Clases de Analisis Numerico en la UNTECS

1. An´lisis Num´rico–Factorizaci´n de matrices
a e o
Lic. Luis Roca
7 de noviembre de 2012
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2. Eliminaci´n gaussiana en Scilab
o
1 function X = elim ( AB )
2 // n filas
3 n = size ( AB ,1);
4 for i =1: n -1
5 for j = i +1: n
6 m = AB (j , i )/ AB (i , i );
7 AB (j ,:)= AB (j ,:) - m * AB (i ,:);
8 end
9 end
10 X = zeros (n ,1);
11 X (n ,1)= AB (n , n +1)/ AB (n , n );
12 for i =n -1: -1:1
13 X (i ,1)=( AB (i , n +1) - AB (i , i +1: n )* X ( i +1: n ,1))/ AB (i , i );
14 end
15 endfunction
16 // numerico . cursosuntecs . org
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3. Ejercicios sobre matrices - I.
Dados los vectores X e Y encuentre
1 X +Y 4 X +Y
2 X −Y
3 3X + 2Y 5 2X − Y + Y
para
1 X = (3, −4) y Y = (−2, 8) 3 X = (4, −8, 1) y
Y = (1, −12, −11)
2 X = (−6, 3, 2) y
Y = (−8, 5, 1)
4 X = (1, −2, 4, 2) y
Y = (3, −5, −4, 0)
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4. Ejercicios sobre matrices - II.
Usando al ley de cosenos
X ·Y
cos θ =
X Y
encuentre el ´ngulo (en grados) de los siguientes vectores:
a
1 X = (−6, 3, 2) y 3 X = (−1, 5, −2) y
Y = (2, −2, 1) Y = (1, −2, 11)
2 X = (4, −8, 1) y Y = (3, 4, 12)
4 X = (2, −6, 1) y
Y = (4, 6, −2)
Tambi´n grafique los vectores.
e
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5. Ejercicios sobre matrices - III.
Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si el ´ngulo que forman es
a
π/2 o si X · Y = 0. Determine si los siguientes vectores son ortogonales:
1 X = (−6, 4, 2) y Y = (6, 5, 8) 4 Encuentre dos vectores que
2 X = (−4, 8, 3) y Y = (2, 5, 16) sean ortogonales a
3 X = (−5, 7, 2) y Y = (4, 1, 6) X = (1, 2, −5)
Tambi´n grafique los vectores.
e
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6. Ejercicios sobre matrices - IV.
Encuentre el resultados de las siguientes operaciones a)A + B, b)A − B,
c)3A + 2B, d) − 4A + 5B para las matrices
   
−1 9 4 −4 9 2
A =  2 −3 −6 B =  3 −5 7 
0 5 7 8 1 −6
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7. Ejercicios sobre matrices - V.
Construya la siguientes matrices A = (aij )n×n para n = 5, n = 10, n = 15
ij i =j cos(ij) i =j
1 aij = 2 aij =
i − ij + j i =j i − ij − j i =j
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8. Ejercicios sobre matrices - VI.
Encuentre el resultados de aplicar sucesivamente las siguientes operaciones
elementales fila a)F1 ← F1 + 2F2 , b)F3 ← F3 + 4F1 , c)F3 ← F3 − 3F2 ,
d)F2 ← F2 − 3F1 a las matrices
   
−1 9 4 2 −4 9 2 3
 2 −3 −6 −1
 B =  3 −5 7 1

A= 
0 5 7 3  8 1 −6 3 
1 2 −4 2 4 5 −2 −2
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9. Ejercicios sobre matrices - VII.
Encuentre la par´bola y = A + Bx + Cx 2 que pasa por los puntos
a
1 (1, 1), (2, −1), (3, 1) 3 (1, 0), (2, 1), (3, 3)
2 (1, 1/2), (2, 2), (3, 5) 4 (1, 2), (2, 4), (3, 7)
Tambi´n grafique los puntos y las par´bolas.
e a
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10. Ejercicios sobre matrices - VIII.
La matriz de Hilbert es un ejemplo cl´sico de matriz mal condicionada
a
(peque˜os cambios en sus coeficientes producen grandes cambios en la
n
soluci´n del sistema)
o
1 Encuentre la soluci´n de AX = B trabajando con fracciones y usando
o
la matriz de Hilbert de dimensi´n 4 × 4
o
1 2 1 4
1 1
  
3 1
1 1 1 1 0
A = 1 3 1 5 B =  

2
1
4
1 0
3 4 5 6
1 1 1 1
4 5 6 7 0
2 Ahora resuelva AX = B usando redondeo de 4 d´
ıgitos para la mantisa:
   
1.000 0.5000 0.3333 0.2500 1
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0
A= 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 B = 0
  
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0
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11. Factorizaci´n de matrices.
o
El metodo de eliminaci´n gaussiana sin intercambio de filas da lugar a la
o
factorizaci´n LU.
o
    
4 3 −1 1 0 0 4 3 −1
A = −2 −4 5  = −0.5 1 0 0 −2.5 4.5
1 2 6 0.25 −0.5 1 0 0 8.5
esto se logra almacenando los multiplicadores mij en una matriz triangular
inferior L y llamando U a la transformaci´n de la matriz original A.
o
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