1. UNIDAD III
LA DERIVADA
3.1 DEFINICIÓN Y SIMBOLOGÍA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.
Uno de los problemas que dio origen a la derivada fue el cálculo de la velocidad
instantánea. Recordemos que la velocidad media se obtiene al dividir la distancia recorrida entre
el intervalo de tiempo transcurrido.
d
vm
t
Esta cantidad nos proporciona una velocidad representativa de todo el recorrido. Por
ejemplo, si realizamos un viaje entre dos ciudades que se encuentran a una distancia de 300 Km
en un tiempo de 3 horas, entonces la velocidad media es de 100 Km/h. Esto no significa que se
haya viajado con esta velocidad todo el recorrido. Si queremos la velocidad exactamente en un
tiempo de una hora, estamos hablando de la velocidad instantánea.
Si a cada valor del tiempo le asociamos una posición, es posible calcular la velocidad media
entre dos posiciones cualesquiera:
t1 t t1 t 2 t2
d1 d d2 d1 d2
Si deseamos la velocidad instantánea exactamente en t1 , es razonable pensar que el
instante de tiempo debe ser pequeño, es decir debe aproximarse a cero, más no puede ser cero,
esto nos lleva al concepto de límite estudiado anteriormente, por lo tanto la velocidad instantánea
es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:
d
v lim
t
t 0 --------------- (1)
Algo importante es que para poder utilizar esta fórmula debemos tener una función que
nos dé la posición en función del tiempo d f (t ) .
La función anterior nos permite calcular la posición para cualquier instante, para que t
tienda a cero, es necesario que t 2 se aproxime a t1 , es posible escribir t 2 de la siguiente forma
t 2 t1 t , entonces d1 f (t1 ) y d 2 f (t1 t ) , sustituyendo en la fórmula (1):
d d2 d1 f (t1 t) f (t1 )
v lim lim lim
t t t
t 0 t 0 t 0
43

2. Ejemplo:
Un cuerpo se mueve en lineal recta y su posición con respecto al tiempo se obtiene
mediante la función f (t ) t , es decir la posición es igual al tiempo transcurrido, determine su
velocidad instantánea exactamente en 1 segundo.
En este ejemplo tenemos que t1 1 , si sustituimos en la fórmula de la velocidad
instantánea:
d f (t1 t) f (t1 ) f (1 t) f (1)
v lim lim lim
t t t
t 0 t 0 t 0
Utilizando la función f (t ) t
(1 t) 1 t
v lim lim lim 1 1
t t
t 0 t 0 t 0
Tenemos que la velocidad instantánea es de 1 m/s, en este caso es constante.
Es posible generalizar el resultado anterior para cualquier tiempo t , esto nos daría como
resultado la fórmula:
f (t t) f (t )
v lim
t
t 0
Ejemplo:
La posición de una partícula que se mueve en línea recta se obtiene mediante la expresión
f (t ) 2t 2 t 1 , determine la velocidad instantánea para cualquier tiempo t y calcule la
velocidad en 5 segundos.
La velocidad instantánea para cualquier tiempo se obtiene con la fórmula:
f (t t) f (t )
v lim
t
t 0
Sustituyendo los valores en la función:
2(t t)2 t t 1 (2t 2 t 1)
v lim
t
t 0
Realizando operaciones y simplificando:
4t t 2 t2 t t (4t 2 t 1)
v lim lim lim 4t 2 t 1 4t 1
t t
t 0 t 0 t 0
44

3. La expresión de la velocidad instantánea es v 4t 1 , para t 5, la velocidad es
v 4(5) 1 21 m / s
Si la fórmula anterior la aplicamos a cualquier función f (x) nos proporciona la razón de
cambio instantánea, a esta se le da el nombre de Derivada, la cual se simboliza:
f (x x) f ( x)
f ( x) lim
x
x 0
Ejemplo:
Usando la fórmula, derivar las siguientes funciones:
a) f ( x) 3x 3 x2
1
b) h( x)
x
c) p ( x ) x
Solución:
a)
f (x x) f ( x) 3( x x) 3 (x x) 2 ( 3x 3 x2 )
f ( x) lim lim
x x
x 0 x 0
Desarrollando y simplificando se obtiene:
x( 9 x 2 9x x 3 x2 2x x)
f ( x) lim lim ( 9 x 2 9x x 3 x2 2x x)
x
x 0 x 0
f ( x) 9x2 2x
1 1 x x x
h( x x ) h( x ) (x x)( x) x
h ( x) lim lim x x x lim lim
x x x x( x x)(x)
b) x 0 x 0 x 0 x 0
1 1
h ( x) lim
(x x)(x) x2
x 0
c) En este ejemplo es necesario racionalizar.
p( x x) p( x) x x x x x x x x x
p ( x) lim lim lim
x x x x x x( x x x)
x 0 x 0 x 0
1 1
p ( x) lim
x x x 2 x
x 0
45

4. Ejercicio 1:
1.- Usando la fórmula de la definición de derivada, obtener la derivada de las siguientes
funciones:
a) b) c)
3.2 INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA.
Otro problema que origino el concepto de derivada fue el de obtener la ecuación de la
recta tangente a un punto a una curva. Recordemos que una recta tangente es aquella que toca en
un solo punto a una curva.
Recta tangente
Al estudiar la función lineal se obtuvo una fórmula para determinar la ecuación de una
recta conociendo dos puntos es y y1 m( x x1 ) , partiremos de la figura:
P2 Recta secante
y y2 y1
P1 Recta tangente
x
La pendiente de esta recta secante se obtiene usando las coordenadas de los puntos:
y y2 y1
ms
x x
Si hacemos que x tienda a cero, el punto P2 se acerca al punto P1, de tal manera que en
el límite estos dos puntos coinciden y es posible calcular la pendiente de la recta tangente al
punto P1:
y
mT Lím
x
x 0
Si conocemos la función y f (x) , es posible escribir y de la siguiente forma
y y2 y1 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) , sustituyendo el la fórmula:
y f ( x1 x) f ( x1 )
mT lim lim
x x
x 0 x 0
46

5. Usando la fórmula podemos obtener la pendiente de la recta tangente, la ecuación de esta
recta es y y1 mT ( x x1 ) . Obsérvese que solo es necesario dar las coordenadas de un punto
y conocer la función.
La fórmula se puede generaliza para cualquier punto sobre la curva:
f (x x) f ( x)
mT lim f ( x)
x
x 0
Es importante hacer notar que el cálculo de la velocidad instantánea y el de la obtención
de la recta tangente conducen al mismo concepto “La Derivada”.
Ejemplo.
Obtener la ecuación de la recta tangente a la función f ( x ) 3x 2 2 en el punto donde
x=3.
La ecuación de la recta tangente es y y1 mT ( x x1 ) , primero debemos obtener el
valor de la función que corresponde a x1 3 , para esto sustituimos este valor en al función:
y1 f ( x1 ) f (3) 3(3) 2 2 29
Ahora necesitamos el valor de la pendiente, para calcularla usamos la fórmula:
f (x x) f ( x) 3( x x) 2 2 (3x 2 2)
mT lim lim
x x
x 0 x 0
Al efectuar las operaciones y evaluando el limite se obtiene mT 6 x usado el valor
x1 3 , se obtiene mT 18 . La ecuación de la recta tangente es:
y 29 18( x 3) 29 18x 54 25 18x
Ejercicio 2:
Obtener la ecuación de la recta tangente a las funciones, en el punto donde el valor de x
se mencione.
a) f ( x) 2x3 2 x 1 en x= -1
2
b) g ( x) en x= 5
x 1
c) h( x ) x 1 en x= 3
La derivada nos proporciona la pendiente de la recta tangente, está pendiente es la
tangente del ángulo que la recta forma con el eje horizontal:
y y2 y1
dy Recta tangente
dx = x
47

