Apostila de Matemática - CEFET/COLTEC

CENTRO FEDERAL DE
EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
DE MINAS GERAIS

Curso Pró-Técnico
Disciplina:

Matemática
Texto Experimental – 1a Edição

Antonio José Bento Bottion e
Paulo Henrique Cruz Pereira

Varginha – Minas Gerais
Dezembro de 2006

Álgebra

Fonte: http://community.learnnc.org/dpi/math/archives/AlgArt.gif

Geometria

Fonte: http://ww2.wdg.uri.edu:81/testsite/fileadmin/advance_client/mathematics.gif

............................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – Campus VIII - Varginha

MATEMÁTICA I
Prof. Antônio José Bento Bottion

ÍNDICE
1. TEORIA DOS CONJUNTOS .................................................................................................................... 6
1.1. SIMBOLOGIA ....................................................................................................................................... 6
1.2. CONCEITOS PRIMITIVOS ...................................................................................................................... 6
1.3. REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO .................................................................................................. 7
1.4. MAIS DOIS POSTULADOS ..................................................................................................................... 8
1.5. DEFINIÇÃO DE SUBCONJUNTO.............................................................................................................. 8
1.6. TEOREMAS ......................................................................................................................................... 9
1.7. COMPLEMENTAR............................................................................................................................... 10
1.8. CONJUNTO UNIVERSO ....................................................................................................................... 10
1.9. UNIÃO .............................................................................................................................................. 11
1.10. INTERSECÇÃO .................................................................................................................................. 12
1.11. DIFERENÇA ...................................................................................................................................... 13
1.12. PAR ORDENADO................................................................................................................................ 15
1.13. PRODUTO CARTESIANO ..................................................................................................................... 15

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS .................................................................................................................. 17
2.1. NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS INTEIROS ........................................................................................ 17
2.2. NÚMEROS RACIONAIS........................................................................................................................ 17
2.3. NÚMEROS IRRACIONAIS..................................................................................................................... 19
2.4. NÚMEROS REAIS ............................................................................................................................... 19
2.5. TEOREMAS ....................................................................................................................................... 19
2.6. OUTRAS NOTAÇÕES .......................................................................................................................... 21
2.7. INTERVALOS ..................................................................................................................................... 21

3. ARITMÉTICA DOS INTEIROS ............................................................................................................... 23
3.1. MÚLTIPLO E DIVISOR ......................................................................................................................... 23
3.2. NÚMERO PAR ................................................................................................................................... 23
3.3. TEOREMA ......................................................................................................................................... 25
3.4. NÚMERO PRIMO ................................................................................................................................ 26
3.5. NÚMERO COMPOSTO ........................................................................................................................ 26
3.6. TEOREMA ......................................................................................................................................... 26
3.7. FORMA FATORADA ............................................................................................................................ 28
3.8. DIVISÃO EUCLIDIANA ......................................................................................................................... 30
3.9. MÁXIMO DIVISOR COMUM .................................................................................................................. 31

Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática – Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira


3.10. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI .............................................................................................................. 32
3.11. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ................................................................................................................. 32
3.12. TEOREMA ......................................................................................................................................... 33

4. TÉCNICAS DE FATORAÇÃO................................................................................................................ 34
4.1. EXPRESSÃO ALGÉBRICA .................................................................................................................... 34
4.2. VALOR NUMÉRICO ............................................................................................................................. 34
4.3. FATORAR – DESENVOLVER ............................................................................................................... 35
4.4. CASOS DE FATORAÇÃO ..................................................................................................................... 36

5. POTENCIAÇÃO...................................................................................................................................... 46
5.1. DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 46
5.2. DEFINIÇÕES ..................................................................................................................................... 47
5.3. SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES ....................................................................................................... 49
5.4. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS ........................................................................................................ 50
5.5. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ................................................................................................................ 53
5.6. NOTAÇÃO CIENTÍFICA ........................................................................................................................ 55
5.7. RESUMO .......................................................................................................................................... 56

6. RADICIAÇÃO ......................................................................................................................................... 58
6.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 58
6.2. GENERALIZAÇÃO .............................................................................................................................. 58
6.3. DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 59
6.4. PROPRIEDADES DOS RADICAIS........................................................................................................... 61
6.5. REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE .......................................................................................... 64
6.6. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES .............................................................................................. 65
6.7. POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL ................................................................................................... 66
6.8. RADICANDO NEGATIVO ...................................................................................................................... 67
6.9. PROPRIEDADE .................................................................................................................................. 68

7. EQUAÇÃO DO 2º GRAU ....................................................................................................................... 69
7.1. DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 69
7.2. RAIZ DA EQUAÇÃO ............................................................................................................................ 69
7.3. CONJUNTO SOLUÇÃO ........................................................................................................................ 70
7.4. FÓRMULA RESOLUTIVA ...................................................................................................................... 70
7.5. OBSERVAÇÕES ................................................................................................................................. 70
7.6. EQUAÇÕES INCOMPLETAS ................................................................................................................. 72
7.7. A FORMA FATORADA ......................................................................................................................... 72
7.8. SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES........................................................................................................... 73
7.9. EQUAÇÕES BIQUADRADAS ................................................................................................................. 75

8. TEORIA DAS FUNÇÕES ....................................................................................................................... 77
8.1. FUNÇÃO DE A EM B .......................................................................................................................... 77


8.2. UMA OUTRA NOTAÇÃO....................................................................................................................... 78
8.3. DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL............................................................................. 80
8.4. CONJUNTO IMAGEM .......................................................................................................................... 81
8.5. GRÁFICO .......................................................................................................................................... 83
8.6. CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO......................................................................................................... 85
8.7. CONJUNTO SIMÉTRICO ...................................................................................................................... 87
8.8. PARIDADE DE UMA FUNÇÃO ............................................................................................................... 87

9. A FUNÇÃO DO 1° GRAU....................................................................................................................... 89
9.1. FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU ............................................................................................................. 89
9.2. TEOREMA ......................................................................................................................................... 92

10. A FUNÇÃO DO 2° GRAU .................................................................................................................. 94
10.1. FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ............................................................................................................. 94
10.2. A PARÁBOLA..................................................................................................................................... 94
10.3. CONSIDERAÇÕES.............................................................................................................................. 96


............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha

1. Teoria dos conjuntos

1.1. Simbologia

Para termos uma linguagem precisa e concisa, serão utilizados os seguintes símbolos:

Símbolo Leia-se

(∀ x ) para todo x

(∃ x ) existe x

(∃ x ) existe um único x

P⇒Q se P, então Q

P⇔Q P se, e somente se, Q

Na implicação P ⇒ Q , deve-se entender que, parindo da proposição P, deduz-se a
proposição Q. Assim, por exemplo, sendo x um número real, a sentença ( x > 5 ) ⇒ ( x > 3) é

VERDADEIRA, pois todo número maior que 5 é maior que 3, enquanto que a sentença

( x > 3) ⇒ ( x > 5) é FALSA, pois existem números maiores que 3, que não são maiores que 5.

A bi-implicação P ⇔ Q é equivalente à sentença ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) .
Assim, por exemplo, x = 5 ⇔ x + 1 = 6 é uma sentença verdadeira, pois as sentenças
x = 5 ⇒ x + 1 = 6 e x + 1 = 6 ⇒ x = 5 são ambas verdadeiras.

