Materiales magneticos

1. MAGNETISMO EN MATERIALES
HISTORIAHISTORIA
.

2. Origen de magnetismo: las cargas en movimiento, o
sea las corrientes eléctricas
En la materia, las corrientes eléctricas que existen en
forma permanente son fundamentalmente las que
producen los electrones en su movimiento orbital y de
spin, y las generadas por la rotación de las cargas
nucleares
Cualquiera de ellas puede considerarse como una
espira de corriente, las cuales generan campos magné-
ticos y reaccionan ante la presencia de esos campos
MATERIALES MAGNÉTICOS

3. Conceptos y leyes básicas
Fuente de interacciones eléctricas: las cargas eléctricas
Fuente de interacciones magnéticas: las corrientes eléctricas
Imán
q
F
v
vF ⊥
⎩
⎨
⎧
∝
v
q
F
Para q y v dados , Fmax en una
dirección y F=0 en otra dirección
Idem si en lugar de
un imán tengo un
sistema de corrientes
Observación
experimental
Cargas en reposo producen
interacciones eléctricas, des-
criptas por la ley de Coulomb
Cargas en movimiento produc-
cen otro tipo de interacción,
conocida como magnética
Experimentalmente:
r
r
qq
F
(r
2
21
∝

4. Como expresar matemáticamente lo anterior?
Suponiendo un
intermediario de la
interacción: el Campo
Inducción Magnética B
Definimos
vq
F
B máx
=
[ ] )(TTesla
mA
N
s
m
c
N
B =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
BvqF
rr
∧=
F ∝ q, F ∝ v
F ⊥ v
F= 0 si v // B
F máx. si v ⊥ B
Cumple con lo observado
En cgs la unidad es el Gauss: 1 T= 104 G
F siempre ⊥ v, de tipo centrípeta; no realiza trabajo
BliF
dy
ld
vBvdqFd
rrr
r
rrrr
×=⇒=×= ;

5. Leyes del Campo Magnético
i crea B
i i
Líneas de fuerza de B son cerradas; no existen fuentes
ni sumideros (papel que juegan las cargas con E)
∫∫ =∇= 0.0. BSdB
rrr
Ley de Gauss de B
Flujo
r
i
B
π
μ
2
0
= ∫ ∫= θ
π
μ
dr
r
i
ldB
2
. 0
rr
Circulación
B
r
i
ildB 0
. μ∫ =
rr
Ley de Ampere
Esta expresión vale cualquiera
sea la trayectoria de integración
0.∫ =ldB
rr
Si trayectoria no contiene i
Ley no válida si hay
materiales magnéticos

6. Espiras crean B
en centro de una espira de corriente
( )
α
π
μ
cos
4 22
0
∫ +
=
Ra
dsi
B
r
R
dRds === βαθ sencos
( )∫ +
=
π
θ
π
μ 2
0
2322
2
0
4 Ra
dRi
B
3
0
4 r
rldi
Bd
rr
r ∧
=
π
μ
α
dBi r
a
R
β
( ) 2322
2
0
2 Ra
Ri
B
+
=
μ
A distancia muy grande
3
2
0
2 a
Ri
B
μ
=
En el centro de la espira
R
i
B
2
0
μ
=

7. Dipolo magnético (espiras reaccionan ante B)
Espira de corriente = dipólo magnético que se alinea con B
Torque θθθτ senBSisenbBaisenbF ===
Regla
tirabuzón
derecha
F
F
dS
Vista lateral
b senθ
B
θ
bB
dS
θ
i
a
F
F
Sobre a BaiF =
BbiF =Fza Magnética sobre b (compensada)
BliF
rr
∧=
Bm
rrr
∧=τMomento dipolar magnético Sim
rr
=
Idem dipólo eléctrico EpEqp
rrrrr
∧== τ
dqp =q -q
d E