6. Esta pendiente se puede representar por media del cociente de dos números muy
pequeños llamados diferenciales:
dy
f ( x)
dx
3.3 REGLAS O FÓRMULAS PARA DERIVAR FUNCIONES.
Como te habrás dado cuenta, el obtener la derivada de una función usando la fórmula
f (x x) f ( x)
f ( x) lim
x , es un proceso tardado y en muchos casos difícil. Es posible
x 0
obtener la derivada utilizando fórmulas, las cuales se obtienen a partir de la definición de
derivada.
3.3.1 FÓRMULAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS.
Caso 1.- Iniciaremos con las funciones polinomiales, el caso más sencillo es el de la función
constante f ( x) c . Usando la fórmula:
f (x x) f ( x) c c
f ( x) lim lim lim 0 0
x x
x 0 x 0 x 0
Concluimos que f (x) 0 para una constante.
Caso 2.-Si ahora se considera la función identidad f ( x) x
f (x x) f ( x) x x x x
f ( x) lim lim lim Lím 1 1
x x x
x 0 x 0 x 0 x 0
La derivada de la función identidad es f (x) 1
Caso 3.- Si derivamos la función f ( x) x n para n entero positivo:
f (x x) f ( x) (x x) n xn
f ( x) lim lim
x x
x 0 x 0
Para esta función debemos utilizar el teorema del binomio de Newton, el cual sirve para
elevar un binomio a una potencia.
(a b) n a n na n 1b n(n 1)a n 2 b 2 n(n 1)( n 2)a n 3b 3 .... b n
Haciendo a x y b x
xn nx n 1 x n(n 1) x n 2
x2 n(n 1)(n 2) x n 3
x 3 ... xn xn
f ( x) lim
x
x 0
48

7. Factorizando x de cada término y eliminando con el del denominador, se obtiene:
f ( x) lim nx n 1
n(n 1) x x n(n 1)( n 2) x n 3
x2 ... xn 1
nx n 1
x 0
Tenemos entonces, que si f ( x) x n entonces f ( x) nx n 1
Por ejemplo si queremos derivar f ( x) x 3 aplicando la fórmula obtenemos f ( x) 3x 2
Para obtener la derivada de una función se puede utilizar un operador, este es un símbolo
d
que nos indica que se realiza una operación definida de alguna forma, para la derivada se usan
dx
o D x . El ejemplo anterior lo podemos realizar:
d 3
f ( x) ( x ) 3x 2 o f ( x) Dx ( x 3 ) 3x 2
dx
Caso 4.- En los polinomios la potencia de la variable se encuentre multiplicada por una
constante, por ejemplo 2x , podemos obtener una fórmula para derivar para derivar cualquier
3
función multiplicada por una constante, consideremos cf (x) :
d cf ( x x) cf ( x) f (x x) f ( x) d
cf ( x) lim c lim c f ( x)
dx x x dx
Esta propiedad nos dice que podemos sacar una constante del operador. Derivando la
función anterior:
d d 3
(2 x 3 ) 2 (x ) 2(3x 2 ) 6x 2
dx dx
Caso 5.- Ahora obtendremos una fórmula para derivar funciones donde tenemos suma de
términos, por ejemplo h( x) 2 x 2 . Esta función la podemos escribir como una suma de dos
funciones h( x) f ( x) g ( x)
d d d
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
dx dx dx
Derivemos la función h( x) 2 x2 :
d d d 2
h ( x) (2 x2 ) (2) (x ) 0 2x 2x
dx dx dx
La deducción de las siguientes fórmulas se omite (puede consultarse en cualquier libro de
Cálculo).
Caso 6.- Derivada de un producto de funciones h( x) f ( x) g ( x) su derivada es:
d d d
h ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x)
dx dx dx
49

8. Ejemplo:
Derivar el siguiente producto de funciones f ( x) (5 x 4 2 x 2 )( x 2 3) usando la fórmula
del producto:
d 2 d
f ( x) (5 x 4 2x 2 ) ( x 3) ( x 2 3) (5 x 4 2 x 2 )
dx dx
(5 x 4 2 x )(2 x) ( x 3)(20 x 4 x) 10 x 5 2 x 3
2 2 3
20 x 5 60 x 3 8 x 3 12 x
30 x 5 70 x 3 12 x x(30 x 4 70 x 2 12)
f ( x)
Caso 7.- Derivada de un cociente h( x) g ( x) 0
g ( x)
g ( x) D x f ( x) f ( x) D x g ( x)
h ( x) 2
g ( x)
Ejemplo:
3x 3 2x
Derivar la función f ( x )
x2 4
(x2 4) D x (3x 3 2 x) (3x 3 2 x) D x ( x 2 4) (x2 4)(9 x 2 2) (3x 3 2 x)(2 x)
f ( x)
( x 2 4) 2 ( x 2 4) 2
9x 4 2x 2 36 x 2 8 6 x 4 4x 2 3x 4 38x 2 8
( x 2 4) 2 ( x 2 4) 2
Caso 7 Derivada de una función compuesta h( x) f g ( x)
h ( x) f g ( x) D x g ( x)
A esta fórmula se le conoce como la regla de la cadena.
Ejemplo:
4 4
Derivar f ( x) 2x 2 5 en este caso g ( x) 2x 2 5 , entonces f ( x) g ( x)
derivando tenemos:
4 1 3 3
f ( x) 4 g ( x) Dx g ( x) 4 2x 2 5 Dx (2 x 2 5) 4 2x 2 5 ( 4 x)
En el caso de que se trate de potencias de funciones la regla de la cadena se puede
escribir:
n n 1
Dx g ( x) n g ( x) Dx g ( x)
Las funciones que contiene radicales se pueden derivar utilizando las fórmulas del caso 3
y caso 7. Para esto es necesario transformar los radicales a potencias con exponentes
m
fraccionarios utilizando la propiedad a .
n m n
a
Ejemplos:
50