1.2. Conceitos primitivos

O ponto de partida da teoria dos conjuntos consiste nos seguintes conceitos primitivos:

− conjunto
− elemento de um conjunto
− igualdade de conjuntos

Para indicar que x é um elemento do conjunto A, escrevemos x ∈ A (leia-se também x
pertence a A.)
A notação x ∉ A significa que x não é elemento do conjunto A.
É importante observar que acima não consta o conceito de “elemento”, e sim o conceito de
“elemento de um conjunto”. Assim, não há sentido em discutir se x é elemento ou não. Discute-se
apenas se x é ou não elemento de um dado conjunto.

Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 6


1.3. Representações de um conjunto

Além de se representar um conjunto por uma letra (na maioria das vezes maiúscula), são
usadas as seguintes representações:

− {e1, e2, ..., en}, onde e1, e2, ..., em é a lista dos elementos do referido conjunto
dispostos numa ordem qualquer, com ou sem repetição.
− {x ∈A :S ( x )} , onde S(x) é uma propriedade sobre a variável x, que tem por
finalidade selecionar elementos de A; por exemplo, {x ∈A :x > 5} .

Adotaremos também o seguinte postulado:

Se todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A, então os
conjuntos A e B são iguais.

Exemplo 1

{1, 2} = {2,1} e {1, 2} = {1, 2,1, 2, 2}

Exemplo 2

Sendo ℕ = {0,1, 2,...,10,11,...} o conjunto dos números naturais, quantos são os

elementos do referido conjunto: {x ∈ℕ :2x + 5 ≤17} ?
2x + 5 ≤ 17 ⇒ 2x ≤ 12 e 2x ≤ 12 ⇒ x ≤ 6
Tem-se então que x ≤ 6 e x ∈{0,1, 2,3, 4,5, 6} .
Logo, os elementos do referido conjunto são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, e, portanto, este possui 7
elementos.

Resposta: 7.

Exemplo 3
Quais são os elementos do conjunto ℕ dos números naturais que satisfazem à condição
S(x) :x + 2 ≤ 1 ?
x + 2 ≤ 1 ⇒ x ≤ −1
Repare que não há número natural que satisfaz tal condição.

Resposta: Nenhum.



1.4. Mais dois postulados

Para que possamos operar com conjuntos, sem correr o risco de ficar operando com o
“nada”, como no último exemplo, vamos estabelecer que:

Existe um conjunto sem elementos, que chamamos de conjunto vazio e que indicaremos,
sem preferência por { } ou por ∅ (Postulado).

Sendo assim, podemos voltar ao item 2 e obter maior precisão, se ficar estabelecido que:

Dados um conjunto A e uma sentença S(x), na qual a variável x ocorre pelo menos uma
vez sem ser introduzida por “existe x”, nem por “para todo x”, existe sempre um conjunto B tal que

B = {x ∈ A : S ( x )} (Postulado).

Assim,

{x ∈ℕ :2x + 5 ≤17} = {0,1, 2,3, 4,5, 6} e

{x ∈ℕ :x + 2 ≤1} = { } = ∅

1.5. Definição de subconjunto

Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se , e somente se, todo
elemento de B é elemento de A.
Notação: B ⊂ A (leia-se B está contido em A).

A
B

B ⊂ A ⇔ ( ∀x )( x ∈ B ⇒ x ∈ A )

Obs: A representação gráfica usada aqui foi proposta pelo matemático Venn.

Por outro lado, tem-se que B ⊄ A se, e somente se, existir pelo menos um elemento de
B que não é elemento de A.



Em símbolos:

B ⊄ A ⇔ ( ∃x )( x ∈ B e x ∉ A )

Exemplo 4

Dado o conjunto A = {1, 2,3, {3, 4}} , classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma
das seguintes proposições:

a) A possui quatro elementos ( )
b) 1 ∈ A e 2 ∈ A ( )
c) {1, 2} ⊂ A ( )

d) {3, 4} ⊂ A ( )

e) {{3, 4}} ⊂ A ( )
O conjunto A possui 4 elementos, a saber, os números 1, 2, 3 e o conjunto binário {3, 4} ;
portanto, tem-se que 1 ∈ A , 2 ∈ A , 3 ∈ A e {3, 4} ∈ A .
{1, 2} ⊂ A , pois 1 e 2 são elementos de A
{3, 4} ⊄ A , pois 4 não é elemento de A
{{3, 4}} ⊂ A , pois {3, 4} é elemento de A
Sendo assim, a única afirmação falsa é a (d).

1.6. Teoremas

Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que o conjunto vazio é subconjunto de A.

Pois, se não o fosse, deveria existir pelo menos um elemento do conjunto vazio que não
pertencesse a A (o que é absurdo).

Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que A é subconjunto de A.

Pois todo elemento de A é elemento de A.

Tem-se então que ( ∀A )( A ⊂ A ) , mesmo com A = { }.

Repare ainda que a expressão “todo elemento de A” não implica que o conjunto A tenha
elementos. Assim, por exemplo, a afirmação “Toda tarefa deve ser cumprida.” não implica que
haja tarefa.



Sendo A e B conjuntos, tem-se que:
A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B.
Sendo A um conjunto finito com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos de
n
Aé2.
O conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado “o conjunto das partes de A” e será
indicado por P(A).

Exemplo 5

Dado o conjunto A = {1, 2,3} , obter o conjunto das partes de A.
Como o número de elementos de A é 3, conclui-se que o número de seus subconjuntos é
3
2 = 8. Os subconjuntos de A são:

{ }
{1} {2} {3}
{1,2} {1,3} {2,3}
A

Resposta:
O conjunto das partes de A é
P(A)= {{ }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A}

1.7. Complementar

Dados os conjuntos A e B, com B ⊂ A , chama-se de complementar de B em relação a A
ao conjunto:
A
B

CBA = {x ∈ A :x ∉ B}

1.8. Conjunto universo

Em qualquer discussão na teoria dos conjuntos devemos fixar sempre um conjunto U, que
contém todos os conjuntos que possam ser envolvidos. O conjunto U será chamado de conjunto
universo.



Sendo u o conjunto universo e A um conjunto qualquer, chama-se complementar de A ao
conjunto:
U

A

A = CA U = {x ∈ U :x ∉ A}
Exemplo 6

Considerando como universo o conjunto U = {0,1, 2,3, 4,5, 6} , e dados os conjuntos

A = {1, 2,3, 4} e B = {2, 4} , tem-se que:

O complementar de B em relação a A é CBA = {1,3} .

O complementar de A em relação a A é CA A = { }.
O complementar de B é B = {0,1, 3,5, 6} .

O complementar de A é A = {0,5, 6} .

1.9. União

Dados os conjuntos A e B num Universo U, chama-se de união (ou reunião) de A com B
ao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B.

A
B

U

A ∪ B = {x ∈ U :x ∈ A ou x ∈ B}

Exemplo 7

a) {1, 2,3, 4} ∪ {3, 4,5} = {1, 2,3, 4,5}
b) {3, 4,5} ∪ {1, 2,3, 4} = {1, 2,3, 4,5}



c) {1, 2,3, 4} ∪ {3, 4} = {1, 2,3, 4}
d) {1, 2,3, 4} ∪ { } = {1, 2,3, 4}

Propriedades:

A∪B = B∪A
B⊂ A ⇒ A∪B = A
A ∪{ }=A
( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) = A ∪ B ∪ C

1.10. Intersecção

Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de intersecção de A com B ao
conjunto dos elementos comuns a A e B.

