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EEEFM “Alice Holzmeister”
                3º ano do Ensino Médio
                  Profª Lidiane Lahass




Introdução

GEOMETRIA ESPACIAL
Sólidos Platônicos
É como são conhecidos os poliedros regulares.

Platão, filósofo grego (400 a. C.) associou os
poliedros regulares ao Universo. Entendia o
mundo como sendo constituído por quatro
elementos básicos: a Terra, o Fogo, o Ar e a Água.
Sólidos Platônicos
Sólidos Platônicos
                        Tetraedro
Este poliedro é formado por quatro triângulos
equiláteros. Em cada um dos vértices encontra-se o
mesmo número de arestas. O prefixo tetraderiva do
grego e significa quatro (quatro faces).

                        Hexaedro
O cubo é o único poliedro regular com faces
quadrangulares. Cada vértice une três quadrados. O cubo
tem seis faces, pelo que também se pode chamar por
hexaedro (hexa significa seis em grego).
Sólidos Platônicos
                         Octaedro
As faces deste poliedro são triângulos equiláteros, e em
cada vértice reúnem-se quatro triângulos. Assim, o total
das faces é oito, daqui o facto deste poliedro se chamar
octaedro (octa significa oito em grego).

                        Icosaedro
Neste poliedro são cinco os triângulos equiláteros que se
encontram em cada vértice, perfazendo vinte faces. Por
isso, o poliedro se chama icosaedro (icosa significa vinte
em grego).
Sólidos Platônicos

                   Dodecaedro
O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces
são pentágonos regulares. Em cada vértice
encontram-se três pentágonos. Assim este poliedro
é formado por doze faces e daí toma o nome de
dodecaedro (dodeca significa doze em grego).
Resumindo
Tetraedro é constituído por quatro triângulos equiláteros;
possui 4 vértices, 6 arestas e 4 faces triangulares.

Cubo é constituído por seis quadrados; possui 8 vértices, 12
arestas e 6 faces quadrangulares.

Octaedro é constituído por oito triângulos equiláteros;
possui 6 vértices, 12 arestas e 8 faces triangulares.

Icosaedro é constituído por vinte triângulos equiláteros;
possui 12 vértices, 30 arestas e 20 faces triangulares.

Dodecaedro é constituído por doze pentágonos; possui 30
arestas, 20 vértices e 12 faces pentagonais
Séculos mais tarde, os poliedros regulares
inspiraram Kepler, astrônomo alemão do séc. XVII
no estudo do movimento dos seis planetas até então
conhecidos: Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vênus e
Mercúrio. Kepler imaginou um modelo do Sistema
Solar composto por esferas concêntricas separadas
umas das outras por um cubo, um tetraedro, um
dodecaedro, um octaedro e um icosaedro.
Introdução a Poliedros
Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é
composta por um número finito de faces, em que
cada uma das faces é um polígono. Os seus
elementos mais importantes são as faces, as arestas
e os vértices, ou seja, toda figura geométrica de três
dimensões, formada por polígonos é chamada
de poliedro.
Relembrando
Polígonos são figuras fechadas formadas por
segmentos de reta, sendo caracterizados pelos
seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e
lados. De acordo com o número de lados a figura é
nomeada.

Ex.: Lados/Nomes

3: Triângulo
4: Quadrilátero
5: Pentágono
Cubo
Eis um exemplo, o cubo:
Cubo
O cubo possui comprimento, largura e altura (3
dimensões), e é formado por 6 quadrados (figuras
planas). Tais quadrados estão unidos, dois a
dois, pelas arestas. São 12 arestas e 8 vértices

Outro exemplo, a pirâmide de base quadrangular:
Pirâmide
Essa pirâmide tem por base um retângulo. Por isso, é
chamada de pirâmide de base quadrangular, ou apenas de
pirâmide quadrangular. Ela possui 5 vértices, 4 faces
triangulares e 8 arestas.
Veja:
Polígono = figura plana
Poliedro = sólido, em 3 dimensões, no espaço, formado por
polígonos
Arestas = lados dos polígonos que formam o poliedro
Vértices = os pontos onde as arestas se interceptam
Faces = cada um dos polígonos que formam o poliedro
Atenção
Mas atenção: não são poliedros os sólidos que
possuem formas arredondadas, como o cilindro e o
cone:
Convexos e Côncavos
                  Convexos
Um poliedro diz-se convexo, como o cubo, quando
  um segmento de reta, unindo quaisquer dois
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                    poliedro.
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  Um poliedro diz-se côncavo, quando um
  segmento de reta, unindo dois pontos do
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Regulares e Não regulares
Os poliedros podem ser regulares ou não. Diz-se que um
   poliedro é regular quando suas faces são polígonos
regulares e congruentes, e de todos os vértices parte um
               mesmo número de arestas.
Uma relação válida para todos os poliedros é
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Geometria espacial