9. Derivar las funciones:
a) f ( x) x .Primero transformamos a un exponente fraccionario y utilizamos la
fórmula del caso 3.
1 1 1
2
1 2 1 1 2
1
f ( x) Dx ( x ) x x
2 2 2 x
b) x2 2 utilizando el caso 7
3
h( x)
1 1 2 1 1 1 2 2 2x
h ( x) Dx x 2 2 3
x 2 3
Dx ( x 2 2) x 2 3
(2 x)
3 3 3 3
x2 2
2
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ALGEBRAICAS:
1.- D x (c ) 0
2.- D x (x) 1
3.- D x ( x )
n
nx n 1
4.- D x f ( x) g ( x) D x f ( x) D x g ( x)
5.- D x f ( x) g ( x) f ( x) D x g ( x) g ( x) D x f ( x)
f ( x) g ( x) Dx f ( x) f ( x) Dx g ( x)
6.- Dx 2
g ( x) g ( x)
n n 1
7.- Dx f ( x) n f ( x) Dx f ( x)
La combinación adecuada de estas fórmulas permite derivar cualquier función algebraica.
Ejemplos:
Derivar la función f ( x) x 3 (x 2 2) 2 . En este caso debemos usar también la fórmula
para derivar una potencia:
51

10. d 3 2 d 2 d 3
f ' ( x) x (x 2) 2 x3 (x 2) 2 ( x 2 2) 2 x
dx dx dx
d 2
x 3 2( x 2 2) 2 1 (x 2) (x2 2) 2 (3x 2 )
dx
x 3 2( x 2 2) 2 1 (2 x) (x2 2) 2 (3x 2 )
4x4 (x 2 2) 3x 3 ( x 2 2) 2
La expresión obtenida, puede ser simplificada si usamos la factorización:
x3 (x 2 2) 4 x 3( x 2 2) x3 (x 2 2) 4 x 3x 2 6
x2
Derivar el siguiente cociente y
(x 2 5) 3
d 2 d
2 ( x 2 5) 3 x x 2 ( x 2 5) 3
d x dx dx
y'
dx ( x 5) 3
2 2
( x 5) 3 2
( x 2 5) 3 (2 x) ( x 2 ) 3( x 2 5) 2 (2 x)
( x 2 5) 6
2 x( x 2 5) 3 6 x 3 ( x 2 5) 2 2 x( x 2 5) 2 x 2 5 3 x 2
( x 2 5) 6 ( x 2 5) 6
2 x(5 2 x 2 )
( x 2 5) 4
1
Derivar g ( x ) x 2 x 4 = x 2 ( x 4) 2
1 1 1 1
g ( x) x 2 D x ( x 4) 2
( x 4) 2 D x x 2 x 2 1 ( x 4)
2
2
(1) ( x 4) 2 (2 x)
x2 1 x2 ( x 4)(2 x) 3x 2 8 x 3x 2 8x
1
( x 4) 2 (2 x) 1 1
2( x 4) 2
2( x 4) 2 2( x 4) 2 2 x 4
52

11. Ejercicio 3:
1.- Utilizando las fórmulas de derivación algebraicas, derivar las siguientes funciones:
a) f ( x) 4x3 2x 2 4
b) p ( x) 6 x 3 (4 3x 4 ) 2
3(t 2 2)
c) h(t )
(t 4) 3
d) r ( x) (x2 3 x ) 3 (6 4 x 2 ) 2
x 1
e) l ( x )
x
x2 3x
f) g ( x)
x2 3
g)
3
w(r ) 4r 2 r2 2
1
h) t ( s) s2
s 2
2
i) f ( x )
3x 1
1
j) p(t )
1
1
t2
k) q( x) ax 2 1 2ax 2
l) y a bx cx 2
Ejercicio 4:
2.- Resuelve los siguientes problemas
a) Una partícula se mueve sobre una línea recta y su posición con respecto al tiempo es
x 3t 3 2t 5 determine:
 La velocidad media entre 5 y 10 segundos
 La velocidad instantánea en 5 segundos
b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a las funciones en el valor indicado:
 f ( x) 2x 2 3 x 6 en x=2
2
x
 g ( x) en x= -4
x 2
53

12. 3.3.2 FUNCIONES EXPONENCIALES.
Ahora se consideran las funciones trascendentes, iniciaremos con las exponenciales, estas
tienen la característica de estar formadas por una base numérica elevada a un exponente
variable, su forma general es:
f ( x) bx
Este tipo de funciones surge del estudio de cierto tipo de fenómenos naturales como la
radiactividad, crecimiento de poblaciones, cálculo de intereses, etc. Consideremos el siguiente
ejemplo:
Una persona deposita $1000 en una cuenta que paga una tasa de interés compuesto del
3% capitalizable mensualmente, determine la cantidad de dinero que tiene al final de 5 meses.
Al final del primer mes, la cuenta gana interese de I=1000(0.03)=30, si estos se
capitalizan, para el segundo mes se tendrá un capital de C=1000+30=1030. Para el segundo mes los
interés son I=1030(0.03)=30.9, este proceso lo podemos resumir en la siguiente tabla:
Mes Capital Intereses Capital
Inicial Final
1 1000 30 1030
2 1030 30.9 1060.9
3 1060.9 31.875 1101.727
4 1101.727 33.05181 1167.83062
5 1167.83062 35.03492 1202.86553
Si quisiéramos la cantidad acumulada al final de 2 años, tendríamos que hacer la Tabla
hasta el mes 24, lo cual resulta impractico. En la tabla podemos observar que el procedimiento de
cálculo se repite de la misma manera, es posible obtener una fórmula que permita resumir los
cálculos:
Mes Capital Intereses Capital
Inicial Final
1 C Ci C+Ci=C(1+i)
2 C(1+i) C(1+i)i C(1+i)+ C(1+i)i= C(1+I)2
3 C(1+i)2 C(1+i)2i C(1+i)2+ C(1+i)2i= C(1+I)3
4 C(1+I)3 C(1+i)3i C(1+i)3+ C(1+i)3i= C(1+i)4
. . . .
. . . .
x-1 x-1
x C(1+.i) C(1+i) i C(1+i) + C(1+i)x-1i= C(1+i)x
x-1
Esta función depende de x que es el número de meses:
f ( x) 1000 (1 i ) x
La cantidad de dinero acumulada para 24 meses es:
f (24 ) 1000 (1 0.03) 24 1000 (2,0327941) 2032.7941
El factor exponencial es 1.03 , donde 1.03 es la base.
x
Hagamos la gráfica de f ( x) 1.03 x
54

13. Para valores negativos la función tiende a cero, mientras que para valores positivos crece
hacia el infinito. El dominio de la función son todos los Reales, su contradominio es 0, .
Consideremos el caso en la capitalización de los intereses se hiciera de forma diaria, cada
hora, cada segundo, en un periodo de un mes. Como la tasa de interés es mensual, debemos
i
calcularla para cada periodo z , donde x es el número de periodos de capitalización.
x
Capitalización Número Tasa de interés Factor exponencial
de
periodos
Diaria 30 días 0.03 f (150 ) 1.001 30
z 0.001
30 1.03043908
Hora 720 0.03 f (720 ) 1.00004166 720
z 0.00004166
horas 720 1.03044894
Segundo 43200 0.03 f (43200 ) 1.0000006944 43200
z 0.00000069444
43200 1.0304545
En la tabla se observa que el valor de la función se acerca a un valor fijo cuando el número
de periodos se hace infinito, es posible calcular este valor a partir del número de Euler:
i i
z
1
x
f ( x) (1 z ) 1 z 1 z z
Si hacemos x muy grande, el valor de z tiende a cero, el límite de esta función de esta
función es:
55