A
B

U

A ∩ B = {x ∈ U :x ∈ A e x ∈ B}

Exemplo 8

a) {1, 2,3, 4} ∩ {3, 4,5} = {3, 4}
b) {3, 4,5} ∩ {1, 2,3, 4} = {3, 4}
c) {1, 2,3, 4} ∩ {3, 4} = {3, 4}
d) {1, 2,3, 4} ∩ { } = { }

Propriedades:

A∩B = B∩A
B⊂ A ⇔ A∩B = B
A ∩{ }={ }
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) = A ∩ B ∩ C ( A ∩ B) ⊂ ( A ∪ B)



1.11. Diferença
Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de diferença entre A e B, nesta
ordem, ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.

A
B

U

A − B = {x ∈ U :x ∈ A e x ∉ B}
Observe que aqui, ao contrário do que ocorreu na definição de complementar de B em
relação a A, não é exigido que B seja subconjunto de A.

Exemplo 9

a) {1, 2,3, 4} − {3, 4,5} = {1, 2}
b) {3, 4,5} − {1, 2,3, 4} = {5}
c) {1, 2} − { } = {1, 2}
d) { } − {1, 2} = { }

Propriedades:

( A − B) ⊂ A
A −{ }=A
{ }−A ={ }
B ⊂ A ⇔ A − B = CBA

A − ( A ∩ B) = A − B

Exemplo 10

Dados os conjuntos A = {1, 2,3, 4} e B = {3, 4,5, 6, 7} , obter os conjuntos A ∩ B ,
A ∪B, A − B e B− A .
A ∩ B = {3, 4}

A ∪ B = {1, 2,3, 4,5, 6, 7}

A − B = {1, 2}

B − A = {5, 6, 7}



Exemplo 11

Sejam A e B conjuntos num universo U tais que: o complementar de A é A = {e, f , g, h,i}

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f , g}

A ∩ B = {c, d}

Obter os conjuntos A e B.

A ∩ B = {c, d} ⇒ c e d são os únicos elementos que A e B têm em comum.

a ∉ A ⇒ a ∈ A e a ∉ ( A ∩ B)

Logo, a ∈ ( A − B) .

Analogamente, conclui-se que b ∈ ( A − B) .

e∈A ⇒ e∈A e
e ∉ ( A ∪ B)

Logo, e ∈(B − A) .
Analogamente para f, g.
Repare que h e i não pertencem a A nem a B, pois não pertencem a A ∪B.

Resposta: A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f ,g}

Exemplo 12

Numa prova de Matemática caíram apenas dois problemas. Terminada a sua correção,
constatou-se que:
300 alunos acertaram somente um dos problemas
260 acertaram o segundo
100 acertaram os dois
210 erraram o primeiro

Quantos alunos fizeram esta prova?



Resolução:

Prb-1
Prb-2
x y z

U

Sendo x, y, z e w o número de elementos de cada partição indicada no diagrama acima,
segue que:

 x + z = 300 (1)

 y + z = 260 ( 2 )

 y = 100 ( 3)
z + w = 210 ( 4 )

Das equações (3) e (2) tem-se que z = 160.
Substituindo z por 160 nas equações (1) e (4), obtêm-se respectivamente, os valores de x
e w; x = 140 e w = 50.
O número total de alunos que fizeram esta prova é x+y+z+w = 450.

1.12. Par ordenado
Sabemos que {a, b} representam o mesmo conjunto.

No entanto há situações em que é conveniente que haja uma ordem entre a e b. Para isto
existe o conceito de par ordenado.

Definição: ( a, b ) = {{a} , {a, b}}
Observe aí a maneira sutil com que foi introduzida a noção de ordem, pois pela definição,

é fácil concluir que, se a ≠ b , então ( a, b ) ≠ ( b, a ) , pois ( b, a ) = {{b} , {b, a}} , que é diferente

de {{a} , {a, b}} .

1.13. Produto cartesiano
Dados os conjuntos A e B, chama-se de produto cartesiano de A por B, nesta ordem, ao
conjunto de todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B.

A × B = {( x, y ) : x ∈ A e y ∈ B}

Exemplo 13

Dados os conjuntos A = {1, 2,3} e B = { 4,5} , obtenha os produtos cartesianos AXB,
2
BXA e B =BXB.



A × B = {(1, 4 ) , (1,5 ) , ( 2, 4 ) , ( 2,5) , ( 3, 4 ) , ( 3,5 )}

B × A = {( 4,1) , ( 4, 2 ) , ( 4,3) , ( 5,1) , ( 5, 2 ) , ( 5,3)}

B2 = {( 4, 4 ) , ( 4,5 ) , ( 5, 4 ) , ( 5,5 )}

Repare que o produto cartesiano é uma operação não comutativa, isto é, AXB pode não
ser igual a BXA.



2. Conjuntos numéricos
2.1. Números naturais e números inteiros

O conjunto dos números naturais {0,1, 2,... , n, ...} será representado por ℕ , e o

conjunto dos números inteiros {..., − 2, − 1, 0,1, 2, ...} , por ℤ . Repare que todo natural é inteiro,
isto é, ℕ éum subconjunto de ℤ .

2.2. Números racionais

a
Chamamos de número racional a todo número que pode ser expresso na forma , onde
b
a e b são inteiros quaisquer, com b ≠ 0.

 5  −1 
Assim, os números 5  =  e -0,333333...  =  são dois exemplos de números
 1  3 
racionais.
O conjunto dos números racionais é expresso por ℚ.
Como todo inteiro é racional, podemos afirmar que ℤ ⊂ ℚ.

ℤ
ℕ

ℚ

Exemplo 1
Obter uma representação decimal para os números:
3 9
a) b)
16 7

Resolução:



b) 9, 7
a) 3, 16 20 1, 285714285714...285714...
30 0,1875 60
140 40
120 50
80 10
0 30
20

Uma vez entendido o exemplo acima, é fácil concluir que todo número racional pode ser
expresso por uma dízima exata (existe um último algarismo à direita) ou por uma dízima periódica
infinita (não existe um último algarismo à direita, mas, sim, uma repetição indefinida de uma
seqüência de algarismos).
Exemplo 2
Representar as seguintes dízimas por frações de inteiros (frações geratrizes):
a) -1,23456
b) 5,644444...4...
c) 5,645454545...45...

Resolução:
−1, 23456 −123456
a) f= =
1 100 000
b) Seja f = 5,644444...4... (I); então, multiplicando por 10, segue que 10f = 56,44444...4... (II).
Calculando a diferença (II) – (I):
10f = 56, 44444...4...
f = 5,644444...4... −
9f = 50,8
50,8 508
e, portanto, f= =
9 90
c) Seja f = 5,6454545454545...45... (I); então, multiplicando por 100, segue que
100f=564,54545454... (II). Calculando a diferença (II) – (I):
100f = 564,54545454...
f= 5, 64545454... −
99f = 558,9
558, 9 5589
e, portanto, f= =
99 990

Resposta:



−123456 508 5589
a) b) c)
100 000 90 990

Com estes exemplos, podemos perceber que toda dízima periódica é um número racional.

Outro fato que pode chamar atenção é que a dízima periódica 0,999...9... é uma outra
representação do número 1 (um).

2.3. Números irracionais

Existem dízimas infinitas e não periódicas; são os números irracionais. Como exemplos de
números irracionais, podemos citar:

π = 3,1415926535...
2 = 1, 4142135623...
3 = 1, 7320508075...
a
Os números irracionais não podem ser expressos na forma , com a e b inteiros e
b
b ≠ 0.

