk „An Investigation of the Laws of Thought“ George Boole (1815-1864) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  17. 17. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 17 Aussagenlogik (Propositional Logic) Junktor Name Intuitive Bedeutung ⌐ Negation „nicht“ Konjunktion „und“ ⋁ Disjunktion „oder“ Implikation „wenn – dann“ ↔ Äquivalenz „genau dann, wenn“ ■ Erzeugungsregeln für Sätze: ■ alle atomaren Propositionen sind Sätze (p,q,...) ■ ist φ ein Satz, dann auch ¬φ ■ sind φ und ψ Sätze, dann auch φ∧ψ, φ∨ψ, φ→ψ, φ ψ ■ Präzedenzen: ¬ vor ∧,∨ vor →, Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  18. 18. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 18 Aussagenlogik (Propositional Logic) • Formulierung von Sachverhalten Einfache Aussagen Modellierung g r n Zusammengesetzte Aussagen Modellierung r n (r ⌐ g Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  19. 19. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 19 Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL) ■ Erste Ansätze einer Verallgemeinerung der Aussagenlogik finden sich bereits bei Aristoteles in seinen Syllogismen Aristoteles (384-322 v. Chr) source: wikipedia.org Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  20. 20. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 20 Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL) ■ Gottlob Frege entwickelte und formalisierte ein prädikatenlogisches System in seiner 1879 erschienenen Begriffsschrift (Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebiltete Formelsprache des reinen Denkens, 1879) Gottlob Frege (1848-1925) ■ Charles Sanders Peirce entwickelte gemeinsam mit seinem Studenten O.H. Mitchell unabhängig von Frege eine vollständige Syntax für eine Quantorenlogik in der heute üblichen Notation Charles Sanders Peirce Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam (1839-1914)
  21. 21. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 21 Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL) Quantor Name Intuitive Bedeutung Existenzquantor „es existiert“ Allquantor, „für alle“ Universalquantor □ Junktoren wie in der Aussagenlogik □ Variablen, z.B. X,Y,Z,… □ Konstantensymbole, z.B. a, b, c, … □ Funktionssymbole, z.B. f, g, h, … (mit Stelligkeit) □ Relations-/Prädikatssymbole, z.B. p, q, r, … (mit Stelligkeit) (∀X)(∃Y) ((p(X)∨ ¬q(f(X),Y))→ r(X)) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  22. 22. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 22 FOL: Syntax ■ „richtiges“ Formen von Termen aus Variablen, Konstanten- und Funktionssymbolen: □ f(X), g(a,f(Y)), s(a), .(H,T), x_location(Pixel) ■ „richtiges“ Formen von Atomen aus Relationssymbolen, deren Argumente Terme sind: □ p(f(X)), q (s(a),g(a,f(Y))), add(a,s(a),s(a)), greater_than(x_location(Pixel),128) ■ „richtiges“ Formen von Formeln aus Atomen, Junktoren und Quantoren: □ (∀Pixel) (greater_than(x_location(Pixel),128) → red(Pixel) ) ■ Im Zweifelsfall klammern! Alle Variablen quantifizieren! Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  23. 23. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 23 Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL) ■ Formulierung von Sachverhalten ■ „alle Kinder lieben Eiscreme.“ ∀X: Kind(X) → liebtEiscreme(X) ■ „der Vater einer Person ist deren männlicher Elternteil.“ ∀X ∀Y: Vater(X,Y) (männlich(X) ∧ Elternteil(X,Y)) ■ „Es gibt eine (oder mehrere) Vorlesung(en), die interessant ist(sind).“ ∃X: Vorlesung(X) ∧ istInteressant(X) ■ „Die Relation ,istNachbar‘ ist symmetrisch.“ ∀X ∀Y: istNachbar(X,Y) → istNachbar(Y,X) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  24. 24. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 24 FOL: Beispiel Addition (∀X)(∀Y)(∀Z) ( add(a,X,X) ∧ ( add(X,Y,Z) → add(s(X),Y,s(Z)) ) ) Intendierte Semantik: a … 0 (natürliche Zahl Null) s … Nachfolgerfunktion/Addition von Eins add(x,y,z) … „z ist die Summe von x und y“ Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  25. 25. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 25 FOL: Beispiel Verwandschaftsverhältnisse (∀X) ( parent(X) ( human(X) ∧ (∃Y) parent_of(X,Y) )) (∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) (∀X) (orphan(X) (human(X) ∧¬(∃Y) (parent_of(Y,X)∧ alive(Y)))) (∀X)(∀Y)(∀Z) (uncle_of(X,Z) (brother_of(X,Y) ∧ parent_of(Y,Z)) ) Intendierte Semantik: klar! Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  26. 26. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 26 FOL: Beispiel Pinguine ( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) Intendierte Semantik? Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  27. 27. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 27 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  28. 28. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 28 Aussagenlogik: Modelltheoretische Semantik ■ Interpretation I: Abbildung aller Prädikatssymbole nach {w,f}. ■ Ist F eine Formel und I eine Interpretation, dann ist I(F) ein Wahrheitswert, der aus F und I mittels Wahrheitstafeln ermittelt wird. I(p) I(q) I(⌐ I(p⋁ I(p I(p I(p↔ f f w f w w w f w w w f w f w f f w f f f w w f w t w w Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  29. 29. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 29 Aussagenlogik: Modelltheoretische Semantik ■ Wir schreiben I ⊨ F, wenn I(F)=w ist, und nennen dann die Interpretation I ein Modell der Formel F. ■ Semantik-Regeln: ■ I Modell von ¬φ genau dann, wenn I kein Modell von φ ■ I Modell von (φ∧ψ) genau dann, wenn I Modell von φ UND von ψ ■ ... ■ Zentrale Begriffe: □ allgemeingültig (Tautologie) □ erfüllbar □ widerlegbar □ unerfüllbar Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  30. 30. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 30 Prädikatenlogik: Modelltheoretische Semantik ■ Struktur: □ Festlegung eines Grundbereichs D. □ Konstantensymbole werden auf Elemente von D abgebildet. □ Funktionssymbole auf Funktionen auf D. □ Relationssymbole auf Relationen über D. ■ Dann: □ Terme werden zu Elementen von D. □ Relationssymbole mit Argumenten werden wahr oder falsch. □ Entsprechende Behandlung der Junktoren/Quantoren. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  31. 31. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 31 Prädikatenlogik: Modelltheoretische Semantik (∀X)(∀Y)(∀Z) ( add(a,X,X) ∧ ( add(X,Y,Z) → add(s(X),Y,s(Z)) ) ) ■ Modell I: □ Grundbereich: natürliche Zahlen N □ I(a) = 0 □ I(s): n  n+1 □ l(add(k,m,n))=w genau dann, wenn k+m=n ist. I ist Modell der Formel. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  32. 32. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 32 Prädikatenlogik: Modelltheoretische Semantik ( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) ■ Interpretation I: □ Grundbereich: eine Menge M, die Elemente a,b,c enthält. □ … keine Konstanten- oder Funktionssymbole … □ Wir zeigen: Die Formel ist widerlegbar (d.h. sie ist nicht allgemeingültig): □ Sind I(penguin)(a), I(blackandwhite)(a), I(oldTVshow)(b), I(blackandwhite)(b) wahr, I(oldTVshow)(a) jedoch falsch, dann ist die Formel unter I falsch, d.h. I ⊭ F. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  33. 33. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 33 Der Begriff der logischen Konsequenz ■ Eine Theorie T ist eine Menge von Formeln. ■ Eine Interpretation I ist ein Modell für T, wenn I ⊨ G für jede Formel G in T gilt. ■ Eine Formel F ist eine logische Konsequenz aus T, wenn jedes Modell von T auch Modell von F ist. ■ Wir schreiben dann T ⊨ F. ■ Zwei Formeln F,G heißen logisch (auch semantisch) äquivalent, wenn {F} ⊨ G und {G} ⊨ F gelten. ■ Wir schreiben dann F ≡ G. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  34. 34. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 34 Logische Äquivalenzen - Beispiele F∧G≡G∧F ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F F∨G≡G∨F ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F F → G ≡ ¬F ∨ G (∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) (∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G (∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G (∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G DeMorgan‘sche Gesetze ¬¬F ≡ F F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) Augustus De Morgan Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam (1806-1871)
  35. 35. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 35 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  36. 36. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 36 Normalformen ■ Zu jeder Formel gibt es unendlich viele logisch äquivalente Formeln. F∧G≡G∧F F∨G≡G∨F ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F F → G ≡ ¬F ∨ G ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) (∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G (∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G (∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G ¬¬F ≡ F (∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) ■ Für jede solche Äquivalenzklasse sucht man nun möglichst einfache Repräsentanten. ■ Diese Repräsentanten werden Normalformen genannt. ■ Einfaches Beispiel: □ schreibe ¬F statt ¬¬¬¬¬F Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  37. 37. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 37 Normalformen ■ Ziel: Umwandlung von Formeln in Klauselform. ■ (a∧(b∨¬c)∧(a∨d)) {a,{b,¬c},{a,d}} (CNF) (Klausel) ■ Dazu notwendige Zwischenschritte: 1. Negationsnormalform □ alle Negationen stehen ganz innen 2. Pränexnormalform □ alle Quantoren stehen ganz vorne 3. Skolemisierte Pränexnormalform □ Eliminierung der Existenzquantoren 4. konjunktive Normalform (CNF) = Klauselform □ Darstellung als Konjunktion von Disjunktionen Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  38. 38. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 38 Negationsnormalform ■ Alle Negationszeichen werden durch Verwendung der folgenden Äquivalenzen nach innen gezogen: F G ≡ (F → G)∧(G → F) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G F → G ≡ ¬F ∨ G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G ¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F ¬¬F ≡ F ¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F ■ Ergebnis: □ Implikationen und Äquivalenzen fallen weg □ mehrfachen Negationen fallen weg □ alle Negationszeichen stehen direkt vor Atomen Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  39. 39. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 39 Negationsnormalform ■ Beispiel ( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) wird zu ¬( (∀X)( ¬penguin(X) ∨ blackandwhite(X) ) ∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) ) ) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) und dann zu ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀X)(¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) ) ) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  40. 40. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 40 Pränexnormalform (I) ■ erst Formel bereinigen (Quantoren binden verschiedene Variablen). ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀X)( ¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) ) ) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) ) wird zu ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  41. 41. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 41 Pränexnormalform (II) ■ Dann aus der Negationsnormalform einfach alle Quantoren in derselben Reihenfolge nach vorne ziehen. ( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) wird zu (∃X)(∀Y)(∃Z)( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  42. 42. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 42 Pränexnormalform (III) ■ “Existenzquantoren entfernen” (∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) wird zu … (∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) ) ■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  43. 43. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 43 Pränexnormalform - Zusammenfassung ■ Vorgehensweise: 1. Entfernen der Existenzquantoren von links nach rechts. 2. Gibt es keinen Allquantor links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Konstantensymbol ersetzt. 3. Gibt es n Allquantoren links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Funktionssymbol mit Stelligkeit n ersetzt, dessen Argumente genau die Variablen der n Allquantoren sind. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  44. 44. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 44 Pränexnormalform (III) ■ “Existenzquantoren entfernen” (∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) ) wird zu … (∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) ) ■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  45. 45. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 45 Konjunktive Normalform (Klauselform) ■ Es gibt nur noch Allquantoren, also lassen wir sie weg: ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y)) ■ Mit Hilfe semantischer Äquivalenzen wird die Formel nun als Konjunktion von Disjunktionen geschrieben. F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  46. 46. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 46 Konjunktive Normalform (Klauselform) (penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) ) ∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) ) ∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y)) wird zu ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y))) ∧ ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y))) ∧ ( ¬blackandwhite(a)∨oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y))) ∧ ( ¬blackandwhite(a)∨oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y))) wird zu { {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))}, { ¬blackandwhite(a),oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {¬blackandwhite(a),oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))} } Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  47. 47. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 47 Eigenschaften von Normalformen ■ Sei F eine Formel, ■ G die Pränexnormalform von F, ■ H die skolemisierte Pränexnormalform von G, ■ K die Klauselform von H. ■ Dann ist F ≡ G und H ≡ K aber i.A. F ≢ K. ■ Es gilt jedoch: □ F ist unerfüllbar genau dann, wenn K unerfüllbar ist. (Grundlage des Resolutionsverfahrens) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  48. 48. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 48 Skolemnisierung ist keine Äquivalenztransformation ■ Die Formel (∃x) p(x) ∨ ¬(∃x) p(x) ist eine Tautologie. ■ Negationsnormalform: (∃x) p(x) ∨ (∀y) ¬p(y) ■ Pränexnormalform: (∃x) (∀y) (p(x) ∨ ¬p(y)) ■ Skolemnormalform: (∀y) (p(a) ∨ ¬p(y)) ■ Äquivalent dazu: p(a) ∨ ¬(∃y) p(y) ■ Die resultierende Formel ist keine Tautologie! ■ z.B. Interpretation I mit □ I(p(a)) = f □ I(p(b)) = w Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  49. 49. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 49 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  50. 50. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 50 Resolution Theorie {F1,…,Fn} hat F0 als logische Konsequenz Äquivalente Aussagen {F1,…,Fn} ⊨ F0 F1 ∧… ∧ Fn → F0 ist allgemeingültig ¬(F1 ∧… ∧ Fn → F0) ist unerfüllbar G1 ∧ …∧ Gk ist unerfüllbar □ Das Resolutionsverfahren erlaubt die Ableitung eines Widerspruchs aus G1 ∧ …∧ Gk. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  51. 51. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 51 Resolution (Aussagenlogik) Ist (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn) wahr, dann: ■ Eines von p, ¬p muss falsch sein. ■ Also: Eines der anderen Literale muss wahr sein, d.h. p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn muss wahr sein. ■ Ergo: Ist p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn unerfüllbar, dann auch (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  52. 52. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 52 Resolution (Aussagenlogik) (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql) (r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn) K1 K2 Resolutionsschritt {K1,K 2} ⊨ p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn K3 ■ Aus zwei Klauseln wird eine neue ■ Werden Klauseln resolviert, die nur noch aus je einem Atom bzw. negierten Atom bestehen, dann entsteht eine „leere Klausel“, bezeichnet mit ⊥. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  53. 53. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 53 Resolution (Aussagenlogik) • Vorgehensweise, um einen Widerspruch aus einer Menge M von Klauseln abzuleiten: 1. Wähle zwei Klauseln aus M und erzeuge aus ihnen eine neue Klausel K durch einen Resolutionsschritt. 2. Ist K =⊥ , dann ist ein Widerspruch gefunden. 3. Falls K ⊥ , füge K zur Menge M hinzu und gehe zu 1. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  54. 54. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 54 Resolution (Prädikatenlogik) ■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden ■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) ) Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt (q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  55. 55. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 55 Resolution (Prädikatenlogik) ■ Unifikation von Termen ■ Geg.: Literale L1, L2 ■ Ges.: Variablensubstitution σ derart, dass nach Anwendung auf L1 und L2 gilt: L1σ = L2σ ■ Existiert eine solche Variablensubstitution σ, dann heißt σ Unifikator von L1 und L2. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  56. 56. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 56 Unifikationsalgorithmus ■ Geg.: Literale L1, L2 ■ Ges.: Unifikator σ von L1 und L2. 1. L1 und L2 sind Konstanten: nur unifizierbar, falls L1 = L2 . 2. L1 ist Variable und L2 beliebiger Term: unifizierbar, falls für Variable L1 der Term L2 eingesetzt wird und Variable L1 nicht in L2 vorkommt. 3. L1 und L2 sind Prädikate oder Funktionen PL1(s1,...,sm) und PL2(t1,...,tn): unifizierbar, falls 1. PL1 = PL2 oder 2. n=m und sich jeder Term si mit einem Term ti unifizieren lässt Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  57. 57. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 57 Unifikation L1 L2 σ p(X,X) p(a,a) [X/a] p(X,X) p(a,b) n.a. p(X,Y) p(a,b) [X/a, Y/b] p(X,Y) p(a,a) [X/a, Y/a] p(f(X),b) p(f(c),Z) [X/c, Z/b] p(X,f(X)) p(Y,Z) [X/Y, Z/f(Y)] p(X,f(X)) p(Y,Y) n.a. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  58. 58. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 58 Resolution (Prädikatenlogik) ■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden ■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) ) Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt (q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))). Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  59. 59. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 59 Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Terminologisches Wissen (DL: TBox): (∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) (∀X) ( orphan(X) (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y))) ■ Wissen um Individuen (DL: ABox): orphan(harrypotter) parent_of(jamespotter,harrypotter) ■ Können wir folgern: ¬alive(jamespotter)? Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  60. 60. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 60 Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Zu zeigen: ((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) ∧ (∀X) (orphan(X) (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) → ¬alive(jamespotter)) ist allgemeingültig. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  61. 61. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 61 Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Zu zeigen: ¬((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) ) ∧ (∀X) (orphan(X) (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) → ¬alive(jamespotter)) ist unerfüllbar. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  62. 62. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 62 Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Pränexnormalform: (∀X)(∃Y)(∀X1)(∀Y1)(∀X2)(∃Y2) (( ¬human(X) ∨ parent_of(Y,X) ) ∧ (¬orphan(X1)∨ (human(X1) ∧ (¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1))) ∧ (orphan(X2) ∨ (¬human(X2) ∨ (parent_of(Y2,X2) ∧ alive(Y2))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) ∧ alive(jamespotter)) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  63. 63. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 63 Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Klauselform (CNF): ( ¬human(X) ∨ parent_of(f(X),X) ) ∧ (¬orphan(X1) ∨ human(X1)) ∧ (¬orphan(X1) ∨ ¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1)) ∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)) ∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨ alive(g(X,X1,Y1,X2))) ∧ orphan(harrypotter) ∧ parent_of(jamespotter,harrypotter)) ∧ alive(jamespotter) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  64. 64. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 64 Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel ■ Klauselform: { {¬human(X), parent_of(f(X),X)}, {¬orphan(X1), human(X1)}, {¬orphan(X1),¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1)}, {orphan(X2),¬human(X2),parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}, {orphan(X2) ,¬human(X2),alive(g(X,X1,Y1,X2))}, {orphan(harrypotter)}, {parent_of(jamespotter,harrypotter)}, {alive(jamespotter)} } Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  65. 65. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 65 Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel Wissen: 1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)} 2. {(¬orphan(X1), human(X1)} 3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))} 4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)} 5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))} 6. {orphan(harrypotter)} 7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)} 8. {alive(jamespotter)} Abgeleitete Klauseln: 9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) [X1/harrypotter, Y1/jamespotter] Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  66. 66. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 66 Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel Wissen: 1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)} 2. {(¬orphan(X1), human(X1)} 3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))} 4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)} 5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))} 6. {orphan(harrypotter)} 7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)} 8. {alive(jamespotter)} Abgeleitete Klauseln: 9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) 10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  67. 67. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 67 Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel Wissen: 1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)} 2. {(¬orphan(X1), human(X1)} 3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))} 4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)} 5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))} 6. {orphan(harrypotter)} 7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)} 8. {alive(jamespotter)} Abgeleitete Klauseln: 9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) 10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9) 11. ⊥ (6,10) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  68. 68. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 68 Eigenschaften der Resolution für FOL ■ Widerlegungsvollständigkeit □ Wird Resolution auf widersprüchliche Klauselmenge angewandt, dann existiert eine endliche Folge von Resolutionsschritten, mit denen der Widerspruch entdeckt werden kann. □ Die Anzahl n der notwendigen Beweisschritte kann dabei sehr groß werden (ineffizient) □ Resolution in FOL ist nicht entscheidbar □ Ist die Klauselmenge nicht widersprüchlich, lässt sich die Terminierung des Verfahrens nicht garantieren. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  69. 69. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 69 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  70. 70. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 70 Eigenschaften der Prädikatenlogik ■ Monotonie □ Bei Vergrößerung des Wissens gehen keine Schlussfolgerungen verloren. □ Sind S und T Theorien, mit S⊆T □ Dann gilt {F|S ⊨ } ⊆ {F|T ⊨ } Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  71. 71. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 71 Eigenschaften der Prädikatenlogik ■ Kompaktheit □ Für jede Schlussfolgerung aus einer Theorie genügt eine endliche Teilmenge der Theorie. ■ Semientscheidbarkeit □ Prädikatenlogik erster Stufe ist unentscheidbar. □ Aber sie ist semientscheidbar in dem Sinne, dass eine logische Konsequenz T ⊨ F immer in endlicher Zeit nachgewiesen werden kann (nicht aber T⊭F) Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  72. 72. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 72 Eigenschaften der Aussagenlogik ■ Alle genannten Eigenschaften der Prädikatenlogik. ■ Entscheidbarkeit □ Alle wahren Schlüsse lassen sich finden, und alle falschen Schlüsse lassen sich widerlegen, wenn man lange genug sucht. ■ D.h. es gibt immer terminierende automatische Beweiser. ■ Nützliche Eigenschaft: ■ {φ1,...,φn} ⊨ φ gilt genau dann, wenn (φ1 ∧...∧ φn) → φ eine Tautologie ist ■ Entscheidung, ob Satz eine Tautologie ist, kann über Wahrheitswerttabelle getroffen werden ■ Entspricht im Prinzip der Überprüfung aller Interpretationen Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  73. 73. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 73 Wichtige Fragmente der Prädikatenlogik ■ Aussagenlogik ■ Datalog (wie pures/reines Prolog, aber ohne Funktionssymbole) □ entscheidbar ■ Disjunktives Datalog (Klauseln ohne Funktionssymbole) □ entscheidbar ■ Hornklauseln (pures/reines Prolog) □ seminentscheidbar ■ Beschreibungslogiken (Description Logics) □ entscheidbar (manche) □ z.B. OWL → nächster Teil der Vorlesung Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  74. 74. 3. Wissensrepräsentationen 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 74 3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.2.1 Logik Grundlagen 3.2.2 Modelltheoretische Semantik 3.2.3 Normalformen 3.2.4 Resolution 3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  75. 75. Semantic Web - Vorlesungsinhalt 75 1 2 3 4 5 1.12.2009 – Vorlesung Nr. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Wissensrepräsentation und Logik Die Sprachen des Semantic Web - Teil 2 3.1.Ontologien in der Philosophie und der Informatik 3.2.Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik 3.3.RDFS-Semantik 3.4.Beschreibungslogiken 3.5.OWL und OWL-Semantik 3.6.Regeln mit RIF/SWRL Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  76. 76. 3. Wissensrepräsentation und Logik 76 Semantic Web Architektur Interface & Application Trust Proof Ontology-Level Unifying Logic Query: Ontology: OWL Rule: RIF Crypto SPARQL RDFS Data Interchange: RDF XML / XSD URI / IRI Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  77. 77. Semantic Web 77 Nächste Woche: Warum ist eine formale Semantik für RDF(S) notwendig? Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  78. 78. 3. Wissensrepräsentation und Logik 78 Literatur » P. Hitzler, M. Krötzsch, S. Rudolph, Y. Sure Semantic Web Grundlagen, Springer, 2008. » U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000. Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
  79. 79. 3. Wissensrepräsentation und Logik 79 Literatur •Blog http://sewe0910.blogspot.com/ •Materialien-Webseite http://www.hpi.uni-potsdam.de/meinel/teaching/lectures_classes/semanticweb_ws0910.html •bibsonomy - Bookmarks http://www.bibsonomy.org/user/lysander07/sw0910_06 Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam

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