1. Este programa interactivo le va a ser de mucha ayuda. Contiene todo lo necesario
para hacer de su proceso de aprendizaje más sencillo y sistemático. Está
organizado de tal forma que con sólo un clic, usted tenga acceso a toda la
información necesaria para convertirse en un experto.
Con hipervínculos, explicaciones claras, ejemplos, y ejercicios de práctica, quisimos
hacer una guía completa con la cual esperamos aportar a su proceso de
aprendizaje una forma sencilla y útil a la vez. Deseamos que lo disfrute y que sea
de mucha ayuda para usted.
Ir a Menú de
Ejercicios y Tareas
Por:
Daniel Camilo Rodríguez Pinto
Iván Barriga González-Rubio
Juan Camilo Rivera González

2. IInnttrroodduucccciióónn
Para algunas personas, las matemáticas representan uno de los principales
dolores de cabeza a la hora de estudiar en el colegio, pero creemos
firmemente que con un método práctico de estudio todo se vuelve más
sencillo y este “dolor de cabeza” se alivia. Por eso hemos creado un
“Programa de matemáticas de grado 12 interactivo” que resume todos los
temas tratados en esta área durante este año de una manera práctica para
hacer de sus tiempos de estudio algo más organizado y fácil. Se trata de una
presentación diseñada en forma de página web utilizando hipervínculos para
navegar a través de cada tema de una manera muy fácil. Contiene
explicaciones para todos los temas que se tratan en el área de matemáticas
de este grado, además de otros recursos como ejemplos explicados paso a
paso y ejercicios de práctica para que comprenda a la perfección todo lo
relacionado con las matemáticas del grado 12.

3. OObbjjeettiivvooss
• Presentar un material de estudio dinámico e interactivo que facilite al
estudiante
el aprendizaje de las Matemáticas.
• Facilitar a los alumnos la preparación de los exámenes del grado 12.
• Ayudar a resolver las dudas relacionadas con los temas .
• Fomentar el interés hacia la investigación en los temas de Matemáticas.
• Proporcionar material que pueda servir de repaso.
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4. JJuussttiiffiiccaacciióónn
Se ha observado que muchos alumnos presentan dificultades en el aprendizaje de
las Matemáticas y no cuentan con herramientas o programas que faciliten y
motiven al alumno hacia el interés por las Matemáticas, por el contrario muchos
terminan con fobia hacia ellas.
Aprovechando los avances de la tecnología decidimos elaborar un programa
interactivo, ameno, de fácil acceso, que permita a los alumnos resolver el
problema de aprendizaje de las Matemáticas.
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5. MMeettooddoollooggííaa
Se elaboraron diapositivas en formato PowerPoint, con hipervínculos para mayor
accesibilidad y rapidez, similar a una página web.
Se recopiló información de fuentes confiables mediante un proceso de
investigación exhaustiva, que luego fue organizada y resumida.
Fueron diseñados fondos coloridos abstractos y modernos, uno a uno para
amenizar el aprendizaje de los temas.
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6. CCrroonnooggrraammaa
1. Elaboración de la parte escrita, para justificar e introducir lo que es el proyecto
“Programa 12” como tal.
2. Se elaboraron las diapositivas para los temas, de acuerdo al orden como se ven
en el año.
3. Dentro de cada tema primero se elabora el menú principal donde tiene
conexión a los subtemas, luego la explicación teórica de cada tema,
seguidamente los ejemplos, y por último se elaboran los ejercicios de práctica,
con sus respectivas respuestas.
4. El ideal propuesto para la elaboración del proyecto era tomarse dos semanas
por tema, se logró en ciertos temas, mientras que otros tomaron hasta tres
semanas.
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7. CCoonncclluussiióónn
A lo largo de todo este trabajo pudimos comprobar que si organizamos de una
forma sistemática todo lo que necesitamos estudiar, ya sea en el área de
matemáticas o en cualquier otra, todo va a ser mucho más sencillo y vamos a
poder aprender de una mejor manera. En conclusión, este tipo de proyectos son
una herramienta muy útil que los docentes deberían implementar para sus
clases y para que los alumnos tengan un mejor aprendizaje. Es hora de aplicar la
tecnología en nuestras aulas de clase ya que la misma es lo que hoy en día
mueve al mundo y la educación no debe ser la excepción, dada la importancia
que tiene en todas las sociedades.
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8. BBiibblliiooggrraaffííaa
• http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
• http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_01100.html
• http://www.pupr.edu/cpu/pdf/Matematicas/Math110/4.Desigualdades%20con
• http://www.geocities.com/CollegePark/Campus/5534/index.htl
• http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica
• http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20.htm
• http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
• http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_integral
• http://es.wikipedia.org/wiki/Integrales
• 20Valor%20Absoluto.pdf
• CALCULUS, EARLY TRASCENDENTALS, Third edition-JAMES STEWART, Brooks/Cole Publishing Company
• Algebra de Baldor, ediciones y publicaciones preludio © 1996 FFCLA
• Ejercicios y ejemplos dados por la profesora Carmen A. de Paternina
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9. CCrrééddiittooss
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11. EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA
La estadística es una ciencia matemática que se refiere a la colección, estudio e
interpretación de los datos obtenidos en un estudio. Es aplicable a una amplia variedad
de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, ciencias de la salud como la
Psicología y la Medicina, y usada en la toma de decisiones en áreas de negocios e
instituciones gubernamentales.
La Estadística se divide en dos ramas:
• La estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recolección, descripción,
visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio. Los
datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de descriptores
numéricos son la media y la desviación estándar. Resúmenes gráficos incluyen varios
tipos de figuras y gráficos.
• La inferencia estadística, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y
predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta lo aleatorio e
incertidumbre en las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer
inferencias acerca de la población de estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma
de respuestas a preguntas si/no (hipótesis), estimaciones de características numéricas
(estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación
(correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión).
RReeggrreessaarr a al lM Meennúú

12. Elementos ddee llaa eessttaaddííssttiiccaa ddeessccrriippttiivvaa
Censo o Muestreo
Extracción de datos de un conjunto de elementos en una o varias de sus cualidades comunes,
las cuales se llaman variables estadísticas.
Población
Conjunto al cual se aplica el censo o muestreo.
Variable estadística
Es el factor de estudio de cierta estadística (edades, notas, etc.).
Dato
Resultado particular obtenido en el censo o muestreo de un elemento de la población.
Datos Totales
Número total de datos del censo o muestreo.
Items
Son los valores diferentes que la variable estadística toma.
Frecuencia Absoluta
Es el número de veces que aparece un mismo dato en el censo o muestreo.
Frecuencia Relativa
Es la proporción con que aparece cierto dato con relación al número de veces que podría
haber ocurrido, se halla dividiendo la frecuencia absoluta del dato entre la población,
multiplicándolo por 100; es un porcentaje.
Moda
Es el dato con mayor frecuencia absoluta, es decir el que aparece más seguido en el censo
o muestreo.
Mediana
Es el dato que al ordenar los datos totales se encuentra exactamente en la mitad. Si el número
de datos totales es par, se suman los dos datos de la mitad y se dividen entre 2.

13. Rango
Es el recorrido que tiene la encuesta, es decir, la diferencia entre el dato mayor y el
menor.
Media o Promedio
Es el resultado de sumar todos los datos de la encuesta y dividirlos entre el número total de
ellos, es decir entre la población.
Desviación
Se hace con un dato determinado y es la diferencia de éste dato y el promedio.
Desviación media
Es el promedio del valor absoluto de las desviaciones de los datos.
Frecuencia|dato-media|…..
Número total de datos
Variancia
Es el promedio del cuadrado de las desviaciones de los datos.
Frecuencia(dato-media)²…..
Número total de datos
Desviación Típica
Es la raíz cuadrada de la variancia.
Gráfico de Barras
Es un gráfico que representa los datos obtenidos por medio de rectángulos con
longitudes proporcionales a las frecuencias correspondientes.
Gráfico de Círculo o Pastel
Es un gráfico que representa los datos obtenidos, donde los 360º de un círculo se
reparten proporcionalmente a las frecuencias de los distintos datos.

14. Fueron encuestados cierto número de alumnos de 10° para obtener el promedio de las diferentes áreas
académicas, en escala de 1 a 10; los resultados son los mostrados a continuación:
4.8 8.8 6.8 6.5 5.3 7.5 8.3 5.9 7.5 6.3 5.9 9.8 9.8 7.5 6.5 6.9 7.5 9.8
7.2 5.3 6.3 7.5 7.5 6.5 7.0 9.5 7.7 5.9 7.0 6.8 7.5 9.6 10.0 7.0 9.7 6.3
Elaborar un tabla con los resultados, dar todos los elementos de la encuesta y los gráficos:
1. Variable estadística: Notas
2. Población: 36
3. # de Items: 18
4. Moda: 7.5
5. Mediana: 7.0+7.2= 7.1
2
6. Rango: 10-4.8= 5.2
7. Media:
4.8+2(5.3)+3(5.9)+3(6.3)+3(6.5)+2(6.8)+6.9+3(7.0)+7.2+7(7.5)+7.7+8.3+8.8+9.5+9.6+9.7+3(9.8)+10
36
7.38≈ 7.4
8. Desviación de 5.3: 5.3-7.4= -2.1
9. Frecuencia Absoluta de 7.5: 7
10. Frecuencia Relativa 33336666 de 7.5: 7/36*100= 19.4%

15. NNoottaa 4.8 5.3 5.9 6.3 6.5 6.8 6.9 7.0 7.2 7.5 7.7 8.3 8.8 9.5 9.6 9.7 9.8 10.0
FFrreeccuueenncciiaa 1 2 3 3 3 2 1 3 1 7 1 1 1 1 1 1 3 1
11. Desviación media:
[|4.8-7.4|+2|5.3-7.4|+3|5.9-7.4|+3|6.3-7.4|+3|6.5-7.4|+2|6.8-7.4|+|6.9-7.4|+3|7.0-7.4|+|7.2-7.4|+ 7|
7.5-7.4|+ |7.7-7.4|+ |8.3-7.4|+|8.8-7.4|+|9.5-7.4|+|9.6-7.4|+|9.7-7.4|+3|9.8-7.4|+|10-7.4|]÷36
[2.6+4.2+4.5+3.3+1.8+1.2+0.5+1.2+0.2+0.7+0.3+0.9+1.4+2.1+2.2+2.3+7.2+2.6]÷36
39.2÷36
1.089 ≈ 1.1
12. Variancia:
[(4.8-7.4)²+2(5.3-7.4)²+3(5.9-7.4)²+3(6.3-7.4)²+3(6.5-7.4)²+2(6.8-7.4)²+(6.9-7.4)²+3(7.0-7.4)²+(7.2-7.4)²+
7(7.5-7.4)² +(7.7-7.4)²+(8.3-7.4)²+(8.8-7.4)²+(9.5-7.4)²+(9.6-7.4)²+(9.7-7.4)²+3(9.8-7.4)²+(10-7.4)²]÷36
[(2.6)²+(4.2)²+(4.5)²+(3.3)²+(1.8)²+(1.2)²+(0.5)²+(1.2)²+(0.2)²+(0.7)²+(0.3)²+(0.9)²+(1.4)²+(2.1)²+(2.2)²+
(2.3)²+(7.2)²+(2.6)²]÷36
[6.76+17.64+20.25+10.89+3.24+1.44+0.25+1.44+0.04+0.49+0.09+0.81+1.96+4.41+4.84+5.29+51.84+6.76]÷36
138.44÷36
3.845 ≈ 3.8
13. Desviación Típica:
3.845= 1.96

17. Frecuencia del dato = x°
Población 360°
Frec. Rel. Del dato = x°
360

18. EEjjeerrcciicciiooss
Las calificaciones finales en matemáticas de 80 estudiantes figuran en la siguiente tabla:
68 84 75 82 68 90 62 88 76 93
73 79 88 73 60 93 71 59 85 75
61 65 75 87 74 77 95 78 63 72
66 78 82 75 94 62 69 74 68 60
96 78 89 61 75 95 60 79 83 71
79 62 67 97 78 85 76 65 71 75
65 80 73 57 88 78 62 76 53 74
86 67 73 81 72 63 76 75 85 77

19. RReessppuueessttaass
1. Notas
2. 80
3. 37
4. 75
5. 75
6. 44
7. 3
8. 6.25%
9. 8.75%
10. 75.25≈75
11. -14.25 ≈-14
12. 17.75 ≈17
13. ≈ 8.225
14. ≈ 108.675
15. ≈ 10.42
16. 97
17. 53
18. 97, 96, 95, 94, 93
19. 53, 57, 59, 60, 61
20. 88
21. 30%
22. 57.5%
24.
25.

