Tasasähköpiirit

TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op)
Syksy 2009 / Luokka AS09

Vesa Linja-aho

Metropolia

8. kesäkuuta 2010

Kalvot on julkaistu lisenssillä CC Nimeä 1.0 Suomi.
http://creativecommons.org/licenses/by/1.0/fi/

Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 8. kesäkuuta 2010 1 / 134

Sisällysluettelo

Klikkaamalla luennon nimeä pääset hyppäämään luennon ensimmäiselle
kalvolle.

1 1. luento 7 7. luento


1. luento

Kurssin perustiedot
Opettaja: DI Vesa Linja-aho, etunimi.sukunimi@metropolia.ﬁ
Tunnit ma klo 11.00-14.00 ja to 14.00-16.30, luokka P113
Mikä olisi sopiva aika tauoille? Ehdotus: opetusta 11.00-11.50 ja
12.30-13.55 sekä 14.00-15.00 ja 15.15-16.30.
Suorittaminen: Kotitehtävät ja tentti. Tentti on ma 12.10.2009 klo
11.00-14.00.
Oppikirja: Kimmo Silvonen: Sähkötekniikka ja elektroniikka. Kurssilla
käydään luku 1 eli sivut 1-621 .
Kirjan hinta (tarkistettu 28.8.2009) 29,10 €2 - 38,00 €3
Kirja saatavilla myös Metropolian, kaupungin ja TKK:n kirjastosta.
Kirjaa käytetään myös muilla sähkötekniikan kursseilla.
Kaikista muutoksista tiedotetaan Tuubi-portaalissa!

1
Sivunumerot voivat himan vaihdella painoksittain
2
http://www.adlibris.com
3
http://www.suomalainen.com

1. luento

Kotitehtävät
Kurssilla on 12 kotitehtävää.
Jokaisesta kotitehtävästä saa 0, 0,5 tai 1 pistettä.
Jotta kurssista pääsee läpi, on saatava vähintään 4 pistettä.
Neljän yli menevät pisteet hyvitetään tenttipisteiksi kertoimella 0,5.
Tentissä on viisi tehtävää á 6 pistettä.
Tentti on läpi, jos saa 15 pistettä.
Muut arvosanarajat ovat liukuvia.

Esimerkki
Opiskelijalla on kotitehtävistä 8 pistettä. Hän saa tentistä 13 pistettä.
Tentti menee kuitenkin läpi, koska kotitehtäväpisteet huomioon ottaen
(8 − 4) · 0,5 + 13 = 15 pistettä.

Tosin on melko harvinaista, että henkilö, joka on saanut 8/12
kotitehtävistä, saa tentistä vain 13 pistettä.

1. luento

Kurssin oppimistavoitteet
Opinto-oppaasta:
Tavoitteet
Kyky yksinkertaisten lineaaristen tasasähköpiirien laskemiseen peruslakeja
hyödyntäen ja kyky riippumattomia lähteitä sisältävien verkkojen analysointiin.
Tasavirtapiirien analysoinnin ja laskemisen perusteet ja eri sähkösuureiden
laskeminen. Opittu on jatkossa tärkeänä pohjana käsiteltäessä vaihtosähköpiirejä.
Kyky ymmärtää ja laskea myös laskukoneella perustasasähköpiirejä. Kyky lukea ja
analysoida piirikaavioita sekä kyky ymmärtää virtojen että jännitteiden suunnat ja
näiden merkitys.

Sisältö
Perussuureet, yksiköt ja virtapiirin osat. Ohmin laki, sähköteho, Kirchoﬃn jännite-
ja virtalait, sarja- ja rinnakkaispiirit, Theveninin ja Nortonin teoreemat.
Laskuesimerkit ja laskuharjoitukset myös kerrostamismenetelmän avulla.


1. luento

Kurssin aikataulu
1 Sähkötekniikan perussuureet ja yksiköt. Jännitelähde ja vastus.
Kirchhoﬃn lait ja Ohmin laki.
2 Konduktanssi. Sähköteho. Sarjaan- ja rinnankytkentä. (Maa)solmu.
3 Virtalähde. Kirchhoﬃn lakien soveltaminen virtapiirin ratkaisemisessa.
Solmujännitemenetelmä.
4 Solmujännitemenetelmän harjoittelua.
5 Lähdemuunnos.
6 Théveninin ja Nortonin teoreemat.
7 Kerrostamismenetelmä.
8 Jännitteenjako- ja virranjakosäännöt.
9 Kela ja kondensaattori tasavirtapiirissä.
10 Ohjatut lähteet.
11 Kertaus.
12 Kertaus.

1. luento

Kurssi muodostaa pohjan sähkötekniikan opiskelulle

Kurssin tietoja tarvitaan kursseilla Vaihtosähköpiirien perusteet,
Mittaustekniikka ja sähköturvallisuus, Autoelektroniikka 1,
Autosähkölaboraatiot, . . .
Tärkeää!
Opiskelemalla tämän kurssin asiat kunnolla helpotat omaa työtäsi
jatkossa!

Tasasähkötekniikan perusteiden osaaminen on autosähköinsinöörille yhtä
tärkeää kuin kirjanpidon perusteiden osaaminen tilintarkastajalle,
lujuusopin perusteiden osaaminen sillanrakennusinsinöörille jne.


1. luento

Mitä kurssilla ei käsitellä

Tällä kurssilla ei käsitellä sähkön fysikaalista olemusta. Kysymykseen "mitä
sähkö on?"perehdytään kursseilla Pyörimisliike ja sähkömagnetismi sekä
Sähkömagneettinen induktio ja värähtelyt.


1. luento

Opiskelusta

Oppitunneilla tarjotaan mahdollisuus oppia - oppiminen on kuitenkin
sinusta itsestäsi kiinni.
Enemmän vastuuta itsellä kuin ammattikoulussa ja lukiossa.
1 op ≈ 26,7 tuntia työtä. 3 op = 80 tuntia työtä. Tästä lähiopetusta
on 39 tuntia.
Eli opiskelua oletetaan tapahtuvan myös omalla ajalla!
Luentokalvoja ei ole suunniteltu itseopiskelumateriaaliksi. Oppikirja on
sitä varten.
Jos tunneilla edetään liian nopeasti tai liian hitaasti, sanokaa siitä
(joko tunnilla tai kahden kesken [esim. sähköpostitse])!
Kyselkää paljon, myös tyhmiä kysymyksiä.


1. luento

Mikä on vaikeaa ja mikä helppoa?

