Dokumen tersebut membahas tentang berbagai bentuk dan luas bangun datar sederhana dan tidak sederhana beserta pembuktiannya, seperti persegi panjang, persegi, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga sembarang. Metode pembuktian rumus luas menggunakan pendekatan geometri.

1. Mengindentifikasi Berbagai Bentuk dan Luas
Bangun Datar Dalam Konteks Nyata dengan
Pengembangan Karakter.
Nama : Pukky Tetralian B.N
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PGRI SEMARANG
2014

3. Bab I
Pendahuluan

4. Latar Belakang
Geometri dibedakkan menjadi dua yaitu geometri bangun datar dan geometri bangn ruang.
Pada artikel ini akan membahas geometri bangun datar. Geometri bangun datar, merupakan
studi tentang titik, garis, sudut, dan bangun-bangun geometri yang terletak pada sebuah
bidang datar. Bangun datar dalam pembahasan materi geometri sangat luas dan memiliki
banyak macam bentuk dan jenis. Bangun datar terdiri dari bangun yang dibatasi oleh
poligon (segi banyak) yang merupakan sisinya dan terletak pada bidang datar. Secara
umum, bagun datar atau segibanyak dapat kelompokkan menjadi : segitiga, segiempat,
segilima, segienam, dan seterusnya. Akan tetapi jika didasarkan pada tingkat kemudahan
atau kesederhanaan dalam mengenalinya dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu
bangun datar sederhana dan bangun datar tidak sederhana.

5. Rumusan Malasah
1. Apa saja contoh dari bangun datar sederhana dalam konteks sehari- hari?
2. Apa saja contoh dari bangun datar tidak sederhana dalam konteks sehari-
hari?

6. Tujuan
Setelah membaca artikel ini maka diharapkan pembaca dapat memahami tentang beberapa
hal berkaitan dengan bangun datar sederhana serta bangun datar tidak sederhana dan
mengetahui bangun datar dalam tingkat kesederhaannya dalam konteks nyata yang
berkaitan dengan matematika, sehingga pembaca dapat mengetahui perbedaan tersebut dan
dapat mencari luas bangun datar tahap demi tahap dengan cara deduktif . Pada artikel ini
juga di sisipi nilai karakter bangsa Indonesia sehingga pembaca dapat mengetahui nilai
positif yang ada pada artikel ini.

7. Manfaat
Supaya dapat memperdalam pengetahun yang berkaitan dengan geometri
bangun datar dan dapat mengetahui konteks nyata yang berkaitan dengan
kehidupan sehari – hari.

8. Bab II
Pembahasan
Bangun datar

9. Bangun Datar Sederhana
SegiempatSegiempat SegitigaSegitiga

10. Segiempat
Persegi Panjang Persegi

11. Persegi Panjang
Sifat – Sifat
Definisi
Pembuktian Rumus

12. Pembuktian Rumus Persegi panjang
Permasalahan :
Pada suatu hari saat Andi berjalan pulang
dari sekolah,dia menemukan dompet yang
berisi uang kertas yang berisi lima ribuan
4, sepuluh ribuan 2 , lima puluh ribuan
5,dan seratus ribuan 3. Dalam dompet
tersebut ada alamat pemilik dan dia
mengembalikan ke pemilik dompet
tersebut. Dari bentuk uang kertas
tersebut ,bagaimana untuk mencari luas
uang kertas tersebut?
Gambar 1.1. Uang kertas representasi dari persegi panjang
Sumber :
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Indon
esian_Rupiah_%28IDR%29_banknotes2009.jpg

13. Pembahasan
Uang kertas tersebut berbentuk persegi panjang, kita perlu mencari rumus luas persegi
panjang tersebut yaitu :
Postulat
•Daerah yang dilengkapi oleh persegi, dimana setiap sisinya memiliki panjang a, maka
persegi ini memiliki luasan yang sama dengan a2
•Kemudian dari postulat diatas menghasilkan sebuah teorema untuk Luas Persegi
Panjang,
Teorema
•Luas suatu persegi panjang yang panjang sisinya a dan b adalah a.b