14. 1 i
1 i
z
lim (1 z ) z lim (1 z )
z 0
z 0
El valor del límite no se puede obtener de manera directa, para calcularlo se puede hacer
la tabla:
z 1
(1 z ) z
0.1 2,5937424601
0.01 2,704813829421
0.001 2,716923932235
0.0001 2,716923932235
Este número se representa:
e 2,716923932235....
Para nuestro ejemplo el factor exponencial es e
i
e 0.03 1.0304545
Cuando se usa el número de Euler como base de la función exponencial se tiene:
f ( x) ex
La gráfica de esta función es:
Podemos observar que el dominio de esta función son los números reales y su
contradominio (0, ) .
En general las funciones exponenciales se pueden escribir
f ( x) bx
Se utilizan valores de la base positiva y mayores de 1.
56

15. Si en el problema del cálculo de intereses queremos saber el número de meses que
debemos invertir 1000 para obtener 5000, a una tasa de interés de 3% capitalizable
mensualmente. Debemos usar la fórmula:
f ( x) 1000 (1 i ) x
5000 1000 (1.03) x
5 (1.03) x
Es decir tenemos que encontrar el exponente x al que hay que elevar la base 1.03 para el
resultado sea 5. A este exponente se le conoce como Logaritmo, este tipo de problemas dio
origen a esta herramienta de la Matemática. Es posible establecer logaritmos para cualquier
base, por ejemplo, si buscamos a que exponente debemos elevar la base 2 para obtener 8,
debemos escribir:
2x 8
Entonces:
x log 2 8 3
Esto significa que el exponente (logaritmo) al que se debe elevar la base 2 para obtener 8
es el número 2. En la práctica se utilizan dos logaritmos, los que tiene base 10 y los que usan
como base el número de Euler, los primeros se simbolizan log 10 o simplemente log , mientras que
los segundos se representan log e ln . Los valores de estos logaritmos se pueden obtener
mediante tablas o con el uso de una calculadora científica.
Ejemplo:
Los logaritmos de los siguientes números se obtuvieron usando una calculadora científica:
log 100 2 log 25 1.39794 log 2525 3.402261
ln 34 3.526361 ln 356 5.874931 ln 0.46 0.776529
No existen valores de los logaritmos para números negativos.
Como es posible obtener el logaritmo para cualquier número positivo mayor que cero,
entonces se pueden manejar estos valores como una función:
f ( x) log x o g ( x) ln x
Sus gráficas respectivas son:
Existen propiedades muy útiles de los logaritmos para simplificar algunas operaciones:
57

16. log a AB log a A log a B
A
log a log a A log a B
B
log a A n n log a A
log a a 1
Ejemplo:
( 2 x 1) 3
Usando las propiedades de los logaritmos, simplifique la función y .
x 2
Aplicando el logaritmo a ambos miembros de la igualdad. Se puede usar logaritmos de
cualquier base.
(2 x 1) 3 1
ln y ln 1
ln y ln( 2 x 1) 3 ln( x 2) 2
ln y 3 ln( 2 x 1) 1
2 ln( x 2)
( x 2) 2
3.3.2.1 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.
Para derivar las funciones exponenciales y logarítmicas se usan las fórmulas siguientes:
Dx v
9.- Dx e v e v Dx v 11.- D x ln v
v
Dx v
10.- Dx b v b v ln bD x v 12.- Dx log b v Donde v f (x)
v ln b
A continuación se muestran las derivadas de algunas funciones:
a) La derivada de f ( x ) 2e 3 x es f ( x) D x 2e 3 x 2Dx e 3 x 2e 3 x D x 3 x 6e 3 x
D x (3x 2 5) 6x
b) Si g ( x) 5) su derivada es g ( x)
2
ln(3 x
3x 2 5 3x 2 5
2
c) Si f ( x) x 2 e 2 x , debemos derivar como un producto, entonces:
2 2 2 2
f ( x) x 2 Dx e 2 x e 2 x Dx x 2 x 2 (e 2 x )( 2 x) e 2 x (2 x)
2 2 2
2 x 3e 2 x 2 xe 2 x 2 xe 2 x ( x 2 1)
3e x 5
d) h( x) derivando como un cociente:
x3
x 3 Dx (3e x 5) (3e x 5) Dx ( x 3 ) 3x 3 e x 9 x 2 e x 15x 2 3xe x 9e x 15
h ( x)
(x3 )2 x6 x4
Nótese que es posible combinar las fórmulas algebraicas con las exponenciales y
logarítmicas.
58

17. Ejercicio 5:
Derivar las siguientes funciones.
a) y 2x3 4e 3 x b) f ( x) (2 x 2 2x
x 3e )2
x2 2te 3t
c) t ( x ) ln d) r (t )
x3 2 t 2 5t
e) p ( x) x 3 ln x f) q ( r ) 24x
2 ex
g) f ( x ) h) y 3
(x e x )2
x3
Algunas funciones complicadas es posible derivarlas utilizando las propiedades de los
logaritmos, por ejemplo la función:
3 2x3
y
e2x
Si aplicamos ln a ambos miembros de la igualdad y aplicamos las propiedades en el segundo
miembro:
1
(3 2 x 3 ) 2
1
ln y ln ln(3 2 x 3 ) 2
ln e 2 x 1
2 ln(3 2 x 3 ) 2 x
e2x
Derivando ambos miembros de la igualdad:
D x ln y Dx 1
2 ln(3 2 x 3 ) D x 2 x
y 1 6x 2
3x 2 3x 2 6 4 x 2 x2 6
2 2
y 2 3 2x 2
3 2x 2 3 2x 2 3 2x 2
Multiplicando ambos miembros por y :
1
x 2 6 (3 2 x 2 ) 2
x2 6
y 1
3 2x 2 e2x e 2 x (3 2 x 2 ) 2
Ejercicio 6:
Usando las propiedades de los logaritmos, derivar las funciones:
a) y (3 x 2 2) 3 (2 x3 )2 b) f ( x ) x2 x 2
3 2e 2 x
c) y 3e 2 x ( x e x ) 2 d) r
x 5
59

18. 3.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA.
Existen muchas aplicaciones que dan origen a ecuaciones donde no es posible despejar la
variable dependiente en términos de la variable independiente o que se requiere derivar como una
ecuación. Por ejemplo consideremos la posición de una partícula que se mueve siguiendo una
trayectoria circular que cumple la ecuación x 4 , su gráfica es:
2
y2
Se observa que no se trata de una función, pero es aun así se puede obtener su derivada,
para esto se considera que y f (x) y se deriva usando la regla de la cadena
Dx y 2 2 yD x y 2 y y , derivado la ecuación:
Dx ( x 2 y2 ) Dx 4
2 2
Dx x Dx y 0
2 x 2 yy 0
x
y
y
La derivada dio como resultado una función de dos variables, es decir necesitamos
sustituir el valor ambos valores. Si queremos la velocidad en el punto donde x=1, debemos
determinar el valor de y de la ecuación:
12 y2 4
1 y2 4
2
y 3 0
(y 3 )( y
3) 0
Para este valor de x tenemos dos valore y 2 , y 2 , entonces se presentan dos
valores de velocidad:
2 1 1
y y y
3 2 3
60