Eri asiat ovat helppoja eri ihmisille. Oma kokemukseni on kuitenkin, että
Tasavirtapiirianalyysi on helppoa, koska siinä pärjää
perusmatematiikalla.
Tasavirtapiirianalyysi on vaikeaa, koska virtapiirit eivät ole samalla
tavalla intuitiivisia kuin mekaaniset järjestelmät.
Matematiikan opiskelu on tärkeää jatkon kannalta — vaihtosähköpiirien
analysoinnissa on tärkeää, että osaat laskea kompleksiluvuilla.


1. luento

Kohta mennään itse asiaan

Kysymyksiä?


1. luento

Sähkövirta

Sähkövirta on varauksenkuljettajien liikettä.
Yksikkö on ampeeri (A).
Suureen lyhenne on I.
Sähkövirtaa voidaan verrata letkussa kulkevaan veteen.
Virta kiertää aina jossain silmukassa (se ei puristu kasaan eikä häviä
olemattomiin).
Virtapiirissä virta merkitään nuolella johtimeen:

-
I = 2 mA


1. luento

Kirchhoffin virtalaki

Kuten edellä todettiin, sähkövirta ei häviä mihinkään.

Kirchhoffin virtalaki (myös: Kirchhoffin ensimmäinen laki)
Virtapiirin jollekin alueelle tulevien virtojen summa on yhtä suuri kuin
sieltä lähtevien virtojen summa.

I3 = 1 mA
6
- -
I1 = 3 mA I2 = 2 mA
Piirsitpä ympyrän mihin tahansa kohtaan piiriä, ympyrän sisään menee
yhtä paljon virtaa kuin mitä tulee sieltä ulos!


1. luento

Ole tarkka etumerkkien kanssa!

Voidaan sanoa: "pankkitilin saldo on -50 euroa"tai "olen 50 euroa
velkaa pankille".
Voidaan sanoa: "Yrityksen tilikauden tulos oli -500000 euroa"tai
"ﬁrma teki tappiota 500000 euroa".
Jos mittaat johtimen virtaa virtamittarilla ja se näyttää −15 mA, niin
kääntämällä mittarin toisin päin se näyttää 15 mA.
Aivan samalla tavalla voidaan virran suunta ilmoittaa etumerkillä. Alla
on kaksi täysin samanlaista piiriä.

I3 = 1 mA I3 = 1 mA
6 6
- -
I1 = 3 mA I2 = 2 mA Ia = −3 mA Ib = −2 mA


1. luento

Jännite

Jännite on kahden pisteen välinen potentiaaliero.
Suureen lyhenne on U.
Virtapiirianalyysissä ei oteta kantaa siihen, miten potentiaaliero on
luotu.
Jännitteen yksikkö on voltti (V).
Jännitettä voi verrata paine-eroon putkessa tai korkeuseroon.
Jännitettä merkitään pisteiden välille piirretyllä nuolella.

+
12 V U = 12 V

− c


1. luento

Kirchhoffin jännitelaki

Kahden pisteen välillä vaikuttaa sama jännite tarkastelureitistä
riippumatta.
Tämä on helpoin hahmottaa rinnastamalla jännite korkeuseroihin.

Kirchhoffin jännitelaki (myös: Kirchhoffin toinen laki)
Silmukan jännitteiden summa on etumerkit huomioon ottaen nolla.
r'
4,5 V r

− − −
+ + +
1,5 V 1,5 V 1,5 V


1. luento

Ohmin laki

Mitä suurempi virta, sitä suurempi jännite – ja päinvastoin.
Resistanssilla tarkoitetaan kappaleen kykyä vastustaa sähkövirran
kulkua. Resistanssi on jännitteen ja virran suhde.
Resistanssin tunnus on R ja yksikkö ohmi ( Ω).

U = RI

U E
-
I R


1. luento

Käsitteitä

Virtapiiri Elektronisista komponenteista koostuva järjestelmä, jossa
sähkövirta kulkee.
Tasasähkö Sähköiset suureet (jännite, virta) eivät muutu - tai
muuttuvat vain vähän - ajan kuluessa.
Tasasähköpiiri Virtapiiri, jossa jännitteet ja virrat ovat ajan suhteen
vakioita.

Esimerkki
Taskulampussa on tasasähköpiiri (paristo, kytkin ja polttimo). Polkupyörän
dynamo ja lamppu puolestaan muodostavat vaihtosähköpiirin.


1. luento

Vaihtoehtoinen tasasähkön määritelmä

Tasajännitteellä ja -virralla voidaan tarkoittaa myös jännitettä ja virtaa,
jonka suunta (etumerkki) pysyy samana, mutta suuruus voi vaihdella.
Esimerkiksi tavallinen lyijyakkujen laturi tuottaa yleensä nk. sykkivää
tasajännitettä, jonka suuruus vaihtelee välillä 0 V ... ≈ 18 V. Tätäkin
kutsutaan yleensä tasajännitteeksi.
Sopimus
Tällä kurssilla tasajännitteellä (virralla) tarkoitetaan vakiojännitettä
(virtaa). Sekä suunta että suuruus pysyvät ajan suhteen vakiona.


1. luento

Yksinkertainen virtapiiri

Akkuun kiinnitetty hehkulamppu. Hehkulangan resistanssi on 10 Ω.
-
I =?

+
12 V

d

d
−


1. luento


-

+ I =?
12 V 10 Ω

−


1. luento


-

+ I =?
12 V 10 Ω 12 V

− c


1. luento


-
+ I = 1,2 A

12 V 10 Ω 12 V

− c

U = RI
I=U =
R
12 V
10 Ω = 1,2 A


1. luento

Oppikirja

Tällä luennolla käsiteltiin kirjan Kimmo Silvonen: Sähkötekniikka ja
elektroniikka kappaleet:
1.1.1 Sähkövirta ja Kirchhoﬃn virtalaki
1.1.3 Potentiaaliero ja Kirchhoﬃn jännitelaki
1.2.1 Ohmin laki
Koska sivunumerointi saattaa vaihdella painoksittain, viittaan kappaleen
numeroihin.


1. luento

Kotitehtävä 1 (annettu 31.8., palautus 3.9.)

Kotitehtävä palautetaan seuraavan tunnin alussa.
Muista kirjoittaa paperille oma nimesi ja opiskelijanumerosi.

Kotitehtävä 1
Ratkaise virta I.

+
1,5 V

−
R = 20 Ω

+
1,5 V I
?

−


2. luento

Kotitehtävä 1 (31.8., pal. 3.9.) - Esimerkkiratkaisu
Kotitehtävä 1
Ratkaise virta I.

+
1,5 V

−
R = 20 Ω

+
1,5 V I
?