14. Bukti :
•Misal kita konstruksikan Persegi Panjang dari suatu persegi seperti pada gambar dibawah ini.
Dari gambar diatas dan menurut Postulat, maka :
•(a + b)2
= Luas R1 + Luas R2 + Luas R3 + Luas R4
•a2
+ 2ab + b2
= a2
+ Luas R2 + Luas R3 + b2
karena Luas R2 = Luas R3, berakibat :
•a2
+ 2ab + b2
= a2
+ 2 Luas R2 + b2
•2a.b = 2 Luas R2
•a.b = Luas R2
Jadi untuk luas Persegi Panjang pada luas R2 = a.b atau luas persegi panjang dapat dimisalkan

15. R2 = Luas (L)
a = Panjang (p)
b = Lebar (l)
sehingga Rumus Luas Persegi Panjang didapat :
L = p x l

16. Definisi persegi panjang
Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua
pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan
pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah
sudut siku-siku. Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang dan rusuk
terpendek disebut sebagai lebar.

17. Sifat – sifat persegi panjang
• Memiliki empat sisi serta empat titik sudut
• Memliki dua pasang sisi sejajar yang berhadapan dan sama panjang
• Memiliki empat buah sudut yang besarnya 90° ( siku-siku )
• Memliki dua diagonal yang sama panjang
• Memiliki dua buah simetri lipat
• Memliki simetri putar tingkat dua

18. Persegi
Sifat – Sifat
Definisi
Pembuktian Rumus

19. Pembuktian Rumus Persegi
Permasalahan :
Pak Budi seorang pengerajin ubin,yang
setiap hari memproduksi ubin sebanyak 200
buah per hari. Dia bekerja keras setiap
harinya untuk istri dan kedua anaknya
sehingga setiap hari dia harus mencapai
target yang telah ditentukan. Ubin Pak Budi
berbentuk persegi. Untuk mencari luas ubin
tersebut, bagaimana caranya?
Gambar 1.2. Ubin Keramik Yang Berbentuk Persegi
Sumber :
http://2.bp.blogspot.com/_bhStJPNL_O4/TRCyMrZ
FKSI/AAAAAAAAJNM/pEhhQJ97S4I/s1600/Ubin
%2BKolonial_03.jpg

20. Pembahasan
Perhatikan kedua gambar di bawah ini.
Gambar 1 Gambar 2
Perhatikanlah gambar 2 dengan teliti, dimana ada persegi – persegi kecil
didalam sebuah persegi yang besar. Langkah – langkah :

21. Pertama :
•Perhatikan persegi – persegi kecil tersebut yang merupakan satuan dari persegi besar.
Kedua :
•Anggaplah satu persegi kecil merupakan satu satuan, maka dapat dikatakan bahwa
persegi diatas memiliki luas sebanyak jumlah semua persegi kecil.
Ketiga :
•Hitunglah kubus satuan kecil tersebut dengan cara seperti gambar berikut
VertikalHorizontal

22. Sehingga dapat disimpulkan.
Luas persegi = Hasil kali jumlah satuan dari kedua sisi yang saling tegak lurus
= 10 x 10
= 100 satuan
Jadi Rumus Luas Persegi yaitu :
Luas = sisi x sisi
L = s x s

23. Definisi Persegi
Persegi adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah
rusuk yang sama panjang dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya
adalah sudut siku-siku.

24. Sifat – sifat persegi
• Memiliki empat sisi serta empat titik sudut
• Memiliki dua pasang sisi yang sejajar serta sama panjang
• Keempat sisinya sama panjang
• Keempat sudutnya sama besar yaitu 90° ( sudut siku-siku )
• Memiliki empat buah simetri lipat
• Memiliki simetri putar tingkat empat.