2.4. Números reais

A reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais é o conjunto dos
números reais ( ℝ ).
Dada uma reta, podemos estabelecer uma relação entre seus pontos e os números reais,
de tal modo que a todo ponto corresponda um único real e a todo real corresponda um único
ponto. Desta maneira podemos identificar todos os números reais por pontos da reta dada. A idéia
é construir uma espécie de régua em que constam também os números negativos.
Chamamos esta régua de reta (ou eixo) real.
-0,5

0,5

1,5
-1

0

1

2

2.5. Teoremas



n
− Sendo m e n naturais quaisquer, tem-se que m+n, m ⋅ n e m são todos naturais. (Lembre-se
0
de que 0 = 1.)
− Sendo h e k inteiros quaisquer, tem-se que h + k, h - k, h ⋅ k são todos inteiros.
r r
− Sendo r e s racionais quaisquer, r + s, r – s, r ⋅ s e são todos racionais. (Em , devemos ter
s s
s ≠ 0 .)
− Sendo r um número racional e x um número irracional, tem-se que r + x é irracional.
− Sendo r, r ≠ 0 , um racional e x um número irracional, tem-se que r ⋅ x é irracional.
1
− Sendo x um irracional qualquer não nulo, tem-se que é irracional.
x
− Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais e infinitos números
irracionais.
− Entre dois números irracionais existem infinitos outros números irracionais e infinitos números
racionais.

Exemplo 3

Quantos são os elementos do conjunto {x ∈ ℕ /10 2 < x < 10 3 ? }
Resolução:

2 = 1, 41... ⇒ 10 2 = 14,1... e
3 = 1, 73... ⇒ 10 3 =17, 3...
Entre 14,1... e 17,3... existem 3 números naturais, a saber 15, 16 e 17.

Resposta: 3

Exemplo 4
(G. V.) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:

a) x ⋅ y é irracional
b) y ⋅ y é irracional
c) x + y é racional
d) x − y + 2 é irracional
e) x + 2y é irracional

Resolução:

Vejamos cada uma das alternativas:
a) (FALSA) Se x for igual a zero, x ⋅ y = 0, que é racional.
b) (FALSA) Se considerarmos, por exemplo, y = 3 , segue que y ⋅ y = 3 que é racional.
c) (FALSA) Para qualquer x racional e para qualquer y irracional, x + y é irracional.
d) (FALSA) Se y = 2 , x − y + 2 = x , que é racional.
e) (VERDADEIRA) Para qualquer irracional y, tem-se que 2y é irracional. Logo, x + 2y é irracional.
Resposta: e



Exemplo 5

Mostre que o número 3 + 2 2 + 3 − 2 2 é irracional.

Resolução:

Seja x = 3+ 2 2 + 3− 2 2 .
Observe que x é um número real positivo.

Segue que:

x2 = 3 + 2 2 + 3 − 2 2 + 2 (3 + 2 2 )(3 − 2 2 )
x2 = 6 + 2 ( 3 + 2 2 )(3 − 2 2 )
x2 = 6 + 2 9 − 8
x2 = 8
E como x > 0, tem-se que x = 2 2 , que é irracional.

2.6. Outras notações
Sendo A um dos conjuntos ℤ , ℚ ou ℝ , usaremos ainda as seguintes notações:
A∗ para indicar {x ∈ A / x ≠ 0}

A + para indicar {x ∈ A / x ≥ 0} (os não negativos)

A∗ para indicar {x ∈ A / x > 0} (os positivos)
+

A − para indicar {x ∈ A / x ≤ 0} (os não positivos)

A∗ para indicar {x ∈ A / x < 0} (os negativos)
−

Assim, por exemplo, ℝ + é o conjunto de todos os números reais não negativos, isto é, o

conjunto {x ∈ ℝ / x ≥ 0} .

2.7. Intervalos

Sendo a e b (a<b) números reais quaisquer, temos os seguintes subconjuntos de ℝ,
chamados de intervalos:



[ a, b] = {x ∈ ℝ |a ≤ x ≤ b} (intervalo fechado)
]a, b[ = {x ∈ ℝ |a < x < b} (intervalo aberto)
[ a, b[ = {x ∈ ℝ |a ≤ x < b} (intervalo fechado só à esquerda)
]a, b] = {x ∈ ℝ |a < x ≤ b}

[ a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x ≥ a}
]a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x > a}

]−∞, a ] = {x ∈ ℝ | x ≤ a}
]−∞, a[ = {x ∈ ℝ | x < a}

Exemplo 6

Obter [ 2,10] ∩ ]5,12[ .

Resolução:

[ 2,10] :
2 10

]5,12[ :
5 12

[ 2,10] ∩ ]5,12[
5 10

Resposta: ]5,10]



3. Aritmética dos inteiros

3.1. Múltiplo e divisor

Dados dois números m e d, dizemos que m é um múltiplo de d se, e somente se, existir
um inteiro k tal que m = k ⋅ d.
Nestas condições, também se diz que d é um fator (ou divisor) de m.

3.2. Número par

Um número inteiro a é dito par se, e somente se, ele for múltiplo de 2.
Todo número inteiro que não é par é dito número ímpar.

Exemplo 1
Determinar quantos são os múltiplos de 7 compreendidos entre os números -50 e +500.

Resolução:

Se considerarmos estes números em ordem crescente, temos a P.A. (-49, -42, -35, ... , an), cujo
primeiro termo é a1 = -49, cuja razão é r = 7 e cujo último termo é an.
Precisamos obter o maior valor possível de n tal que seja satisfeita a condição na < 500.

Como a n = a1 + ( n − 1) ⋅ r , segue que:

-49 + (n – 1) ⋅ 7 < 500
-49 + 7n < 556

O maior valor possível de n que satisfaz tal condição é 79.

Resposta: 79

Exemplo 2
Decompor o inteiro 1995 numa soma de cinco ímpares consecutivos.

Resolução:

Considere a seqüência destes ímpares em ordem crescente e seja x o termo médio. Deste modo,
tem-se que

( x − 4 ) + ( x − 2 ) + x + ( x + 2 ) + ( x + 4 ) = 1995



5x = 1995 , ou ainda, x = 399.

Resposta: 395 + 397 + 399 + 401 + 403

Exemplo 3
2
Seja um inteiro tal que a é ímpar. Prove que a é ímpar.

Demosntração:

(Método indireto) Suponhamos que a seja um número par, isto é, a = 2k, com k inteiro.
2 2 2
Segue que a = 4n , ou seja, a é par, o que é ABSURDO, pois contraria a hipótese.

Observações importantes:
Todo número ímpar, isto é, um inteiro não múltiplo de 2, pode ser representado,
indiferentemente, pela expressão 2k + 1, ou por 2k – 1, com k inteiro, pois sempre existem dois
números pares tais que ele seja o sucessor de um deles e o antecessor do outro.
Assim, por exemplo, o número ímpar 17 é o sucessor de 16 e o antecessor de 18.
Consideremos, agora, um inteiro x, não múltiplo de 3.
Repare que há uma diferença entre afirmar que x é da forma 3k + 1 e afirmar que x é da
forma 3k – 1, onde k é um inteiro.
Assim, por exemplo, o número 4 é da forma 3k + 1 e não da forma 3k – 1, enquanto o
número 5 é da forma 3k – 1, sempre considerando k inteiro.
Observe que todo inteiro não múltiplo de 3, ou é da forma 3k + 1, ou é da forma 3k–1.
Verifique a seguinte afirmação, com k inteiro:
- Todo inteiro não múltiplo de 5 é de uma e apenas uma, das seguintes formas:
5k + 1, 5k – 1, 5k + 2, 5k - 2

Exemplo 4
2 2
Sendo a um inteiro, não múltiplo de 5, mostre que o antecessor de a ou o sucessor de a
é um múltiplo de 5.