20. PPRROOGGRREESSIIOONNEESS
Toda secuencia ordenada de
números reales recibe el nombre
de progresión. Dentro del grupo
de progresiones existen dos
particularmente interesantes por
el principio de regularidad que
permite sistematizar la definición
de sus propiedades:
RReeggrreessaarr a al lM Meennúú
Dato Curioso:
Un día en la escuela, el profesor del célebre
matemático Carl Friedrich Gauss, cuando tenía
apenas 10 años; le manda sumar los cien
primeros números naturales, con el propósito
de unos minutos de tranquilidad. Pero
transcurridos pocos segundos Gauss levanta la
mano y dice tener la solución: los cien
primeros números naturales suman 5.050. Y
efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss?
Pues mentalmente se dio cuenta de que la
suma del primer término con el último, la del
segundo con el penúltimo, etc., era constante:
100+1 = 2+99 = 3+98 = 4+97 = ... = 101
Y deduce que con los 100 números se pueden
formar 50 pares de igual resultado; por lo
tanto el resultado de esta suma se da por la
fórmula que conocemos hoy gracias a él:
(u+a)n
2

21. PPRROOGGRREESSIIOONNEESS AARRIITTMMÉÉTTIICCAASS
En matemáticas, una progresión aritmética es una serie de números
tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la
secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la
progresión o simplemente diferencia. Por ejemplo, la progresión 3, 5, 7,
9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común)
2.
Fórmula General:
u=a+(n-1)d
u= último término
a= primer término
n= número de términos
d= diferencia
Fórmula de Suma:
S= (u+a)n = [2a+(n-1)d]n
2 2

22. EEjjeemmppllooss::
RReeggrreessaarr a a P Prrooggrreessioionneess
u=a+(n-1)d ; [2a+(n-1)d]n
2
Recordar:

23. EEjjeemmppllooss,, PPrroobblleemmaass u=a+(n-1)d ; [2a+(n-1)d]n
1. Compré 50 libros. Por el primero pagué 8 cts. y por cada uno de los demás 3 cts. más que por el anterior. Hallar el
importe de la compra.
n=50 S= [2*8+(50-1)3]50 = [16+(49)3]25= [16+147]25= [163]25= 4075cts= $40.75
a=8cts 2
d=3cts
S= ?
2. Las ganancias anuales de un comerciante durante 11 años están en progresión aritmética. El primer año ganó $1180 y
el último $6180. ¿Cuánto más ganó en cada año a contar del segundo año, que en el anterior?
n=11
a=$1180 u=a+(n-1)d → d= u-a → d= 6180-1180 = 5000 = $500
u=$6180 n-1 11-1 10
d= ?
3. En el primer año de negocios un hombre ganó $500 y en el último ganó $1900. Si en cada año ganó $200 más que en
el año anterior, ¿Cuántos años tuvo el negocio?
a= $500
u= $1900 n= u-a+1 → n= 1900-500+200 → 1600 = 8
d= $200 d 200 200
n= ?
2
Recordar:

24. PPRROOGGRREESSIIOONNEESS GGEEOOMMÉÉTTRRIICCAASS
En matemáticas, las progresiones geométricas se definen como
aquellas secuencias en las que cada término se obtiene multiplicando
el anterior por un valor fijo, llamado razón.
u= último término
a= primer término
n= número de términos
r= razón
Fórmula General:
u=arⁿ⁻¹
Fórmula de Suma:
S= (ur) – a= a(1-rⁿ)
1 – r 1 – r

25. EEjjeemmppllooss::
RReeggrreessaarr a a P Prrooggrreessioionneess
RReeccoorrddaarr:: SS== aa((11--rrⁿⁿ))
uu==aarrⁿⁿ⁻⁻¹ ;;
11--rr

26. Recordar: S= a(1-rⁿ)
EEjjeemmppllooss,, PPrroobblleemmaass:: u=arⁿ⁻¹ ;
1-r
RReeggrreessaarr a a P Prrooggrreessioionneess

27. EEjjeerrcciicciiooss PPrrooggrreessiioonneess::
Respuestas Progresiones
Progresiones Aritméticas
Progresiones Geométricas
Ir a:
Regresar a:

28. Ejercicios PPrrooggrreessiioonneess--PPrroobblleemmaass::
32. Un dentista arregló a un hombre todas las piezas de la boca que tenía completas. Por la primera le cobró $1, y por
cada una de las de las demás 20cts más que por la anterior. ¿Cuánto cobro el dentista?
33. Un hombre avanza en el primer segundo de su carrera 6m y en cada segundo posterior avanza 25cm más que en el
anterior. ¿Cuánto avanzó en el 8° segundo y que distancia habrá recorrido en 8 segundos?
38. Un dentista arregla 20 piezas a una persona cobrándole un centavo por la primera, 2 cts. por la segunda, 4 cts. por la
tercera, 8 cts. por la cuarta, y así sucesivamente. ¿Cuáles serán los honorarios del dentista?
35. Una Persona viaja 50km el primer día y en cada día posterior 5½ kilómetros menos de lo que recorrió el día anterior.
¿Cuánto habrá recorrido al cabo de 8 días?
36. Una piedra dejada caer libremente desde la azotea de un edificio recorre 16.1 pies en el primer segundo, y en cada
segundo posterior recorre 32.2 pies más que en el segundo anterior. Si la piedra tarda 5 segundos en llegar al suelo
¿cuál es la altura del edificio?
37. El lunes gané 2 lempiras y cada día después gané el doble de lo que gané el anterior. ¿Cuánto gané el sábado y cuánto
de lunes a sábado?
38. Un dentista arregla 20 piezas a una persona cobrándole un centavo por la primera, 2 cts. por la segunda, 4 cts. por la
tercera, 8 cts. por la cuarta, y así sucesivamente. ¿Cuáles serán los honorarios del dentista?
39. Un hombre jugó durante 8 días y cada día ganó 1/3 de lo que ganó el día anterior. Si el 8° día ganó 1 balboa, ¿cuánto
ganó el 1er. día?
40. La población de una ciudad ha aumentado en progresión geométrica de 59049 almas que era en 1953 a 100000 almas
en 1958. ¿Cuál es la razón de crecimiento por año?
Ir a:
Respuestas Progresiones
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Progresiones Geométricas

29. Respuestas a los Ejercicios ddee PPrrááccttiiccaa::
Teoría Coordinatoria
1. 120
2. 120
3. 30
4. 792
5. 5040
6. 35
7. 720
8. 720; 5040
9. 720; 120
10. 504
11. 6
12. 10
13. 6
14. 3’628,800
15. 56
16. 120
17. 40320; 120
18. 24
19. -210,234
20. 3231
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30. TTEEOORRÍÍAA CCOOOORRDDIINNAATTOORRIIAA
La teoría coordinatoria estudia la ordenación de las cosas
o elementos.
La distinta ordenación de las
cosas o elementos origina las:
Regresar al Menú
De aquí también se derivan
formas de representar sumas o
multiplicaciones muy extensas:
RReeggrreessaarr a al lM Meennúú

31. CCoooorrddiinnaacciioonneess
Son los grupos que se pueden formar con varios elementos (letras, objetos, personas),
tomándolos uno a uno, dos a dos, tres a tres, etc., de modo que dos grupos del mismo número
de elementos se diferencien por lo menos en un elemento o, si tienen los mismos elementos,
por el orden en que están colocados; por ejemplo, colocando las letras a,b,c,d en grupos de dos:
ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc= 12 formas diferentes.
Cálculo del número de coordinaciones de m elementos tomados n A n
Con m elementos, tomados de uno en uno, se pueden formar m coordinaciones monarias,
entonces:
¹Am=m
Para formar las binarias, a la derecha de cada uno de los m elementos se escriben, uno a uno,
los demás m-1 elementos; luego, cada elemento origina m-1 coordinaciones binarias y los m
elementos darán m(m-1) coordinaciones binarias; luego:
²Am= m(m-1)→ ²Am= ¹Am(m-1); para las ternarias será: ³Am= ²Am(m-2) y así sucesivamente con las
cuaternarias etc.; entonces multiplicando miembro a miembro estas igualdades y suprimiendo
los factores comunes a los dos miembros se obtiene:
Fórmula de Coordinación:
Nota:
Si se establece la condición de que cierto número de elementos tienen que ocupar lugares fijos
en los grupos que se formen, al aplicar la fórmula, m y n se disminuyen en el número de
elementos fijos.

32. EEjjeemmppllooss::
1. ¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8,9?
⁴A₉= 9X8X7X6=3024 modos
2. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 7 banderas izando 3 cada vez?
³A₇= 7X6X5= 210 modos
3. Con 10 jugadores de basket, ¿de cuántos modos se puede disponer el equipo de 5
jugadores si los dos forwards han de ser siempre los mismos?
⁵⁻²A₁₀₋₂= ³A₈= 8X7X6= 336 modos
4. ¿De cuántos modos pueden sentarse 3 personas en 5 sillas?
³A₅= 5X4X3= 60 modos
5. Hay 7 hombres para formar una tripulación de 5, pero el timonel y el stroke son siempre los
mismos. ¿De cuántos modos se puede disponer la tripulación?
⁵⁻²A₇₋₂= ³A₅= 5X4X3= 60 modos

33. PPeerrmmuuttaacciioonneess
Son los grupos que se pueden formar con varios elementos entrando todos en cada grupo, de
modo que un grupo se diferencie de otro cualquiera en el orden en que están colocados los
elementos.
Por ejemplo con: a, b y c: abc, acb, bac, bca, cab, cba → 6
Cálculo de elementos de una permutación:
Las permutaciones son un caso particular de las coordinaciones, en donde todos sus
elementos entran en cada grupo. Por lo tanto, la fórmula del número de permutaciones de m
elementos, Pm, se obtiene de la fórmula que nos da el número de coordinaciones:
ⁿAm= m(m-1)(m-2)……(m-n+1)
Ya que m=n, entonces:
Pm= m(m-1)(m-2)….X1 = m!
La expresión m! se llama factorial, que indica el producto de
los números enteros consecutivos de 1 hasta m. Por lo tanto :
En Permutaciones Circulares:
Fórmula de
Permutación:
Cuando m elementos se disponen alrededor de un círculo, el número de permutaciones
es (m-1) si se cuenta siempre en el mismo sentido a partir de un mismo elemento.

34. EEjjeemmppllooss::
1. ¿De cuántos modos pueden colocarse en un estante 5 libros?
P₅= 5!= 1X2X3X4X5= 120 modos
2. ¿De cuántos modos pueden sentarse 6 personas de un mismo lado de una mesa?
P₆= 6!= 1X2X3X4X5X6= 720 modos
3. Con 9 jugadores, ¿de cuántos modos se puede disponer una novena si el pítcher y el cátcher
son siempre los mismos?
P₉₋₂= P₇= 7!= 1X2X3X4X5X6X7= 5040 modos
4. ¿De cuántos modos pueden sentarse 6 personas en una mesa redonda, contando en un solo
sentido, a partir de una de ellas?
P₆₋₁= P₅=5!= 1X2X3X4X5= 120 modos
5. Se tiene un libro de Aritmética, uno de Álgebra, uno de Geometría, uno de Física y uno de
Química. ¿De cuántos modos pueden disponerse en un estante si el de Geometría siempre
está en el medio?
P₅₋₁=P₄= 1X2X3X4= 24 modos

35. CCoommbbiinnaacciioonneess
Son los grupos que se pueden formar con varios elementos, tomándolos uno a uno, dos a dos,
tres a tres, etc., de modo que dos grupos que tengan el mismo número de elementos se
diferencien por lo menos en un elemento.
Formando combinaciones binarias con las letras a, b, c, d quedarían: ab,ac,ad,bc,bd,cd= 6 modos
Formando combinaciones ternarias con las mimas letras, quedarían: abc, abd, acd, bcd= 4 modos
Cálculo del número de combinaciones de m elementos tomados de n a n
Si en las combinaciones binarias anteriores permutamos los elementos de cada combinación,
obtendremos las coordinaciones binarias; si en las combinaciones ternarias anteriores
permutamos los elementos de cada combinación, obtendremos las coordinaciones ternarias;
pero al permutar los elementos de cada combinación, el número de grupos (coordinaciones)
que se obtiene es igual al producto del número de combinaciones por el número de
permutaciones de los elementos de cada combinación. Por lo tanto, designado por ⁿCm , las
combinaciones de m cosas tomadas n a n, por Pn las permutaciones que se pueden formar con
los n elementos de cada grupo y por ⁿAm las coordinaciones que se obtienen al permutar los n
elementos de cada grupo. Por lo tanto:
Es decir, el número de combinaciones de m elementos tomados n a n es igual al número de
coordinaciones de los m elementos tomados n a n dividido entre el número de permutaciones
de los n elementos de cada grupo.

36. EEjjeemmppllooss::

37. SSuummaattoorriiaa
Las sumatorias nos permiten representar sumas muy grandes, de n sumandos o incluso
sumas infinitas y se expresan con la letra griega sigma ( Σ ) .
Una sumatoria se define como:
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior,
m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n.
Necesariamente ha de cumplirse: m ≤ n
EEjjeemmppllooss::

38. PPrroodduuccttoorriiaa
Las productorias nos permiten representar productos muy grandes, de n factores o
incluso productos infinitos y se expresan con la letra griega mayúscula pi ( Π ) .
La productoria se define como:
El subíndice i indica una variable que recorre los números enteros desde un valor
mínimo m (indicado en el subíndice) y un valor máximo n (indicado en el superíndice).
n=4 1.Π(7x-20)²= [7(2)-20]² X [7(3)-20]² X [7(4)-20]²
j=2
[14-20]² X [21-20]² X [28-20]²
[-6]² X [1]² X [8]²
36X1X64= 2304
n=3 2. Π (4x-10)³= [4(1)-10]³ X [4(2)-10]³ X [4(3)-10]³
j=1
[4-10]³ X [8-10]³ X [12-10]³
[-6]³ X [-2]³ X [2]³
-216X-8X8= 13824
EEjjeemmppllooss::

39. FFaaccttoorriiaall
La expresión m! se llama factorial, que indica el producto de los números enteros
consecutivos de 1 hasta m.
EEjjeemmppllooss::
1. 5!= 1X2X3X4X5= 120
2. 8!= 1X2X3X4X5X6X7X8= 40,320
3. 7!= 1X2X3X4X5X6X7= 5,040
4. 6!= 1X2X3X4X5X6= 720
5. 10!= 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10= 3’628,800
EEjjeemmpplloo ddee eejjeerrcciicciiooss ccoonn ooppeerraacciioonneess ccoommbbiinnaaddaass ::
n=4 n=4 Σ (3x-2)² + (7-3)!- Π(3x-1)³=
j=1 j=3
{[3(1)-2]²+ [3(2)-2]²+[3(3)-2]²+[3(4)-2]²} + 4! – {[3(3)-1]³ X [3(4)-1]³
{[3-2]²+[6-2]²+[9-2]²+[12-2]²} + (1X2X3X4) – {[9-1]³ X [12-1]³}
{1²+4²+7²+10²} + 24 – {8³ X 11³}
{1+16+49+100} + 24 – {512X1331}
166+24-681472= -681,282

