4. SE LLAMA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE , SIEMPRE Y CUANDO LA INTEGRAL CONVERJA.
CUANDO LA INTEGRAL DEFINITORIA CONVERGE, EL RESULTADO ES UNA FUNCIÓN DE . ESTA
TRANSFORMADA INTEGRAL TIENE UNA SERIE DE PROPIEDADES QUE LA HACEN ÚTIL EN EL
ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES. UNA DE LAS VENTAJAS MÁS SIGNIFICATIVAS RADICA EN
QUE LA INTEGRACION Y DERIVACIÓN SE CONVIERTEN EN MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN. ESTO
TRANSFORMA LAS ECUACIONES DIFERENCIALES E INTEGRALES EN ECUACIONES
POLINÓMICAS, MUCHO MÁS FÁCILES DE RESOLVER. OTRA APLICACIÓN IMPORTANTE EN LOS
SISTEMAS LINEALES ES EL CÁLCULO DE LA SEÑAL DE SALIDA. ÉSTA SE PUEDE CALCULAR
MEDIANTE LA CONVOLUCIÓN DE LA RESPUESTA IMPULSIVA DEL SISTEMA CON LA SEÑAL DE
ENTRADA. LA REALIZACIÓN DE ESTE CÁLCULO EN EL ESPACIO DE LAPLACE CONVIERTE LA
CONVOLUCIÓN EN UNA MULTIPLICACIÓN, HABITUALMENTE MÁS SENCILLA. LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE TOMA SU NOMBRE EN HONOR DE PIERRE-SIMON LAPLACE.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ES AL TIEMPO CONTINUO LO QUE LA TRANSFORMADA DE
ES AL DISCRETO CUANDO SE HABLA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE, GENERALMENTE
SE REFIERE A LA VERSIÓN UNILATERAL. TAMBIÉN EXISTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
BILATERAL, QUE SE DEFINE COMO SIGUE: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE F(S)
TÍPICAMENTE EXISTE PARA TODOS LOS NÚMEROS REALES S > A, DONDE A ES UNA
CONSTANTE QUE DEPENDE DEL COMPORTAMIENTO DE CRECIMIENTO DE F(T)
5.
6.
7. Relación entre f(t) y su equivalente F(s).
f(t) e
0
L { f(t)}
-st
dt
F(s)
f(t)
Plano Complejo: s =
j : Eje Imaginario
tiempo
Ejemplos
L {e
-6t
}
s 6
4
s
L {5e
-3t
: Eje real
1
L {2 Sen4t}=2
+ j
2 16
8
s
2 16
2
Sen2t}=5
2
(s+3)
10
2
2
s
2 6s 9
10
4
s
2 6s
13
8.
9. LA TRANSFORMACION DE LAPLACE PERMITE RESOLVER ECUACIONES
DIFERENCIALES LINEALES MEDIANTE LA TRANSFORMACION EN ECUACIONES
ALGEBRAICAS CON LO CUAL SE FACILITA SU ESTUDIO.
UNA VEZ QUE SE HA ESTUDIADO EL COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS
DINAMICOS, SE PUEDE PROCEDER A DISEÑAR Y ANALIZAR LOS SISTEMAS DE
CONTROL DE MANERA SIMPLE.
ES UNA HERRAMIENTA DE GRAN ALCANCE FORMULADA PARA SOLUCIONAR UNA
VARIEDAD AMPLIA DE PROBLEMAS DEL INICIAL-VALOR.
10. EN MUCHAS AREAS DE INGENIERIA SE UTILIZAN PROCESOS ESTOCASTICOS O
ALEATORIOS PARA CONSTRUIR MODELOS DE SISTEMAS TALES COMO
CONMUTADORES TELEFONICOS, CONCENTRADORES DE REDES DE
COMUNICACIÓN DE DATOS, SITEMAS DE TRAFICO, LINEAS DE ATENCION A
CLIENTES EN UN BANCO O SUPERMERCADO.
SIRVE PARA DESCRIBIR CUALQUIER TIPO DE PROCESO QUE IMPLIQUE UNA
VARIACIÓN CON RESPECTO AL TIEMPO O DE MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS,
SÓLO CON ELLAS PUEDES DESCRIBIR MATEMÁTICAMENTE CUALQUIER
FENÓMENO DE LA NATURALEZA. EN LA INGENIERÍA CIVIL SE APLICA
PRINCIPALMENTE EN TODO EL PROCESO DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL, EL CAMPO
DE APLICACIÓN ES MUY EXTENSO. APARTE DE ESTO, SI LAS APRENDES BIEN LAS
PUEDES APLICAR EN CUALQUIER OTRO PROCESO QUE IMPLIQUE VARIACIÓN ( DE
POSICIÓN, DE ENERGÍA, DE FORMA, ETC.), DEPENDE DE TÍ CÓMO LAS APLIQUES.
TODAS LA MATEMÁTICAS QUE ESTUDIAS (ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA, ÁLGEBRA
LINEAL, GEOMETRÍA ANALÍTICA, CÁLCULO, ETC) VAN A DESEMBOCAR
FINALMENTE EN ESTAS.
11. APLICACIONES
*REACCIONES QUÍMICAS DE PRIMER ORDEN Y
DESINTEGRACIÓN
*PROCESOS QUÍMICOS SIMPLES
*CIRCUITOS ELÉCTRICOS SIMPLES
*PROBLEMAS DE MEZCLAS
APLICACIONES
*CURVAS DE PERSECUCIÓN
*MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA
*VIBRACIONES DE SISTEMAS MECÁNICOS
12. En los cursos de matemáticas para ingenieros es común
estudiar la transformada de Laplace a través de su definición,
sus propiedades y sus aplicaciones. Sin embargo,
normalmente no se hace nada por tratar de entender lo que
significa. Este tipo de comprensión de los problemas es
importante para que un profesionista sea capaz de
resolverlos eficientemente cuando se le presentan. Es decir,
,
incluyendo el aspecto teórico del mismo. Por otro lado, es
necesario entender bien los conceptos teóricos para
beneficiado si se hacen interpretaciones de los resultados
teóricos. Normalmente, en los libros para ingenieros no se
menciona ninguna interpretación de la transformada de
Laplace, aunque es conocido que la transformada de Fourier
puede obtenerse a partir de la transformada de Laplace
simplemente haciendo cero la parte real de la variable
complejas.
13. La transformada de Laplace puede ser interpretada como un método que
permite descomponer una función no periódica en la suma de una gran
cantidad de funciones sinusoidales amortiguadas exponenciales. Con el
fin de ilustrar esto, se propone un método para el calculo numérico de la
transformada de Laplace y de la transformada inversa de Laplace, y se
aplica, a manera de ejemplo, a tres funciones diferentes: un escalón
unitario, una exponencial y una senoidal.