19. Esto se interpreta que para x=1 puede estar acercando o alejando del origen la partícula.
En forma gráfica, significa que para x=1 existen dos rectas tangentes.
Ejemplo:
Derivar en forma implícita la función 2xy 2 y 0 . La gráfica usando DERIVE 5
Recta tangente
Para esta ecuación es imposible despejar y en términos de x, derivando en forma
implícita:
1
D x 2 xy 2 y 2
Dx 0
1
2 xD x y 2 y 2 Dx 2 x Dx y 2
0
1
2 x(2 yy ) y 2 ( 2) 1
2 y 2
y 0
y
4 xyy 2y2 1
0
2y 2
Pasamos los términos que no contengan y al segundo miembro y factorizamos la derivada
y
4 xyy 1
2y2
2y 2
1
y 4 xy 1
2y2
2y 2
5
2y2 2y 2
y 3
1 4 xy 2 1
4 xy 1
2y 2
En la gráfica se observa que el dominio son los números reales negativos. Supongamos que
se quiere obtener la ecuación de la recta tangente para x=-1. Primero debemos conocer el valor
de y, si sustituimos x=-1 en la ecuación:
2( 1) y 2 y 0
2y2 y 0
61

20. De esta ecuación es imposible despejar el valor de y, para estos casos se han ideado
métodos que calculan estos valores en forma aproximada o podemos utilizar el programe Derive 5
para calcular este valor. De la gráfica se puede observar que el valor de y que corresponde a x=-1
se encuentra entre 0.5 y 1.
Las instrucciones son las siguientes:
1.- Escribir la ecuación 2y2 y
2.- Activamos en la barra de herramientas la instrucción Solve y seleccionar Expresión
3.- En el cuadro de dialogo seleccionar Numericalli, Bounds, en el intervalo para esta
ecuación se toma Upper=1 y Lower= 0.5, dar OK.
4.- Enseguida aparece NSOLVE(- 2·y2 + y , y, 0.5, 1)
5.- De la barra de herramientas se selecciona =
6.- Se obtiene el resultado y = 0.6299605249
Para obtener la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación y y1 mT ( x x1 ) ,
la pendiente de la tangente se obtiene con la derivada:
2 y3
mT
4x y 3 1
Sustituyendo los valores de x=-1 , y = 0.6299605249:
2 (0.6299605249 ) 3
mT 1
4( 1) (0.6299605249 ) 3 1
La ecuación es y 0.6299605249 1( x 1) 1.6299605249 x
Ejemplo:
Derivar en forma implícita 3 xe
2y
y2 x 0
2y 2
D x (3 xe y x) D x ( 0)
2y 2y
3 xD x e e Dx 3x Dx y 2 Dx x 0
2y 2y
3 xe D x 2 y 3e 2 yy 1 0
2y 2y
6 xe y 3e 2 yy 1 0
2y
y (6 xe 2 y) 1 3e 2 y
1 3e 2 y
y
6 xe 2 y 2 y
Ejercicios 7:
1.-Derivar en forma implícita las ecuaciones.
x
a) 4 x y b) c)
2 y
5 xy y 0 2xe 3x y
2xy 0 0
y
2.- Obtenga la ecuación de la recta tangente a la ecuación 3 xy xe 0 en x=1,
y
2x
dibuje su gráfica y calcule el valor de y utilizando DERIVE 6.
62

21. 3.5 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
Hasta aquí solo se ha calculado la primera derivada de una función, existen aplicaciones
del calculo donde es necesario obtener la segundad, tercera derivada, a estas se les conoce como
derivadas de orden superior.
Consideremos la función y 3x 3 2x 2 4 , si queremos la tercera derivada, derivamos
sucesivamente tres veces:
y 9x 2 4x
y 18 x 4
y 18
dny
En general una derivada de orden n se puede representar f
(n) n
( x) Dx
dx n
Ejemplo:
Obtener la cuarta derivada de y x 2e x .
y x 2e x 2 xe x
y x 2e x 2 xe x 2 xe x 2e x x 2e x 4 xe x 2e x
y x 2e x 2 xe x 4 xe x 4e x 2e x x 2e x 6 xe x 6e x
y ( 4) x 2e x 2 xe x 6 xe x 6e x 6e x x 2e x 8 xe x 12e x
Ejercicio 8:
Obtener la tercera derivada de las siguientes funciones:
1
a) f ( x) x2 1 b) y c) y ln(x 1)
( x 2) 2
Una aplicación importante del cálculo fue desarrollada por Taylor, esta consiste en
aproximar una función por medio de un polinomio de la forma:
f ( x) a0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 ) 2 a3 ( x x0 ) 3 ... a n ( x x0 ) n
Para realizar la aproximación es necesario conocer un punto de la función ( x0 , f ( x0 )) , a
partir de este se desarrolla la serie. Los valores de los coeficientes a 0 , a1 , a 2 ,..., a n , se obtienen
al sustituir el punto en la función y sus derivadas. Las fórmulas que se obtiene son:
a0 f ( x0 )
a1 f ( x0 )
f ( x0 )
a2
2!
(n)
f ( x0 )
an
n!
63

22. Esta serie es infinita para las funciones que se pueden derivar un infinito de veces, esto
significa que por más términos que agreguemos a la serie siempre tendremos un valor aproximado.
Ejemplo:
Obtener la serie de Taylor para la función f ( x) e x , utilizando el valor inicial x0 0.
Para obtener los valores de los coeficientes se usa la tabla.
Función y derivadas Valor en x0 0 Valor de los coeficientes
x 0
f ( x) e f ( 0) e 1 a0 1
f ( x) ex f (0) e0 1 a1 1
f ( x) ex f (0) e0 1 a2 1
2
f ( x) ex f (0) e0 1 a3 1
6
. . .
(n) x (n) 0 1
f ( x) e f (0) e 1 an n!
Sustituyendo en la serie tenemos:
f ( x) ex 1 x 1
2 x2 1
6 x3 1
24 x4 ... 1
n! xn ...
Ejercicios 9:
Desarrollar como una serie de Taylor las siguientes funciones usando el valor de x 0
indicado:
a) f ( x) x 1 x0 0
b) f ( x) sen x x0 0
c) f ( x) ln x x0 1
3.6 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones de los lados de un
triángulo rectángulo. Se pueden obtener seis razones:
Hipotenusa (c) Cateto opuesto a ángulo x
(a)
Cateto adyacente al ángulo x
(b)
Funciones trigonométricas directas:
Cateto opuesto a Cateto adyacente b Cateto opuesto a
Sen Cos Tan
Hipotenusa c Hipotenusa c Cateto adyacente b
Funciones trigonométricas reciprocas:
Hipotenusa c Hipotenusa c Cateto adyacente b
Csc Sec Ctg
Cateto opuesto a Cateto adyacente b Cateto opuesto a
64