40. EEjjeerrcciicciiooss TTeeoorrííaa CCoooorrddiinnaattoorriiaa
1. ¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 4, 5, 6, 7, 8 y 9?
2. Con 5 jugadores, ¿de cuántos modos se puede disponer un team de basket de 5 hombres?
3. Entre la Guaira y Liverpool hay 6 barcos haciendo los viajes. ¿De cuántos modos puede hacer el viaje de ida y vuelta
una persona, si el viaje de vuelta debe hacerlo en un barco distinto al de ida?
4. De 12 libros, ¿cuántas selecciones de 5 libros pueden hacerse?
5. ¿De cuántos modos pueden disponerse las letras de la palabra Ecuador, entrando todas en cada grupo?
6. ¿Cuántas selecciones de 4 letras pueden hacerse con las letras de la palabra Alfredo?
7. ¿Cuántos números distintos de 6 cifras pueden formarse con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6?
8. ¿De cuántos modos pueden disponerse en una fila un sargento y 6 soldados si el sargento siempre es el primero?, ¿Si
el sargento no ocupa lugar fijo?
9. ¿De cuántos modos pueden sentarse un padre, su esposa y sus cuatro hijos en un banco?, ¿En una mesa redonda,
contando siempre a partir del padre?
10. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9 banderas, izando 3 cada vez?
11. ¿Cuántos números mayores que 2000 y menores que 3000, se pueden formar con los números 2, 3, 5 y 6?
12. ¿Cuántas selecciones de 3 monedas pueden hacerse con una pieza de 5cts, una de 10, una de 20, una de 40 y una de
a peso?
13. ¿De cuántos modos puede disponerse una tripulación de 5 hombres si el timonel y el stroke son siempre los mismos?
14. ¿De cuántos modos pueden disponerse 11 muchachos para formar una rueda?
15. De entre 8 candidatos, ¿cuántas ternas se pueden escoger?
16. ¿Cuántos números de 5 cifras que empiecen por 1 y acaben por 8 se pueden formar con los números 1,2,3,4,5,6,7,8?
17. Con 5 consonantes y 3 vocales, ¿cuántas palabras distintas de 8 letras pueden formarse?, ¿Cuántas, si las vocales son
fijas?
18. ¿De cuántos modos se puede disponer un team de basket de 5 hombres con 5 jugadores si el centre es fijo?
Hallar:
n=5 n=4
19. Σ (7x+15)²- (12-6)! - Π(17x-48)³
j=2 j=3
n=6 n=3
20. Σ (3x+6)² + Π(4x-7)³+ (35-28)!
j=3 j=1

41. Lóóggiiccaa MMaatteemmááttiiccaa
AArriissttóótteelleess ffuuee eell pprriimmeerroo eenn llooggrraarr llaa pprriimmeerraa ssiisstteemmaattiizzaacciióónn ddee
llaa llóóggiiccaa mmaatteemmááttiiccaa.. MMuucchhoo ttiieemmppoo ddeessppuuééss Leeiibbnniizz uuttiilliizzóó
ssíímmbboollooss mmaatteemmááttiiccooss eenn ssuu eessttuuddiioo yy llaa ddeessaarrrroollllóó ccoommoo
iinnssttrruummeennttoo ddee llaa mmaatteemmááttiiccaa.. EEnn eell ssiigglloo XXIIXX GGeeoorrggee BBoooollee rreeaalliizzaa
uunn eessttuuddiioo mmááss aammpplliioo ssoobbrree llaa llóóggiiccaa ssiimmbbóólliiccaa.. AA ccoommiieennzzooss ddeell
ssiigglloo XXXX,, ccoonn ssuu oobbrraa ““PPrriinncciippiiaa MMaatteemmááttiiccaa””,, BBeerrttrraanndd RRuusssseellll yy
AAllffrreedd NNoorrtthh WWhhiitteehheeaadd rreeddeeffiinneenn llooss ccoonncceeppttooss bbáássiiccooss llóóggiiccooss
eessttaabblleecciieennddoo aassíí uunnaa ffuunnddaammeennttaacciióónn ppaarraa llaass mmaatteemmááttiiccaass
ppuurraass..
RReeggrreessaarr a al lM Meennúú Ejercicios

42. Conectivos Lógicos
Mediante la siguiente tabla se muestran los diferentes conectivos
lógicos con su respectivo nombre, símbolo, notación y lectura:
Ejercicios

43. PPrrooppoossiicciioonneess Lóóggiiccaass
Una proposición lógica es un enunciado del cual se puede decir que es verdadero o falso, pero no las dos cosas a la
vez. Las proposiciones pueden ser simples (formada por una sola proposición) y compuestas (formadas por dos o más
proposiciones) Ejemplos:
2 + 2 = 4
La primera vocal del alfabeto es “e”.
Nuestro planeta se encuentra en la “Vía Láctea”.
Estas son proposiciones ya que de ellas se puede afirmar que son verdaderas o falsas sin ninguna duda. En cambio si
se dice:
Buenos días
Cepíllate los dientes.
Estudia inglés.
Estas no son proposiciones ya que de ellas no se puede afirmar si son verdaderas o falsas, son saludos u ordenes; si se
dice:
La vida es bella.
Hace frio.
Las matemáticas son difíciles.
Tampoco son proposiciones ya que su valor de verdad depende de la persona, de sus gustos o circunstancias.
Las proposiciones se representan con letras minúsculas:
Álvaro está leyendo: p
Ayer fue Domingo: q
Proposiciones como:
2x + 9 = 13
X² - 5x + 6 = 0
Son proposiciones abiertas, porque su valor de verdad depende del valor que se le asigne a la variable “X”.

44. Las proposiciones compuestas también deben ser verdaderas o falsas, esta veracidad o
falsedad depende de las proposiciones componentes. Las proposiciones se ligan por medio de
conectivos según lo dicho en la tabla de conectivos lógicos.
Conjunción (y) Λ :
Significa simultaneidad de las afirmaciones. Es verdadera sólo si las dos proposiciones son
verdaderas.
Ejemplo:
Sen30 = ½ Λ 2 es primo par:
Sen= O/H : ½ = V 2 es primo par = V V Λ V = V
Disjunción (o) V:
Significa que se hace una de las dos afirmaciones o ambas. Basta que una de las preposiciones
sea verdadera para que el resultado sea verdadero.
Ejemplo:
Cos 135 = √2/2 V ³√-27 = -3 F V V = V
Cos= A/H= - √2/2 V -3 x -3 x -3 = -27
El Signo
es “-”

45. Disjunción exclusiva ( esto o lo otro) V :
Significa que es una de las dos, p o q pero no ambas.
Las dos proposiciones deben tener valores de verdad diferentes para que la proposición sea
verdadera.
Ejemplo:
¾ + ²/₃ = 17/12 V ⁵√64 = 2√2
¾ + ²/₃ = 9 + 8 / 12 = 17/12= V V V F = V
⁵√64 =2⁵√2= F
Condicional (Entonces) →:
Significa que la primera afirmación (antecedente) condiciona a la segunda (consecuente). Esta
dependencia se puede explicar mejor así: La primera es condición suficiente para la segunda,
también la segunda es condición necesaria para la primera.
En la implicación las dos proposiciones deben tener el mismo valor de verdad ( V V o F F) o la
primera proposición (antecedente) falsa y la segunda proposición (consecuente) verdadera para que
la proposición sea verdadera.
Ejemplo:
809 + 234 – 1043 = 1 → (234)² =54756
809 + 234 = 1043 – 1043 = 0 = F F → V= V
(234)² = 54756= V

46. Bicondicional (Si, sólo si) ↔:
Significa que las dos proposiciones son de igual valor lógico (VV o FF), también la primera
proposición es condición necesaria y suficiente para la segunda proposición.
Ejemplo:
3x – 5 = 45, si x es igual a 16 ↔ ³√128 = 4√2
3(16) – 5 = 48 – 5 = 43= F
³√128 = 4³√2 = F
F ↔ F = V
Negación (Es Falso que) ~:
Dada una proposición simple se puede hallar una proposición que es exactamente su negación o
su opuesto; basta anteponer la expresión “es falso que”, ejemplo:
El museo nacional está abierto los domingos = p
Es falso que el museo nacional está abierto los domingos = ~p
Ejercicios

47. TTaabbllaass ddee VVeerrddaadd
Las tablas de verdad se construyen mediante polinomios booleanos que son
expresiones algebraicas formadas por preposiciones unidas mediante conectivos
lógicos.
Por ejemplo:
{~ (p Λ q) V [(~p V r ) ↔ (~p → q)]}
La siguiente tabla muestra los valores de verdad de las proposiciones compuestas
para cada uno de los diferentes conectivos.
p Λ q p V q p V q p→ q p ↔ q ~p
V V F V V F
F V V F F F
F V V V F V
F F F V V V
p q
V V
V F
F V
F F

48. Para recordar:
• La conjunción (y) sólo es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas.
•La disjunción (o) es verdadera cuando una de las dos proposiciones son verdaderas.
•La disjunción exclusiva (esto o lo otro) es verdadera cuando las proposiciones tienen diferente
valor de verdad (V F) (F V).
• El condicional (entonces) es verdadero cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de
verdad o cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
•El Bicondicional (si, sólo si) es verdadero cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de
verdad.
•En negación (es falso que) el valor de verdad original de la proposición se cambia por el contrario.
•Cuando el valor de verdad resultante de la tabla de verdad es verdadero se dice que es
“cautología”, si es falso se dice que es “falacia”, si los valores están mezclados se dice que es
“incierta”.
•Si una tabla se forma con polinomios Booleanos formados por dos proposiciones tiene
2² = 4 posibilidades, si es formado por tres proposiciones tiene 2³ = 8 posibilidades que serán:
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F

49. Tener en cuenta:
En un caso que intervengan 2 proposiciones el total de combinaciones que se consideran son 4. En
términos generales, el total de combinaciones para una tabla es 2ª, siendo “a” el número de
proposiciones. Para facilitar el desarrollo se procura llevar un orden en la disposición de los
valores dentro de la tabla de la siguiente manera:
•Si hay dos proposiciones se colocan en la primera dos verdades y dos falsas y en la segunda
una verdad y una falsa (intercaladas).
•Si hay tres proposiciones se colocan en la primera de 4 en 4, es decir, cuatro verdades y cuatro
falsas; en la segunda de 2 en 2, es decir, dos verdades y 2 falsas y en la tercera intercaladas, es
decir, una verdad y una falsa. Seguidamente se hallan los valores de verdad de las diferentes
proposiciones compuestas.
•Cuando la respuesta final de la tabla da toda verdadera se dice que es una Cautología, si da
toda falsa se dice que es una Contradicción o Falacia; y si aparecen falsos y verdaderos se dice
que es Incierta.

50. 6 1 5 2 4 3
p q r ~p ~q
V V V F F
V V F F F
V F V F V
V F F F V
F V V V F
F V F V F
F F V V V
F F F V V Tabla Incierta
~ {(p Λ q) V [(~q → p) ↔ (r V ~p)]}
V V
F V V V
F V
V V F F
F F
V V V V
V F
F V F F
F F
V V V V
F F
V V V V
V F
F F F V
V F
F F F V
Primero le damos todos los valores de verdad posibles a las proposiciones que aparecen en el polinomio Booleano: p, q y r, y también a las
negaciones que aparezcan de estas, que son solamente ~p y ~q y cuyos valores de verdad serán exactamente los valores de verdad opuestos
a los de p y q, respectivamente.
Como en un polinomio aritmético, en un polinomio booleano se comienza por los paréntesis luego los corchetes y por último las llaves.
Entonces, empezando por los paréntesis, comenzamos con (pΛq) (los números encima de cada conectivo lógico indican el orden en que se
van resolviendo), por lo tanto seguimos las leyes de los conectivos lógicos usando todos los valores de verdad posibles para cada una de las
proposiciones P y Q, entonces: V y V= V; V y V= V; V y F= F... Y así sucesivamente hasta que demos respuesta a todos los valores posibles de P
y Q en el orden ya dado. Luego resolvemos los siguientes paréntesis (~q → p) y (r V ~p) utilizando las leyes de cada conectivo lógico.
Podemos ver que estos dos últimos paréntesis están unidos por el conectivo lógico sí sólo sí (↔), por lo tanto unimos las dos respuestas de
los paréntesis con la regla del conectivo lógico de bicondicional y luego unimos esta respuesta con la de la primera proposición (pΛq) con el
conectivo lógico de disyunción (este o lo otro). Y la respuesta final, como nos indica esta tabla, será la negación de esta disyunción, es decir
los valores de verdad contrarios de la repuesta de la disyunción. También se puede concluir que esta tabla es incierta ya que los valores de
verdad finales son algunos verdad y algunos falsos.
Ejercicios

51. Análisis ddee PPoolliinnoommiiooss BBoooolleeaannooss
Para analizar un polinomio Booleano se halla el valor de verdad de cada proposición,
teniendo en cuenta cuando los conectivos lógicos son falsos y cuando son verdaderos,
como nos recuerda la tabla de abajo; y luego se realiza la operación dada.
• La Conjunción (y) sólo es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas.
• La Disyunción (o) sólo es falsa cuando las dos proposiciones son falsas.
• El Condicional (entonces) sólo es falso cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa.
• La Disyunción Exclusiva (esto o lo otro) es verdadera cuando las proposiciones tienen diferente valor
de verdad y falsa cuando ambas tienen el mismo valor de verdad.
• El Bicondicional (si, sólo si) es verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de
verdad y falsa cuando tienen valores de verdad diferentes.