8. dS
B
θ
b
F
F
dlθd
b
dl
2
=
∫=Δ ldFEP
rr
.
∫=Δ
2
1
cos
2
2
θ
θ
αθd
b
BaiEPT
α
θα sencos =
( )12
coscos θθ −−=Δ BmEP
Si EP=0 cuando θ = π / 2
BmEP
rr
.−=
Idem dipólo eléctrico EpEP
rr
.−=
Espira de i crea B y
reacciona frente a B
∫=Δ θτ dEP

9. Electrostática: estructura de cargas mas sencilla es la carga
aislada puntual (monopolo) que crea E y reacciona ante un E
externo
Estructura algo mas compleja: dipolo eléctrico que reaccio-na
ante un E externo orientándose en la dirección de éste.
Magnetostática: no existe una estructura de corrientes
equivalente al monopolo eléctrico. No existen los mono-
polos magnéticos
Estructura mas sencilla: dipolo magnético que reacciona ante
un campo B externo orientándose en dirección a éste
+q -q
d
dqp =
r
p
Ep
rrr
∧=τ
i
μ
Aim =
r
Bm
rrr
∧=τ

10. Materiales magnéticos
meL
meS
mnS
3 momentos magnéticos
meL: orbital electrónico
meS : de spin electrónico
mnS: de spin nuclear
Analizando meL
vr
e
T
q
i
/2π
==
22
2 rve
r
r
ve
m == π
π
rvL Μ= Momento angular => L
e
m
Μ
=
2
sJh
h
nL 34
10626,6
2
−
==
π
Μ
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Μ
=
ππ 422
hehe
mB
Magnetón de Bohr
)(10274,9 1224 −−−
= TJmAmB meS≅ 1,001 μB mnS ≅(1/300) μB

11. Ideas básicas
• Magnetismo de los materiales originado en momentos magnéti-
cos de spin y orbitales de los e- atómicos
• En niveles completamente ocupados los momentos magnéticos
se compensan y no hay M resultante (Pr. Excl. Pauli)
• En mayoría de átomos con Nro. impar de e-, el no apareado es
el de valencia; al interactuar átomos para formar moléculas o
compuestos los m de estos e- se promedian ⇒ M neto es cero
• Ciertos elementos (metales de transición por ej) tienen niveles
de energía internos no totalmente ocupados (capa 3d, del Sc al
Cu); presentan M (salvo el Cu: e- no apareado es de valencia)
• Respuesta a un Hext depende de forma que dipolos reaccionan.
Mayoría ET los hacen ∋ MT es cero
• Con Fe, Ni, Co, Gd es dsitinto: interacción de canje y MT no nula

12. El comportamiento magnético de un material se puede estudiar
analizando el de sus momentos magnéticos elementales
Orientación al azar por
agitación térmica
Bex
Alineación parcial en
campo débil
Be
x
Saturación en campo
fuerte
m neto de un material es la resultante de sus m elementales
M neto: definido por dos procesos competitivos: agitación
térmica (T) y tendencia a alineación por Bex y B internos

13. r dθ
r
A
dim
B
imán
im
B puede pensarse como producida por im Aim mT
=
A
Se define
Vol
m
M T
rr
= (análogamente a )
Vol
p
P T
rr
=
Vector magnetización Si M no es constante
dVolMmdVMmd TT
∫=⇒=
rrr
θdrAdVol = mm
i
d
di
π
θ
2
=
r
i
dr
di
drA
diA
M mmm
πθθ 2
=== ∫= ldMim
rr
.
Im: corriente ima-
ginaria que produce
el mismo B que el
material magne-
tizado
Im: i de
magne-
tización
[M]=A/m

14. Si material está en toroide de N vueltas, B estará compuesto de
dos componentes: el de las corrientes reales y el de las corrientes
de magnetización
( ) ( )∫ ∫+=+= ldMiNiiNldB m
rrrr
.. 00
μμ
iNldM
B
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−∫
rr
r
.
0
μ
Si HM
B rr
r
=−
0
μ
Vector intensidad de campo magnético
( )MHB
rrr
+= 0
μ Equivalente a PED
rrr
+= 0
ε
En vacío HB
rr
0
μ=
En material HMHM
rrrr
χ=⇒∝
χ: susceptibilidad
magnética (adimensional)
∫ = iNldH
rr
.
H depende solo
de las i reales
( ) HHB
rrr
μχμ =+= 10
μ: permeabilidad magnética