23. El ángulo se puede medir en grados o radianes. Un grado es igual a la magnitud de un
ángulo central al cual le corresponde una longitud de arco de 1/360 del perímetro de un circulo.
Mientras que un radian equivale al ángulo central que corresponde una longitud de arco de un
radio.
Los valores de las funciones se pueden generar utilizando un círculo unitario, de tal
manera que al girar el radio en el círculo, el ángulo puede tomar valores entre 0 y 360° o entre
0 y 2 Radianes.
r x2 y2
y
x
Usando el programa DERIVE 6 se pueden hacer las gráficas de las funciones
trigonométricas, por ejemplo para la función seno:
2
Esta función es periódica, puesto que la gráfica se repite a intervalos iguales, en este
caso se repite cada 2 , a este valor se le llama periodo. Las gráficas de otras funciones
trigonométricas se muestran a continuación.
Coseno Tangente
65

24. La derivada de las funciones trigonométricas de obtiene con las fórmulas:
12.- D x Sen v Cos v Dx v 13.- D x Cos v Sen v D x v
14.- D x tg v sec2 v D x v 15.- D x ctg v csc2 v D x v
16.- D x sec v sec v tgv D x v 17.- D x csc v csc v ctg v D x v
Ejemplos:
Derivar las siguientes funciones:
a) f ( x) 4sen(2 x 2 ) su derivada es: f ( x) 4Cos(2 x 2 ) D x (2 x 2 ) 16 xCos(2 x 2 )
b) y x 2 tg ( x 3) derivando como un producto:
y x 2 D x tg ( x 3) tg ( x 3) D x x 2 x 2 sec2 ( x 3) 2 xtg ( x 3)
cos(x 2 2)
c) y Usando la fórmula del cociente
e2x
e 2 x Dx cos(x 2 2) cos(x 2 2) Dx e 2 x e2x 2 xsen( x 2 2) 2e 2 x cos(x 2 2)
y
(e 2 x ) 2 e4x
e2x 2 xsen( x 2 2) 2 cos(x 2 2) 2 xsen( x 2 1) 2 cos(x 2 2)
4x
e e2x
Ejercicios 10:
Derivar las siguientes funciones:
a) f ( x) sec(3x 3 ) b) y ln(sec 2 x)
c) y cos 2 (2 4 x 2 ) d) g ( x) 3 x 3 ctg (e 2x
)
e) y ( x cos x) 3 f) p 2 sec x
2
1 cos x cos x
g) t h) y
1 cos x 1 tg 2 x
Para manejar de forma adecuada las funciones trigonométricas, es necesario conocer
algunas identidades importantes:
66

25. sen x cos x 1
1.- tg x 2.- ctg x 3.- sec x
cos x sen x cos x
1
4.- csc x 5.- sen x 6.- tg x
2
2
cos2 x 1 sec2 x 1
sen x
7.- ctg x
2
csc2 x 1
Las identidades nos permiten simplificar expresiones donde que contengan funciones
trigonométricas, resolver ecuaciones y son la base de algunas técnicas de integración.
3.7 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS.
Estas funciones se usan cuando se tiene el valor de la función y se quiere conocer el valor
del ángulo que le corresponde, por ejemplo si sen 0.245 el valor del ángulo se representa
sen 1 0.245 , usando una calculadora se obtiene =0.247 Rad = 14.18º. Cada función
trigonometrica tiene su inversa. Por ejemplo y Sen x es la inversa de la función seno, esta
1
solo se encuentra definida en el intervalo 1
2 x 1 , su gráfica es:
2
La derivada de estas funciones se obtiene con las fórmulas:
Dx v Dx v
14.- Dx Sen 1v 15.- Dx Cos 1v
1 v2 1 v2
Dx v Dx v
16.- D x tg 1v 17.- Dx ctg 1v
1 v2 1 v2
Dx v Dx v
18.- Dx Sec 1v 19.- Dx csc 1 v
2
v v 1 v v2 1
67

26. Ejemplos 12.
Derivar la función y x 2 sen 1 ( x 2 1) . Usando primero la regla del producto.
y x 2 D x sen 1 ( x 2 1) sen 1 ( x 2 1) D x x 2
2x 2x3
x2 2 xsen 1 ( x 2 1) 2 xsen 1 ( x 2 1)
2 2 2 2
1 (x 1) 1 (x 1)
Ejercicios 11:
a) Derivar las siguientes funciones:
2x
1.- f ( x) 2.- g ( x)
1 1
4 cos x tg
1 x2
1 2 x
3.- y ln(tg 1 3x) 4.- F ( x) ctg
1
tg
x 2
5.- r 6.- p ( x) e sec x
2x 1 2
sen x cos 1 2 x
b) Derivar en forma implícita las funciones:
1.- 2 x sec 2.- sen xy
1
y ln x 2 0 1
cos 1 ( x y)
c) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto donde x
4
x 2
1.- y x cos 1 x 2.- y
1
sen
x
68

27. 3.8 APLICACIONES DE LA DERIVADA.
La derivada se puede utilizar en diferentes aplicaciones, entre la más importantes está la
obtención de la ecuación de la recta tangente, lo cual permite determinar los intervalos donde la
función es creciente, decreciente o estacionaria.
Primero daremos una definición más precisa de función creciente:
Sea f (x) una función definida en un intervalo, se dice que es creciente el intervalo si y
solo si:
f ( x1 ) f ( x2 ) siempre que x1 x2
En forma gráfica:
f ( x2 )
f ( x1 )
x1 x2
Se puede definir una función decreciente de la misma manera. Existe una relación entre la
derivada (pendiente de la tangente) y las funciones crecientes y decrecientes, esto se establece
con el siguiente teorema:
Sea f (x) una función continua en un intervalo a, b :
a) si f (x) 0 para toda x en el intervalo, entonces f (x) es creciente
b) si f (x) 0 para toda x en el intervalo, entonces f (x) es decreciente
c) si f (x) 0 en algún valor de x en el intervalo, entonces f (x) es estacionaria
Es posible que exista un cuarto caso, que es cuando la derivada no existe, esto se
presenta cuando hay un cambio brusco de dirección o si la derivada no esta definida para algún
valor.
69

28. A los valores que hacen cero la derivada o donde no exista se les conoce como valores
críticos, estos valores dividen el dominio de la función en intervalos crecientes o decrecientes.
Ejemplo:
Sea la función f ( x) x3 6x 2 9 x 1 determine sus valores críticos y los intervalos
donde es creciente o decreciente.
Primero derivamos e igualamos a cero:
f ( x) 3x 2 12 x 9 0
Calculamos las raíces de la ecuación:
3 x 2 12 x 9 0
2
3( x 4 x 3) 0
3( x 3)( x 1) 0
x 3 y x 1
Debemos determinar ¿cómo es la derivada en los intervalos en que dividen estos valores
el dominio de f (x) ? la forma más sencilla es utilizando valores de prueba.
Valore crítico x=1 x=3
Valor x=0 x=2 x=4
de prueba
Valor
De la derivada f (0) 9 0 f (2) 3 0 f (4) 9 0
Concluimos lo siguiente:
a) f (x) es creciente en los intervalos ,1 y 3,
b) f (x) es decreciente en el intervalo 1,3
c) f (x) es estacionaria en x=1 y x=3
La gráfica es:
70