52. Ejemplo:
Si (Q→~P)V(~Q↔R) es Falso, entonces:
~{~(~Q→P)Λ[(P V Q)↔(QΛR)]} es?
La disyunción (o) sólo es falsa cuando las dos proposiciones son falsas.
(Q→~P)V(~Q↔R)
F F
El condicional (entonces) sólo es falso cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa.
El Bicondicional (si, sólo si) es falso cuando las dos proposiciones tienen valores de verdad diferentes, y
se puede concluir que:
Y ahora se reemplazan los valores de verdad o falsedad de cada proposición en el polinomio Booleano y se
resuelve el polinomio con las leyes de los conectores lógicos teniendo en cuenta también que se resuelven
primero los paréntesis luego los corchetes, luego las llaves y por último lo que se encuentra fuera de ellas.
~{~(F→V)Λ[(V V V)↔(VΛV)]}
~{~V Λ[F ↔ V]}
~{ F Λ F}
~F= V
Argumentos Lógicos:
Un argumento lógico es un razonamiento en el cual partiendo de una serie de enunciados se
obtiene un resultado llamado: CONCLUSIÓN, aquí hay un ejemplo de cómo se llega a un
argumento lógico.
Ejercicios

53. Ejercicios:
Determine la negación de las siguientes proposiciones y encuentre el valor de verdad original y de
la negación:
1. 11 es divisor de 121
2. 2 es número par primo
3. Es falso que 18 es divisor de 90
Simboliza las siguientes proposiciones compuestas y determina su valor de verdad:
4. O España es un país de Europa o de América Latina.
5. 25 es divisor de 100 y 43 es número primo.
6. (3/4)⁻³ = 64/27 entonces Log₁₂₅ 5 = ¼
7. Sen225° = √2/2 si, sólo si ³√128 = 4 ³√2
Reemplaza el término variable para convertirlas a proposiciones cerradas:
8. X es un entero positivo mayor que 12 y menor que 15
9. 4x – 2 = 55
10. X es la capital de Francia

54. Determinar el valor de verdad o falsedad de los siguientes enunciados:
11. Si 2+2=4, entonces 3+3=7, sí sólo sí 1+1= 4
12. 6+4= 10 y √2 x √2 =2
13. 5²=25 o 3x3=9
14. 2+5= 7 este o lo otro 3+6= 9
15. 5+1= 8, sí sólo si 3+6= 9
16. 27 es número primo y 15 es múltiplo de 5
17. El MCD de 12 y 15 es 60, y el MCM de 9 y 12 es 36
18. Todo múltiplo de 12 es múltiplo de 4, entonces (-5)³= -125
19. El 20% de 50 es 20, este o lo otro, el triple de 83 es 249
20. En la ecuación , el valor de x es ±6, entonces la tercera parte de 45 es 12
21. Tan π/2= 1, ↔ Cos45°= √2/2
22. Cos2x= 2Cosx, ↔ Cos180°= 2Cos90°
23. x²+y²=16, es un círculo de radio=±4 Λ 3x+2y-7=0 es una línea de m=-3/2
24. 4x²+9y²-4x-3y+5=0 , es la ecuación de una elipse V ⁵√486=3√2
25. Sen²x+Cos²x= 1 ↔ Secxcosx=1
26. Sen225°=-√2/2 Λ log₂64=6
27. La excentricidad de una parábola es <1 V la excentricidad de una hipérbola es= 1
28. X³-343=(x-7)(x²-7x+49) → x²+36= (x+6)(x-6)
29. (2³)⁵=2⁸ Λ 17 es un número primo impar
30. Todo número entero es racional Λ todo número irracional es real

55. Construya las siguientes tablas de verdad y de su nombre:
31. ~{~[~(~P ΛQ)↔(~Q→P)] V (~Q V ~P)}
32. [P→(Q→R)]↔[(PΛ~R)→~Q]
33. ~{~[~(P ΛQ)↔(~P→Q)] V(PΛ~Q)}
34. {(P Λ~Q) V[(~P→R)V(~R↔Q)]}
35. ~{~(PVR)V~[~(Q Λ~P) ↔(~R→P)]}
36. ~{(PΛQ)→[(~R V P)↔(Q V~P)]}
37. {[(~P→Q)↔(~Q V R)] V(Q ΛP)}
38. ~P→(Q→P)
39. (P→Q)V~(P↔Q)
40. ~{(P Λ~Q)→[~(PVQ)↔~(P V Q)]}
41. [(PΛQ)ΛR]↔[PΛ(Q ΛR)]
42. ~{~(~Q→R)V~[~(~PΛ~Q)↔~(~Q Λ~R)]}
Hallar los valores de verdad de los siguientes polinomios Booleanos según las condiciones dadas:
43. Si: PΛQ es V, entonces: ~{~(P V~Q)↔~[~(Q ΛR)V~(~P→Q)]} es?
44. Si: ~PVQ es F y PΛR es V, entonces: ~{~[~(Q Λ~R)V~(P ↔~Q)]V~(~Q→R)} es?
45. Si: (Q→P)V(~Q↔R) es F, entonces: ~{~(~Q→P) Λ[(PVQ)↔(Q ΛR)]} es?
46. Si: (PΛQ)→(~PVR) es F, entonces: ~{(P↔Q)V[~(~QVR)→(~P Λ~R)]} es?
47. Si: (QΛP)→(~PVR)es F, entonces: ~{(P V~R)↔[(~Q→P)V(Q Λ~R)]} es?
48. Si: (PΛR)→(Q →~R) es F, entonces: ~{(P Λ~Q)V[(P→R)↔~(Q V~R)]} es?
49. Si: (PVQ)↔(Q Λ~R) es F y R=V, entonces: ~{[~(P Λ~Q)→~(R VQ)]V(Q ↔~R)} es?
50. Si: (~QΛP)→(QVR) es F, entonces: ~{[(Q V~R) Λ~(PV~Q)]↔~(~P→R)} es?

56. Regresar a Ejercicios
Respuestas EEjjeerrcciicciiooss LLóóggiiccaa MMaatteemmááttiiccaa::

57. CCOONNJJUUNNTTOOSS
George Cantor en el siglo XIX creó las bases de lo que hoy llamamos “Teoría de
Conjuntos”.
Se puede definir un conjunto como una reunión de objetos bien definida, que deben
tener algo que los relacione, por ejemplo:
• El conjunto formado por los alumnos del colegio L.B.J.
• El conjunto formado por las vocales.
• El conjunto de arboles que hay en Barranquilla.
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58. CCoonncceeppttooss BBáássiiccooss
Los objetos que forman el conjunto se llaman elementos. Por lo general los conjuntos se denotan
con letra mayúscula A, B, C, D, etc.… Y los elementos con letra minúscula {a, b, c, d…}, como es
mostrado:
A={a, b, c, d, e,…}
A representa el conjunto {a, b, c, d, e…}, como se puede observar los elementos van separados por
comas y encerrados por llaves. Se representa a Є A, b Є A, c Є A, d Є A, e Є A, etc.…
• Si todos los elementos de un conjunto A pertenecen a un conjunto, se dice que A esta
contenido en B, o que A es un subconjunto del conjunto B, se representa: A C B en caso
contrario se escribe A C B.
• El símbolo de elemento es Є (pertenece al conjunto), cuando no pertenece se escribe Є.
• El símbolo de subconjunto es C, cuando no es subconjunto se escribe C.
Si A es un conjunto y p es un elemento se escribiría p Є A en cambio si q no es elemento del
conjunto A se escribiría q Є A.
Si A es un subconjunto de B pero este no son iguales, habrá elementos de B que no estén en A.
Todos los elementos de B que no estén en A forman parte de otro subconjunto que se llama
complemento de A en B y se escribe Aʹ. Cuando se trabaja con subconjuntos de un conjunto de
referencia fijo (en este caso B) suele decirse que este es un conjunto universal o referencial.

59. Determinación ddee uunn ccoonnjjuunnttoo::
Un conjunto se puede determinar de dos formas: por extensión o por comprensión.
• Por extensión se nombran uno a uno los elementos del conjunto (Cantidad)
• Por comprensión se nombran las características es una proposición abierta. (Cualidad)
Ejemplos:
Por comprensión: P= {x/x es un océano} se lee: P es el conjunto x tal que x es un océano.
Por extensión: P={Atlántico, Pacífico, Índico, Ártico, Antártico}
A= {x/x es múltiplo de 5} Por Comprensión
A= {5,10,15,20…} Por Extensión
CCllaasseess ddee ccoonnjjuunnttooss::
• Conjunto Vacío: No tiene elementos, se representa por 0 ó { }. Nunca por “{ 0 }” esto no
representa vacío.
Ejemplo: A={x/x es un alumno de 15 años en kínder-5 en el colegio L.B.J}= { }
• Conjunto Unitario: Formados por un solo elemento. Ejemplo.
A={x/x es un numero primo par}= { 2 }
• Conjunto Finito: Cuando sus elementos se pueden contar. Ejemplo.
P= {x/x es par mayor que 5 menor que 100}= {6, 8, 10, 12…, 92, 94, 96, 98}
• Conjunto Infinito: Cuando sus elementos no se pueden contar. Ejemplo:
G={x/x es un numero entero}= {…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}

60. RReellaacciioonneess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss
Conjuntos Disjuntos
Sean: A= {x/p es verdadero}, B= {x/q es verdadero} , se dice que A y B son disjuntos; si toda x
que hace verdadera a p, entonces esa x hace falsa a q. A= B=
A y B son disjuntos, entonces (todo x , x Є A → x Є B)
0
1
2
3
4
5
6
7
B 4 5 6 7 Las relaciones entre conjuntos se
0 1 2 3 A
Conjuntos Intersecantes
Se dice que A y B son intersecantes, si existe por lo menos un x que hace verdadera p Λ q. A y B
son intersecantes ↔ existe {x/x Є A Λ x Є B}
B 4
5 6
7 0 1
2 3 A
pueden representar mediante diagramas
de Venn – Euler que son rectángulos
(representan el conjunto universal) y
dentro de ellos círculos u óvalos que
representan cada conjunto.
Los números 0 y 7 son los puntos de
intersección entre los dos conjuntos

61. Subconjuntos
Se dice que A está contenida en B o que A es un subconjunto de B si toda x que hace verdadera
a p entonces x hace verdadera q y se nota A С B .
A C B ↔ toda x, x Є A → x Є B.
Ejemplo:
B
Conjuntos de Igualdad
A A= { 2, 4, 5}
B= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 19}
A C B
B C A
Se dice que A es igual a B si A está contenida en B y B está contenida en A. Se nota A=B
A= B ↔ toda x, (x Є A → x Є B) Λ (x Є B → x Є A)
a e
i o
u
A
B

62. RReellaacciioonneess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss
NNuumméérriiccooss
El diagrama anterior muestra las relaciones entre los conjuntos: N C Z C Q
Q’ es disjunto con respecto a Q y Q’ C R; R y C son disjuntos.
Convenciones:
• D= Dígitos
• N= Naturales
• Z= Enteros
• Q= Racionales
• Q’= Irracionales
• R= Reales
•C= Complejos

63. CCoonnjjuunnttoo PPootteenncciiaa
Un conjunto potencia, llamado también Conjunto de Partes o Familia de Subconjuntos, es el
conjunto de todos los subconjuntos que se pueden formar de un conjunto dado. Se representa
P(A). Vacío y el conjunto dado son subconjuntos de cualquier conjunto.
El número total de elementos del conjunto potencia se halla mediante 2ⁿ, donde n es el número
de elementos del conjunto dado.
Ejemplo:
Dado: S={1, 2, 3, 4}, hallar P(S)
n=4 → 24= 16, P(S) debe tener 16 subconjuntos
P(S)= { }, {1}, {2}, {3}, {4},{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4} (11)
{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} (16)

64. Operaciones EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss
Si A y B son dos conjuntos, se pueden obtener a partir de ellos otros conjuntos de
las siguientes formas:
11.. UUnniióónn::
Significa juntar los elementos de A y B sin repetir ninguno. Se representa A U B.
A U B = {x/x Є B V x Є B}
A= { 1, 2, 3, 4, 5 }
B= { 2, 4, 6, 8 }
A U B= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }
8 6
AA UU BB
2 4 1
5 3
AA UU BB
1 2 3 4
5 6 7
8
B
A

65. 22.. IInntteerrsseecccciióónn::
Se obtiene tomando los elementos que están en los dos conjuntos, a la vez, es decir los
elementos comunes. Se representa A B .
Cuando no hay un elemento común, se dice: A B = y por lo tanto los conjuntos son disjuntos.
A B = { x/x Є A Λ x Є B }
Ejemplo:
A = { x/x es primo positivo menor que 30}
A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 }
B = { x / x es divisor de 30 }
B = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }
A B = { 2, 3, 5 }
33.. DDiiffeerreenncciiaa::
Corresponde a los elementos que pertenecen al primer conjunto pero no pertenecen al
U
segundo conjunto y se representa A B.
A B= {x/x Є A Λ x Є B }
Ejemplo:
A= {x/x es dígito} → A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B= {x/x Є Z Λ 5 < x < 11}→ B= {6, 7, 8, 9, 10, 11}
A B= {0, 1, 2, 3, 4, 5}
A
15
10 6 1 30
U
U
Φ
7 11 13 17
19 23 29
B
U
2 3 5
/
0 1 2 3 4 5
6 7 8 9
10
11

66. 44.. DDiiffeerreenncciiaa SSiimmééttrriiccaa::
Es la unión de los elementos que están en A y no en B con los elementos que están en B y no en
A, es decir elementos de A y B que no se intersecan Se representa como: A Δ B. Y se puede
definir como:
U U /
• A Δ B= {x/x Є (A U B} Λ x Є (A B)} = (A U B) (A B)
• A Δ B= {x/x Є (A B} V x Є (B A)}= (A B) U (B – A)
Ejemplo:
A= {a, b, c, d, e, f}
B= {a, c, e, g, i, k}
A Δ B= (A U B) (A B)
A Δ B= {a, b, c, d, e, f, g, i, k} {a, c, e}
AA ΔΔ BB== {{bb,, dd,, ff,, gg,, ii,, kk}}
U
_
b d f
a c e
55.. CCoommpplleemmeennttoo::
Es lo que le falta a un conjunto para llegar a ser el conjunto universal o referencial.
Se representa: A’ o Ac o A
A’= U-A= {x/x Є A}
Ejemplo:
U= {x/0 < x < 12 Λ x Є Z}= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
A= {x/x es impar Λ x Є U}= {1, 3, 5, 7, 9, 11}
AA’’== {{00,, 22,, 44,, 66,, 88,, 1100}}
B
A
g i k
/
1 3 5
7 9
11
A
00 22
44
1100
88 66

67. PPrroobblleemmaass ddee AApplliiccaacciióónn
Los problemas se basan en el cardinal del conjunto, que es el número de elementos que él
contiene y se representa por n(A).
A={x/x es día de la semana} n(A)= 7
B= {x/x es mes del año} n(B)= 12
C= {x/x es dígito} n(C)= 10
Si se conoce el cardinal de un conjunto o de varios, se puede obtener el cardinal de otros
mediante operaciones con los conjuntos dados , así:
n(A U B)= n(A) + n(B) – n(A B)
U
EEjjeemmpplloo::
Un almacén tiene en promoción camisas y pantalones durante una semana, al finalizar ésta, se
hace inventario y se encuentra que 1020 personas compraron Pantalones, 932 Camisas, y 430
ambas cosas, se preguntan:
A – PP CC
A – Realizar diagrama de Venn
B – Cuántas personas compraron la promoción
C – Cuántas personas compraron solamente pantalones
D – Cuántas personas compraron solamente camisas
n(Promoción)= n(P) + n(C) – n(P C)
• n(Pm$)= 1020 + 932 – 430= 11552222 -- BB
• n(P) – n(P C)= 1020 – 430= 559900 -- CC
• n(C) – n(P C)= 932 – 430= 550022 -- DD
430
U
U
U