−


2. luento

Kotitehtävä 1
Ratkaise virta I.

+
1,5 V U2

− c
UR R = 20 Ω
c
+
1,5 V U1 I
?

− c

U1 + U2 − UR = 0 ⇔ UR = U1 + U2


2. luento

Kotitehtävä 1
Ratkaise virta I.

+
1,5 V U2

− c
UR R = 20 Ω
c
+
1,5 V U1 I
?

− c

U1 + U2 − UR = 0 ⇔ UR = U1 + U2
UR U1 + U2 1,5 V + 1,5 V
U = RI ⇒ UR = RI ⇒ I = = = = 150 mA
R R 20 Ω


2. luento

Konduktanssi

Resistanssilla tarkoitetaan kappaleen kykyä vastustaa sähkövirran
kulkua.
Resistanssin käänteislukua kutsutaan konduktanssiksi. Konduktanssin
tunnus on G ja yksikkö Siemens (S).
Konduktanssi kertoo kappaleen kyvystä johtaa sähköä.
Esimerkiksi jos R = 10 Ω niin G = 0,1 S.
1
G= R U = RI ⇔ GU = I

U E
-
IG= 1
R


2. luento

Sähköteho

Teho tarkoittaa tehtyä työtä aikayksikköä kohti.
Tehon tunnus on P ja yksikkö watti (W). U E
Elementin kuluttama teho on P = UI -
I
Jos kaava antaa positiivisen tehon, elementti kuluttaa tehoa. Jos
kaava antaa negatiivisen tehon, elementti luovuttaa tehoa.


2. luento

Sähköteho

Energia ei häviä piirissä
Piirielementtien kuluttama teho = piirielementtien luovuttama teho.
U
I=
I I R

?
+6
U2
E R PR = UI = U U =
R R
−
2
PE = U · (−I) = U −U = − U
R R

Kuvassa vastus kuluttaa yhtä paljon tehoa kuin jännitelähde luovuttaa.


2. luento

Sarjaankytkentä ja rinnankytkentä

Määritelmä: sarjaankytkentä
Piirielementit ovat sarjassa, jos niiden läpi kulkee sama virta.

Määritelmä: rinnankytkentä
Piirielementit ovat rinnan, jos niiden yli on sama jännite.

Sama tarkoittaa samaa, ei samansuuruista.


2. luento

Sarjaankytkentä ja rinnankytkentä

Sarjaankytkentä
- -
I I

Rinnankytkentä
U E

U E


2. luento

Vastusten sarjaankytkentä ja rinnankytkentä

Sarjaankytkentä
⇐⇒
R1 R2 R = R1 + R2

Rinnankytkentä

R2
⇐⇒
1
R= 1
+R1
R1 2
R1

Tai sama kätevämmin konduktansseilla G = G1 + G2 .


2. luento

Vastusten sarjaankytkentä ja rinnankytkentä

Edellisen kalvon kaavat soveltuvat myös mielivaltaisen monelle
vastukselle. Esimerkiksi viiden resistanssin sarjaankytkennän
resistanssi on R = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 .


2. luento

Jännitelähteiden sarjaankytkentä

Jännitelähteiden sarjaankytkennässä jännitteet voidaan laskea yhteen
(mutta etumerkeissä pitää olla tarkkana).
Jännitelähteiden rinnankytkentä on piiriteoriassa kielletty (kahden
pisteen välillä ei voi olla yhtäaikaa kaksi eri jännitettä).

r r
− + −
+ − +
E1 E2 E3
⇐⇒

r r
−
+
E = E1 − E2 + E3


2. luento

Mitä sarjaan- ja rinnankytkentä eivät ole
Pelkkä se, että komponentit näyttävät olevan vierekkäinei tarkoita,
että kyseessä on rinnankytkentä.
Pelkkä se, että komponentit näyttävät olevan peräkkäinei tarkoita,
että kyseessä on sarjaankytkentä.
Mitkä kuvan vastuksista ovat keskenään sarjassa ja mitkä rinnan?

+ R1 R2 +
E1 R3 E2

− −


2. luento

Mitä sarjaan- ja rinnankytkentä eivät ole
Pelkkä se, että komponentit näyttävät olevan vierekkäinei tarkoita,
että kyseessä on rinnankytkentä.
Pelkkä se, että komponentit näyttävät olevan peräkkäinei tarkoita,
että kyseessä on sarjaankytkentä.
Mitkä kuvan vastuksista ovat keskenään sarjassa ja mitkä rinnan?

+ R1 R2 +
E1 R3 E2

− −

Vastaus
Eivät mitkään! E1 ja R1 ovat sarjassa keskenään, samoin E2 ja R2 . Nämä sarjaankytkennät ovat
puolestaan molemmat rinnan R3 :n kanssa. Sen sijaan mitkään vastukset eivät ole keskenään
rinnan eivätkä sarjassa.


2. luento

Napa ja portti

Piirissä olevaa johdon liitäntäkohtaa nimitetään navaksi tai nastaksi.
Kaksi napaa muodostavat portin eli napaparin.
Helpoin esimerkki: auton akku, jolla sisäistä resistanssia.
˜

+ RS
E

−
˜


2. luento

Solmu

Solmulla tarkoitetaan virtapiirin aluetta, jonka sisällä on sama
potentiaali.
Palikkamenetelmä: laske kynä johonkin kohtaan johdinta. Ala värittää
johdinta, ja aina kun tulee vastaan komponentti, käänny takaisin.
Väritetty alue on yksi solmu.
Montako solmua on kuvan piirissä?
-
+ I R1
R3 R5
E R2 R4 R6

−


2. luento

Maa

Yksi solmuista voidaan nimetä maasolmuksi.
Maasolmu-merkinnän käyttö säästää piirtämisvaivaa.
Auton akun miinusnapa on kytketty auton runkoon; näin muodostuu
suuri maasolmu.
Sanonta tämän solmun jännite on (esim.) 12 volttiatarkoittaa, että
sen solmun ja maan välinen jännite on (esim.) 12 volttia.
-
+ I R1
R3 R5
E R2 R4 R6

−
r


2. luento

Maa

Maasolmu voidaan kytkeä laitteen runkoon tai olla kytkemättä
(symboli ei siis tarkoita, että laite on maadoitettu).
Edellisen kalvon piiri voidaan piirtää myös näin:
-
+ I R1
R3 R5
E R2 R4 R6

−


2. luento

Oppikirja

1.2.2 [Siemensin laki ja] konduktanssi eli johtokyky
1.3.1 Tehon ja energiankulutuksen laskeminen
1.4.1 Sarjaankytkentä
1.4.2 Rinnankytkentä
1.5.1 Vastusten sarjaankytkentä
1.5.2 Vastusten rinnankytkentä
1.4.5 Napa, portti, maa
numeroihin.


