2. CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS
Bienvenido a este Curso de Nivelación de Matemáticas del IUP
“Santiago Mariño”, extensión Puerto Ordaz!!!
La presente guía la usarás como complemento a las clases presenciales de
Matemáticas Básicas dictadas en el curso de Nivelación de la Institución, la
misma la podrás aplicar como una herramienta que te facilitará el
reforzamiento de los conocimientos de matemáticas adquiridos durante tu etapa
formativa y a su vez facilitará la transición de los estudios básicos de Educación
Media y Diversificada a la Educación Universitaria.
Este material lo podrás usar como un cuaderno de práctica y resolución
de ejercicios de manera que puedes de manera sencilla manejar todos los
conocimientos que requieres para el éxito en tu Cátedra de Matemáticas I.
La Persistencia engrandece nuestra alma, e impulsa nuestras metas!
Msc. Lesbia Galindez
3. NÚMEROS NATURALES
Al conjunto de los números que sirven para contar {1, 2, 3, 4,...} se llaman
números naturales y se denotaran con la letra N.
Estos números están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre
una recta del siguiente modo:
1 2 3 4
Como se puede observar en la recta numérica, el conjunto N tiene un primer
elemento, el 1; y ¿cuál es su último elemento?
_______________________________________________________
Actividad:
¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un antecesor? ¿Por qué?
Ejemplificar.
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un sucesor? ¿Por qué?
Ejemplificar.
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
Como ya sabemos, sobre este conjunto de números se pueden definir ciertas
operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Observemos lo
siguiente:
2+5=7
5+2=7 La suma de dos números naturales da SIEMPRE como
resultado un número natural
3 + 20 = 23
4. 2 .7 = 14
La multiplicación de dos números naturales da
5 .8 = 40 SIEMPRE como resultado un número natural.
10. 3 = 30
9-5 = 4
25-22 = 3
9-20 = ?
5-7=?
PROPIEDADES:
NÚMEROS ENTEROS
Para solucionar el problema de la resta, se crean los números negativos –1,
–2, –3, entre otros, como opuestos de los números naturales. Además se
incorpora el cero para dar solución a la resta de un número consigo mismo.
El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y el cero
constituyen el conjunto de los números enteros, que se indica con la letra Z.
Notemos que N Z (Los Números Naturales son subconjunto de los Números
Enteros).
Su representación sobre la recta numérica es la siguiente:
-3 -2 -1 0 1 2 3
Es opuesto
de
Veamos algunos ejemplos:
El opuesto de 2 es –2.
El opuesto de –5 es 5, es decir -(-5) =5
El opuesto de 0 es __________________________
De esta manera, podemos redefinir la resta de dos números naturales como
la suma de dos números enteros.
5. Regla de los Signos para la Suma Algebraica:
o Signos iguales se suman y se conserva el signo.
o Signos diferentes se restan y se conserva el signo del número mayor.
Ejemplos: Calcular:
1) 33 + (-12) =?
Solución: Efectuar operaciones de adición de números con diferentes
signos, se restan y se coloca el signo del número mayor:
33 + (–12) = 33 – 12 = 21
2) 11 -(-20)?
Solución: restar –20 es lo mismo que sumar su opuesto, o sea 20, por lo
tanto, o simplemente se aplica la regla de la multiplicación de signos, “menos”
por “menos” = “mas”; y luego la regla de los signos para la suma; así como se
muestra a continuación:
11 – (–20) = 11 + 20 = 31
Regla de los Signos para el Producto:
La regla de los signos para el producto se puede resumir en el siguiente
cuadro:
Operación Resultado
“+”. “+” “+”
“+”. “-” “-”
“-”. “+” “-”
“-”. “-” “+”
Actividad:
Completar:
La suma de dos números enteros da siempre un
número_______________________________________________
Dar dos ejemplos:__________________________________________
La multiplicación de dos números enteros da siempre un número
____________________________________________________
Dar dos ejemplos:________________________________________
Realice las siguientes operaciones.
a) 5-9=
6. b) 8-9=
c) 45-63=
d) -7+18=
e) 6+8=
f) -7-8=
g) -63-89=
h) 25+96=
i) -78596-7015=
j) 6563+387956=
k) -10990345+998987=
Realice las siguientes operaciones:
a) 3.5=
b) -9.6=
c) -10.(-12)=
d) -5.(-8)=
e) (-8).(-9)=
f) 2.5=
g) 6.(-3)=
h) 1.(-8)=
División:
Veamos qué ocurre con la división. Observemos lo siguiente:
4÷ 2 =2 ya que 2 .2 =4
6÷ 3 =2 ya que 2 .3 =6
En general a÷ b =c , b ≠0 si se verifica que b.c =a
¿Cuál será el resultado de 4÷3? Debemos pensar en un número entero tal que al
multiplicarlo por 3 dé como resultado 4.___________________________
¿Qué número entero cumple con esta condición? _____________________
Regla de los Signos para la División:
La regla de los signos para la división se puede resumir en el siguiente
cuadro:
7. Operación Resultado
“+”÷ “+” “+”
“+”÷ “-” “-”
“-”÷ “+” “-”
“-”÷ “-” “+”
NÚMEROS RACIONALES
Para resolver esta situación habrá que introducir otro conjunto numérico, el
conjunto de los números racionales al que denotaremos con la letra Q. Un
número racional es el cociente (división) de dos números enteros m y n, siendo
n≠0. Por lo tanto:
Donde m es el numerador y n el denominador. Notemos que Z ⊆ Q. ¿Por qué?
¿Por qué se excluye al 0 del denominador en la definición?