29. Se observa en la gráfica que en los valores donde es estacionaria, la función toma un valor
mayor que los que están en las cercanías de x=1 y un valor menor que los que se encuentran
cercanos a x=3. A estos valores se les conoce como extremos relativos, puesto que no son los
valores mayores o menores que toma la función en su dominio.
Otra cosa importante es ¿cómo cambia la función antes y después de estos valores?, para
x=1, tenemos un máximo relativo y la función pasa de creciente a decreciente, es decir, su
derivada cambia de positivo a negativo. En el caso de x=3 se tiene un mínimo relativo y la derivada
cambia de negativo a positivo. A lo anterior se le conoce como el criterio de la primera derivada
para obtener valores extremos relativos, el proceso se puede resumir en los siguientes pasos:
1.- Obtener la primera derivada de la función f (x)
2.- Calcular los valores críticos, estos se encuentran donde f (x) 0 o donde se tiene un
valor singular ( f (x) existe pero no su derivada)
3.- Probar valores antes y después a cada valor crítico en la derivada para determinar si
se trata de un valor máximo o mínimo.
 Si f (x) cambia de positivo a negativa, se tiene un valor máximo
 Si f (x) cambia de negativa a positiva, se tiene un valor mínimo.
4.- Calcular los valores extremos, sustituyendo los valores críticos en la función.
Ejemplo:
Usando el procedimiento anterior, determine los valores máximos y mínimos ( si los hay)
de las siguientes funciones:
a) f ( x) 2x3 x2 3x 1
Primero derivamos la función y la igualamos a cero:
f ( x) 6x 2 2x 3 0
Utilizando la fórmula general para calcular los valores críticos:
71

30. b b2 4ac ( 2) ( 2) 2 4(6)( 3) 2 76
x
2a 2(6) 12
Tomando valores aproximados:
2 76
x1 0.89
12
2 76
x2 0.56
12
Aplicando la prueba de la primara derivada:
-0.56 0.89
f ( 0.6) 0.36 0 f (0) 3 0 f (1) 1 0
En x= -0.56 se tiene un máximo relativo y en x = 0.89 hay un mínimo relativo, sus valores
correspondientes son:
f ( 0.56) 0.0152 y f (0.89) 3.0522
Grafica de la función:
b) y 2x 3 x
Derivando e igualando a cero:
1 1 x 1 6 3x
y 2 xDx (3 x) 2
(3 x) 2 D x 2 x 1
2(3 x) 2
1
0
(3 x) 2 (3 x) 2
Aquí se presentan dos valores críticos, uno donde se hace el numerador cero x = 2 y el
otro es un valor singular, puesto que para x = 3 la derivada no existe pero si la función. Usaremos
la gráfica para observar el comportamiento de la función en estos valores:
72

31. En x = 2 podemos usar la prueba de la primera derivada y esta da como resultado que hay
un máximo, para esta función es absoluto, puesto que es el valor máximo que toma en todo su
dominio, mientras que en x = 3 la prueba falla, puesto que la derivada no existe para valores
posteriores, pero concluimos que toma un mínimo relativo.
Los valores de la función son:
f (2) 4 y f (3) 0
x2 4 si x 3
c) f ( x)
8 x si x 3
Esta es una función definida por secciones, para analizarla primero debemos saber si es
continua en todo su dominio, en x = 3 la función se divide, para este valor la función existe
f (3) 8 3 5 , el límite por la izquierda y derecha son:
Lim f ( x) Lim x 2 4 5
x 3 x 3
Lím f ( x) Lím 8 x 5
x 3 x 3
Como el límite y el valor de la función son iguales, es continua en este valor. ¿Pero que
sucede con la derivada?.
Para x 3 la derivada es f ( x) 2 x y para x 3 la derivada es f (x) 1 , entonces
el valor de la derivada para x = 3 se debe considerar por la izquierda y derecha, entonces:
f (3) 2(3) 6 y f (3) 1
Concluimos que la derivada no existe, tenemos un valor singular en x=3.
Ahora debemos determinar si las funciones por separado tienen otros valores críticos:
Para f ( x) x2 4 con x 3 , derivamos e igualamos a cero f ( x) 2x 0 , tenemos un
valor critico en x = 0 el cual pertenece a su dominio de definición.
Para f ( x) 8 x con x 3 , al derivar se obtiene f (x) 1 lo cual nos indica que su
pendiente es constante.
73

32. Concluimos que hay dos valores críticos x = 0 y x = 3, usando el criterio de la primera
derivada. En la siguiente tabla podemos resumir los resultados:
f (x) f (x) Conclusión
x 0 Negativa Decreciente
x 0 0 0 Mínimo relativo
0 x 3 Positiva Creciente
x 3 5 No existe Máximo relativo
x 3 Negativa Decreciente
3.9 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.
En la sección anterior se estableció un procedimiento para obtener los valores máximos y
mínimos de diferentes funciones. En el caso de que la función este asociada a un modelo
matemático, es posible determinar el valor optimo, ya sea un máximo o un mínimo. Tomaremos
algunos problemas estudiados en la Modelación Matemática.
1.- Un agricultor desea colocar una cerca que delimite un terreno rectangular de 5000 m 2
de superficie, determine una expresión que permita calcular el perímetro del terreno en función
de uno de sus lados y para que valor de sus lados se tiene el perímetro máximo.
Es muy común utilizar figuras que nos permitan entender mejor el problema, en este caso
el perímetro del terreno rectangular depende de las medidas de sus lados.
x
y
El perímetro del terreno los podemos obtener mediante la expresión:
P 2x 2 y
Esta es una función que depende de dos variables, para poderla escribir en términos de
una sola, debemos encontrar una relación entre las variables x y y . En este problema contamos
con la información del área:
A xy 5000
Si despejamos una de las variables y las sustituimos en el perímetro:
5000
y
x
Sustituyendo:
5000 10000
P 2x 2 2x
x x
Esta expresión es una función de una variable, la cual depende de los valores asignados a
uno de sus lados. Su dominio es 0, , esto nos indica que podemos tener un infinito de
74

33. rectángulos cuya área es 5000 m2. Para obtener el valor máximo, derivamos la función y
obtenemos los valores críticos.
10000
P 2 0
x2
x2 5000
x 70.11 m
Existe un solo valor crítico, usando el criterio de la primera derivada:
70.11 m
P 70 0.0344 0 P (71) 0.016 0
Se tiene un valor máximo y su valor es P 2(70.11) 2(70.11) 280.44 m
2.- Un estudiante cuenta con un cartón de 80 cm por lado y quiere construir una caja para
guardar sus útiles. Ha decidido cortar cuadrados idénticos en las esquinas y luego doblar las cara
para formar la caja. Antes de hacer los cortes quiere estimar cuanto debe cortar para tener el
volumen más grande de la caja.
Como en el problema anterior, primero debemos obtener un modelo matemático que nos
permita calcular el volumen de la caja en función de lo que se va cortar. Dibujemos el cartón,
indicando los cuadrados idénticos que se cortarán en las esquinas:
x x
x x
x
80 - 2 x
80 - 2 x
x x
x x
Las medidas de la caja en función de lo que se va a cortar se muestran en la figura.
Entonces el volumen de la caja se obtiene multiplicando el área de la base por la altura:
2
V 80 2x x
El dominio de esta función esta restringido por las dimensiones del cartón, 0 x 40 cm.
Si dibujamos la gráfica podemos hacer una estimación del valor de x que hace máximo el
volumen.
75