25. Segitiga
Segitiga Sembarang
Segitiga Sama Sisi
Segitiga Sama Kaki

26. Segitiga Sama Kaki
Sifat – Sifat
Definisi
Pembuktian Rumus

27. Pembuktian Rumus Segitiga Sama KakiPembuktian Rumus Segitiga Sama Kaki
Permasalahan :
Pada hari minggu keluarga Pak Darwin pergi
berlibur ke tempat wisata alam pantai indah
kapuk, setelah mereka menunaikan ibadah
bersama, mereka berjalan – jalan menuju rumah
mangrove, setelah sampai rumah mangrove
mereka melihat atap dan alas yang berbentuk
segitiga sama kaki. Bagaimana mencari luas
segitiga sama kaki tersebut?
Gambar 1.4. Atap Rumah dan lantai yang Berbentuk
Segitiga
Sumber :
http://images.detik.com/customthumb/2014/01/02/1
026/img_20140102162158_52c52fb6da004.jpg?
w=600

28. Pembahasan
Perhatikan gambar persegi panjang yang didalam nya terdapat segitiga sama kaki
dibawah ini:
Luas Persegi Panjang = Luas R1+ Luas R2 + Luas R3 + Luas R4
2.a.t = Luas R1+ Luas R2 + Luas R3 + Luas R4
karena Luas R1 = Luas R2 = Luas R3 = Luas R4

29. 2 a.t = 4 Luas R1
a.t = 2 Luas R1
2 Luas R1 = a.t
Luas R1= a.t
dengan
a = alas dan t = tinggi
L = x alas x tinggi
Jadi Rumus Luas Segitiga Sama Kaki yaitu
2
1
2
1
L = a x t2
1

30. Definisi Segitiga Sama Kaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi yang
berhadapan sama panjang.

31. Sifat – Sifat Segitiga Sama Kaki
• Mempunyai 2 sisi yang berhadapan sama panjang.
• Mempunyai 2 sudut yang berhadapan sama besar.
• Mempunyai 1 simetri lipat.

32. Segitiga Sama Sisi
Sifat – Sifat
Definisi
Pembuktian Rumus

33. Segitiga Sama Sisi
Permasalahan :
Pada suatu hari Sinta pergi berlibur bersama
keluarganya. Saat perjalanan sinta dan
keluarganya berhenti sejenak untuk menunaikan
ibadah terlebih dahulu. Pada samping tempat
ibadah tersebut terlihat jembatan besar yang
dibentang dengan tali baja. Jembatan tersebut
berbentuk segitiga sama sisi .Bagaimana
mencari segitiga sama sisi?
Gambar 1.5 Tali Jembatan Dengan Jalan yang
Membentuk Segitiga Sama SisiSumber :
http://bulanbintang.files.wordpress.com/2008/03/jembat
an-raja-haji-fisabilillah-hubungkan-batam-rempang-
galang-barelang.jpg?w=500

34. Pembahasan
Segitiga sama sisi alasnya sama dengan s, tinggi segitiga sama sisi kita cari dengan
phytagoras antara sisi miring = s dengan setengah panjang alas = s2
1
Sehingga t = 22
)
2
1
( ss −
Jadi untuk luas segitiga sama sisi yaitu :

35. L =
2
1
a x t
2
1 22
)
2
1
( ss − L = s x
2
1 22
4
1
ss − L = s x
2
1 2
4
3
s L = s x
2
1
2
1
3 L = s x s
4
1
3L = s2
4
2
s
3 L =
Jadi Rumus Luas Segitiga Sama Sisi yaitu
4
2
s
3 L =

36. Definisi Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang dan
ketiga sudutnya sama besar.

37. Sifat – Sifat Segitiga Sama Sisi
• Panjang sisi sama.
• Besar sudutnya sama.
• Mempunyai 3 simetri lipat.
• Mempunyai 3 simetri putar.

38. Segitiga Sembarang
Sifat – SifatSifat – Sifat
DefinisiDefinisi
Pembuktian RumusPembuktian Rumus

39. Segitiga Sembarang
Sumber :
http://talisadikamaifa.files.wordpress.com/2012/12/32
33540856_af8ec1bc35.jpg
Gambar 1.6 Resoles Berbentuk Segitiga Sembarang
Permasalahan :
Ibu Santi selalu pergi kepasar setiap pagi untuk
menjual resoles. Sebelum dia pergi kepasar dia selalu
beribadah dan menyiapkan resoles yang akan dia jual.
Resoles tersebut berbentuk segitiga sembarang.
Bagaimana mencari luas resoles tersebut yang
berbentuk segitiga sembarang?

