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Clase II
Estadística y Probabilidad IIAnalizar los enfoques para asignar
probabilidades.
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Introducción
Una vez estudiado los conceptos básicos de probabilidad y su definición. Es
Conveniente analizar dos perspectivas para asignar probabilidades: los enfoques
objetivos y subjetivo. La probabilidad objetiva se subdivide en a) probabilidad
clásica y b ) Probabilidad empírica
ENFOQUE DE LA PROBABILIDAD
OBJETIVO SUJETIVO
PROBABILIDAD
CLASICA
PROBABILIDAD
EMPIRICA
PARTE DE INFORMACION
DISPONIBLE
SE BASA EN
REULTADOS
IGUALMENTE
PROBABLES
SE SUSTENTA EN
LAS FRECUENCIAS
RELATIVAS
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PROBABILIDAD CLASICA
Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente
posibles. De acuerdo con el punto de vista clásico, la probabilidad de un evento
que se esta llevando a cabo se calcula dividiendo el numero de resultados
favorables entre el numero de posibles resultados.
P(C) Probabilidad de un Evento =
Número de resultados favorables
Número total de posibles resultados
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PROBABILIDAD CLASICA
Ejemplo: Considere el experimento de lanzar un dado. ¿ Cuál es la
probabilidad del evento “ cae un numero par de puntos?
Los Posibles resultados son:
Un punto
Dos puntos
Tres puntos
Un Cuatro
Un Cinco
Un seis
Continua
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Ya lazamos los dados y sabes todos los posibles resultados. Pero Hay tres
resultados favorables que son ( un dos, un cuatro, un seis) en el conjunto de seis
resultados Igualmente posibles. Por consiguiente:
P(C) Probabilidad de un Evento =
Número de resultados favorables
Número total de posibles resultados
P ( N par) =
3
6
Número de resultados favorables
Número total de posibles resultados
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PROBABILIDAD EMPIRICA
Es el segundo tipo de probabilidad, se basa en el numero de veces que
ocurre el evento como proporción del numero de intentos conocidos
Número de veces que el evento ocurre
Número total de observaciones
P(E) Probabilidad Empírica =
La probabilidad de que un evento ocurra representa una fracción de los
Eventos similares que sucedieron en el pasado. Este enfoque se basa en la
Llamada LEY DE LOS GRANDES NUMEROS. La claves para determinar
probabilidad de forma empírica consiste en que una mayor cantidad de
Observaciones proporcionaran un calculo mas preciso de la probabilidad
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Ejemplo:
En una encuesta realizada a 500 profesores de la ciudad de Chiclayo, se
encontró que 320 de ellos se encuentran trabajando en escuelas no estatales.
Hallar la probabilidad que al seleccionar aleatoriamente un profesor, esté
trabajando en una escuela no estatal
Sea el evento A: profesor que trabaja en una escuela no estatal
# Veces que ocurrió A = 320
# Total de veces que se repitió el experimento = 500
Número de veces que el evento ocurre
Número total de observaciones
P ( A) = 320
500
0.64=
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PROBABILIDAD Y SUS VALORES
Una probabilidad puede asumir cualquier valor desde 0 hasta 1.
- Cuanto mas se aproxime a cero una probabilidad, es
mas improbable que ocurra mas improbable que ocurra
También puede indicarse como una fracción decimal común
0.70,… 0.20
También puede indicarse como una fracción común
7/10, 27/100……
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REGLA DE LA SUMA DE PROBABILIDADES
Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes , la probabilidad de ocurrencia
de A o de B es:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Ejemplo: Si lanzamos un dado ¿ Cual es la probabilidad de que salga 2 o 3?
S =Espacio Muestral 1, 2,3,4,5,6
Evento A P ( A) = 1/6
Evento B P( B) = 1/6
Donde P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
1/6+ 1/6 = 2/6 = 1/3 = 0.33P (A ∪ B) =
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Se utiliza para calcular la probabilidad de ocurrencia simultánea de dos o más
eventos .Si los eventos A y B son dependientes , entonces la ocurrencia de un
evento tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento, por lo
tanto la ocurrencia simultánea de los eventos es:
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
P(A ∩ B) = P(A) P(B/A)
Ejemplo : Suponga que se extrae dos cartas, una a la vez sin reemplazo, de
una baraja ordinaria. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean ases?
A: un as en la primera extracción B: un as en la segunda extracción
P(A ∩B) = P(A).P(B/A) = (4/52).(3/51) = 0.0045
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Si los eventos A y B son independientes , entonces la ocurrencia de un
evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro, por lo tanto
la ocurrencia simultánea de los eventos es:
P(A ∩B) = P(A) P(B)
Ejemplos : Supongamos que lanzamos un par de dados legales una sola vez.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2 en el primer dado y un 4 en el
segundo?
A: Obtener 2 en el primer dado B: Obtener 4 en el segundo dado
P(A ∩ B) = P(A) P(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ha ocurrido algún
otro evento A, se denomina PROBABILIDAD CONDICIONADA y se designa como
P(B/A). Él símbolo P(B/A) se lee como la probabilidad de que ocurra B sabiendo
que ocurrió A o sencillamente probabilidad de B dado A.
Las probabilidades condicionadas están relacionadas a probabilidades asociadas a
los eventos definidos en sub poblaciones o espacios muéstrales reducidos. Se dice
que la probabilidad de ocurrencia de un evento dado es condicionada, si esta se
afecta por la ocurrencia de otro evento presente.
P(B/A) = (P(B ∩A) = P ( BA)
P ( A) P ( A)
si, P(A)# 0
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Ejemplo:
Un profesor de matemáticas da clases en una sección matutina y una vespertina
de introducción al cálculo.
Sea: A = {el profesor da una mala conferencia matutina} y
B = {el profesor da una mala conferencia vespertina}.
Si P(A) = 0.3, P(B) = 0.2 y P(AB) = 0.1, calcule las siguientes probabilidades
a) P(B/A) b) P(B/A) c) P(B/A)
Calculamos: a) P (B/A)= 0.1/0.3 = 0.33
b) P ( B/A) = 0.3 - 0.1
0.3
= 0.67
Condicional
c) P (B/A) = 0.2 - 0.1
0.7
= 0.14
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Si A1, A2 ,... , A n son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral ( A1 A2 ... An = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
Teorema de Bayes
1. Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a
priori.
2. Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a
posteriori.
3. Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes
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Ejemplos
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son
economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los
economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas
solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un
empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
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Diagrama del Árbol
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para
cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten
nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo
representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de
probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar
1.
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Ejemplos
Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al
azar, hallar la probabilidad de:
1.-) Seleccionar tres niños
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Resultados
2.-) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
1.-) Seleccionar tres niños
3.-) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
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BERENSON, M.L. y D.M. LEVINE. 1984. Estadística para Administración y Economía. Conceptos
y Aplicaciones. Edit. Interamericana. México, D.F.
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para la Agricultura (IICA). San José, Costa Rica.
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Bogotá, Colombia.
HERNANDEZ, S.R.; C. FERNANDEZ COLLADO y P. BAPTISTA LUCIO. 1991. Metodología de la
Investigación. Edit. McGraw-Hill Interamericana de México, S.A. de
C.V. México.
INFANTE, GS y G.P. ZARATE de LARA. 1990. Métodos Estadístico. Un enfoque interdisciplinario.
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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