68. I. Ubique cada número en su respectivo conjunto numérico (Márquelo con usando la opción de
rotulador en la esquina inferior izquierda. ó presione (ctrl+p)
D N Z Q Q’ R C
1. -20
2. √7
3. -√4
4. 4+3i
5. √-16
6. π
7. log100
8. 4.322
9. 54.9732…
10. 57/3
11. 3√-27
12. 4+√-9
13. 83’498 725
14. 5√32
15. 4/9
D N Z Q Q’ R C
16. -√-81
17. (-2)3
18. -3√-2197
19. 5/13
20. 576/2304
21. 11.1313
22. -√1025
23. 162/81
24. e
25. 43/8
26. 237/958
27. 1/3
28. Ln 1
29. -4√-821
30. Log32187

69. II.
Dado A= {0, 1, 2, {3}, {4, 2}, 5, 6, 7} Diga cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas (V) o Falsas
(F).
/
31. 0 Є A
32. {1, 2} C A
33. {4. 2} C A
34. {1} C A
35. {5} Є A
36. {3} Є A
37. {{4, 2}} C A
38. {4,2} Є A
39. {3} C A
40. {{3}} C A
/ /
Sea B= {0, {1,2}, {1}, {0}, 1, {2}}, Diga cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas o no y por qué.
41. 1 Є B
42. 2 Є B
43. 2 C B
44. {2} Є B
45. {2} / C B
/
46. 0 C B y 0 Є B
47. 1 Є B y {1} Є B
48. P(B)= 64
49. n(B)= 6
50. {1, 2} C B

70. IV.
Dados:
U= {x Є N/ -5 ≤ x < 15} A= {x Є U/ x es primo impar}
B= {x Є U/ x es dígito y x≠5}; C= {x Є U/ x es múltiplo de 3}
Hallar:
56.(A’ B) – C
57.(B Δ C) – (A U C)’
58.(A U B’) (C – A)’
Dados:
U= {x Є N/ -3 ≤ x < 11} A= {x Є U/ x es divisor de 9}
B= {x Є U/ x > 3} C= {x Є U/ x es primo}
•Realizar un diagrama de Venn
•(A U B) C’
•(B’ – C’)
•(A U B) (B’ – C)’
•(B Δ C) U (A’ C)
U
U
U
U
U

71. V.
64. Una mesera tomó una orden de 38 hamburguesas: 18 con cebolla, 23 con mostaza y 29 con
salsa de tomate. De estas, 3 tenían sólo mostaza y 8 sólo salsa, 9 tenían solamente mostaza
y salsa y 5 los tres ingredientes. Realice un Diagrama de Venn y encuentre:
a. ¿Cuántas hamburguesas llevaban cebolla y salsa de tomate solamente?
b. ¿Cuántas llevaban sólo cebolla?
c. ¿Cuántas llevaban solamente cebolla y mostaza?
65. En una encuesta realizada en algunos países acerca de los productos de mayor exportación
se encontró que: 8 países exportaban café, 15 petróleo, y 13 frutas; 6 exportaban sólo
frutas y petróleo, 4 sólo frutas, 3 los 3 productos y sólo café y petróleo ninguno. Realice un
Diagrama de Venn y encuentre:
a. ¿Cuántos países fueron encuestados?
b. ¿Cuántos exportaban sólo café?
c. ¿Cuántas exportaban sólo petróleo?
(Puede usar el diagrama de Venn
dado para desarrollar su
respuesta).

72. Respuestas EEjjeerrcciicciiooss--CCoonnjjuunnttooss
I. Se deben marcar en el cuadro todos los conjuntos al que
pertenece. En las respuestas dadas se muestra sólo el
subconjunto de menor grado.
III. Se debe mostrar toda la familia de subconjuntos en su
respuesta, P(A). Las respuestas dadas muestran sólo el
número de subconjuntos posibles, n(A).

73. DDEESSIIGGUUAALLDDAADDEESS
Una desigualdad matemática es una expresión matemática en la que ambos
miembros no son equivalentes entre sí, lo contrario a lo que ocurre en una
igualdad.
En las desigualdades, los términos están relacionados por un símbolo de "es mayor
que" ( > ) o "es menor que ( < ). También existen otros derivados de estos dos. Si
alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por
debajo, significa "mayor o igual que" ( ≥ ) o "menor o igual que" ( ≤ ).
Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < 19 Que se lee como "2 x más 7 es
menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión
es verdadera.
RReeggrreessaarr aall MMeennúú

74. DDeessiigguuaallddaaddeess LLiinneeaalleess
Para resolver una desigualdad lineal, al igual que en una ecuación lineal, se debe despejar la variable y
dejar las constantes del otro lado de la desigualdad. Puede que también aparezcan productos dentro
de la desigualdad (algunos pueden ser productos notables), estos deben resolverse para determinar
si la desigualdad es lineal o no, ya que muchas veces las variables con grado diferente a “1” se
cancelan.
Cuando se dejan las variables de un lado y las constantes del otro puede que la variable quede
negativa, para despejar completamente la variable es necesario entonces pasar “-a” a dividir al otro
lado y el signo de desigualdad se invierte, así:
-2x ≥ 12 es lo mismo que -12 ≥ 2x
-6 ≥ x es lo mismo que x ≤ -6
El resultado de una desigualdad debe ser representado de tres formas:
11..FFoorrmmaa EEssttáánnddaarr oo SSiimmppllee:: Es la manera común de mostrar los valores de “x” y resulta de despejar la
variable de algún polinomio algebraico, como la mostrada arriba x ≤ -6.
22..CCoommoo CCoonnjjuunnttoo:: Se representa como x elemento de un conjunto determinado que va de a hasta b. a
se separa de b por comas (,) y van encerrados entre paréntesis, a menos que el número vaya incluido
en la respuesta, en tal caso se representa con corchete(s) [ ]. En el ejemplo sería: x Є (-α , -6],
infinito es un número indefinido por lo tanto no se incluye en el conjunto respuesta.
33..CCoommoo GGrrááffiiccaa:: Se grafica una recta numérica marcando el o los puntos de respuesta y trazando una
línea gruesa encima de la recta numérica que representa los valores de x, el punto puede ir sin rellenar
si el número no está incluido en la respuesta o relleno si está incluido.
-6 0

75. EEjjeemmppllooss::
• (2x – 3)2 + 4x2(x – 7) < 4(x – 2)3
4x2 – 12x + 9 + 4x3 – 28x2 < 4x3 – 24x2 + 48x – 32
4x2 – 12x + 4x3 – 28x2 – 4x3 + 24x2 – 48x < – 32 – 9
-60x < -41
x > 41 x Є (41
60, ∞)
60
0 41
60
• (3x – 4) + x ≤ 5x + 2
4 2
12x – 16 + x – 10x – 8 ≤ 0
4
3x ≤ 24
xx ≤≤ 88 xx Є ((--∞, 8]] 0 8

76. Desigualdades CCuuaaddrrááttiiccaass
La resolución de desigualdades cuadráticas es muy similar a la resolución de ecuaciones
cuadráticas; se deben despejar conjuntamente todas las variables y constantes de manera que
del otro lado de la desigualdad quede cero. Luego se factoriza la expresión, teniendo en
cuenta los diferentes casos de factorización, y seguidamente se iguala cada factor a cero y se
hayan los diferentes valores para la variable.
Para hallar el conjunto respuesta se debe hacer una ley con los signos, a veces llamada
“Cementerio”(debido a los signos “+” que parecen cruces), donde a cada valor de x en la recta
numérica represente un valor neutro y por tanto los valores menores serán negativos y los
mayores serán positivos a menos de que la variable aparezca negativa y los signos se
invertirán, a la izquierda positivo y a la derecha negativo. Luego se multiplican los signos y se
escoge el conjunto respuesta de acuerdo al signo de la desigualdad, si es “menor que”(<) “–”,
y si es mayor que (>)“+”.
Suponiendo que los siguientes sean los factores diferentes de una desigualdad cuadrática ≤ 0;
x – 4= 0 ; x= 4 – – – +
2 – x= 0 ; x= 2 + + – –
x + 4= 0 ; x= -4 – + + + Gráfica
+ - 4 2 4 – + –
La respuesta como conjunto se da teniendo en cuenta también las layes de inclusión y/o exclusión
con los corchetes y los paréntesis.
-4 ≤ x ≤ 2 Λ x ≥ 4 Estándar
* x Є [-4, 2] U [4, ∞) Como Conjunto

77. EEjjeemmppllooss
• x2 – 7x ≤ -12
x2 – 7x + 12 ≤ 0
(x – 4)(x – 3) ≤ 0
x – 4= 0 ; x= 4
x – 3= 0 ; x= 3
• -12x2 – 4x ≥ -5
x= 4 – – +
x= 3 – + +
-12x2 – 4x + 5 ≥ 0
-(12x + 10)(12x – 6) ≥ 0
12
(12x + 10)(6 – 12x) ≥ 0
12
+ – +
6 -12x= 0 ; x= 6/12= ½
12x + 10= 0 ; x= -10/12= -5/6
3 4
* + + –
– + +
-5/6
– + –
1/2
3 ≤ x ≤ 4
x Є [3, 4]
-5/6 ≤ x ≤ ½
x Є [-5/6, ½]

78. DDeessiigguuaallddaaddeess RRaacciioonnaalleess
La resolución de desigualdades racionales es muy similar a la resolución de las
desigualdades cuadráticas; se deben despejar conjuntamente todas las variables y constantes,
de manera que del otro lado de la desigualdad quede cero. Luego se factoriza la expresión,
teniendo en cuenta los diferentes casos de factorización (Factor común, factorización de
trinomios, diferencia de cuadrados y de cubos, etc.), si hay factores iguales en el numerador
y en el denominador estos se deben cancelar y seguidamente se iguala cada factor a
cero y se hayan los diferentes valores para la variable.
Para hallar el conjunto respuesta, se debe, al igual que en la resolución de desigualdades
cuadráticas, hacer una ley con los signos, a veces llamada “Cementerio”(debido a los signos “+”
que parecen cruces), donde a cada valor de x en la recta numérica represente un valor neutro y
por tanto los valores menores serán negativos y los mayores serán positivos a menos de que la
variable aparezca negativa y los signos se invertirán, a la izquierda positivo y a la derecha
negativo. Luego se multiplican los signos y se escoge el conjunto respuesta de acuerdo al signo de
la desigualdad, si es “menor que”(<) “–”, y si es mayor que (>)“+”. La diferencia entre la
resolución de desigualdades cuadráticas y la resolución de desigualdades racionales está
en el conjunto respuesta; si el símbolo de la desigualdad es incluyente, es decir “≤” o
“≥”, se debe poner todos los intervalos de respuesta entre corchetes, si es una
desigualdad cuadrática; pero en el caso de una desigualdad racional, se debe tener en
cuenta que la división entre “0” no es posible, por lo tanto, los valores de x que se
encuentren en el denominador serán excluyendo al número, es decir “<” o “>”,
entonces en el conjunto respuesta para estos números se coloca paréntesis en lugar de
corchetes.

79. EEjjeemmpplloo
• (x2 – 11x + 24)(x3 – 64) ≥ 0
(x2 – 9)
(x – 8)(x – 3)(x – 4)(x2 + 4x +16) ≥ 0
(x + 3)(x – 3)
(x – 8) (x – 4) (x2 + 4x +16) ≥ 0
(x + 3)
x2 + 4x +16= 0 ; x= i
x – 8= 0 ; x= 8
x – 4= 0 ; x= 4
x + 3= 0 ; x= -3
En el trinomio que sale al factorizar una
diferencia de cubos el valor de x siempre
es imaginario:
x= -4 ± √42 – 4(1)(16)
2(1)
x= -4 ± √16 – 64
2
x= -4 ± √-48
2
x= -2 ± 2i √3
Si es un número imaginario entonces sus
signos no afectarán el resultado de la
respuesta, por lo tanto se toman todos “+”
+ + + +
– – – +
– – + +
– + + +
-3 4 – + – 8 +
°
-3 < x ≤ 4 Λ x ≥ 8
x Є (-3, 4] U [8, ∞)

80. Desigualdades ccoonn VVaalloorr AAbbssoolluuttoo
En ocasiones puede que en una desigualdad se presente valor absoluto en uno de sus lados,
para la resolución de estos se debe tener en cuenta el concepto de Valor Absoluto.
El valor absoluto de un número es un número positivo o es cero. El valor absoluto de un número
puede representar su distancia desde cero sin importar la dirección y |a - b| es la distancia
entre a y b también sin importar la dirección.
Para resolver una desigualdad con valor absoluto se deben seguir unos teoremas que provienen
de la definición de este:
El valor absoluto se define como:
| x | = x si x > 0, | x | = x si x < 0, | x |= 0 si x = 0
| x | < a; x es un número real y a > 0
entonces -a < x < a
Como no sabemos si x es positiva o negativa se debe considerar x < 0 Λ x > 0
El teorema se puede indicar de la siguiente forma:
| x | < a entonces x < a Λ x > -a
| x | ≤ a entonces -a ≤ V x ≤ a
| x | > a entonces x > a Λ x < -a
| x | ≥ a entonces x ≥ a V x ≤ -a

81. De los teoremas se puede concluir que para hallar el valor de x en un valor absoluto se
deben seguir los siguientes pasos:
2x – 3 – 3 ≤ 2
4
2x – 3 ≤ 5
4
Dado:
1. Despejar el valor absoluto
2. Determinar si es posible o no el valor absoluto,
recordar que valor absoluto nunca < 0 o igual a
un número negativo.
3. Eliminar el valor absoluto teniendo en cuento su
definición: Colocar el signo de la desigualdad
dado a ambos lados del valor absoluto y colocar
-a del lado izquierdo.
4. Resolver la desigualdad de acuerdo a lo
aprendido anteriormente:
2x – 3 ≤ 5
4
Sí es posible, a= 5
-5 ≤ 2x – 3 ≤ 5
4
-5 ≤ 8x – 3 ≤ 5
4
-20 ≤ 8x – 3 ≤ 20
-17 ≤ 8x ≤ 23
-17/8 ≤ x ≤ 23/8
X Є [-17/8, 23/8]
-17/8
X
-1 0 1 2 23/8

82. MMááss EEjjeemmppllooss
 |3x – 1|+3 < 2
|3x – 1| < -1 No solución, valor absoluto nunca < 0
 4x – 3 – 2x ≥ -4 No solución para “=”, valor absoluto nunca “–”
5
4 > 4x – 3 – 10x > -4
5
20 > -6x – 3 > -20
23 > -6x > -17
-23/6 < X < 17/6 x Є (-23/6, 17/6)
X
° °
 5x – 3 ≤ 0 No solución para “<”, valor absoluto nunca < 0
7
5x – 3 = 0 5x = 3
7 x = 3/5
 5x + 3 – 2x ≥ 3
2
 -3 ≥ 5x + 3 – 4x ≥ 3
2
-6 ≥ x +3 ≥ 6
-9 ≥ x ≥ 3 x Є (-∞, -9] U [3, ∞)
-23/6 -3 -2 -1 0 1 2 17/6
X X
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

83. EEjjeerrcciicciiooss DDeessiigguuaallddaaddeess
Resolver las siguientes desigualdades, mostrar las soluciones en forma estándar, como
conjunto y gráficamente.
5

85. RReessppuueessttaass
En las respuestas se muestran sólo las soluciones de forma estándar, deben también darse como
conjunto y gráfica. En caso de que una desigualdad no tenga solución se debe también justificar.