2. luento


Kotitehtävä palautetaan seuraavan tunnin alussa.
Muista kirjoittaa paperille oma nimesi ja opiskelijanumerosi.

Kotitehtävä 2
Ratkaise virta I.
-
+ I R1
R3 R5
E R2 R4 R6

−

R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1 Ω E = 9V


3. luento

Kotitehtävä 2 (annettu 3.9., palautus 7.9.) -
Esimerkkiratkaisu
Kotitehtävä 2
Ratkaise virta I.
-
+ I R1
R3 R5
E R2 R4 R6

−

R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1 Ω E = 9V

R5 ja R6 ovat sarjassa. Tämän sarjaankytkennän resistanssi on
R5 + R6 = 2 Ω.
Tämä sarjaankytkentä puolestaan on rinnan R4 :n kanssa. Tämän
rinnankytkennän resistanssi on 1 + 1 Ω = 2 Ω.
1
3
1 2


3. luento

Ratkaisu jatkuu

R3 taas on sarjassa edellisen kanssa. Sarjaankytkennän resistanssi on
R3 + 2 Ω = 5 Ω.
3 3
Ja tämä sarjaankytkentä on rinnan R2 :n kanssa. Tämän
rinnankytkennän resistanssi on ( 5 )−1 + 1 = 8 Ω.
1 5
3 1
Ja tämän kanssa on sarjassa vielä R1 . Jännitelähteen E näkemä
kokonaisresistanssi on siis 8 Ω + R1 = 13 Ω.
5
8
Virta I on Ohmin lain mukaan I = E
13
Ω
= 72
13 A ≈ 5,5 A.
8


3. luento

Virtalähde

Puhekielessä sanaa virtalähde käytetään varsin monimerkityksellisesti.
Esimerkiksi tietokoneen virtalähde hajosi.
Virtalähteellä tarkoitetaan piiriteoriassa elementtiä, jonka läpi kulkee
jokin tietty virta (se voi olla vakio tai muuttua jonkin säännön
mukaan). Aivan kuten jännitelähteenkin napojen välillä on aina sama
jännite.

6
J R


3. luento

Virtalähde

Kun jossain johtimen haarassa on virtalähde, tiedät johtimen virran.
-
I=1
A
6
J = 1A R1 R2


3. luento

Kirchhoﬃn lakien systemaattinen soveltaminen
Virtapiiriyhtälöt kannattaa kirjoittaa systemaattisesti, ettei sekoa omaan
näppäryyteensä. Yksi tapa on solmujännitemenetelmä:
1 Nimeä jokaisen virtapiirin haaran virta.
2 Valitse joku solmuista maasolmuksi ja nimeä jännitteet maasolmua
vasten.
3 Kirjoita virtayhtälö jokaiselle solmulle, jossa on kiinni enemmän kuin
kaksi komponenttia.
4 Lausu vastusten jännitteet nimettyjen jännitteiden avulla (piirrä
vastusten jännitenuolet samoin päin kuin niiden virtanuolet
[=selvempää]).
5 Lausu virrat jännitteiden avulla ja sijoita ne kohdan 2 virtayhtälöihin.
6 Ratkaise jännitteet.
7 Ilmoita kysytty jännite/jännitteet ja/tai virta/virrat.


3. luento

Esimerkki
Ratkaise virta I.

R1 R2

+
+
E1 R3 E2

− −
I
?


3. luento

Esimerkki
Ratkaise virta I.

I2
R1 - R2

+ I1
+
E1 R3 E2

− −
?I


3. luento

Esimerkki
Ratkaise virta I.

I2
R1 - R2

+ I1
+
E1 R3 U3 E2

− c −
?I


3. luento

Esimerkki
Ratkaise virta I.

I2
R1 - R2

+ I1
+
E1 R3 U3 E2 I = I1 + I2

− c −
?I


3. luento

Esimerkki
Ratkaise virta I.

E1 − U3 '2 − U3
E I2
E
R1 - R2

+ I1
+
E1 R3 U3 E2 I = I1 + I2

− c −
?I


3. luento

Esimerkki
Ratkaise virta I.

E1 − U3 '2 − U3
E I2
E
R1 - R2

+ I1
+
E1 R3 U3 E2 I = I1 + I2

− c −
?I
U3 E1 − U3 E2 − U3
= +
R3 R1 R2


3. luento

Esimerkki
Ratkaise virta I.

E1 − U3 '2 − U3
E I2
E
R1 - R2

+ I1
+
E1 R3 U3 E2 I = I1 + I2

− c −
?I
U3 E1 − U3 E2 − U3 R2 E1 + R1 E2
= + =⇒ U3 = R3
R3 R1 R2 R1 R2 + R2 R3 + R1 R3


3. luento

Esimerkki
Ratkaise virta I.

E1 − U3 '2 − U3
E I2
E
R1 - R2

+ I1
+
E1 R3 U3 E2 I = I1 + I2

− c −
?I
U3 E1 − U3 E2 − U3 R2 E1 + R1 E2
= + =⇒ U3 = R3
R3 R1 R2 R1 R2 + R2 R3 + R1 R3
U3 R2 E1 + R1 E2
I= =
R3 R1 R2 + R2 R3 + R1 R3


3. luento

Huomautuksia

Yhtälöt voi kirjoittaa monella eri logiikalla, ei ole yhtä oikeaa
menetelmää.
Vaatimuksena ainoastaan a) Kirchhoﬃn lakien noudattaminen b)
Ohmin lain4 noudattaminen sekä se, että yhtälöitä on yhtä monta
kuin tuntemattomia.
Jos piirissä on virtalähde, se säästää (yleensä) laskentatyötä, koska
silloin tuntemattomia virtoja on yksi vähemmän.
Käyttämällä konduktansseja yhtälöt näyttävät siistimmiltä.

4
Ohmin lakia voi käyttää vain vastuksille. Jos piirissä on muita komponentteja, tulee
tietää niiden virta-jänniteyhtälö eli tietää, miten komponentin virta riippuu jännitteestä.

3. luento

Toinen esimerkki

- R - R2 - R5
1
+ I1

I2 I5
+
E1 R3 U3 R4 U4 E2 I1 = I2 + I3

− c c − I2 = I4 + I5
I
?3 I
?4

E1 − U3 U3 − U4 U3 U3 − U4 U4 U4 − E2
= + ja = +
R1 R2 R3 R2 R4 R5

G1 (E1 − U3 ) = G2 (U3 − U4 ) + G3 U3 ja G2 (U3 − U4 ) = G4 U4 + G5 (U4 − E2 )
Kaksi yhtälöä, kaksi tuntematonta, voidaan ratkaista. Käytä
konduktansseja!

