1. CIRCUITOS DIGITALES II
MAPA DE KARNAUGH (MK)
Es un método gráfico para la simplificación de ecuaciones lógicas
booleanas y resolución de problemas lógicos combinatorios.
Se basa en algunos teoremas boléanos para su funcionamiento. Para
lograr una simplificación más efectiva y mejor, es necesario integrar dos
elementos: Las reglas de agrupamiento y la práctica por parte del estudiante.
Al igual que la tabla de la verdad permite ordenar las variables con su
comportamiento en la salida, y pasar a la construcción de las ecuaciones lógicas
y el dibujo del circuito lógico correspondiente.
MK de 2, 3, 4 variables
Están constituidos por un grupo de celdas.
MK de 2 variables MK de 3 variables
Celdas
MK de 4 variables
1 Prof. Luis Zurita

2. CIRCUITOS DIGITALES II
En los bordes superiores y laterales, se colocan los valores que pueden
tomar las variables participantes en la ecuación lógica ó el problema que se
está resolviendo, y en la barra diagonal el nombre de las variables.
Recuerde el valor asignado a las variables:
Ecuación Valor
SDP 0:Variable Negada o Complementada ( A )
1: Variable sin complementar ( A )
PDS 0: Variable sin complementar ( A )
1: Variable Negada o Complementada ( A )
Datos que toman las variables
Variables
BC
A B 0 1 00 01 11 10
A
0
0
1
1
Ahora: ¿que encontramos en cada celda? Recordando algo de matrices, cada
expresión de celda estará constituida por el producto de las variables de la fila
y la columna asociada a la celda, por ejemplo:
La celda sombreada, está
BC constituida por el producto de A (0)=
00 01 11 10
A A y BC (11)= BC, los cuales a su vez
0 0 0 1 0 están multiplicados por el 1 presente
1
en la celda. Por ejemplo veamos los
0 0 0 0 términos que estarían contentivos en
un MK de 4 variables:
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3. CIRCUITOS DIGITALES II
CD
AB 00 01 11 10
NOTA: La enumeración de
00
A BC D A BC D las variables se hace de
menor a mayor, en código
01 Gray. Repase el concepto
A BC D A BC D
de Adyacencia. Rellene
usted los recuadros que
11 faltan en cuanto a
numeración se refiere.
10
Algunos autores, en vez de colocar unos y ceros para representar los
valores que toman las variables, colocan directamente a la variable en su forma
normal o complementada.
Lo que al momento de determinar la expresión de la celda se hace de una
forma directa.
Evalúe usted el método que se le haga más fácil de entender y utilizar.
Por cierto, ¿Este MK de tres variables es igual al mostrado en páginas
anteriores? Demuéstrelo.
C
AB C C
AB
AB
AB
AB
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4. CIRCUITOS DIGITALES II
REGLAS DE AGRUPAMIENTO Y SIMPLIFICACION
Cada grupo de celdas le permitirá a usted tener un término SDP ó PDS
simplificado. A medida que logres formar un grupo más grande de celdas, el
término será más reducido y simplificado.
Repase las notas colocadas en la guía de ejercicios.
Grupos válidos: 1, 2, 4, 8 y 16 celdas. Bajo el concepto de adyacencia.
Con respecto a los otros números de grupos de celdas que no aparecen y que
son NO VALIDOS, como por ejemplo, 3, 5, 6, 7 etc., Pueden ser agrupados en
varios subgrupos dentro del número válido de celdas, recordando que cada
grupo es un término simplificado.
NOTA: Adyacencia: Se refiere a dos celdas en las cuales sólo cambia
una variable entre una y otra celda. Para esto se basa en el código Gray visto
por usted en Informática. Dos celdas diagonales NO son adyacentes,
Generalmente son adyacentes las celdas contiguas en horizontal y/o vertical.
EJEMPLOS
GRUPOS DE 2 CELDAS:
¡Innecesario!
1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 0
NOTA: Si una celda ya pertenece a un grupo, NO es necesario involucrarla a otro grupo, a
menos que exista una celda adyacente a esta que la tome para hacer un grupo. El grupo
subrayado es innecesario.
Note que para este mismo ejemplo, hay
1 1 0 1 varias formas de agrupamiento, las cuales
1 0 1 1 respetando las normas, son perfectamente
válidas, lo que le llevará a concluir que NO HAY
0 1 0 0 una sola forma de resolución sobre un MK.
1 0 0 1
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5. CIRCUITOS DIGITALES II
Por cada grupo de dos celdas propuesto, se reduce en una variable el
término producto. Por ejemplo: Se tiene un MK de 2 variables, el término le
queda en 1 variable, si tiene un MK de 3 variables, el término le queda en 2
variables y así sucesivamente.
GRUPOS DE 4 CELDAS
En este caso la expresión vale 1. Todas las
1 1 celdas son adyacentes entre si y se anulan o
1 1 neutralizan.