86. RReellaacciióónn
Una relación de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto de un producto cartesiano y
cumple una determinada regla o propiedad.
R es una relación de A en B (R: A  B) si, sólo si R c (A x B). Esta relación se puede representar
por extensión y por comprensión.
El conjunto A se llama Conjunto de Partida y el conjunto B se llama Conjunto de Llegada.
Se denomina Dominio de la relación al primer elemento de la pareja ordenada y Rango al
segundo elemento. Una relación al igual que un producto cartesiano se puede representar en
un diagrama sagital o en un plano cartesiano.
FFuunncciióónn
Dada una relación f de A en B (f: A → B), se dice que f es una relación funcional o función, sólo
si todo elemento del conjunto de partida tiene una y sólo una imagen.
En una función, que también es una relación, el conjunto de partida es igual al dominio. Por
esta razón el conjunto de llegada “A” es llamado codominio. El rango, como dicho
anteriormente, es el conjunto de imágenes. Al igual que las relaciones, las funciones se pueden
representar mediante un diagrama sagital o en un plano cartesiano.
RReeggrreessaarr a al lM Meennúú

87. GGeenneerraalliiddaaddeess
PPaarreejjaa OOrrddeennaaddaa
Es una expresión o ente matemática compuesta por dos elementos en un determinado orden. Se
denotan escribiendo los dos elementos entre paréntesis y separados por comas: (a, b). A es la
primera componente o abscisa y B la segunda componente o ordenada.
Dos parejas ordenadas son iguales si, sólo si sus abscisas son iguales y sus ordenadas son iguales.
(a, b) = (c, d) ↔ a= c y b= d. Por lo tanto (a, b) ≠ (b, a).
Una pareja ordenada se representa en un diagrama sagital por una flecha que sale de la abscisa y
llega a la ordenada.
a b
(a, b) se representa:
También se puede representar en un Diagrama de Venn por medio de un punto.
Si las dos componentes de una pareja ordenada son iguales se le llama pareja idéntica y su
representación es un Boole. (a, a) se representa a.

88. Es un conjunto de parejas ordenadas de los cuales el primer elemento pertenece al primer
conjunto y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto.
Dados los conjuntos A y B se define el conjunto Producto Cartesiano de A y B formado por
todas las parejas ordenadas cuya abscisa es un elemento de A y cuya ordenada es un
elemento de B. Se define A x B.
A x B = { (x, y) / x Є A Λ y Є B}
El producto cartesiano de dos conjuntos se puede representar usando flechas, esta
representación se llama diagrama sagital o diagrama de flechas. También se puede
representar mediante coordenadas en un plano cartesiano.
A = {1, 2, 3} B={2, 3, 4}
A x B= { (1, 2) , (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4) }
1
2
3
2
3
4
PPrroodduuccttoo CCaarrtteessiiaannoo
A x B
A
B

89. EEjjeemmpplloo::
Dados: A= {1, 2, 3, 4, 5} B= { 2, 3, 4}
A x B ={(1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (5, 2) (5, 3) (5, 4)}
B x A ={(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5)}
B x B={(2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 2) (4, 3) (4, 4)}
x r y Є A x B / x ≥ y
r= {(2, 2) (3, 2) (3, 3) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (5, 2) (5, 3) (5, 4)}
Dr = { 2, 3 ,4, 5} Rr = { 2, 3, 4}
Domino de la relación Rango de la relación
1
2
3
4
5
2
3
4
R:
X Y

90. CCllaasseess ddee RReellaacciioonneess
• Dada una relación “r” : A r A, esto es r c A x A se dice que es reflexiva si, y sólo si todo elemento
de A está relacionado consigo mismo. r: A r A es reflexiva, si y sólo si, para todo x Є A se cumple
que x r x se denota x. Todo elemento se relaciona consigo mismo.
• Dada una relación r : A r A, se dice que r es simétrica si, y sólo si, para x, y elementos de A si x
está relacionado con y entonces y está relacionado con x. r: A r A es simétrica si, y sólo si , siempre
que x r y se cumple que y r x.
• Dada una relación r : A r A, se dice que r es Antisimétrica si, y sólo si para x, y elementos
diferentes de A si x está relacionado con y se cumple que y no está relacionado con x.
r: A r A es Antisimétrica si, y sólo si, siempre que x r y , y r x.
c/
• Dada una relación “r” : A r A, se dice que r es transitiva si, y sólo si para x, y, z elementos de A si x
está relacionado con y, y está relacionado con z, se cumple que x está relacionada con z. r: A r A
es transitiva, si y sólo si , siempre que: x r y Λ y r z → x r z.
• Una relación “r”: A r A es una relación de equivalencia si, y sólo si, r cumple las propiedades
reflexiva, simétrica y transitiva.
• Una relación “r”: A r A es una relación de orden si, y sólo si, r cumple las propiedades reflexiva,
antisimétrica y transitiva.
La igualdad entre conjuntos es una relación de equivalencia y una inclusión es una relación del orden.

91. AAnnáálliissiiss ddee RReellaacciioonneess
Dados: A={ 1, 2, 3,4, 5} B={ 1, 2, 3, 4} x r y ε A x B / x ÷ y
A x B = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4)}
R = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,4) (3,3) (4,4)}
Dr = {1, 2, 3, 4} Rr = {1, 2, 3, 4}
• Reflexiva: Si, 1 r 1, 2 r 2, 3 r 3, 4 r 4
• Simétrica: No, 1 r 3, 3 /
r 1,
c • Antisimétrica: Si, no es simétrica
• Transitiva: Si, 1 r 2 Λ 2 r 4 1 r 4
• Equivalente: No, es reflexiva, es transitiva,
pero no es simétrica.
• Orden: Si, es reflexiva, es transitiva, y es antisimétrica.
A B
X Y
1
2
3
4
5
1
2
3
4

92. CCllaassiiffiiccaacciióónn ddee FFuunncciioonneess
• Dada una función f de A en B se dice que es Uno a Uno o Inyectiva si, y sólo si, todo
elemento del rango es imagen de algún elemento del dominio, esto es cuando a
cada x le corresponde una y diferente.
• Dada una función f de A en B se dice que es Sobreyectiva si, y sólo si todo elemento
del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Esto es, si el rango es
igual al codominio, es decir si el rango es igual al conjunto B.
• Dada una función f de A en B se dice que es Biyectiva si, y sólo si todo elemento del
codiminio es imagen de uno y sólo uno elemento del dominio, es decir, cuando la
función es uno a uno y sobreyectiva.
Al tener una grafica de una relación se dice que esta es función si al trazar líneas
paralelas al eje y en la gráfica estas cortan a la gráfica de la relación dada en sólo un
punto, es decir, que las líneas son tangentes a esta. Si la gráfica es cortada en dos ó
más puntos se dice que no es función.

93. AAnnáálliissiiss ddee FFuunncciioonneess
Dados A= {1, 2, 3, 4, 5} B={1, 2, 3, 4, 5, 6}, Analice la relación, si es función analícela también:
x r y, Є A x B / y = x + 1
A x B = (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4
(3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
R = {(1, 2) (2, 3) (3, 4) (4, 5) (5, 6)}
Dr = { 1, 2, 3, 4, 5 } Rr = { 2, 3, 4, 5, 6 }
• Reflexiva  No, 1 R 1, 2 R 2…
• Simétrica  No, 1 R 2 Λ 2 R 1…
• Antisimétrica  Sí, 2 R 3 Λ 3 R 2…
• Transitiva  No, 1 R 2 Λ 2 R 3 → 1 R 3
• Equivalente  No, no es reflexiva, no es simétrica
y no es transitiva.
• Orden  No, no es reflexiva, es anti simétrica,
no es transitiva.
 Sí es función;
A B
1
2
3
4
5
• Uno a uno: Es uno a uno, a cada x le corresponde una y diferente.
• Sobreyectiva: No es sobreyectiva, el rango no es igual al conjunto B, falta el “1”
• Biyectiva: No es biyectiva, es uno a uno pero no es sobreyectiva.
1
2
3
4
5
6
/ /
/
/
/
X Y

94. OOppeerraacciioonneess ccoonn FFuunncciioonneess
Dos o mas funciones pueden combinarse para obtener nuevas funciones. Dichas
combinaciones se logran mediante los signos de operación (+, x, –, ÷) y se
definen de la siguiente formas:
 Suma de Funciones: (f + g)(x) = f (x) + g(x)
 Diferencia de Funciones: (f − g) (x)= f (x) − g(x)
 Producto de Funciones: (f • g)(x) = f (x) • g(x)
 Cociente de Funciones: (f ÷ g)(x) = f (x) ÷ g(x)
En cada una de estas operaciones está el dominio de F y el dominio de G.
 Composición de Funciones: (f o g)(x) = f (g(x))
 Función Inversa: f -1(x)

95. 1. Funcione1. Suma de Funcioness (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Para hallar la suma de dos funciones simplemente se suman los valores correspondientes
a f (x) y g(x).
Ejemplo:
Dados: f (x)= 3x – 1 Λ g(x)= 4x – 5 , Hallar (f + g)(x)
3x
(f + g)(x)= 3x – 1 + 4x – 5
3x
(f + g)(x)= 9x2 – 3x + 4x – 5
3x
(f + g)(x)= 9x2 + x – 5
3x
22.. DDiiffeerreenncciiaa ddee FFuunncciioonneess:: (f – g)(x) = f(x) –
Para hallar la diferencia de dos funciones simplemente se restan los valores
correspondientes a f (x) y g(x).
Ejemplo:
Dados: f (x)= 3x – 1 Λ g(x)= 4x – 5 , Hallar (f – g)(x)
3x
(f – g)(x)= 3x – 1 – 4x – 5
3x
(f – g)(x)= 9x2 – 3x – 4x + 5
3x
(f + g)(x)= 9x2 – 7x + 5
3x
g(x)

96. 3. Funcione3. Producto de Funcioness (f • g)(x) = f(x) •
g(Pxa)ra hallar el producto de dos funciones simplemente se multiplican los valores
correspondientes a f (x) y g(x).
Ejemplo:
Dados: f (x)= 3x – 1 Λ g(x)= 4x – 5 , Hallar (f • g)(x)
3x
(f • g)(x)= 3x – 1 • 4x – 5
3x
(f • g)(x)= 12x2 – 15x – 4x + 5
3x
(f • g)(x)= 12x2 – 19x + 5
3x
44.. CCoocciieennttee ddee FFuunncciioonneess:: (f ÷ g)(x) = f(x) ÷
Para hallar el cociente de dos funciones simplemente se dividen los valores
g(x)
correspondientes a f (x) y g(x).
Ejemplo:
Dados: f (x)= 3x – 1 Λ g(x)= 4x – 5 , Hallar (f ÷ g)(x)
3x
(f ÷ g)(x)= 3x – 1
1
4x – 5
3x
(f ÷ g)(x)= 9x2 – 3x
4x – 5

97. 55.. FFuunncciióónn CCoommppuueessttaa (f o g)(x) = f(g(x))
Es una función formada por dos o más funciones completas conectadas entre si, una después
de la otra.
(f o g)(x)= f (g(x)) se lee f de g(x) o g compuesto f (x).
(g o f )(x)= g(f (x)) se lee g de f (x) o f compuesto g(x).
Esta función no es conmutativa: (f o g)(x) ≠ (g o f )(x)
g compuesto de f (x) se halla reemplazando el valor de g en las variables de la función f.
Ejemplo:
Dados: f (x)= 3x – 1 Λ g(x)= 4x – 5 , Hallar (f o g)(x)
3x
(f o g)(x)= 3 4x – 5 – 1 →
3x
(f o g)(x)= 4x – 5 – x
x
(f o g)(x)= 3x – 5
x
Si una función f: a r b es biyectiva entonces su función inversa es f
-1: b r a. La función inversa
tiene como dominio el rango de la función de la cual se originó y como rango el dominio.
Para hallar la función inversa de una función dada, primero se verifica que la función sea
biyectiva, luego se intercambian posiciones, es decir, donde hay x se escribe y, y donde hay
y se escribe x, por último se despeja y, y se expresa como “f
-1(x)”.
Dado: g(x)= 4x – 5 , Hallar g-1(x)
3x
y= 4x – 5 → x= 4y – 5
3x 3y
3xy – 4y= -5
y(3x – 4)= -5
g-1(x)= _ 5
3x – 4
/
/
66.. FFuunncciióónn IInnvveerrssaa f-1(x)