3. luento

Huomattavaa

Virtapiirin ratkaisemiseksi on useita muitakin menetelmiä kuin
solmujännitemenetelmä: haaravirtamenetelmä, silmukkamenetelmä,
solmumenetelmä, modiﬁoitu solmupistemenetelmä. . .
Mikäli piirissä on ideaalisia jännitelähteitä (=jännitelähteitä, jotka
liittyvät suoraan solmuun ilman että välissä on vastus), yhtälöihin
tulee yksi tuntematon arvo lisää (=jännitelähteen virta) sekä yksi
yhtälö lisää (jännitelähde määrää solmujen jännite-eron).


3. luento

Oppikirja

1.6 Jännite- ja virtalähteet
1.10.1 Kirchhoﬃn lakien systemaattinen soveltaminen
1.10.4 Solmujännitemenetelmä
numeroihin.


3. luento


Kotitehtävä 3a)
Ratkaise virta I4 .

Kotitehtävä 3b)
Tarkista tuloksesi siten, että merkitset kuvaan kaikki jännitteet ja virrat ja
toteat, että tuloksesi ei ole ristiriidassa Kirchhoﬃn lakien kanssa.

− +
6 R1 R4
R2 ER R5
J 3

I
?4
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1 Ω E = 9V J = 1A


4. luento

Esimerkkiratkaisu

Kotitehtävä 3a)
Ratkaise virta I4 .

Kotitehtävä 3b)
Tarkista tuloksesi siten, että merkitset kuvaan kaikki jännitteet ja virrat ja
toteat, että tuloksesi ei ole ristiriidassa Kirchhoﬃn lakien kanssa.

− +
6 R1 R4
R2 ER R5
J 3

I
?4
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1 Ω E = 9V J = 1A


4. luento

Ratkaisu
-
−
+I
6 R1 R4
J R2 U2ER3 U3 R5

c c
I
?4
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1 Ω E = 9V J = 1A

Kirjoitetaan kaksi virtayhtälöä ja yksi jänniteyhtälö. Merkitään vastusten
R4 ja R5 sarjaankytkennän konduktanssia symbolilla G45 .
J = U2 G2 + I
I = U3 G3 + U3 G45
U2 + E = U3
Sijoittamalla toisesta yhtälöstä I:n ensimmäiseen yhtälöön ja sijoittamalla
tähän kolmannesta yhtälöstä saatavan U2 :n, saadaan
J = (U3 − E )G2 + U3 (G3 + G45 )

4. luento

Sijoitetaan yhtälöön lukuarvot ja ratkaistaan:

U3 = 4 V

Joten kysytty virta on 4 V · 1 S = 4 A.

Jänniteyhtälöstä U2 + E = U3 ratkeaa U2 = −5 V, siispä vastuksen
R2 virta on 5 A alhaalta ylöspäin.

Virraksi I saadaan 1 A + 5 A = 6 A, josta 4 A kulkee R3 :n läpi ja
loput 2 A vastusten R4 ja R5 läpi.

Jännitteet ja virrat täsmäävät Kirchhoﬃn lakien kanssa, joten piiri on
laskettu oikein.

4. luento

Esimerkki 1
Ratkaise I ja U.

− +
E3

+ I R1 +

?
6
E1 E2 R2 U J

− − c


4. luento

Esimerkki 1
Ratkaise I ja U.

I3 − +
E3

+ I R1 +

?
6
E1 E2 R2 U J

− − c

J = UG2 + I3
I3 = I + (E1 − E2 )G1
U = E1 + E3


4. luento

Esimerkki 2
Ratkaise U2 ja I1 .

R
' 2
U

-
+
+ +
J1 J2
E1 E2 E3

− − −

I1


4. luento

Esimerkki 2
Ratkaise U2 ja I1 .

R
' 2
U

-
+
+ +
J1 J2
E1 E2 E3

− − −

I1

I1 = (E1 − E3 )G + J1
E2 + U2 = E3


4. luento

Mistä lisäharjoitusta?

Oppikirjaan on lisämateriaalia osoitteessa http://users.tkk.fi/
~ksilvone/Lisamateriaali/lisamateriaali.htm
Sieltä löytyy tasavirtapiiritehtäviä 175 kipaletta http:
//users.tkk.fi/~ksilvone/Lisamateriaali/teht100.pdf
Tehtäviin on pdf:n lopussa myös ratkaisut, joten saat välittömän
palautteen osaamisestasi!
Jos intoa riittää, voi opetella käyttämään piirisimulaattoria. Sillä on
helppo mm. tarkistaa kotitehtävät:
http://www.linear.com/designtools/software/ltspice.jsp


4. luento

Esimerkki 3
Ratkaise U4 .

+ R1 R3
E R2 R4 U4

− c


4. luento

Esimerkki 3
Ratkaise U4 .

+ R1 R3
E R2 U2 R4 U4

− c c

(E − U2 )G1 = U2 G2 + (U2 − U4 )G3
(U2 − U4 )G3 = G4 U4


4. luento


Kotitehtävä 4
Ratkaise jännite U1 . Kaikki vastukset ovat 10 Ω vastuksia, E = 10 V ja
J = 1 A.

6 R2
+
J R1 U1 R3 E

c −

R4


5. luento

Esimerkkiratkaisu
Kotitehtävä 4
Ratkaise jännite U1 . Kaikki vastukset ovat 10 Ω vastuksia, E = 10 V ja
J = 1 A. U1 − U2
E
-
R2 I
+
6 U
2
J R1 U R3
1 E

U2 − U3−

c c
©

' R4
U3
J = U1 G1 + (U1 − U2 )G2
(U1 − U2 )G2 = (U2 − U3 )G3 + I
G3 (U2 − U3 ) + I = U3 G4
U2 − U3 = E

5. luento

Ratkaisu jatkuu

J = U1 G1 + (U1 − U2 )G2
(U1 − U2 )G2 = EG3 + I
G3 E + I = U3 G4
U2 − U3 = E

Ratkaistaan kolmannesta yhtälöstä I ja sijoitetaan se toiseen yhtälöön.
Ratkaistaan viimeisestä yhtälöstä U3 ja sijoitetaan se paikalleen.

