Calculo diferencial: Regla de la cadena, Teoremas

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
CARRERA DE INGENIERIA CIVIL
Nombre: Luis Edwin Robles Erazo Materia: Calculo Diferencial
Paralelo: 1ro ´´C´´
Fecha: 07 de Agosto del 2014
Docente: Ing. Ginger Carrión
Trabajo investigativo # 13
Regla de la cadena.
La regla de la cadena se usa para derivar funciones compuestas, una función compuesta
se denota por 𝑔(𝑡(𝑥)), es decir, suponiendo tres conjuntos de números reales, X, Y, Z.
Para cada𝑥 ∈ 𝑋 , el numero 𝑡(𝑥) está en Y. Como Yes el dominio de 𝑔 se puede
encontrar la imagen de 𝑡(𝑥) bajo 𝑔. Este elemento en Z se denota por 𝑔 (𝑡(𝑥)). Al
asociar 𝑔 (𝑡(𝑥)) con x se obtiene una función de X a Z que se llama función
compuesta.
En 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑡(𝑥)) donde 𝑔(𝑡(𝑥)), si 𝑔(𝑢) y 𝑡(𝑥) son derivables, entonces la derivada
de esta función compuesta estádada por 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑢)𝑡′(𝑥), pero ya que 𝑢 = 𝑡(𝑥),
entonces la derivada está dada por 𝑓′(𝑥) = 𝑔′
(𝑡(𝑥)𝑡′(𝑥)
Ejemplo:
Calcular la derivada: 𝑓(𝑥) = (𝑥2
+ 1)3
Si 𝑢 = 𝑥2
+ 1, 𝑢′
= 2𝑥
En este caso m=3
𝑓′(𝑥) = 3(𝑥2
+ 1)2
*2x = 6x (𝑥2
+ 1)2
Otra definicion:
La regla de la cadena
Si u es una función diferenciable de x, y f es una función diferenciable de u, entonces f
es una función diferenciable de x, y:
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑢)] = 𝑓′(𝑢)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Ejemplo: tomando 𝑓(𝑥) = 𝑥3
, obtenemos:
𝑑
𝑑𝑥
𝑢3
= 3𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥

2. TEOREMA DE ROLLE
Si una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto
(a,b) y si f(a) = f(b), entonces f’(c) = 0 para al menos un número c en (a,b).
Ejemplos:
1) Sea f(x) = x4
- 2x2
. Demuestra que f satisface la hipotésis del teorema de Rolle en el
intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que f’(c) =
0.
Solución: Como f es una función polinómica entonces es continua y derivable para todo
valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en el intervalo (-2,2). Además,
f(-2) = (-2)4
- 2(-2)2
= 16 - 8 = 8 y, f(2) = (2)4
- 2(2)2
= 16 - 8 = 8. Por lo tanto, f(-2) =
f(2) = 8.
Luego, f’(x) = 4x3
- 4x
= 4x(x2
- 1)
= 4x(x + 1)(x - 1)
Por lo tanto, c = 0, -1, 1. Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en
esos tres puntos, esto es: f’(0) = 0, f’(-1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente se puede observar
que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) la recta tangente es horizontal.

3. TEOREMA DEL VALOR MEDIO (LAGRANGE)
Si 𝑓(𝑥)es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe algún punto 𝑐 ∈
(𝑎, 𝑏) tal que
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
= 𝑓′𝑐
Interpretación geométrica: existe un punto
perteneciente al intervalo en el que la tangente a
𝑓(𝑥) es paralela a la secante que pasa por los
puntos de abscisa a y b.
De otro modo: existe un punto del intervalo en el
que la tasa de variación instantánea coincide con la
tasa de variación media de todo el intervalo.
Interpretación física: si se realiza un trayecto a
velocidad media 𝑣, en algún instante de ese
trayecto se ha llevado esa velocidad 𝑣.
Ejemplo:
La función 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 6𝑥 es continua y derivable en el intervalo [-2,1]=> ∃𝑐, −2 <
𝑐 < 1 tal que
𝑓(1)−𝑓(−2)
1−(−2)
= 𝑓′(𝑐).
En efecto:
−5−4
1−(−2)
= 3𝑥2
− 6 => −3 = 3𝑥2
= 1 => 𝑥 = −1, 𝑥 = 1
El valor medio que cumple el teorema es x= -1, el número que pertenece a (-2,1)

4. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE LAGRANGE.
1. Si una función 𝑓(𝑥) ) es tal que 𝑓′(𝑥) = 0 para todo x de un intervalo, entonces
𝑓(𝑥) es constante en el intervalo.
Si 𝑓(𝑥) = 0, de 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′
(𝑐)(𝑥 − 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) = 𝑐𝑡𝑒.
2. Si 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥)verifican que 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥)para todo x de un intervalo,
entonces 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) se diferencian en una constante. (Pues 𝑓 − 𝑔 cumple que 𝑓′ −
𝑔′
= 0).
3. Si una función 𝑓(𝑥) es tal que 𝑓′(𝑥) > 0 para todo x de un intervalo, entonces
𝑓(𝑥) es creciente en el intervalo. Si 𝑓(𝑥) > 0 , de 𝑓(𝑎 + ℎ) = 𝑓(𝑎) +
ℎ′𝑓(𝑐) 𝑓(𝑎 + ℎ) > 𝑓(𝑎)
Análogamente, si 𝑓(𝑥) < 0 para todo x de un intervalo, entonces es decreciente en el
intervalo.
Regla de L’ Hopital.
Supongamos que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 𝑦 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0, siendo 𝑔(𝑥) ≠ 0 en un entorno
de 𝑎, entonces, si existe lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
, se cumple que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔′(𝑥)
Esto es válido si 𝑎 se sustituye por 𝑎+
, 𝑎−
, +∞, 𝑜 − ∞.
Cabe recalcar: la regla dice que “el límite de un cociente es igual al límite del cociente
de las derivadas”; y no al de la derivada del cociente.
Ejemplos:
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= [
0
0
] → Aplicando la regla de la L’Hopital se tiene.
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= [
0
0
] = lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
=
1
1
= 1.

5. RESEÑA BILBLIOGRAFICA:
Universidad Nacional Autónoma de México. Portal Académico del CCH. Recuperado:
El 5 de agosto del 2014. Disponible en:
http://portalacademico.cch.unam.mx/materiales/prof/matdidac/sitpro/mate/calc/calc1/cal
culo/U3_Cadena.pdf
TORO JIMÉNEZ, Nilsa. Facultad: Departamento de ciencias naturales y matemáticas.
(s.d). Recuperado: el 5 de agostos del 2014. Disponible en:
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/Teorema%20de%20Rolle%20y%20Teorema%2
0del%20Valor%20Medio.htm
MARTÍNEZ MEDIANO, José M. Universidad de Alcalá.(s.d). Matemáticas II.
Teoremas del valor medio. Recuperado el 05 de agosto del 2014. Disponible en:
http://www2.uah.es/jmmartinezmediano/matebach2/Mat%20II%20Tema%2014%20T
oremas%20del%20VM%20y%20regla%20de%20LHopital.pdf