40. Pembahasan
Kita akan membuktikan bahwa rumus luas ∆ABC jika ukuran ketiga sisinya
diketahui, yaitu a, b, c adalah
Dengan s adalah ½ keliling segitiga tersebut atau s = ½ (a + b + c)
langkah – langkah :
1. Masih ingatkan rumus identitas trigonometri
sin2
A + cos2
A = 1
sin2
A = 1 – cos2
A
sin2
A = (1 + cos A) (1 – cos A )

41. 2. Kita ganti cos A dengan aturan cosinus,yaitu:
3. kita kembali lagi ke s = ½ (a + b + c), maka :
1) (a + b + c) = 2s
2) (b + c – a) = (a + b + c) – 2a = 2s – 2a = 2 (s – a )
3) (a + b – c) = (a + b – c) – 2c = 2s – 2c = 2 (s –c )
4) (a + c – b) = (a + c – b) – 2b = 2s – 2b = 2 (s –b )
bc
acb
A
2
)(
cos
222
−+
=





 −+
−




 −+
+=
bc
acb
bc
acb
A
2
)(
1
2
)(
1sin
222222
2





 +−−





 −++
=
bc
acbbc
bc
acbbc
A
2
2
2
2
sin
222222
2





 −−





 −+
=
bc
cba
bc
acb
A
2
)(
2
))(
sin
2222
2
22
2
4
))()()((
sin
cb
cbacbaacbacb
A
+−−+−+++
=
22
4
))()()((
sin
cb
cbacbaacbacb
A
+−−+−+++
=
))()()((
2
1
sin cbacbaacbacb
bc
A +−−+−+++=

42. )(2).(2).(2.2
2
1
sin csbsass
bc
A −−−=
))()((16
2
1
sin csbsass
bc
A −−−=
))()((
2
4
sin csbsass
bc
A −−−=
))()((
2
sin csbsass
bc
A −−−=
Sehingga,
4. ingat bahwa luas segitiga adalah :
AbcL sin
2
1
=
))()((
2
2
1
csbsass
bc
bcL −−−=
))()(( csbsassL −−−=

43. Jadi Rumus Luas Segitiga Sembarang yaitu
))()(( csbsassL −−−=

44. Definisi Segitiga Sembarang
Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya
dan ketiga sudutnya berbeda besarnya.

45. Sifat – Sifat Segitiga Sembarang
• Panjang Sisi tidak sama.
• Besar Sudutnya tidak sama.
• Tidak mempunyai Simetri Lipat.
• Tidak mempunyai Simetri Putar.

46. Bangun datar tidak sederhana
SegienamSegilima

47. Segilima
Sifat – Sifat
Definisi
Pembuktian Rumus

48. Segilima
Permasalahan :
Pandang dengan teliti motif bola
yang berwarna hitam. Motif bola
tersbut berbentuk segilima.
Bagaimana mencari luas segilima
tersebut ?
Gambar 1.6. Motif Bola Warna hitam yang Berbentuk Segi Lima
Sumber :
http://2.bp.blogspot.com/Eoy7VSd433Q/UnqSeFEr6aI/AAAA
AAAAAEY/rhalloSYaaE/s1600/paving+blok+segi+enam+1.jpg

49. Pembahasan
Lihatlah gambar lingkaran yang didalam nya terdapat segienam dibawah ini.
Perhatikan sisi AB = BC = CD = DE = EA = S (sisi), jadi disini "S" adalah sisi dari
segi enam beraturan. Sedangkan OA = OB = OC = OD = OE = r (jari-jari).

50. • Untuk segi enam beraturan, sisi dan jari-jarinya sama karena segitiga yang dihasilkan adalah
segitiga sama sisi. Bisa dibuktikan karena sudut AOF besarnya 72o
(360 dibagi dengan jumlah
sisi segilima yang jumlahnya lima), dan sisi yang mengapit sudut itu juga sama panjang, yaitu
dua buah jari-jari.
• Kita mencari dahulu rumus segitiga sama kaki yaitu :
• Jadi luas segilima beraturan jika diketahui jari-jarinya n yaitu:
θsin..
2
1
baLuas =
θsin..
2
1
rrLuas =
°= 72sin
2
1 2
rLuas
Luas = n x luas
°72sin
2
1
x5=Luas 2
r
°72sin
2
5
=Luas 2
r

51. • n pada rumus diatas menunjukkan jumlah segitiga yang ada pada segienam, yaitu 5 buah
segitiga. Dan r = s sehingga Rumus diatas juga berlaku jika yang diketahui adalah sisinya.
Jadi rumus luas segilima adalah
°= 72sin
2
5 2
sL

52. Definisi Segilima
Segilima beraturan adalah bangun datar yang dibentuk oleh 5 ruas garis
yang setiap pasangnya bertemu di satu titik.