98. EEjjeemmppllooss
Dados: f (x)= 4x2 – 3x + 5 ; g(x)= 3x – 5 ; h(x)= 4x – 5
4 3x
Hallar:
√
 g(x) – h(x) = √3x – 5 _ 4x – 5 3x√3x – 5 – 8x + 10
f (x) 2 3x = 6x
4x2 – 3x + 5 4x2 – 3x + 5
1
gg((xx)) –– hh((xx)) == 33xx√√33xx –– 55 –– 88xx ++ 1100
ff ((xx)) 2244xx33 –– 1188xx22 ++ 3300xx
 (f o g o h)(x) ; (g o h)(x)= 3(4x – 5) – 5
3x = 4x – 5 – 5x = -x – 5 • x = √-x2 – 5x
4 4x 4x • x 2x
(f o g o h)(x)= 4 (√-x2 – 5x)2 – 3(√-x2 – 5x) + 5
(2x)2 2x
(f o g o h)(x)= 4(-x2 – 5x) – 3(√-x2 – 5x) + 5→ (f o g o h)(x)= -2x2 – 10x – 3x(√-x2 – 5x) + 10x2
4x2 2x 2x2
((ff oo gg oo hh))((xx))== 88xx22 –– 1100xx –– 33xx√√--xx22 –– 55xx
22xx22
 Dado f (x)= 3x – 5 , hallar f -1(x)
4x + 2
y= 3x – 5 → x= 3y – 5 → 4xy + 2x= 3y – 5
4x + 2 4y + 2 4xy – 3y= -2x – 5
y(4x – 3)= -2x – 5
ff --11((xx))== __ 22xx ++ 55
44xx –– 33
√
/
/
b √ √
/
/

99. DDoommiinniioo yy RRaannggoo
DDoommiinniioo
Corresponde a todos los valores posibles de una variable x en una ecuación ó
función. Si esta corresponde a todos los números reales, como en una ecuación
lineal, cúbica, entre otras y en la mayoría de las ocasiones, se dice que x Є R.
El dominio se halla despejando y en la función o ecuación, hallando los valores
correspondientes a x.
RRaannggoo
Corresponde a todos los valores posibles de una variable y en una ecuación ó
función. Si esta corresponde a todos los números reales, como en una ecuación
lineal, cúbica, entre otras y en la mayoría de las ocasiones, se dice que y Є R.
El rango se halla despejando x en la función o ecuación, hallando los valores
correspondientes a y.
Casos especiales de Dominio y Rango:
• EEccuuaacciióónn CCuuaaddrrááttiiccaa ((PPaarráábboollaa))
• VVaarriiaabbllee eenn eell ddeennoommiinnaaddoorr • RRaaíízz ddee íínnddiiccee ppaarr ddee uunnaa vvaarriiaabbllee

100. El Dominio y el Rango de una función ó ecuación se pueden hallar de dos formas:
Gráficamente y Analíticamente.
Gráficamente, observando la gráfica determinar si la variable x y/ó y, tienen como valor
todos los números reales, o que puntos o tramos, no tienen como valor, teniendo en cuenta
si la gráfica posee asíntotas, si es cerrada ó si sólo va en una dirección, como una parábola.
Analíticamente, despejando la variable, dependiendo si se desea hallar el dominio o el rango
de la expresión, y a partir de esto determinar si la variable puede tener como valor todos los
números reales ó que puntos o tramos no puede tener como valor, de acuerdo a los casos a
ver a continuación.
Existen casos en que tramos de la función son indefinidos debido a que no se pueden realizar
ciertas operaciones dentro de los números reales, como: la división entre cero, raíz de índice
par de un número negativo etc. Además existen curvas como la parábola, en donde parten
dos líneas con el mismo sentido desde un punto llamado vértice. En estas el dominio o el
rango contienen todos los números reales exceptuando los valores menores o mayores al
vértice, dependiendo de la concavidad de la curva.
A partir de esto se establecen algunas excepciones donde tanto el dominio como el rango no son
todos los números reales:
• EEccuuaacciióónn CCuuaaddrrááttiiccaa ((PPaarráábboollaa))
ó al despejar y ó x para el dominio o el rango se presentan del otro lado de la ecuación:
• VVaarriiaabbllee eenn eell ddeennoommiinnaaddoorr • RRaaíízz ddee íínnddiiccee ppaarr ddee uunnaa vvaarriiaabbllee

101. EEccuuaacciióónn CCuuaaddrrááttiiccaa
Hallar el dominio y el rango de la
expresión: x2 + 4x – y – 5= 0
y= x2 + 4x – 5
D: x Є R
Vx= - 4
2(1)
Vx= -4/2
Vx= -2
Vy= (-2)2 + 4(-2) – 5
Vy= 4 – 8 – 5
Vy= -9
V(-2, -9)
R: y Є R/ y ≥ -9
R

102. VVaarriiaabbllee eenn eell ddeennoommiinnaaddoorr
En caso de que al despejar una de las variables se presenten variables en el denominador
del otro lado de la ecuación, este se debe igualar a cero para determinar la asíntota, el
valor que x o y no puede tomar, ya que la división entre cero para los números reales no
existe.
Ejemplo:
HDaolmlairn eiol dominio y el rango de la expresión: 3x + 2xy – 5y + 9= 0
2xy – 5y= -3x – 9
y(2x – 5)= -3x – 9
y= -3x – 9
2x – 5
2x – 5= 0
2x= 5
x= ⁵⁄₂
D: x Є R/ x≠ ⁵⁄₂
Rango
3x + 2xy= 5y – 9
x(3 + 2y)= 5y – 9
x= 5y – 9
2y + 3
2y + 3= 0
2y= -3
y= -³⁄₂
R: y Є R/ y≠ -³⁄₂
Asíntota Vertical
Asíntota Horizontal

103. RRaaíízz ddee íínnddiiccee ppaarr ddee uunnaa vvaarriiaabbllee
En caso de que al despejar una de las variables se presente una variable dentro de un radical de
índice par, se debe hacer una desigualdad indicando que lo que está adentro del radical debe
se mayor o igual a cero, ya que no existe solución en los números reales para una raíz de
índice par negativa. Si hay radicales de índice par con variables en el denominador, se debe
colocar la desigualdad sólo mayor que, ya que la división entre cero tampoco existe en los
números reales.
Ejemplo:
HalDlaorm eli ndioominio y el rango de la expresión: 8x2 + 10y2 – 2= 0
4x2 + 5y2 – 1= 0
5y2= 1 – 4x2
y2= 1 – 4x2
5
y= √1 – 4x2
√5
1 – 4x2 ≥ 0
-4x2 ≥ -1
x2 ≤ ¼
-½ ≤ x ≤ ½
D: x Є R / -½ ≤ x ≤ ½
Rango
4x2 + 5y2 – 1= 0
4x2= 1 – 5y2
x2= 1 – 5y2
4
x= √1 – 5y2
2
1 – 5y2 ≥ 0
-5y2 ≥ -1
y2 ≤ ⅕
-1⁄√5 ≤ x ≤ 1⁄√5
R: y Є R / -√5⁄5 ≤ x ≤ √5⁄5

104. EEjjeemmppllooss
Hallar el Dominio y Rango de las siguientes expresiones.
1. 3x – 2y + 7= 0
2. y2 – 4y + 4x – 8
Rango
3x= 2y – 7
x= 2y – 7
3
R: y Є R
Rango
4x= -y2 + 4y + 8
x= -y2 + 4y + 8
4
R: y Є R
Dominio
2y= 3x + 7
y= 3x + 7
2
D: x Є R
Dominio
-y2 + 4y + 8 = 4x
-y2 + 4y + 8 = x
4
Abre hacia la izquierda
Vy= -4/-2
Vy= 2
Vx= -(2)2 + 4(2) + 8
4
Vx= 12/4
Vx= 3
V(3, 2)
D: x Є R/ x ≤ 3
3. 4x2y – 5y + 9 = 0
Rango
4x2y = 5y – 9 = 0
x2= 5y – 9
4. x3 – 6x2 + 12x – 8 – y= 0
4y
x= √5y – 9
2√y
5y – 9 ≥ 0 Λ y > 0
5y ≥ 9 Λ y > 0
y ≥ 9/5 Λ y > 0
R: y Є R/ y ≥ 9/5
Rango
(x – 2)3= y
x – 2=
3√y
x= 3√y + 2
R: y Є R
Dominio
4x2y – 5y = -9
y(4x2 – 5)= -9
y= -9
4x2 – 5
4x2 – 5= 0
4x2= 5
x2= 5/4
x=√5/2
D: x Є R/ x ≠ ± √5/2
Dominio
y= x3 – 6x2 + 12x – 8
D: x Є R

105. 1.
2.
3.
4.

106. GGrrááffiiccaass ddee FFuunncciioonneess
Las funciones con mayor uso son las reales, estas son:
Funciones Polinómicas:
Funciones Especiales
• Función Constante
• Función Idéntica
• Función Lineal
• Función Cuadrática
• Función Cúbica
• Función de n° grado
• Función Exponencial
• Función Logarítmica
• Función Trigonométrica
Funciones Trascendentes
• Función Inversa
• Función Valor Absoluto
• Función Racional
• Función Escalonada
• Función Signo
• Función Mayor Entero
• Función Segmentada Por Tramos
La forma común para graficar estas funciones es creando una tabla de valores.
En esta sección se hace una breve explicación de cada función y se muestra el tipo de
gráfica de cada una.

107. FFuunncciioonneess PPoolliinnóómmiiccaass
Función Constante
Es una función en la cual la imagen de todos los elementos del dominio es la misma.
Ejemplo:
f (x)= -1
x y
1 -1
0 -1
-1 -1
-2 -1
Función Idéntica
Es una función en la cual el elemento de la imagen es igual al elemento del dominio.
Ejemplo:
f (x)= x
f (x)= -1
x y
2 2
1 1
0 0
-1 -1
f (x)= x

108. FFuunncciioonneess PPoolliinnóómmiiccaass
Función Lineal
Transforma los elementos del dominio en elementos del rango por medio de la expresión:
y= mx + b
Ejemplo:
3x + 2y – 5= 0
2y= 5 – 3x
y= 5 – 3x
2
x y
2 -½
1 1
0 5/2
-1 4
Función Cuadrática
Es una función de la forma ax2 + bx + c, es decir, una ecuación de 2do grado.
Ejemplo:
f (x)= 5 – 3x
2
x y
3 -2
2 0
3/2 ¼
1 0
0 -2
f (x)= -x2 + 3x – 2
f (x)= 5 –
3x
2
f (x)= -x2 + 3x – 2
Se halla primero el vértice
en x, Vx= -b/2a. Y se colocan
dos valores mayores y dos
valores menores.
Vx= -3 = 3/2
2(-1)

109. FFuunncciioonneess PPoolliinnóómmiiccaass
Función Cúbica
Es una función de tercer grado.
Ejemplo:
x y
2 9
1 2
0 1
-1 0
-2 -7
f (x)= x3 + 1
Función de n°
Es una función de grado n. Algunas gráficas de las funciones de n° par serán parábolas, y
algunas de grados impares tendrán la forma de una gráfica de una función cúbica, algunas
otras gráficas tendrán puntos máximos y puntos mínimos y luego continúan. Ejemplos:
x y
2 32
1 1
0 0
-1 -1
-2 -32
f (x)= x5
f (x)= x3 + 1
f (x)= x5 f (x) = x3 – 3x + 4
x y
2 6
1 2
½ 21/8
0 4
-½ 43/8
-1 6
-2 2
f (x) = x3 – 3x + 4

110. FFuunncciioonneess TTrraasscceennddeenntteess
Función Exponencial
Es una función de la forma f (x)= ax ; a Є R Λ a ≠ 1. Esta función es asíntota respecto al eje x.
Ejemplos:
x y
1 2
0 1
-1 ½
Función Logarítmica
Es la función inversa de la exponencial, es de la forma f (x)= logax ; a Є R Λ a ≠ 1. Esta función es asíntota
respecto al eje y. Cuando la base de la función es e, se le llama función , f (x)= ℓn x.
Ejemplos:
f (x)= 2x
x y
3 1
1 0
⅓ -1
f (x)= log3x
f (x)= 2x
f (x)= log3x
x y
1 ½
0 1
-1 2
f (x)= (½)x
f (x)= (½)x
f (x)= log3x
3y= x
En la tabla
de valores de
este tipo de
función se le
dan valores a
y para hallar
los de x.
f (x)= log⅓x
x y
3 -1
1 0
⅓ 1
(⅓)y= x
llooggaarriittmmoo nnaattuurraall
f (x)= log⅓x

111. FFuunncciioonneess TTrraasscceennddeenntteess
Funciones Trigonométricas
Son funciones basadas en las diferentes razones trigonométricas: Seno, Secante, Tangente, Coseno,
Cosecante y Cotangente.
Estas son funciones periódicas en el punto 2π rad ó 360°.
Variaciones en la función Seno y Coseno se dan por la expresión: y = c ± a b(θ – d), donde a es la
Sen
Cos
amplitud, b el número de ciclos, c el desplazamiento vertical, d desplazamiento horizontal, y P
período; el signo determina la función: Seno, -Seno, Coseno, -Coseno. A partir de estos elementos
se puede hacer la gráfica (más rápido que hacer una tabla de valores) y también lo contrario, a
partir de la gráfica se puede formar la ecuación, encontrando sus elementos.
Ejemplo:
f (x)= 1 + 2Sen(2θ + 60)
y= 1 + 2Sen 2(θ + 30)
Entonces:
a= 2
b= 2
c= 1
d= -30°
f = Sen
a
a
d
c
P= 360
b
P= 360 = 180°
2
f (x)= 1 + 2Sen(2θ + 60)
Es de recordar:
•La función Seno empieza desde cero y es inicialmente creciente (hacia arriba), por lo tanto la
función - Seno empieza desde cero y es inicialmente decreciente (hacia abajo).
•La función Coseno empieza desde el máximo y es inicialmente decreciente, por lo tanto la función
– Coseno empieza desde el mínimo y es inicialmente creciente.