  • 1. EEEFM “Alice Holzmeister” 3º ano do Ensino Médio Profª Lidiane Lahass Introdução GEOMETRIA ESPACIAL
  • 2. Sólidos Platônicos É como são conhecidos os poliedros regulares. Platão, filósofo grego (400 a. C.) associou os poliedros regulares ao Universo. Entendia o mundo como sendo constituído por quatro elementos básicos: a Terra, o Fogo, o Ar e a Água.
  • 4. Sólidos Platônicos Tetraedro Este poliedro é formado por quatro triângulos equiláteros. Em cada um dos vértices encontra-se o mesmo número de arestas. O prefixo tetraderiva do grego e significa quatro (quatro faces). Hexaedro O cubo é o único poliedro regular com faces quadrangulares. Cada vértice une três quadrados. O cubo tem seis faces, pelo que também se pode chamar por hexaedro (hexa significa seis em grego).
  • 5. Sólidos Platônicos Octaedro As faces deste poliedro são triângulos equiláteros, e em cada vértice reúnem-se quatro triângulos. Assim, o total das faces é oito, daqui o facto deste poliedro se chamar octaedro (octa significa oito em grego). Icosaedro Neste poliedro são cinco os triângulos equiláteros que se encontram em cada vértice, perfazendo vinte faces. Por isso, o poliedro se chama icosaedro (icosa significa vinte em grego).
  • 6. Sólidos Platônicos Dodecaedro O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces são pentágonos regulares. Em cada vértice encontram-se três pentágonos. Assim este poliedro é formado por doze faces e daí toma o nome de dodecaedro (dodeca significa doze em grego).
  • 7. Resumindo Tetraedro é constituído por quatro triângulos equiláteros; possui 4 vértices, 6 arestas e 4 faces triangulares. Cubo é constituído por seis quadrados; possui 8 vértices, 12 arestas e 6 faces quadrangulares. Octaedro é constituído por oito triângulos equiláteros; possui 6 vértices, 12 arestas e 8 faces triangulares. Icosaedro é constituído por vinte triângulos equiláteros; possui 12 vértices, 30 arestas e 20 faces triangulares. Dodecaedro é constituído por doze pentágonos; possui 30 arestas, 20 vértices e 12 faces pentagonais
  • 8. Séculos mais tarde, os poliedros regulares inspiraram Kepler, astrônomo alemão do séc. XVII no estudo do movimento dos seis planetas até então conhecidos: Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vênus e Mercúrio. Kepler imaginou um modelo do Sistema Solar composto por esferas concêntricas separadas umas das outras por um cubo, um tetraedro, um dodecaedro, um octaedro e um icosaedro.
  • 9. Introdução a Poliedros Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número finito de faces, em que cada uma das faces é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices, ou seja, toda figura geométrica de três dimensões, formada por polígonos é chamada de poliedro.
  • 10. Relembrando Polígonos são figuras fechadas formadas por segmentos de reta, sendo caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. De acordo com o número de lados a figura é nomeada. Ex.: Lados/Nomes 3: Triângulo 4: Quadrilátero 5: Pentágono
  • 12. Cubo O cubo possui comprimento, largura e altura (3 dimensões), e é formado por 6 quadrados (figuras planas). Tais quadrados estão unidos, dois a dois, pelas arestas. São 12 arestas e 8 vértices Outro exemplo, a pirâmide de base quadrangular:
  • 13. Pirâmide Essa pirâmide tem por base um retângulo. Por isso, é chamada de pirâmide de base quadrangular, ou apenas de pirâmide quadrangular. Ela possui 5 vértices, 4 faces triangulares e 8 arestas. Veja: Polígono = figura plana Poliedro = sólido, em 3 dimensões, no espaço, formado por polígonos Arestas = lados dos polígonos que formam o poliedro Vértices = os pontos onde as arestas se interceptam Faces = cada um dos polígonos que formam o poliedro
  • 14. Atenção Mas atenção: não são poliedros os sólidos que possuem formas arredondadas, como o cilindro e o cone:
  • 15. Convexos e Côncavos Convexos Um poliedro diz-se convexo, como o cubo, quando um segmento de reta, unindo quaisquer dois pontos do poliedro, está totalmente dentro do poliedro.
  • 16. Convexos e Côncavos Côncavos Um poliedro diz-se côncavo, quando um segmento de reta, unindo dois pontos do poliedro, sai fora do poliedro.
  • 17. Regulares e Não regulares Os poliedros podem ser regulares ou não. Diz-se que um poliedro é regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes, e de todos os vértices parte um mesmo número de arestas.
  • 18. Uma relação válida para todos os poliedros é a Relação de Euler, descoberta pelo matemático suíço Euler: nº faces + nº vértices = nº arestas + 2