Demosntração:

Tem-se que a é da forma 5k + 1 ou da forma 5k + 2.
No primeiro caso, tem-se que:

a 2 = 25k 2 + 10k + 4 , isto é, a 2 − 1 = 5 ( 5k 2 + 2k )
No segundo caso, tem-se que:

a 2 = 25k 2 + 10k + 4 e, portanto:



a 2 + 1 = 25k 2 + 10k + 5 = 5 ( 5k 2 + 2k + 1) (c.q.d.)

3.3. Teorema
Sejam x, y e d inteiros. Se d é divisor de x, e d é divisor de (x + y), então d é divisor de y.

Justificativa:
Existe um inteiro k1 tal que x = d ⋅ k1
Existe um inteiro k2 tal que x + y = d ⋅ k2
Logo, d ⋅ k1 + y = d ⋅ k2
y = d ⋅ k2 - d ⋅ k1
y = d ⋅ (k2 – k1)

Como k2 – k1 é inteiro, tem-se que d é divisor de y.
(c.q.d.)

Exemplo 5
Obter os valores inteiros de n de modo que n + 3 seja um divisor de n + 13.

Resolução:
n + 3 é divisor de n + 11
n + 3 é divisor de n + 3 + 8 (*)
n + 3 é divisor de n + 3 (**)

De (*) e (**) segue que:

n + 3 é divisor de 8

Portanto,

n + 3 ∈ {1, 2, 4,8, −1, −2, −4, −8}

n ∈ {−2, −1,1,5, −4, −5, −7, −11}
Resposta: -2, -1, 1, 5, -4, -5, -7 e -11.

Exemplo 6
Mostre que um inteiro ℕ com quatro algarismos é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma
dos algarismos for múltiplo de 3.
Demosntração:



Seja ℕ = ( a, b,c, d ) , isto é, a é o algarismo dos milhares, b o das centenas, c o das
dezenas e d o das unidades.
ℕ = 1000a + 100b + 10c + d
ℕ = 999a + 99b + 9c + a + b + c + d
ℕ = 3 ( 333a + 33b + 3c ) + a + b + c + d

1a parte: se a + b + c + d = 3m, então ℕ é obviamente múltiplo de 3.

2a parte: se ℕ for um múltiplo de 3, isto é, ℕ = 3h, então
3h = 3 ( 333a + 33b + 3c ) + a + b + c + d

3h − 3 ( 333a + 33b + 3c ) = a + b + c + d
Logo, a + b + c + d é múltiplo de 3. (c.q.d.)

Observação:

Esta regra de divisibilidade por 3 vale para todos os inteiros, independentemente do
número de algarismos. A mesma regra vale para a divisibilidade por 9.

3.4. Número primo

Um inteiro p é dito número primo, ou simplesmente primo, se, e somente se, ele possuir
quatro e apenas quatro divisores distintos. (Os quatro divisores em questão são 1, -1, p e –p.)

3.5. Número composto

Os números inteiros não nulos que têm mais do que 4 divisores distintos são chamados de
números compostos.
Observações:

− Os números 1, -1 e 0 não são primos nem compostos.
− Os números 2 e -2 são os únicos números primos e pares.
− Todo inteiro k positivo e diferente de 1 admite pelo menos um divisor primo positivo.

3.6. Teorema

Existem infinitos números primos.



Demosntração:

Suponhamos que exista só um número finito de primos positivos p1, p2, p3, ... , pn e
consideremos o número p = p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ... ⋅ pn + 1.
Como p é maior que qualquer um dos números primos enumerados, segue que p é um
número composto e, portanto, um destes primos deve ser o divisor de p.
Seja pk, com 1<k<n, este divisor.
Como pk é divisor de p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ... ⋅ pn e pk é divisor de p, conclui-se que pk é divisor de 1,
o que é absurdo, pois os únicos divisores de 1 são os números 1 e -1. (c.q.d.)

Exemplo 7
Verificar se 251 é primo.

Resolução:
O seguinte procedimento de verificar a primalidade de um número é conhecido como o
crivo de Erastótenes.
Constrói-se uma tabela de todos os inteiros maiores que 1 cujos quadrados não superem
o número 251.
2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 (Note que 162 > 251)
O próximo passo consiste em verificar se um dos números desta tabela é um divisor do
número 251. Isto pode ser feito de maneira relativamente rápida, pois se um dado número não for
divisor, então seus números também não o serão.
Note que 2 não é divisor de 251 e, portanto, os números 4, 6, 8, 10, 12 e 14 também não
serão. Vamos “eliminar” o número 2 e todos os seus múltiplos.

2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
Note que 3 não é divisor de 251 e, portanto, também podemos “eliminar” todos os
múltiplos de 3.
Prosseguimos desta maneira até encontrar um divisor, ou então até “eliminar” todos os
números da tabela. Se for encontrado um divisor, então o número em questão é composto; caso
contrário, o número é primo.

2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15



Resposta: 251 é primo

Observação:

A elegância deste procedimento chama a atenção pelo seguinte:
Consideremos o produto d1 ⋅ d2.
Se d1 > 15 e d2 > 15, então d1 ⋅ d2 > 251.
Logo, se 251 admitisse um divisor d1, d1 > 15, deveríamos ter um inteiro d2, d2 < 15, de
modo que d1 ⋅ d2 = 251, isto é, 251 teria um divisor menor ou igual a 15.
Porém, isto é absurdo, pois, como foi verificado na tabela, 251 não admite divisor menor
ou igual a 15.

Exemplo 8
4 2
Obter todos os inteiros a tais que a + a + 1 seja um número primo.

Resolução:

a 4 + a 2 + 1 = a 4 + 2a 2 + 1 − a 2
= ( a 2 + 1) − a 2
2

= ( a 2 + 1 − a )( a 2 + 1 + a )
Repare que para este produto ser um número primo é necessário (mas não sufuciente) que um
dos seus fatores seja igual a 1 ou igual a -1. Vejamos:

a 2 + 1 − a = 1 ⇒ a = 1 ou a = 0
a 2 + 1 − a = −1 ⇒ a não é int eiro
a 2 + 1 + a = 1 ⇒ a = −1 ou a = 0
a 2 + 1 + a = −1 ⇒ a não é int eiro
Os valores encontrados foram 1, -1 e 0.
4 2
Substituindo, conclui-se que a + a + 1 é primo somente para a = 1 ou a = -1.

Resposta: 1 e -1

3.7. Forma fatorada

Todo inteiro a, não nulo, diferente de 1 e diferente de -1, pode ser expresso na forma:

a = + p1α1 p 2 α2 p3α3 ...p n αn , se a > 0 , ou

a = −p1α1 p 2 α2 p3α3 ...p n αn , se a < 0



onde p1, p2, ... e pn são primos positivos e dois a dois distintos, e os expoentes α1, α2, ...,
αn são números naturais não nulos.

Exemplo 9
Qual a forma fatorada de 528?

Resolução:
528 2
264 2
132 2
66 2
33 3
11 11
1

4
Resposta: 2 ⋅ 3 ⋅ 11

Exemplo 10
3 4
Quantos divisores possui o número 5 ⋅ 11 ?

Resolução:
Consideremos os conjuntos:

D1 = {50 , 51 , 52 ,53 } e

D 2 = {110 ,111 ,112 ,113 ,114 }

Repare que todo produto do tipo d1 ⋅ d2 com d1 ∈ D1 , d 2 ∈ D 2 e apenas estes produtos são
3 4
divisores positivos de 5 ⋅ 11 .
Para d1, temos (1 + 3) opções, e para d2 há (1 + 4) opções.
Logo, existem (1 + 3)(1 + 4) = 20 divisores positivos.
3 4
Consequentemente há 20 divisores negativos. Há, portanto, 40 divisores de 5 ⋅ 11 .