53. Sifat – Sifat Segilima
• Sudut dalam pada segilima beraturan adalah 108°.
• Segilima beraturan memiliki 5 simetri garis dan 5 simetri putar.

54. Segienam
Sifat – Sifat
Definisi
Pembuktian Rumus

55. SegienamSegienam
Permasalahan :
Dian dan Nila setiap sore selalu berlari – lari di
taman. Pada suatu hari mereka menemukan
seorang anak yang tersesat dari orang tuanya.
Kemudian mereka membantu anak tersebut
dengan mengajak anak tersebut berjalan – jalan
dan mencari orang tuanya. Setelah beberapa
menit mereka bertemu dengan orang tua anak
tersebut. Orang tua anak tersebut berterima
kasih dengan Dian dan Nila. Dian dan Nila
kembali ke jalur paving. Paving tersebut
berbentuk segienam. Bagaimana mencari luas
segi lima tersebut?
Gambar 1.7. Paving di Sebuah
Taman KotaSumber :
http://2.bp.blogspot.com/Eoy7VSd433Q/UnqSeFEr6aI/AAAA
AAAAAEY/rhalloSYaaE/s1600/paving+blok+segi+enam+1.jpg

56. Pembahasan
Lihatlah gambar lingkaran yang didalam nya terdapat segienam dibawah ini.
Perhatikan sisi AB = BC = CD = DE = EF = AF = S (sisi), jadi disini "S"
adalah sisi dari segi enam beraturan. Sedangkan OA = OB = OC = OD = OE
= OF = R (jari-jari).

57. • Untuk segi enam beraturan, sisi dan jari-jarinya sama karena segitiga yang dihasilkan adalah
segitiga sama sisi. Bisa dibuktikan karena sudut AOF besarnya 60 derajat (360 dibagi dengan
jumlah sisi segienam yang jumlahnya enam), dan sisi yang mengapit sudut itu juga sama
panjang, yaitu dua buah jari-jari.
• Jadi luas segi enam beraturan jika diketahui jari-jarinya adalah :
• n pada rumus diatas menunjukkan jumlah segitiga yang ada pada segienam, yaitu 6 buah
segitiga. Dan r = s sehingga Rumus diatas juga berlaku jika yang diketahui adalah sisinya.
Jadi rumus luas segienam adalah
rrnLuas .
2
1
=
3
2
1
2
1
6 2
rLuas =
3
2
3 2
rLuas =
sin 60˚
3
2
3 2
sLuas =

58. Definisi Segienam
• Suatu segienam beraturan adalah suatu segienam dengan panjang sisi dan
besar sudut dalam yang sama.

59. Sifat – Sifat Segienam
• Sudut dalam pada segienam beraturan adalah 120°.
• Segienam beraturan memiliki 6 simetri garis dan 6 simetri
putar.
• Diagonal terpanjang dari segienam beraturan, yang
menghubungkan dua titik sudut berseberangan, panjangnya
adalah dua kali panjang satu sisinya.

60. Bab III
Penutupan

61. Kesimpulan
Dari penjelasan yang telah diuraikan dengan runtut dapat simpulkan bahwa
rumus – rumus luas pada bangun datar terebut saling keterkaitan antara
bangun datar yang satu dengan yang lain.

62. Saran
Lebih memperdalam konsep bangun datar mengenai benda – benda yang
berkaitan dengan kehidupan sehari – hari. Kita harus lebih memahami ilmu
tentang matematika khususnya dalam artikel ini yaitu geometri sehingga
dapat mengetahui kegunaan dan aplikasinya dalam kehidupan sehari – hari.