15. ( ) ( ) r
μ
μ
μ
χχμμ ==++=
0
0
11 Permeabilidad relativa
HB
rr
μ= HM
rr
χ=
Muestra toroidal uniformemente magnetizada
M=0
M=0
M
B=0
B=0
H=0
H=0
H B
En material con χ > 0, B aumenta respecto al valor en vacío

16. Energía del campo magnético
dt
di
L
dt
d
==
φ
εEn una bobina
Potencia
dt
di
iLi
dt
dU
P === ε
∫ ∫== diiLdtPU 2
2
1
iLU =
Energía almacenada en los campos magnéticos de
la bobina (cte. o variable según lo sea i)
Densidad de energía 22
0
2
2
0
2
2
1
2
1
n
B
Sl
Sln
SA
iL
Vol
U
u
μ
μ
===
2
0
2
1
Bu
μ
= Expresión válida en general
2
2
1
Bu
μ
=En material magnético

17. Resumen de Relaciones Constitutivas
B: inducción magnética
∫ ∫ =∇==∇= 0./0.,/. 00
BSdBjBxildB
rrrrrr
μμ
lNiHjHxildH //. ==∇=∫
rrr
∫ = m
ildM
rv
.
HBHM μχμμχ =+==
rr
)1(0
)(0 MHB
rrr
+= μ
en bobinas,
N: No. vueltas, l:long.
En material
HB
rr
0
μ= En vacío
H
Blim
H
i
0→
=μ Permeabilidad inicial
H: intensidad de campo magnético o fuerza desmagnetizante
M (J): magnetización o polarización (Momento magnético por
unidad de volumen)

18. χμπμμμμ
χπχππ
μχμχμμ
+===
+=+=+=
=+=+=+=
−
1/104
)41(44
)1()()(
7
00
000
rr mHenry
cgsHHHMHB
mksHHHHMHB
rrrrrv
rrrrrrr
HBvacío
rr
0μ=
μ >> μ0
Material ferromagnético
vacíomat BMHB
vrrr
>>+= )(0μ

19. Resumen de Unidades
Unidad cgs SI Conversión
B gauss (g) tesla (T) o W/ m2 1 T = 104 gauss
H Oersted A / m 1 A/m = 4π 10-
3Oe
M Oersted A / m 1 Oe =79,6 A/m
μ gauss/Oe 4π 10-4 weber/A.m (H/ m)

20. Materiales con distinto comportamiento magnético básico
Paramagnético: χ > 0, χ ∼ 0,00001- 0,003; alineación relativa
de dipolos elementales debido a campo externo limitada por
agitación térmica. Al quitar H la magnetización desaparece.
Efecto presente en todos los materiales.
Diamagnético: χ < 0, χ ∼ -0,00029 - -0,00001; alineación
relativa de dipolos elementales debida a campo externo limitada
por agitación térmica y con resultante opuesta a H. Al quitar H la
magnetización desaparece. Efecto presente en todos los
materiales pero en general “tapado” por paramagnetismo
Ferromagnético: Fe, Co, Ni, Go o aleaciones que los conten-
gan, χ > 5000; alineación de los dipolos elementales con campo
externo y entre si. Al quitar H queda magnetización remanente
(Fe, Co, Ni: (Ar)4s23d6, (Ar)4s23d7,(Ar)4s23d8)

21. Otras categorías
Antiferromagnético: χ>>1
En Fe, Co, Ni, Gd. Fuerte acoplamiento de ms por energía
de canje (electrostática) que depende de distancia
interatómica. Si esta es chica la energía es negativa y se
tiene Antiferromagnetismo con magnetización neta cero
Estado natural con spines atómicos
de átomos adyacentes opuestos; Ej
Fluoruro de Mn (MnF) bcc, OMn bcc
A una temperatura
conocida como
Temperatura de
Neel se vuelven
Paramagnéticos

