O documento descreve como calcular o raio da Terra usando a lei dos senos e medições de ângulos feitas com um teodolito. Ele revisita o experimento de Eratóstenes e mostra como medir a distância até o horizonte a partir de um observador para estimar o raio da Terra.

1. LEI DOS SENOS E O CÁLCULO
DO RAIO DA TERRA
Lossian Miranda1, Oannes de Oliveira Miranda2
1 CEFET-PI/Coordenação de Matemática e
Física/lossian@oi.com.br
2 Instituto Antoine de Lavoisier -Teresina-
PI/zoannes@hotmail.com
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2. Resumo
Supondo que a Terra seja esférica e, usando os
conceitos básicos da trigonometria do plano,
mostramos o modelo teórico que possibilita o
cálculo do raio terrestre. Revisitamos a grande
experiência de Eratóstenes e usamos a lei dos
senos para calcular a distância de um observador
até a linha do horizonte.
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3. Exclusivamente a partir do cálculo de um ângulo
vertical e dois ângulos horizontais, na prática
feitos com auxílio de teodolito, nossos resultados
teóricos nos permitem encontrar o valor do raio
da Terra, independentemente do cálculo da altura
em que se encontra o observador juntamente
com o teodolito.
Palavras-chave: Raio da Terra, lei dos senos,
teodolito.
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4. Introdução
Apesar de já se terem passado mais de dois mil anos
desde que Eratóstenes realizou a experiência do cálculo do
raio da Terra, inicialmente usando a proporcionalidade
direta existente entre o comprimento de arco determinado
por dois pontos de um meridiano e o valor dos ângulos por
eles determinados, os experimentos relativos a este
importante problema continuam a fascinar a Humanidade, e
são sempre muito atuais, tendo em conta o fato de que
nosso planeta encontra-se em constante mutação, e as
correções para o raio terrestre em cada ponto são de
grande importância para a indústria da navegação aérea e
das telecomunicações.
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5. No entanto, nosso objetivo ao abordarmos a
questão é o de simplesmente levar aos alunos do
ensino médio a mais extraordinária aplicação da
trigonometria já planejada pelo homem. É uma
experiência que mostra ao aluno a matemática
como ação concreta na construção da história do
Mundo e dos homens.
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6. O raio da Terra como função da
posição de um ponto no horizonte
Entenderemos como horizonte uma curva
imaginária, relativa à visão de um observador, a
qual corresponde à fronteira entre o céu e a terra,
ou entre o céu e o mar. Caso a Terra fosse uma
perfeita esfera, o horizonte seria uma calota
esférica. Chamaremos linha de visada do
horizonte à semi-reta que vai do observador (mais
precisamente da luneta de observação do
observador postada em um teodolito, ou qualquer
outro meio de observação), até um ponto do
horizonte.
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7. A união de todas as linhas de visada do horizonte
corresponde a um cone com vértice no ponto de
referência da observação. Todas as linhas de
visada do horizonte são tangentes à superfície
terrestre, e o centro da Terra, o ponto de
referência da observação e o ponto de tangência
(intersecção da linha de visada com a superfície
da Terra), determinam um plano que passa pelo
centro da Terra, estando a linha de visada, contida
neste plano (veja figuras 01 e 02). Em nossa
exposição, consideraremos a Terra como sendo
uma perfeita esfera, hipótese razoável dentro de
um grau de muita precisão, para as grandes
distâncias que iremos procurar.
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9.  Sejam:
 a) O, o centro da Terra;
 b) A, o ponto de referência do observador (na
prática, local que corresponde ao centro da
“mesa” de um teodolito);
 c) C, ponto de intersecção da superfície da
Terra com o segmento ;
 d) B, um ponto qualquer escolhido no horizonte
relativo ao observador postado, juntamente com
seu teodolito (ou outro qualquer meio de
observação de distâncias e ângulos, o qual
chamaremos de agora em diante, simplesmente
por teodolito);
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10.  e) D, projeção ortogonal de B sobre o segmento
OA
 f) 2, o ângulo entre os segmentos concorrentes
OA e OB.
 g) 1, o ângulo entre os segmentos concorrentes

OA e AB.
 h) r, o comprimento do segmento correspondente
OB
ao raio da Terra.
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14. O teodolito e o cálculo da distância
até o horizonte
A distância AB do observador até o horizonte pode
ser calculada com o auxílio das medidas de ângulo
feitas por um teodolito e conveniente uso da lei dos
senos.
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17. Bibliografia
Lima, Elon Lages - Meu Professor de matemática e
outras. Histórias - SBM - 1991.
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