34. De la gráfica podemos estimar que valor máximo se encuentra entre 12 y 14 cm. Para
calcular este valor utilizaremos la derivada.
Derivando la función objetivo V 2 x x como un producto:
2
80
V (80 2 x) 2 D x x xD x (80 2 x) 2 (80 2 x) 2 4 x(80 2 x) 0
Factorizando para obtener los valores críticos.
(80 2 x)(80 6 x) 0
Los valores críticos son x 40 y x 13.333 cm . El segundo valor es la solución y el
volumen máximo es V (80 26 .666 ) 2 (13 .333 ) 37926 .78 cm 3
3.- Una compañía ha encontrado que la ecuación de demanda en función del precio de
venta se obtiene mediante la expresión x 20000 5000 p , además se tienen costos fijos de
$600 y costos variables de $3 por unidad, determine:
a) La ecuación de costo
b) La ecuación de ingreso en función del precio
c) La ecuación de utilidad en función del precio
d) El precio al que se tiene la utilidad máxima.
Solución:
a) La ecuación de costo es lineal, puesto que hay un incremento constante de $3 por
cada unidad y costos fijos de $600.
C 600 3x
b) El ingreso se obtiene multiplicando el número de unidades vendidas por el precio de
venta:
I xp (20000 5000 p) p 20000 p 5000 p 2
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35. Esta función debe estar definida para los valores del precio que hagan que el ingreso sea
positivo, entonces 0 p 4 .
c) La utilidad es la diferencia entre el ingreso y los costos:
U I C 20000 p 5000 p 2 600 3x
Al sustituir la ecuación de demanda, se obtiene la utilidad en términos del precio.
U 20000 p 5000 p 2 600 60000 15000 p
U 5000 p 2 35000 p 60600
d) Para obtener la utilidad máxima, debemos calcular los valores críticos, derivando e
igualando a cero.
U 10000 p 35000 0
p 3.5
El número de unidades para este valor es:
x 20000 5000 p 20000 5000(3.5) 2500
Ejercicio:
1.- Una persona tiene 800 m de cerca, determine las dimensiones del terreno rectangular
de mayor área posible que puede cercar.
2.- Un artesano tiene una lamina de estaño de 40 cm por 60 cm y quiere hacer una caja sin
tapa, para esto cortará cuadrados idénticos en las esquinas, determine cuanto debe cortar para
formar la caja de mayor volumen posible.
3.- La compañía enlatadora Herdez, va a lanzar un nuevo producto y utilizará una lata en
forma de cilindro regular, el costo del material de las tapas es de $40 el m 2 y el material del
cuerpo tiene un costo de $30 el m2, si debe contener un volumen de 120 cm 3, ¿Cuáles deben ser
las dimensiones para tener el menor costo posible?.
4.- Un fabricante puede tener una utilidad de $20 en cada artículo si se producen
semanalmente 800 o menos. Si la utilidad decrece en 2 centavos por cada artículo que sobrepase
los 800, determine ¿Cuántos artículos debe fabricar para obtener la utilidad máxima?
5.- Un trozo de alambre de 10 cm de longitud se corta en dos partes. Una parte será
doblada para formar un círculo y la otra será doblada para formar un cuadrado. Como se debe
cortar el alambre para que el área combinada de las dos figuras sea lo más grande posible.
6.- La empresa Plásticos S.A. estima que sus costos fijos son de $300 diarios, mientras
que sus costos variables son de $5 por cada unidad que produce, actualmente se sabe que la
demanda se mantiene constante en 150 unidades diarias cuando se venden a $5.5. Se ha estimado
que por cada centavo que se incremente el precio la demanda disminuye en 2 unidades, determine
el precio de venta al que se tiene la utilidad máxima.
77

36. 3.10 LA DIFERENCIAL.
En el cálculo de la derivada se involucra el cociente de dos cantidades muy pequeñas, a
estas se les conoce como diferenciales. Recordemos que la derivada se obtiene como el límite del
cociente de dos incrementos, cuando el incremento del denominador tiende a cero:
y dy
f ( x) Lím
x dx
x 0
Los diferenciales dy y dx son dos números muy pequeños, mas no pueden ser cero. Es
posible separar este cociente para formar lo que se conoce como una ecuación diferencial:
dy f ( x)dx
Podemos hacer una interpretación gráfica de esta operación. Recordemos que la derivada
nos proporciona la pendiente de la recta tangente, obtenida a partir de la pendiente de una recta
secante.
Recta secante
y y2 y1
dy Recta tangente
dx = x
En figura se observa que el valor del incremento x es igual al diferencial dx , los
valores de y y dy , se aproximan conforme x 0.
Para obtener el diferencial basta derivar la función y multiplicar ambos miembros por el
diferencial de la variable independiente.
Ejemplo:
Obtener el diferencial de las siguientes funciones.
a) f ( x) 3x 2 5x
dy
Primero derivamos la función y la escribimos usando la notación
dx
dy
f ( x) 6 x 5 , entonces el diferencial es dy (6 x 5)dx
dx
b) y 2e x cos x
78

37. dy
Derivando como un producto 2e x cos x 2e x senx el diferencial es
dx
dy (2e x cos x 2e x senx)dx
c) 2 xy y2 3x 0
dy dy
Derivando en forma implícita 2 x 2y 2y 3 0 despejando la derivada
dx dx
dy 3 2y
2x 2 y 3 2 y entonces dy dx , obsérvese que en este caso la función
dx 2x 2 y
que acompaña al diferencial es de dos variables, esto se representa dy f ( x, y)dy .
dy dy
Si multiplicamos la ecuación 2 x 2y 2y 3 0 por el diferencial dx la podemos
dx dx
escribir de la forma:
2 xdy 2 ydx 2 ydy 3dx 0
(2 x 2 y )dy (2 y 3)dx 0
Tenemos aquí una ecuación en términos de diferenciales, la búsqueda de la ecuación o
solución a esta Ecuación Diferencial , da origen a una importante rama de las matemáticas,
llamada Ecuaciones Diferenciales.
Ejercicios:
1.- Obtenga el diferencial de las siguientes funciones.
3t 1 2x
a) y 3x( x 2) 3 b) v c) y ln
e 2t 3x 1
2.- Determina la ecuación diferencial la que da origen cada una de las siguientes
ecuaciones:
a) x y b) 3 x ln x c) x cos y
2
xy 3 0 2
xy 0 0
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