22. Ferrimagnético: χ>>1
Dos subredes con distinta estructura magnética, con
momentos alineados en cada red pero antiparalelos entre
ellas.
M puede ser muy alto; Ej.
Magnetita (Fe3O4), Ferrita

23. Susceptibilidades a T=20 °C
Material χ 10-5
Uranio 40
Platino 26
Aluminio 2,2
Sodio 0,72
Oxígeno gaseoso 0,19
Paramagnetismo: χ>0 y <1,1 (Na, K, Mg, Al)
En elementos con Nro. impar de e-, MT desde grupo Sc hasta
grupo Fe + lantánidos
Poseen ms de e- desapareados superpuesto al orbital (siem-
pre presente)
Interacción entre e- de valencia débil
En ciertos rangos M α H
M α 1 / T χ disminuye con T por la agitación térmica
T
H
M ∝ Ley de Curie

24. Diamagnetismo: χ<0,⏐χ⏐<1,1 (at. Grandes Cs, Cu, Ag, Au)
En elementos con Nro par de e- y capas interiores completas los
ms (spin) cancelados, y solo los momentos magnéticos
orbitales contribuyen a la magnetización del material
Susceptibilidades a T=20 °C
Material χ 10-5
Bismuto -16,6
Mercurio -2,9
Plata -2,6
Plomo -1,8
Cobre -1,0
χ ~ independiente de T

25. Origen del diamagnétismo
BB
FM
FC
FM
FC
FE
vv
FE r
v
FC
2
Μ=
B
Sin B Con B
m
m
mT=0
m
m
mT
Principio de exclusión de Pauli

26. Magnetismo débil: para y diamagnetismo
χm ± 10-4 a 10-6; no hay acoplamiento entre momentos atómicos
Como responde el momento paramagnético a un campo B~1T?
eVJBmU 523
10610. −−
=≈−=
rr
<< que energía térmica
a temperatura ambiente
eVJTkB 025,0104 21
=≈ −
Lo que explica por que χm es tan pequeña: el campo tiene solo
un débil efecto lineal en la alineación de los momentos pues la
energía térmica es grande comparada con la energía magnética

27. Tabla de permeabilidades
Paramagnéticos Diamagnéticos
10200.00 Neodimio (Nd2O3) -248.00 Colesterol (C27H46O)
7200.00 Oxido ferroso (FeO) -122.00 Zirconio (Zr)
4900.00
Oxido de cobalto
(CoO)
-38.20
Carbonato de
calcio(CaCO3)
1860.00 Samario (Sm) -30.30 Cloruro de sodio (ClNa)
660.00
Oxido de níquel
(NiO)
-24.10 Mercurio (Hg)
529.00 Manganeso (Mn) -15.50 Azufre (S)
395.00 Uranio (U) -6.70 Boro (B)
13.00 Magnesio (Mg) -5.46 Cobre (Cu)
0.00 Lutecio (Lt)

28. Ferromagnetismo: caracterizado por un orden de largo alcance
de los momentos atómicos, aun en ausencia de campo externo,
que produce magnetización espontánea (o sea M sin Hext) que es
máxima a T= 0K, decrece con T y se anula arriba de una cierta
Tc (Temperatura de Curie) (material=>paramagnético)
Campos grandes (1-2 T) se pueden conseguir con H chicos (~
100 A/m, ~ 10 vueltas/cm con I= 0,1 A!). La magnetización com-
pleta, M~106 A/m (SmCo), se consigue con la alineación total de
dipolos
Explicación: (P. Weiss) fuerte campo molecular o campo medio,
que alinea todos los momentos de forma que M≅n.m=MS (no
afectada por agitación térmica). Debajo de la Tc tienen
magnetización espontánea MS(T)
Esto es producto de una compleja interacción cuántica
(interacción de canje de Heisenberg) que minimiza la energía
magnética si los momentos magnéticos iónicos son paralelos y
cooperativamente alineados