J = U1 G1 + (U1 − U2 )G2
(U1 − U2 )G2 = EG3 + (U2 − E )G4 − G3 E

1 = 0,2U1 − 0,1U2
0,1U1 − 0,1U2 = 0,1U2 − 1


5. luento

Ratkaisu jatkuu

1 = 0,2U1 − 0,1U2
0,1U1 − 0,1U2 = 0,1U2 − 1

Jonka ratkaisu on

U1 = 10
U2 = 10

Eli kysytty jännite U1 on 10 volttia. Tämän voi vielä tarkistaa
simulaattorilla.


5. luento

Piirimuunnokset

1 Piirimuunnoksella tarkoitetaan toimenpidettä, jonka avulla piiri tai
piirin osa muunnetaan esitystavaltaan erilaiseksi mutta ulospäin
samalla tavalla käyttäytyväksi piiriksi.
2 Jo kurssilla käsitellyt jännitelähteiden sarjaankytkentä, vastusten
rinnankytkentä sekä vastusten sarjaankytkentä ovat piirimuunnoksia.
3 Tällä tunnilla käsitellään virtalähteiden rinnankytkentä sekä
jännitelähde-virtalähdemuunnos.


5. luento

Esimerkki piirimuunnoksesta
Kaksi (tai useampi) vastusta muunnetaan yhdeksi, samalla tavalla
käyttäytyväksi vastukseksi.
Sarjaankytkentä
⇐⇒
R1 R2 R = R1 + R2

Rinnankytkentä

R2
⇐⇒
1
R= 1
+R1
R1 2
R1

Tai sama kätevämmin konduktansseilla G = G1 + G2 .


5. luento

Virtalähteiden rinnankytkentä

Kaksi (tai useampi) virtalähdettä muunnetaan yhdeksi, samalla tavalla
käyttäytyväksi virtalähteeksi.
Virtalähteet rinnan
˜ ˜

6 6
6
J1 J2 J3 ⇐⇒ J = J1 + J2 − J3

˜ ˜
?

Kuten jännitelähteiden rinnankytkentä, myös virtalähteiden
sarjaankytkentä on määrittelemätön (arkikielellä: kielletty) asia
piiriteoriassa, aivan kuten nollalla jakaminen matematiikassa. Johtimessa ei
voi samaan aikaan olla kahta erisuuruista virtaa!


5. luento

Jännitelähde-virtalähdemuunnos

Jännitelähteen ja vastuksen sarjaankytkentä käyttäytyy kuten
virtalähteen ja vastuksen rinnankytkentä.
Lähdemuunnos
˜ ˜

+ R
6
E ⇐⇒ J R E = RJ

−
˜ ˜


5. luento

Tärkeää muistettavaa

Huomaa, että ideaalista jännite- tai virtalähdettä ei voi muuntaa yllä
olevalla tavalla. Jännitelähteellä on oltava sarja- ja virtalähteellä
rinnakkaisresistanssa.
Vastuksen arvo pysyy samana, jännite- ja virtalähteen arvo saadaan
kaavasta E = RJ, joka perustuu Ohmin lakiin.
Lähdemuunnos ei ole vain piiriteoreettinen kuriositeetti.
Lähdemuunnos sopivassa paikassa säästää monen rivin
kaavanpyörittelyltä, esimerkiksi transistorivahvistimien analyysissä.


5. luento

Muunnoksen perustelu

Lähdemuunnos
- -

+ R I I
6
E
E U R U
R
− c c

Vasen kuva
E −U
I= U = E − RI
R
Oikea kuva:
E U E −U E
I= − = U=( − I)R = E − RI
R R R R
Molemmat piirit käyttäytyvät samalla tavalla.


5. luento

Esimerkki
Ratkaise U.

+ R1 R2 +
E1 R3 U E

− c −

Muunnetaan piiri

6
6
J1 R1 R2 R3 J2

Ja ei muuta kuin vastaus pöytään:
J1 + J2
U=
G1 + G2 + G3


5. luento

Erittäin tärkeä huomio

Vaikka vastuksen arvo pysyy samana muunnoksessa, vastus ei ole
sama vastus! Esimerkiksi edellisessä esimerkissä muuntamattoman
vastuksen virta ei ole sama kuin muunnetun vastuksen virta!


5. luento

Oppikirja

1.7.1 Jännitelähde-virtalähde-muunnos
numeroihin.


5. luento


Kotitehtävä 5
Ratkaise virta I muuntamalla virtalähteet jännitelähteiksi. J1 = 10 A,
J2 = 1 A, R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω ja R3 = 300 Ω.
-
I R2
6 6
J1 R1 R3 J2

Tämä on helppo ja nopea lasku; jos huomaat kirjoittavasi toista sivullista
yhtälöitä, olet tehnyt jotain väärin.


6. luento

Kotitehtävä 5 - Esimerkkiratkaisu
Kotitehtävä 5
Ratkaise virta I muuntamalla virtalähteet jännitelähteiksi. J1 = 10 A,
J2 = 1 A, R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω ja R3 = 300 Ω.
-
I R2
6 6
J1 R1 R3 J2

-

+ R1 I R2 R3 +
R1 J1 R3 J2

− −

R1 J1 − R3 J2 1000 V − 300 V 7
I= = = A ≈ 1,17 A.
R1 + R2 + R3 600 Ω 6

6. luento

Théveninin ja Nortonin teoreemat

Olemme käsitelleet seuraavat piirimuunnokset: jännitelähteiden
sarjaankytkentä, virtalähteiden rinnankytkentä, vastusten
rinnankytkentä sekä vastusten sarjaankytkentä sekä
jännitelähde-virtalähdemuunnos.
Théveninin ja Nortonin teoreemat liittyvät nekin piirimuunnoksiin.
Théveninin ja Nortonin teoreemojen nojalla mikä tahansa
jännitelähteistä, virtalähteistä ja vastuksista koostuva piiri voidaan
esittää jännitelähteen ja vastuksen sarjaankytkentänä tai virtalähteen
ja vastuksen rinnankytkentänä.


6. luento

Esimerkki piirimuunnoksesta
Théveninin teoreema
Mikä tahansa lineaarinen piiri voidaan esittää yhdestä portista katsottuna
jännitelähteen ja vastuksen sarjaankytkentänä. Tätä sarjaankytkentää
kutsutaan Théveninin lähteeksi.

Portti
Portti = napapari = kaksi napaa eli sellaista solmua, johon voidaan kytkeä
joku toinen piiri (esimerkiksi auton akun navat ovat hyvä esimerkki
napaparista).