Resposta: 40

Observação:



Sendo p1α1 p 2 α2 p 3α3 ...p n αn a forma fatorada de um número natural n, pode-se concluir que

o número de divisores positivos de n é ( α1 + 1)( α 2 + 1) ... ( α n + 1) .

3.8. Divisão euclidiana
Dados dois inteiros n e d, com d ≠ 0 , efetuar a divisão de n por d significa obter dois
inteiros q e r tais que n = d ⋅ q + r e 0≤r< d .

Os números n, d, q e r são, nesta ordem, chamados de dividendo, divisor, quociente e
resto. Pode-se provar que para cada par (n,d), o quociente e o resto são únicos.

Exemplo 11
Efetuar a divisão de:
a) 29 por 4
b) 29 por -4
c) -29 por 4

Resolução:

a) 29 4 b) 29 −4 c) −29 4
1 7 1 −7 3 −8
Observe que, em cada caso, o resto é não negativo e é menor que o módulo do divisor!

Resposta:
a) quociente 7, resto 1
b) quociente -7, resto 1
c) quociente -8, resto 3

Exemplo 12
Seja d um divisor comum dos inteiros não nulos x e y. Mostre que d é um divisor do resto
da divisão de x por y.
Demonstração:
Sejam q e r, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de x por y. Então:
x = y⋅q + r
Sendo x = a ⋅ d e y = b ⋅ d , segue que:
r = x − y = a ⋅ d − b ⋅ d = d (a − b) (c.q.d.)

Exemplo 13
Obter o conjunto dos inteiros positivos menores que 180 e que, quando divididos por 27,
deixam um resto igual ao quociente.



Resolução:
x = 27r + r com 0 ≤ r ≤ 27 e x < 180
x = 28r
r ∈ {1, 2,3, 4,..., 26}

x ∈ {28,56,84,112,140,168,196,... }

Como devemos ter x < 180, tem-se que o conjunto pedido é: {28,56,84,112,140,168} .
Resposta: {28,56,84,112,140,168}

3.9. Máximo divisor comum

Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de máximo divisor comum de a e b ao
maior dos divisores que eles têm em comum.
Notação: mdc(a,b)

Exemplo 14
Calcular mdc(1750,1400).

Resolução:

1a maneira:

1750 = 21 ⋅ 53 ⋅ 71 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71
O maior divisor (ou fator) comum é

21 ⋅ 52 ⋅ 71 = 350 .

2a maneira (por divisões sucessivas):
Efetua-se a divisão de um número pelo outro e, daí em diante, divide-se sucessivamente o último
divisor obtido pelo resto, até obter um resto nulo. (Os quocientes são abandonados.)

1750 1400 350
restos: 350 0

(O exemplo 12 justifica a validade deste processo.)

Resposta: 350



Exemplo 15
Calcular mdc(2048,1935).

Resolução:

2048 1935 113 14 1
restos: 113 14 1 0

Resposta: 1

3.10. Números primos entre si

Dois inteiros quais quer são ditos primos entre si se, e somente se, o seu mdc for 1.

Exemplo 16
Os números 2048 e1935 são primos entre si.

Exemplo 17
Verificar se existe um inteiro k tal que 3k + 1 e 2k + 1 não sejam primos entre si.

Resolução:
Seja d, d > 0 um divisor comum; então tem-se que:

3k + 1 = a ⋅ d (−2)

 2k + 1 = b ⋅ d (3)
−6k − 2 = −2a ⋅ d

 6k + 3 = 3b ⋅ d +
1 = ( 3b − 2a ) ⋅ d
Como d=1, conclui-se que os números 3k + 1 e 2k + 1 são primos para todo inteiro k.

(Tente resolver este exercício pelo método das divisões sucessivas.)

Resposta: não

3.11. Mínimo múltiplo comum

Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de mínimo múltiplo comum de a e b ao
menor dos múltipos positivos que eles têm em comum.



Notação: mmc(a,b)

Exemplo 18
Calcular mmc(1750,1400).

Resolução:

1750 = 21 ⋅ 53 ⋅ 71 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71
O menor dos múltiplos positivos que estes números têm em comum é 23 ⋅ 53 ⋅ 71 .

Resposta: 7000

3.12. Teorema

Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, tem-se que: mdc ( a, b ) ⋅ mmc ( a, b ) = a ⋅ b .

Exemplo 19
Obter k, dado que o mdc e o mmc de k e 20 são, nesta ordem, iguais a 4 e 160.

Resolução:

20 ⋅ k = 4 ⋅160 ⇒ k = 32 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71

Resposta: 32 e -32



4. Técnicas de fatoração

4.1. Expressão algébrica

Para estabelecer conceitos, definições, axiomas, teorema, etc., na Álgebra, usaremos,
quase sempre, seqüências de caracteres, que podem ser letras, algarismos, sinais de operação,
parênteses, colchetes ou chaves, dispostos numa ordem determinada. Seqüências desse tipo, em
que pelo menos um dos caracteres é uma letra, são chamadas expressões algébricas.
O uso de expressões algébricas traz várias conveniências, entre elas a precisão e a
concisão de linguagem.
Observe o quadro abaixo:
Exemplo: Expressão Algébrica:
O dobro de um número 2x
2
O quadrado da soma de dois números (a + b)
2 2
A soma dos quadrados de dois números a +b
A soma do quadrado de um número com o 2
n + 2n
seu dobro

4.2. Valor numérico

Quando, numa expressão algébrica, cada letra for substituída por um número e as
eventuais operações puderem ser efetuadas, obter-se-á um resultado chamado de valor numérico
da expressão algébrica.

Exemplo 1
2 2
Obter o valor numérico de a – b + ab para:
a) a = 1 e b = 2 b) a = 2 e b = 1
Solução:
a) Substituindo a por 1 e b por 2, obtemos:
12 − 22 + (1)( 2 ) = 1 − 4 + 2 = −1 .

b) Substituindo a por 2 e b por 1, obtemos:
22 − 12 + ( 2 )(1) = 4 − 1 + 2 = 5 .

Exemplo 2

Sendo a = 3 e b = 4, obter o valor numérico de ( a + 2 )( ab + 1) − a ( ab + 2b + 1)

Solução:



Substituindo a por 3 e b por 4, obtemos:

( 3 + 2 )(12 + 1) − 3 (12 + 8 + 1) = ( 5 )(13) − ( 3)( 21) = 2 .

Exemplo 3

Mostrar que o valor numérico de ( a + 2 )( ab + 1) − a ( ab + 2b + 1) independe dos valores

de a e b.

Solução:
Efetuando os produtos indicados, obtemos:

a 2 b + a + 2ab + 2 − a 2 b − 2ab − a = 2 .
Portanto para quaisquer valores de a e b a expressão terá valor numérico 2.

EXERCÍCIOS
Sendo a = 5 e b = 2, obter os valores numéricos de:

(a + b)
2
1)
2) a 2 + b2
(a − b)
2
3)

(b − a )
2
4)

5) a − b
2 2

6) Mostrar que o valor numérico da expressão abaixo não depende do valor de b.
( a + b )( ab + 1) − b ( a 2 + ab + 1) .