_______________________________________________________
_______________________________________________________
Representemos en la recta numérica algunos números racionales:
0
Veamos algunos ejemplos de números racionales:
Es racional pues es el cociente de 7 y 5, que son números enteros.
Es racional pues es el cociente de –4 y 3, que son números enteros.
4 es racional pues y 4 y 1 son enteros.
Tres ejemplos más:
0,3 es la expresión decimal de un número racional porque y 3 y 10
números enteros.
8. … es la expresión decimal de un número racional porque y
5 y 9 son números enteros.
Operaciones
Inverso de un Número
Definimos el inverso de un número a ≠ 0 como el número racional que
multiplicado por a nos da 1, es decir:
Ejemplos:
El inverso de es , pues
El inverso de es , pues
De esta manera, redefinimos la división de dos enteros como la
multiplicación de dos racionales. Además, podemos extender esta idea a la
división de dos racionales, definiéndola como la multiplicación del primero por
el inverso del segundo.
Ejemplos:
Es decir: “2 dividido entre 5” lo pensamos como la multiplicación de los
números racionales 2 y
, es decir, 3 dividido entre se piensa como la multiplicación
entre 3 y el inverso de , que es 2.
Otra forma de resolver es aplicando “Doble C”:
9. Actividad:
Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.
1.
2.
3.
Entre dos Racionales distintos a y b, existen infinitos números racionales.
Suma Algebraica de Fracciones:
Suma algebraica de Fracciones con el mismo denominador, se copia el
denominador y y se suma los numeradores (aplicando la regla de los signos para
la adición de números).
Veamos: Resuelva la siguiente suma algebraica de fracciones:
Para sumar algebraicamente fracciones con diferentes denominadores se
puede resolver por medio de diferentes métodos. Veamos.
1.- Determinando el máximo común denominador:
M.C.D: Para ello se descompone en factores primos cada uno de los
denominadores y se determinan los términos comunes y no comunes con su
mayor exponente, así:
M.C.D= términos comunes y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo: Determinar el M.C.D de los siguientes números: 24, 12, 5
Primero se descompone en factores primos cada uno de los números:
10. 24 2 12 2 5 5
12 2 6 2 1
6 2 3 3
3 3 1
1
M.C.D=
De esta manera se resuelve el máximo común denominador. Veamos
cómo se aplica para la suma de fracciones:
Realizar la siguiente suma algebraica de Fracciones:
PASOS:
a.- Se calcula el MCD (utilicemos la misma descomposición en factores primos
de 5 y 12 realizada anteriormente).
M.C.D=
b.- Se divide el M.C.D entre cada denominador:
c.- Luego de esto, el resultado se multiplica por el numerador, tal como se indica
a continuación:
Obteniéndose finalmente el resultado.
2.- Realizando la suma o Resta de fracciones de manera cruzada:
Veamos un ejemplo:
11. Actividades:
Realiza las siguientes sumas algebraicas de fracciones:
a)
b)
c)
d)
e)
Multiplicación de Fracciones:
Para multiplicar fracciones se efectúa la multiplicación del numerador
con el numerador y el denominador con el denominador, tal como se muestra a
continuación:
Actividades:
Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
NÚMEROS REALES
Números Irracionales
¿Se puede representar a todos los números que conoces mediante una expresión
decimal finita o periódica?
12. A los números reales cuya expresión decimal no es finita ni periódica los
llamaremos números irracionales. A este conjunto lo denotaremos con I.
Algunos ejemplos son:
Los números irracionales también tienen su ubicación en la recta numérica.
Observemos que la suma de dos números irracionales no siempre da un número
irracional y que el producto de dos números irracionales no siempre da un
número irracional.
Buscar ejemplos en donde se verifiquen dichas afirmaciones.
Observa que si n Z, entonces n × (si n ≠ 0 ) y n + son también números
irracionales.
Entonces, se puede generalizar que si r Qyt I, r + t y r ×t (si r ≠ 0 )
son números irracionales. Obviamente I también es un conjunto infinito de
números.
Números Reales
El conjunto formado por los racionales y los irracionales se llama
conjunto de números reales, y se designa con la letra R. Notemos que, por
esta definición Q ⊆ R. Los números reales llenan por completo la recta
numérica, por eso se la llama recta real.
Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponden
un número real y, a cada número real, le corresponde un punto de la recta.
Resumiendo…
Naturales Enteros Racionales
{0} Fraccionarios Irracionales Reales
13. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES EN R
Suma y Producto: Estas operaciones cumplen con las siguientes propiedades:
Actividad:
1.- Comprobar con ejemplos las propiedades anteriores.
2.- Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser
verdaderas, mencionar las propiedades utilizadas:
a)
b)
c)
d) 2+
e)
f) para todo b real
3.- Para las siguientes operaciones aplique la propiedad Conmutativa:
a) (5.8)=
b) (1233+4565)=
c) (7-3)=
d) (8345 - 5567)=
e) (6.50)=
f) (-35.52)=
g) (-8890-93456)=
14. Potenciación
Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que an
se obtiene multiplicando n veces el factor a, es decir:
n-veces
Ejemplo:
Decimos entonces que an es una potencia que tiene a como base y n como
exponente.
Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para a ≠0:
a0 = 1
a–n = (a–1)n con n N
¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál es
el signo del resultado? _______________________________________
_______________________________________________________
¿Existe alguna potencia de 5 que dé como resultado un número negativo? ¿Por
qué?___________________________________________________
_______________________________________________________
Actividad:
Decir si los siguientes enunciados son verdaderos y falsos:
a)
15. b)
c)
d)
e)
f)
g)
Realice la simplificación de las siguientes expresiones aplicando las
propiedades de potenciación:
a)
b)
c)