112. FFuunncciioonneess EEssppeecciiaalleess
Función Inversa
Si una función en donde a relaciona a b es biyectiva, su función inversa será entonces una
función donde b relaciona a a. Para hallar la función inversa de una función dada se siguen
los pasos estudiados en “Operaciones con Funciones”.
Ejemplo:
x y
1 2
0 ½
-1 -1
-2 -
f (x)= 3x + 1
2
Función Valor Absoluto5/2
Es una función donde la variable independiente está dentro de valor absoluto. Hay que
recordar que el valor absoluto de un número siempre es positivo.
Ejemplo:
f (x)= |x – 1|
f (x)= 3x + 1
2
f (x)= |x – 1|
f (x)= 3x + 1
2
x= 3y + 1
2
2x= 3y + 1
3y= 2x – 1
f
-1(x)= 2x – 1
3
x y
2 1
½ 0
-1 -1
-
5/2
-2
f
-1(x)= 2x – 1
3
f -1(x)= 2x – 1
3
x y
3 2
2 1
1 0
0 1
-1 2

113. FFuunncciioonneess EEssppeecciiaalleess
Función Segmentada Por Tramos
Esta función está compuesta por una cantidad finita de funciones, desconectadas o conectadas
entre sí. Se representa mediante una llave abierta después de la función, con otras funciones
organizadas debidamente según sus intervalos. Al final su dominio y su rango son la unión de
los dominios y los rangos de las funciones componentes.
Ejemplo:
x x2 +
1
-2 5
-1 2
0 1
1 2
x y
1 2
f (x) =
x <
-2
3x –
2
-2 -8
-3 -11
-4 -14
3x – 2 , x < -2
x2 + 1 , -2 ≤ x < 1
2 , x = 1
x + 1 , x > 1
2
x >
1
x +
12
1 1
2 3/2
3 2
f (x) =
3x – 2 , x < -2
x2 + 1 , -2 ≤ x <
1
2 , x = 1
x + 1 , x > 1
2

114. FFuunncciioonneess EEssppeecciiaalleess
Función Racional
Es una función formada por el cociente de dos funciones o dos polinomios algebraicos.
Ejemplo:
x y
1 -1/3
0 -
5/6
-1 -7/3
-2 ∞
-3 11/3
-4 13/
f (x)= 2x – 5
3x +
6
3x + 6= 0
3x= -6
x= -2
Función Escalonada
6
Es una función segmentada por -5 tramos. 5/3
Se simboliza μ (x).
Ejemplo:
x <
0
y
0 0
-1 0
f (x)= 2x – 5
3x + 6
μ (x) =
Asíntota Vertical
0 , x < 0
1 , x ≥ 0
x ≥ 0 y
0 1
1 1
f (x)= 2x – 5
3x + 6
μ (x)
=
0 , x <
01
, x ≥
0

115. FFuunncciioonneess EEssppeecciiaalleess
Función Signo
Es una función segmentada por tramos, se simboliza: Sgn (x)
Ejemplo:
x <
0
y
0 -1
-1 -1
-2 -1
Función Mayor Entero
El mayor entero contenido en un número es la mayor cantidad entera (Z) que cabe
exactamente en dicho número. Se denota en barras dobles || x ||.
f (x)= || x ||= n, donde n < x < n + 1 Λ n Є Z
Ejemplo: f (x)= || x ||
Sgn (x) =
-1 , x < 0
0 , x = 0
1 , x > 0
x y
0 0
x >
0
y
0 1
1 1
2 1
x y
3 3
2.75 2
2.5 2
2.25 2
2 2
1.75 1
1.5 1
1.25 1
1 1
0.75 0
0.5 0
0.25 0
0 0
-0.25 -1
-0.5 -1
-0.75 -1
-1 -1
-1.25 -2
-1.5 -2
-1.75 -2
-2 -2
-2.25 -3
-2.5 -3
-2.75 -3
-3 -3
Sgn (x)
=
-1 , x < 0
0 , x = 0
1 , x > 0
f (x)= || x ||

116. GGeeoommeettrrííaa AAnnaallííttiiccaa
En esta sección de Relaciones y Funciones se incluyen también el resto de
temas referentes a la geometría analítica: Ecuación de la línea, círculo
y las secciones cónicas: Elipse, Hipérbola y Parábola; donde se deben
encontrar sus elementos en la ecuación y a partir de estos hacer la
gráfica; ó lo contrario, a partir de la gráfica, determinar sus elementos
y formar la ecuación.
Ver en el programa 11°.

117. FFuunncciióónn LLooggaarriittmmoo NNaattuurraall
ey = x
e = 2.7 1828
FFuunncciioonneess TTrraasscceennddeenntteess
f (x)= Logex
f (x)= ℓn x
x ≈ y
0.135 -2
0.368 -1
1 0
2.72 1
7.39 2

118. Gráficas de Funciones Trigonométricas eenn PPoossiicciióónn nnoorrmmaall::
Θ° y aa== 11,, bb== 11,, cc== 00,, dd== 00
0 1
30 0,866025
45 0,707107
60 0,5
90 0
120 -0,5
135 -0,70711
150 -0,86603
180 -1
210 -0,86603
225 -0,70711
240 -0,5
270 0
300 0,5
315 0,707107
330 0,866025
360 1
FFuunncciióónn
SSeennoo
FFuunncciióónn
CCoosseennoo
Θ° y
0 1
30 0,866025
45 0,707107
60 0,5
90 0
120 -0,5
135 -0,70711
150 -0,86603
180 -1
210 -0,86603
225 -0,70711
240 -0,5
270 0
300 0,5
315 0,707107
330 0,866025
360 1

119. Θ° y
0 1
30 1,1547005
45 1,41421356
60 2
90 ∞
120 -2
135 -1,4142136
150 -1,1547005
180 -1
210 -1,1547005
225 -1,4142136
240 -2
270 ∞
300 2
315 1,41421356
330 1,1547005
360 1
Θ° y
0 ∞
30 2
45 1,41421356
60 1,15470054
90 1
120 1,15470054
135 1,41421356
150 2
180 ∞
210 -2
225 -1,4142136
240 -1,1547005
270 -1
300 -1,1547005
315 -1,4142136
330 -2
360 ∞
FFuunncciióónn
SSeeccaannttee
FFuunncciióónn
CCoosseeccaanntt
ee
360
360

120. Θ° Y°
0 0
30 0,577350
45 1
60 1,732050
90 ∞
120 -1,73205
135 -1
150 -0,57735
180 0
210 0,577350
225 1
240 1,732050
270 ∞
300 -1,73205
315 -1
330 -0,57735
360 0
FFuunncciióónn
TTaannggeennttee
FFuunncciióónn
CCoottaannggeenntt
ee
Θ° Y°
0 ∞
30 1,73205081
45 1
60 0,57735027
90 0
120 -0,5773503
135 -1
150 -1,7320508
180 ∞
210 1,73205081
225 1
240 0,57735027
270 0
300 -0,5773503
315 -1
330 -1,7320508
360 ∞

121. EEEEjjjjeeeerrrrcccciiiicccciiiioooossss RRRReeeellllaaaacccciiiioooonnnneeeessss yyyy FFFFuuuunnnncccciiiioooonnnneeeessss
I. Dados : A = {0,1,2,3} B = {0,2,3,4,5,6,7,8}, analice cada relación, elabore un diagrama sagital para cada una, diga si es
función y si es, analícela también.
1. X r Y Є A x B/ x ≤ y
2. X r Y Є A x A/ y es divisor de x
3. X r Y Є A x B/ y = 2x
4. X r Y Є A x B/ y = 2x + 1
5. X r Y Є A x B/ y = x + 2
II. De las siguientes relaciones diga cual es función:
a. b. c. d.
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
III. Analice las siguientes ecuaciones dando todos sus elementos y graficando, diga si el gráfico obtenido corresponde a una
relación o a una función, y diga que tipo de gráfica es:
1. 3x – 2y + 5 = 0 7. 4y² – 9x² – 16y – 54x – 101 = 0
2. 2x – 3 = 0 8. x² – 6x + 8y +17 = 0
3. 4y + 5 = 0 9. y² + 2y – 12x + 25 = 0
4. 3x² + 3y² – 9 = 0 10. (x – 5)² + (y + 5)² = 1
5. 2x² + 2y² – 12x + 8y + 26 = 0
6. 9x² + 4y² – 36x + 24y – 36 = 0
1
2
3
4
1
2
3
4
169 49
AAnnáálliissiiss ddee RReellaacciioonneess yy
GGeenneerraalliiddaaddeess FFuunncciioonneess OOppeerraacciioonneess ccoonn FFuunncciioonneess
DDoommiinniioo yy
RRaannggoo GGrrááffiiccaass ddee FFuunncciioonneess
11. 169(x – 1)2 + 144(y – 3)2= 24 336
12. x2 + 4y + 8= 0
13. y2 – 14y – 24x – 119= 0
14. x2 + 16y – 32=0
15. 4x2 + 4y2 + 23x – 32y – 48= 0

122. 13. f(x) = 15. Sgn(x) =
14. f(x) =
2x+1
6. (g + h)(x)
7. (h – g)(x)
8. (h • g)(x)
9. (g / h)(x)
10. (f o g)(x)
11. (g + f)(x)
h(x)
12. (h o f o g)(x)
2x

123. VII. Hallar el dominio y rango de las siguientes expresiones:
1.3xy + 5x – 9y = 0
6. 4xy2 – 8x + 3 = 0
2.2x2 + 3y – 5 = 0
7. 2x2y – 3xy +7 = 0
3.4x – 5xy + 7y = 0
8. 5x2 – 3xy – 9 = 0
4.3y2 + 5x – 9 = 0
9. 7xy – 3x + 12y = 0
5.4x2y + 5y – 13 = 0
10. 9x2 – 3y + 7 = 0
VIII. Escriba la ecuación de la línea según las condiciones dadas y grafique cada una.
1.m= -¾, pasa por (-5, 4)
2.x-int= -²⁄₇, y-int= -⁵⁄₄
3.m= ⁵⁄₁₁ y-int= 4
4.Pasa por los puntos A(⅓, 4) B(0, -⅔)
5. Pasa por (-5, 3) y es paralela a 3x – 2y + 7 = 0
6. Pasa por (3, -7) y es perpendicular a 2x – 5y + 9 = 0
7. Es bisectriz perpendicular del segmento A (-5, 3) B(2, -4)
8. Pasa por el punto de intersección de 3x + 2y= 8 ; 2x – 3y= 4 y es
perpendicular a 5x – 3y + 9= 0
IX. Escriba la ecuación del circulo según las condiciones dadas y grafique cada uno.
1.C (3, - ½), r=√17
2.El diámetro es el segmento (-1, 5) (-5, 9)
3.C(5, -3) pasa por (3, 11)
4.C(3, -4) tangente al eje
5.Tangente a línea 5x – 12y = 24 , C(5, -5)
6.Circunscrito al triangulo de vértices (3, -2) (2, 5) (-1, 6)

124. X. Escriba la ecuación de las cónicas dadas y grafique.
1.e=1 V(0, 0) F(0, 3)
2.e=1 V(0, 0) D: y – 4=0
3.e=1 V(0, 0) lr=10 , abre a la derecha
4.e=1 V(0, 0) pasa por (-3, 4) abre hacia abajo
5.e=1 V(3, 2) F(3, 4)
6.e=1 V(4, 1) D: x – 2=0
7.e=1 V(4, -2) abre a la derecha, lr=8
8.e=1 V(3, -2) PF (-2, ½) (8, ½)
9.e=1 F(2, -3) D: x – 6=0
10.e=1 V(3, -4) eje horizontal pasa por (2,-5)
11. e < 1 C (5, 1) V(5, 4) B(3, 1)
12. e < 1 V(6, 3) F(-4, 3) (4, 3)
13. e < 1 B (-1, 2) (-1, 4) F(1, -1)
14. e < 1 V(-1, 3)(5, 3) longitud del eje menor = 4
15. e < 1 C(3, 2) F(3, 7) V(3, -5)
16. e > 1 C(2, 0), eje transversal paralelo al eje x, F(10, 0) V(6, 0)
17. e > 1 C(0, 0) eje conjugado || al eje x, eje transversal=12 , lr=6
18. e > 1 C(-2, 2) V(4, 2) F(6, 2)
19. e > 1 C(-2, 2) V(-2, -4) F(-6, -2)
20. e > 1 C(2, 5) eje transversal paralelo al eje x, F(8, 5) B(2, 9)
Análisis ddee RReellaacciioonneess yy
GGeenneerraalliiddaaddeess FFuunncciioonneess OOppeerraacciioonneess ccoonn FFuunncciioonneess
DDoommiinniioo yy
RRaannggoo GGrrááffiiccaass ddee FFuunncciioonneess

125. RReessppuueessttaass

126. RReessppuueessttaass

127. El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo
infinitesimal (diferencial e integral).
El límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente
tiende a un número determinado o al infinito.
El concepto de continuidad se aplica a una función, y se refiere a una curva que
continúa sin interrupción, si esta presenta un valor indeterminado, o cualquier
tipo de interrupción se dice que f (x) no es continua o es discontinua en el punto
x = a.

128. Sea f una función definida en algún intervalo
abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x
tiende a a es L, y se escribe según la definición
épsilon-delta:
lim
x→a f (x) = L
:
Si el siguiente enunciado es verdadero:
Dada cualquier ε > 0, sin importar cuan pequeña
sea, existe una δ > 0, tal que si:
0 <|x – a|< δ → |f (x) - L|< ε
Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite
exista.
AAllggeebbrraaiiccooss TTrriiggoonnoommééttrriiccooss
DDiirreeccttooss FFaaccttoorriizzaacciióónn RRaacciioonnaalliizzaacciióónn IInnffiinniittooss DDiirreeccttooss EEssppeecciiaalleess

129. Ejemplos para llaa rreessoolluucciióónn ddee llíímmiitteess
LLíímmiitteess AAllggeebbrraaiiccooss
DDiirreeccttooss – Se puede reemplazar inmediatamente el límite al que tiende la variable para hallar
el valor de f(x) en el punto x=a, sin tener como resultado un número indefinido.
Lim 4x2 – 3x + 5 = 4(¼) – 3(¼) + 5
x→¼ 4x – 2 4(¼) – 2
1 – ¾ + 5 = -18 = _ 9
1 – 2 4 2
Lim x2 – 4
x→2 x – 2
Lim (x + 2)(x – 2) = 2 + 2 = 4
x→2 x – 2
Al reemplazar el límite en la expresión no se
coloca más:
lim
x→a
FFaaccttoorriizzaacciióónn – Se debe factorizar la expresión ó parte de esta para determinar el límite, ya
que si se reemplaza el límite directamente da como resultado un número indefinido, como la
división entre cero; en cambio si se factoriza la expresión, se cancelan algunos términos y
esto permite reemplazar el límite en la expresión sin obtener como resultado un número
indeterminado.
Si no fuera factorizada la expresión, se obtendría como
resultado una división entre “0”