4.3. Fatorar – Desenvolver

Consideremos as expressões:

F = ( x + 2y )( 2x + 3y ) e D = 2x 2 + 7xy + 6y 2
Repare que:

( x + 2y )( 2x + 3y ) = 2x 2 + 3xy + 4xy + 6y 2
= 2x 2 + 7xy + 6y 2

Denomina-se:

• ( x + 2y )( 2x + 3y ) de FORMA FATORADA
• 2x 2 + 7xy + 6y 2 de FORMA DESENVOLVIDA



Repare que, em geral, desenvolver um produto requer apenas mão-de-obra e, portanto,
não oferece maiores dificuldades. O que pode dar problemas é a passagem no sentido contrário.
Como fatorar? Isto é, como passar da forma desenvolvida para a forma fatorada?
A seguir veremos algumas identidades fundamentais, que serão ferramentas
indispensáveis para a técnica de fatoração.

4.4. Casos de fatoração

1° caso: o fator comum

Pela propriedade distributiva, temos que a ( b + c ) = ab + ac e portanto:

a ⋅ b + a ⋅ c = a (b + c)

Observe que no membro esquerdo da igualdade acima h’uma soma (adição ou subtração)
de produtos que, neles, a é um fator comum. No membro direito diremos que o fator comum a foi
colocado em “evidência”.
A igualdade acima pode ser ilustrada da seguinte maneira:

b+c

ab ac
a

b c

A área da região hachurada é igual a a ( b + c ) = ab + ac .
Exemplo 4
Fatorar 2x + xy − ax .

Solução:
Como x é fator comum, segue que:

2x + xy − ax = x ( 2 + y − a )

Exemplo 5

Fatorar 8x 2 − 4x .



Solução:
Observe que 4x é fator comum!

8x 2 − 4x =
= 4x ⋅ 2x − 4x ⋅1
= 4x ( 2x − 1)

Exemplo 6

Fatorar x 3 y 2 − x 2 y3 + x 6 y5 .

Solução:

O fator comum é x 2 y2 :

x 3 y 2 − x 2 y3 + x 6 y5 =
= xx 2 y 2 − x 2 y 2 y + x 4 x 2 y 2 y3
= x 2 y 2 ( x − y + x 4 y3 )

EXERCÍCIOS
Fatorar as seguintes expressões:

7) a 2 + ab − a
8) a ( x + y) + b( x + y)

9) a ( 3x − 2 ) − b ( 3x − 2 )
10) x (a − b) + y (a − b)
11) x (a − b) + b − a

OBSERVAÇÃO
Pode haver aplicações repetidas deste caso. Vejamos um exemplo básico.
ax + ay + bx + by =
= ( ax + ay ) + ( bx + by )
= a ( x + y) + b ( x + y)
= ( a + b )( x + y )

Exemplo 7
Fatorar ax + ay − bx − by .

Solução:



ax + ay − bx − by =
= ( ax + ay ) − ( bx + by )
= a ( x + y) − b ( x + y)
= ( a − b )( x + y )

Exemplo 8
Fatorar ax − ay − bx + by .

Solução:
ax − ay − bx + by =
= ( ax − ay ) − ( bx − by )
= a ( x − y) − b ( x − y)
= ( x − y )( a − b )

EXERCÍCIOS
Fatorar:

12) ab − a 2 b − a + b
2

13) x −3x + bx −3b
2

14) ap − by + bp − ay
15) x 2 + ax + bx + ab
16) x + ( a − b ) x − ab
2

2° caso: diferença de dois quadrados

a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )
2
Assim, por exemplo, 5 – 3 é igual a
2
( 5 + 3)( 5 − 3) (verifique!).
É claro que podemos justificar essa identidade partindo do membro direito e,
desenvolvendo o produto, chegar ao membro esquerdo. Como ficaria se quiséssemos partir do
membro esquerdo e, fatorando, chegar no direito?

Repare que em a 2 − b 2 = a ⋅ a − b ⋅ b não há fator comum!
Observe então a seguinte seqüência em que é usado um pequeno artifício: somando e
subtraindo ab, obtemos fatores comuns sem alterar o valor da expressão.

a 2 − b 2 = a 2 + ab − ab − b 2
= a (a + b) − b (a + b)
= ( a + b )( a − b )
Veja na seguinte ilustração como podemos verificar a identidade em questão.



a

a 2 − b2

a

b

b

a b

( a + b )( a − b ) a-b

As regiões hachuradas têm áreas iguais e ilustram o fato de que

a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) .

Exemplo 9

Fatorar x 2 − 25 .

Solução:

x 2 − 25 =
= x 2 − 52
= ( x + 5 )( x − 5 )

Exemplo 10

Fatorar a 4 − b4 .

Solução:

a 4 − b4 =
= ( a 2 ) − ( b2 )
2 2

= ( a 2 + b 2 )( a 2 − b 2 )
= ( a 2 + b 2 ) ( a + b )( a − b )

2 2
(Observação: No conjunto dos números reais, a expressão a + b não é fatorável!)



EXERCÍCIOS

Fatorar as seguintes expressões em ℝ:
17) x2 −1
18) x4 −1
19) a 2 − b 2 + ax + bx
20) a + b + b2 − a 2
21) a 2 − b 2 + a 2 − ab
22) a 2 − b2 + b − a
23) x 3 − 3x 2 − 4x + 12

3° caso: trinômio quadrado perfeito

a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b )
2

a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b )
2

Veja:

a 2 + 2ab + b 2 =
= a 2 + ab + ab + b 2
= ( a 2 + ab ) + ( ab + b 2 )
= a (a + b) + b (a + b)
= ( a + b )( a + b )
= (a + b)
2

a 2 − 2ab + b 2 =
= a 2 − ab − ab + b 2
= ( a 2 − ab ) − ( ab − b 2 )
= a (a − b) − b (a − b)
= ( a − b )( a − b )
= (a − b)
2

Ilustrando:



a b

a a2 ab

b ab b2

a+b

(a + b)
2

a+b

Exemplo 11

Desenvolver ( 2x + 3y ) 2 2
.

Solução:

( 2x + 3y ) 2 2
=

= ( 2x ) + 2 ( 2x ) ( 3y 2 ) + ( 3y 2 )
2 2

= 4x 2 + 12xy 2 + 9y 4

Exemplo 12
2
 1
Desenvolver  x −  .
 x

Solução:
2
 1
x−  =
 x
2
1 1
= x2 − 2 ( x )   +  
x x
1
= x2 + 2 + 2
x



Exemplo 13

Fatorar 4a 2 + 20ab 2 + 25b 4 .

Solução:

4a 2 + 20ab 2 + 25b 4 =
= ( 2a ) + 2 ( 2a ) ( 5b 2 ) + ( 5b 2 )
2 2

= ( 2a + 5b 2 )
2

EXERCÍCIOS
2
 1
24) Desenvolver:  x + 
 x

Fatorar as seguintes expressões em ℝ:
25) x2 + 6x +9
26) x2 −10x + 25
27) x3 −16x2 + 64x
28) −x2 + 20x −100
29) 2x − 1 − x 2
1
30) a4 + a2 +
4
31) a + 2ab + b 2 − c 2
2

32) x 2 + 2x + 1 − y 2
x 2 − ( y − 1)
2
33)
4° caso: soma e diferença de cubos

a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
Justificativa:

( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) =
= a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3
= a 3 + b3

( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) =
= a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b3
= a 3 − b3



Exemplo 14

Fatorar x3 + 8 .
Solução:

x3 + 8 =
= x 3 + 23
= ( x + 2 ) ( x 2 − 2x + 22 )
= ( x + 2 ) ( x 2 − 2x + 4 )

Exemplo 15

Fatorar 27x 3 − 1 .
Solução:

27x 3 − 1 =
= ( 3x ) − 13
3

= ( 3x − 1) ( 3x ) + ( 3x )(1) + 12 
2
 
= ( 3x − 1) ( 9x 2 + 3x + 1)
Exemplo 16

Fatorar a 3 − b3 + a 2 − b 2 + a − b .
Solução:

a 3 − b3 + a 2 − b 2 + a − b =
= ( a 3 − b3 ) + ( a 2 − b 2 ) + ( a − b )
= ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) + ( a + b )( a − b ) + 1( a − b )

= ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) + ( a + b ) + 1
 
= ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 + a + b + 1)

EXERCÍCIOS

3
34) a) Fatorar x - 1
x3 −1
b) Sendo x = 0,1, obter o valor numérico de
x −1

35) Fatorar:
a) x 9 + y9
b) x 9 − y9



5° caso: cubo da soma e cubo da diferença

a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 = ( a + b )
3

a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 = ( a − b )
3

Justificativa:

(a + b) = (a + b) (a + b)
3 2

= ( a 2 + 2ab + b 2 ) ( a + b )
= a 3 + a 2 b + 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 + b 3
= a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a − b) = (a − b) (a − b)
3 2

= ( a 2 − 2ab + b 2 ) ( a − b )
= a 3 − a 2 b − 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 − b3
= a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3

Exemplo 17

( 2x + 5 )
3
Desenvolver .

Solução:

( 2x + 5 )
3
=
= ( 2x ) + 3 ( 2x ) ( 5 ) + 3 ( 2x )( 5 ) + 53
3 2 2

= 8x 3 + 60x 2 + 150x + 125
Exemplo 18

( x − 2y )
3
Desenvolver .

Solução:

( x − 2y )
3
=
= x 3 − 3x 2 ( 2y ) + 3x ( 2y ) − ( 2y )
2 3

= x 3 − 6x 2 y + 12xy 2 − 8y 3
Exemplo 19

Fatorar x 3 + 3x 2 + 3x + 1 .

Solução:



x 3 + 3x 2 + 3x + 1 =
= x 3 + 3x 2 ⋅1 + 3x ⋅12 + 13
= ( x + 1)
3

EXERCÍCIOS

36) Desenvolver as expressões:
a) ( x + yz ) 2 3
b) ( 2x − 1)
3

Fatorar as expressões:

37) x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y3
38) x 3 + 6x 2 y 2 + 12xy 4 + 8y 6
39) x 3 − 9x 2 + 27x − 27
40) a + 3a b + 3ab + b + c
3 2 2 3 3

RESUMO

1. ab + ac − ad = a ( b + c + −d )
2. a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )
3. a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b )
2

4. a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b )
2

5. a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
6. a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
7. a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 = ( a + b )
3

8. a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 = ( a − b )
3



5. Potenciação

5.1. Definição

Dado um número a, a ∈ ℝ , e um número inteiro n, n > 1, chama-se potência enésima de
n
a, que se indica por a , ao produto de n fatores iguais a a. Assim:

a n = a ⋅ a ⋅ a ... a
n fatores
O número a é chamado de base e n, de expoente.
Exemplo 1

a) 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
( −2 ) = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = −8
3
b)

Exemplo 2

Obter o valor de cada expressão:
3 2 3
1 2  −3 
4 + ( −3 )
2
 ⋅10 ⋅ 
2 2
a) b)  c)  
 10  3  2 
Solução:

42 + ( −3) = 4 ⋅ 4 + ( −3) ⋅ ( −3) = 16 + 9 = 25
2
a)
3
1   1 
1  1 1
  ⋅10 =   ⋅ 
⋅  ⋅ 10 ⋅ 10 = ^
2
b)
 10   10   10
  10  10
2 2  3   3   3
2 3
2  3 3
c)   ⋅  −  = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −  = −
3  2 3 3  2   2   2 2

OBSERVAÇÕES

( −2 ) ≠ −22 pois:
2
1)
( − 2 ) = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = 4 − 2 2 = − ( 2 ⋅ 2 ) = −4
2
e

( −1) = 1 , se n é par
n
2)
( −1) = −1 , se n é ímpar
n



EXERCÍCIOS

1) Calcular:

a) 1
4
d) 4
3
g) −4 2
2
2
e) ( −4 )
4 2
b) 0 h)  
3
2
 2
( −4 )
3
c) 4
2
f) i) −  − 
 3
2) Calcular:

( −4 )
2
a) − 32
3
 1
b)  −  ⋅10 4
 10 
2 2
2  3
c)   ⋅ − 
3  2

5.2. Definições

5
Considere, por exemplo, a potência 2 , que é 32.
Observe que, ao diminuirmos de 1(uma) unidade o expoente, o valor da potência fica
dividido por 2, que é o valor da base. Veja:

25 = 32 , 2 4 = 16 , 23 = 8 , 22 = 4

Continuando-se o raciocínio anterior, vem:

1 −2 1
21 = 2 , 20 = 1 , 2 −1 = , 2 = e assim por diante.
2 4

Tais resultados sugerem as definições:

n
−n 1 1
a =a
1
a =1
0
a = n =   ,a ≠ 0
a a

Exemplo 3



1 1
a) 31 = 3 e) 3−2 = =
32 9
1 1
( −3 ) 3−3 =
1
b) = −3 f) 3
=
3 27
1 1
( −3 )
−2
c) 30 = 1 g) = =
( −3 )
2
9

1 1
( −3 )
−3
d) ( −3 )
0
=1 h) = =−
( −3 )
3
27

Exemplo 4
Calcular:
−2 −2
−4 2  2
a) 1 b)   c)  −  d) 2 2 ⋅ 2 −2
3  3
Solução:

1
a) 1−4 = =1
14
−2 2
2 3 9
b)   =   =
3 2 4
−2 2
 2  3 9
c)  −  =  −  =
 3  2 4
−2 1
d) 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 1
2 2

2

EXERCÍCIOS

3) Calcular:

1 −2
1 3
( −5 )
1 1
a) 5 d) g)   j)  
5 4
0 −2
1  3
( −5 )
0
b) 5 0
e) h)   k)  − 
5  4
−1 −2
1  3
( −5 )
−1 −1
c) 5 f) i)   l) −− 
5  4

4) Calcular:



 −1  1 −1    2  −2  1  −1 
a)  2 +    b)   −  −  

 2    3 
  3  

5) Calcular o valor de ( x −1 + y −1 ) , sabendo que x = 0,1 e y = 0,9.
−1

5.3. Simplificação de expressões

Numa expressão numérica com parêntesis ( ), colchetes [ ] e chaves { }, efetuamos
inicialmente as operações que estão entre parênteses, depois as que estão entre colchetes e por
fim aquelas que estão entre chaves, obedecendo à seguinte ordem de cáculo:
1) as potenciações;
2) as multiplicações ou divisões na ordem em que aparecem;
3) as adições ou subtrações na ordem em que aparecem.

Exemplo 5

Simplificar a expressão:

{3 x 4 + ( 6 : 2 − 7 )} + 3
2 1 2 2 0 2

Solução:

Efetuando as operações entre parênteses na ordem dada:

{3 x 4 + ( 36 : 4 − 1)} + 3
2

1

2

= {3 x  4 + ( 9 − 1) } + 3

2 1

2

= {3 x  4 + 8} + 3

2

1 2

Efetuando as operações entre colchetes na ordem dada:


Apostila de Matemática - CEFET/COLTEC

Apostila de Matemática - CEFET/COLTEC

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Apostila de Matemática - CEFET/COLTEC

Semelhante a Apostila de Matemática - CEFET/COLTEC (20)

Último

Último (20)

Apostila de Matemática - CEFET/COLTEC