Nortonin teoreema
Mikä tahansa lineaarinen piiri voidaan esittää yhdestä portista katsottuna
virtalähteen ja vastuksen rinnankytkentänä. Tätä rinnankytkentää
kutsutaan Nortonin lähteeksi.


6. luento

Théveninin lähteen muodostaminen

˜ ˜

+ R1
+ RT
E R2 ⇐⇒ ET

− −
˜ ˜

Théveninin lähteen ET selvitetään yksinkertaisesti laskemalla portin
jännite. RT voidaan selvittää kahdella tavalla:
Sammuttamalla kaikki piirin riippumattomat (ei-ohjatut) lähteet ja
laskemalla portista näkyvä resistanssi.
Selvittämällä portin oikosulkuvirta ja soveltamalla Ohmin lakia.
Ohjattu lähde on lähde, jonka arvo riippuu piirin jostain toisesta
jännitteestä tai virrasta. Nämä käydään kurssin loppupuolella.


6. luento


˜ ˜

+ R1
+ RT
E R2 ⇐⇒ ET

− −
˜ ˜

Portin jännite saadaan (tässä tapauksesa) laskemalla vastusten läpi
kulkeva virta ja kertomalla se R2 :lla. Tämä portin jännite, niin sanottu
tyhjäkäyntijännite, on sama kuin ET
E
ET = R2
R1 + R2


6. luento

RT voidaan ratkaista kahdella tavalla. Tapa 1: sammutetaan piirin kaikki
lähteet, ja lasketaan napojen välinen resistanssi. Sammutettu jännitelähde
on jännitelähde, jonka jännite on nolla volttia, eli toisin sanoen pelkkä
johdin:
˜ ˜
R1 RT
R2 ⇐⇒

˜ ˜

Nyt napojen välinen resistanssi on helppo laskea: R1 ja R2 ovat rinnan,
joten resistanssiksi saadaan
1 R1 R2
RT = = .
G1 + G2 R1 + R2
Tämä tapa on yleensä helpompi kuin oikosulkuvirran käyttäminen!

6. luento

RT :n selvittäminen oikosulkuvirran avulla
RT voidaan ratkaista kahdella tavalla. Tapa 2: oikosuljetaan navat, ja
lasketaan oikosulun läpi kulkeva virta eli oikosulkuvirta:
˜ ˜

+ R1
+ RT
E R2 I
?K ⇐⇒ ET I
?K

− −
˜ ˜

Oikosulkuvirran suuruus on
E
IK =
R1
ja vastuksen RT arvoksi saadaan (soveltamalla Ohmin lakia
oikeanpuoleiseen kuvaan):
E
ET ET R1 +R2 R2 R1 R2
RT = = E = E
=
IK R R1
R1 + R2
1


6. luento

Nortonin lähde

Nortonin lähde on yksinkertaisesti Théveninin lähde johon on sovellettu
lähdemuunnosta (tai päinvastoin). Resistanssi on sama molemmissa
lähteissä. Nortonin lähteessä virtalähteen virta on sama kuin portin
oikosulkuvirta.
˜

6
JN RN

˜


6. luento

Esimerkki 1

Muodosta Théveninin lähde. Kaikki
komponenttiarvot = 1.
˜
− +
J1
6
R1 ER
2

˜


6. luento

Esimerkki 2

Muodosta Théveninin lähde. Kaikki komponenttiarvot = 1.
˜

+ R1 R3
6
E R2 J

−
˜


6. luento

Oppikirja

1.9.3 Théveninin ja Nortonin teoreemat
numeroihin.


6. luento


Kotitehtävä 6
Muodosta kuvan piiristä Théveninin lähde. Kaikki komponenttiarvot ovat
1. (Vastukset ovat jokainen 1 Ω ja virtalähde J1 = 1 A.)
˜

6 R2
J1 R1 R3

˜


7. luento

Kotitehtävä 6
Muodosta kuvan piiristä Théveninin lähde. Kaikki komponenttiarvot ovat
1. (Vastukset ovat jokainen 1 Ω ja virtalähde J1 = 1 A.)
˜

6 R2
J1 R1 R3

˜

Ratkaistaan ensin Théveninin jännite ET . Tämän voi tehdä esimerkiksi
lähdemuunnoksen avulla:
˜

+ R1 R2
J1 R1 1
J1 R1 R3 ET = R1 +R2 +R3 R3 = V
3
−
˜
c


7. luento

Ratkaisu jatkuu

Ratkaistaan seuraavaksi Théveninin lähteen resistanssi RT . Helpoiten tämä
onnistuu sammuttamalla lähteet ja laskemalla portista näkyvä resistanssi
(toinen tapa olisi oikosulkuvirran selvittäminen). Resistanssin voi laskea
joko alkuperäisestä tai muunnetusta piiristä, lopputulos on sama.
Lasketaan muunnetusta piiristä, eli sammutetaan jännitelähde:
˜
R1 R2 1 2
R3 RT = 1
+R1 = 3 Ω
R1 +R2 3

˜

Vastukset R1 ja R2 ovat sarjassa, ja tämä sarjaankytkentä on rinnan R3 :n
kanssa. Nyt ET ja RT tiedetään, joten voimme muodostaa Théveninin
lähteen (ks. seuraava kalvo).


7. luento

Lopullinen ratkaisu

˜
2

+ RT = Ω
3
1
ET = V
3
−
˜


7. luento

Kerrostamismenetelmä

Vastuksista ja vakioarvoisista virta- ja jännitelähteistä koostuva piiri
on lineaarinen.
Jos piiri on lineaarinen, voidaan vastusten jännitteet ja virrat selvittää
laskemalla kunkin lähteen vaikutus erikseen.
Tätä ratkaisumenetelmää kutsutaan kerrostamismenetelmäksi.


7. luento

Kerrostamismenetelmä

Kerrostamismenetelmää sovelletaan seuraavasti
Lasketaan kunkin lähteen aiheuttama(t) virta/virrat ja/tai
jännite/jännitteet erikseen siten, että muut lähteet ovat
sammutettuina.
Sammutettu jännitelähde = oikosulku (suora johdin), sammutettu
virtalähde = avoin piiri (katkaistu johdin).
Lopuksi lasketaan osatulokset yhteen.


7. luento

Esimerkki kerrostamismenetelmän soveltamisesta
Ratkaise virta I3 kerrostamismenetelmällä.