00 01 11 10 00 01 11 10
0 1 0 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
00 01 11 10 00 01 11 10
0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0
Este agrupamiento NO es válido.
Y lo podemos sustituir por
1 0 0 1
ejemplo por estos subgrupos:
0 1 1 0
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6. CIRCUITOS DIGITALES II
1 1 1 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 0 0 1
NOTA: Cada grupo reduce en dos variables a las expresiones lógicas del total de las
variables participantes.
GRUPOS DE 8 CELDAS
La expresión vale 1. Todas las celdas son
1 1 1 1 adyacentes entre sí y se neutralizan.
1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 1
0 =1
0 1 1 0 1 1 1 1
0
0 1 1 0 1 1 1 1
NOTA: Cada grupo reduce en 3 variables a las expresiones lógicas del total de las variables
participantes, lo que da origen a un término de una variable. Al igual que los MK anteriores, un
grupo de 16 celdas, origina una expresión que vale 1.
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7. CIRCUITOS DIGITALES II
Es normal que dentro de un MK se encuentren grupos de 1, 2, 4 u 8
celdas e incluso 16 celdas, solitarios o combinados.
¿QUE HACEMOS CON CADA GRUPO FORMADO Y SIMPLIFICADO?
Los sumamos si se trata de una expresión SDP o los multiplicamos si se
trata de una expresión PDS, y conseguimos nuestra “Expresión Lógica
Simplificada”
NOTA: Todos los grupos fueron formados tomando como base los 1´s presentes.
¿Será posible hacer lo mismo tomando como base a los 0´s? ¿Cuál será la diferencia?
VARIABLES IRRELEVANTES (Don´t Care)
Estas variables se representan con la letra X u otra de su preferencia, y
significa que pueden tomar el valor de 1 ó 0.
Siguen las mismas normas y reglas de agrupamiento vistas hasta ahora, y
son tomadas en cuenta, a CONVENIENCIA, es decir, si nos sirven para
simplificar un grupo, las usamos, si no nos sirven, ¡No! Las usamos. Y nuestro
resultado será más simplificado ó menos simplificado.
NO debemos formar grupos de x, solamente ya que estaríamos
adicionando términos ficticios e innecesarios.
1 0 1 0 0 x
x 0 1 x x 1
1 0 0 x 1 x x x
1 0 1 x 1 0 x 1
0 0
x x x 1 0 0 0 0
0 Este grupo 0
1 x x 0 NO es válido 1 x 1 x
¿Cuándo Hacemos uso de las variables irrelevantes?
Cuando no han sido definidas en las condiciones de funcionamiento y operación de un
problema. Pueden Ocurrir o no. No afectan el funcionamiento de nuestro diseño lógico, más sin
embargo, nos pueden servir para simplificar nuestras expresiones.
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8. CIRCUITOS DIGITALES II
Ejercicios propuestos
 Agrupe, simplifique y halle las expresiones en los siguientes mapas de Karnaugh:
1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0
1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0
1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
1
Nota:
1. Coloque usted el conteo donde haga falta.
2. Recuerde:
a. Un grupo de 1 celda da origen a un término producto de 4 variables.
b. Un grupo de 2 celda da origen a un término producto de 3 variables.
c. Un grupo de 4 celda da origen a un término producto de 2 variables.
d. Un grupo de 8 celda da origen a un término producto de 1 variables.
e. Un grupo de 16 celda da origen a que la expresión valga 1.
3. Una vez agrupados y simplificados se suman los términos mínimos encontrados.
4. Si considera los 1’s, la función encontrada es una S.D.P.
5. Si considera los 0’s la función encontrada es una P.D.S.
6. A medida de que los grupos sean más grandes, la función tendrá menos variables.
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9. CIRCUITOS DIGITALES II
 Agrupe, simplifique y halle las expresiones en los siguientes mapas de Karnaugh:
1 x 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
0 x x 1 x x x x x x x 1
1 1 0 x x x x x 0 x 1 x
x x 0 1 x x x x 1 x 0 1
0 1 x x 1 0 1 1 1 0 0 0
1 1 x x 1 0 1 1 1 x x 1
1 1 x x 0 x 0 1 x x 1 1
1 1 x x x 0 x x 0 0 0 0
1
Nota:
1. Coloque usted el conteo donde haga falta.
2. X representa una condición irrelevante, o no ocurre o no tiene ningún efecto sobre la
salida.
3. Se tratan como 1’s ó 0’s, A CONVENIENCIA.
4. Deben ser tomadas en cuenta a medida de que ayuden a simplificar el circuito.
5. Se siguen las mismas reglas de agrupamiento.
6. NO se pueden agrupar solo X.
7. A medida de que los grupos sean más grandes, la función tendrá menos variables.
9 Prof. Luis Zurita