+ R1 R2 +
E1 R3 E2

− −
I
?3
Sammutetaan oikeanpuoleinen jännitelähde:

+ R1 R2
E1 1
E1 R3 I31 = G
R1 + G +G G2 +G3 3
1
2 3
−
I
?31
Sammutetaan vasemmanpuoleinen jännitelähde:

R1 R2 +
E2 1
I32 = G
R2 + G +G G1 +G3 3
1 R3 E2
1 3
−
I
?31

7. luento

Esimerkki kerrostamismenetelmän soveltamisesta

Virta I3 saadaan laskemalla osavirrat I31 ja I32 .
E1 1 E2 1
I3 = I31 + I32 = 1 G3 + 1 G3
R1 + G2 +G3 G2 + G3 R2 + G1 +G3 G1 + G3


7. luento

Milloin kerrostamismenetelmä on kätevä?

Kun laskija pitää enemmän piirin sormeilemisesta kuin yhtälöryhmien
pyörittelemisestä.
Jos piirissä on paljon lähteitä ja vähän vastuksia,
kerrostamismenetelmä on usein nopea.
Jos piirissä on useita eritaajuisia lähteitä (näihin tutustutaan kurssilla
Vaihtosähköpiirit), piirin analysointi perustuu
kerrostamismenetelmään.


7. luento

Lineaarisuus ja kerrostamismenetelmän teoriatausta

Kerrostamismenetelmä perustuu piirin lineaarisuuteen, eli siihen, että
jokainen lähde vaikuttaa jokaiseen jännitteeseen vakiokertoimella.
Sama kaavana: jos piirissä on lähteet E1 , E2 , E3 , J1 , J2 , niin jokainen
piirin jännite ja virta on muotoa k1 E1 + k2 E2 + k3 E3 + k4 J1 + k5 J2 ,
missä vakiot kn ovat reaalilukuja.
Jos kaikkien lähteiden arvo on nolla, ovat piirin vastusten virrat ja
jännitteet nolla; eli nollaamalla kaikki lähteet paitsi yksi, voidaan
laskea kyseisen lähteen vaikutuskerroin.


7. luento

Oppikirja

1.9.5 Superpositioperiaate eli kerrostamismenetelmä


7. luento


Kotitehtävä 7

J1 = 1 A R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω E1 = 5 V
-

I2 R
+
6 2
J1 R1 R3 E1

−


8. luento


Kotitehtävä 7

J1 = 1 A R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω E1 = 5 V
-

I2 R
+
6 2
J1 R1 R3 E1

−


8. luento

Ratkaisu

Lasketaan ensin virtalähteen vaikutus:
-

I21 R
6 2
J1 R1 R3

Vastusten R1 ja R2 yli on sama jännite (ne ovat rinnan) ja vastus R2
kaksinkertainen verrattuna vastukseen R1 joten R2 :n läpi kulkee puolet
pienempi virta kuin R1 :n. Koska vastusten läpi kulkee yhteensä J1 = 1 A:n
suuruinen virta, kulkee R1 :n läpi 2/3 A ja R2 :n läpi I21 = 1/3 A.


8. luento

Ratkaisu
Lasketaan seuraavaksi jännitelähteen vaikutus:
-
I22 R
+
2
R1 R3 E1

−

Vastukset R1 ja R2 ovat nyt sarjassa ja niiden yli on yhteensä E = 5 V
jännite, joten
E 5V 1
I22 = − =− = − V.
R1 + R2 10 Ω + 20 Ω 6
Negatiivinen etumerkki johtuu siitä, että virran I22 suunta on alhaalta ylös
ja vastusten jännitteen suunta ylhäältä alas.
Lopuksi yhdistetään tulokset:
1 1 1
I2 = I21 + I22 = A − A = A.
3 6 6

8. luento

Jännitteenjakosääntö
U1 E

R1
U R2 U2
c c

U1 = U R1R1 2 ja U2 = U R1R2 2
+R +R
Elektroniikkapiirissä tarvitaan usein vertailujännite, joka
muodostetaan jostain suuremmasta jännitteestä.
Kaava toimii myös useamman vastuksen sarjaankytkennälle.
Nimittäjään tulee kaikkien vastusten summa ja osoittajaan se vastus,
jonka yli olevaa jännitettä kysytään.


8. luento

Virranjakosääntö

-
I I
?1 I
?2
R1 R2

I1 = I G1G1 2 ja I2 = I G1G2 2
+G +G
Kaava pätee myös monen vastuksen rinnankytkennälle.
Tätä ei tarvita yhtä tavallisesti kuin jännitteenjakosääntöä, mutta on
luontevaa ottaa se esille jännitteenjakosäännön yhteydessä.


8. luento

Esimerkki 1

I
?1 I
?2 I
?3
6 R4
J R1 R2 R3


8. luento

Esimerkki 1

I
?1 I
?2 I
?3
6 R4
J R1 R2 R3

G
I1 = J G1 +G1 +G3
2


8. luento

Esimerkki 1

I
?1 I
?2 I
?3
6 R4
J R1 R2 R3

G G
I1 = J G1 +G1 +G3
2
I2 = J G1 +G2 +G3
2


8. luento

Esimerkki 1

I
?1 I
?2 I
?3
6 R4
J R1 R2 R3

G G G
I1 = J G1 +G1 +G3
2
I2 = J G1 +G2 +G3
2
I3 = J G1 +G3 +G3
2


8. luento

Esimerkki 2

U1 U2 U3

‡ ‡ ‡

+ R1 R2 R3
E R4 U4

− W


8. luento

Esimerkki 2

U1 U2 U3

‡ ‡ ‡

+ R1 R2 R3
E R4 U4

− W

U1 = E R1 +R2R1 3 +R4
+R


8. luento

Esimerkki 2

U1 U2 U3

‡ ‡ ‡

+ R1 R2 R3
E R4 U4

− W

U1 = E R1 +R2R1 3 +R4
+R U2 = E R1 +R2R2 3 +R4
+R


8. luento

Esimerkki 2

U1 U2 U3

‡ ‡ ‡

+ R1 R2 R3
E R4 U4

− W

U1 = E R1 +R2R1 3 +R4
+R U2 = E R1 +R2R2 3 +R4
+R U3 = E R1 +R2R3 3 +R4
+R


8. luento

Esimerkki 2

U1 U2 U3

‡ ‡ ‡

+ R1 R2 R3
E R4 U4

− W

U1 = E R1 +R2R1 3 +R4
+R U2 = E R1 +R2R2 3 +R4
+R U3 = E R1 +R2R3 3 +R4
+R
U4 = E R1 +R2R4 3 +R4
+R


8. luento

Oppikirja

1.5.3 Jännitteen jako
1.5.4 Virran jako
numeroihin.


Tasasähköpiirit

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

More from Vesa Linja-aho

More from Vesa Linja-aho (20)

Tasasähköpiirit