29. Heisemberg (1928): Interacción de canje para explicar la inten-
sidad de los campos magnéticos moleculares en los sistemas
ferromagnéticos, 103 veces mayores que el que puede producir
la magnetización del material
Además de las interacciones electrostáticas coulombianas (por
ej. en la fuerza que une el átomo de H2) existe otra fuerza no
clásica que depende de la orientación relativa de los spines de
los e-: la fuerza de canje que es consecuencia del principio de
exclusión de Pauli: la energía electrostática coulombiana se
modifica por la orientación de los spines
Ej.: en H2 si s son antiparalelos, la suma de
todas las fuerzas (e-e, p-p, e-p y de canje)
resulta atractiva y se forma molécula
Interacción de canje

30. Si Jex > 0 : Eex es mínima con S //
Si Jex < 0 : Eex es mínima con S anti // (moléculas)
Ferromagnetismo: es consecuencia del alineamiento de los
momentos de spin de átomos adyacentes:
condición Jex > o
Fuerzas de canje dependen fundamentalmente de las distancias
atómicas y no de posiciones atómicas: la cristalinidad no es
condición para el ferromagnetismo
Primer amorfo ferromagnético (Co y Au codepositados a 77 °K y
con ferromagnetismo que se mantiene a temp. ambiente) fue
reportado en 1965
Dos átomos con momentos angulares de spin Si= h/2 π tienen
una energía de canje
jiexex SSJE
rr
.2−= Jex Integral de canje

31. Origen de la interacción de canje (o de intercambio)
Organización de la materia: desde punto de vista electrónico por
la configuración de capas, de energía creciente a medida que se
alejan del núcleo
Principio de exclusión de Pauli: no puede haber dos electrones
en estados de movimiento descriptos por los mismos números
cuánticos (nc)
n: nc principal, define la energía de la capa (K:1, L:2, M:3, N:4,
O:5, P:6, Q:7)
l: nc orbital, define la cuantificación del momento angular, s:0,
p:1, d:2,.., n-1, en unidades de h/2π)
ml: nc magnético (define la cuantificación del momento magné-
tico, -l, -l+1,.., 0,.., l-1, l)
ms: nc de spin

32. Capas se llenan de acuerdo a 2n2, 1ra máximo 2, 2da 8, 3ra 18..
Niveles principales contienen subcapas u orbitales, cuyo número
total es igual a n (0=s, 1=p, 2=d, 3=f)
Representación:
H 1s1
O 1s2, 2s2, 2p4
Al 1s2, 2s2, 2p6,3s2,3p1
Fe 1s2, 2s2, 2p6,3s2,3p6,3d6,4s2
Orbitales se llenan hasta un máximo dependiendo de la capa:
s:2 (He), p:6 (Ne), d:10 (Ar), f:14(Yb)
Metales de transición (Fe, Co, Ni,..)
caracterizados por capa 3d
incompleta

33. Configuración de electrones
Regla de Hunt: se
requiere + energía
para colocar dos e-
en el mismo orbital
con rotaciones
opuestas que la que
se requiere para
colocarlos en
orbitales ≠ con
rotaciones iguales.
Ej.orbitales 2p del N

34. En Fe, Ni, Co,… si en la capa 3d de un átomo tienen 2 e- con
sus ml distintos => sus mS pueden ser paralelos (apareados)
Se sabe que la magnetización de un átomo ferromag. se debe
la paralelismo de los momentos magnéticos de spin y no a los
momentos dipolares magnéticos orbitales (g=2; Factor de Lan-
de, que da una relación entre M y L)
O sea 2 e- de capa 3d permanecen en promedio más alejados
si sus mS son paralelos, y de esa manera su repulsión coulom-
biana es menor
También existe una fuerte interacción de intercambio entre áto-
mos adyacentes de la red que conduce al acoplamiento de spin,
pero es más complicada que la existente dentro del átomo por
razones geométricas, por lo que la energía es menor cuando
los spines de pares de átomos adyacentes son paralelos (ferro-
magnetismo) o antiparalelos (antiferromagnetismo)

35. Únicos elementos ferromagnéticos:Fe, Co, Ni, Ga y Dy
En estos elementos, la existencia de spines no compensados
en capas electrónicas incompletas profundas (3d), que no son
afectados cuando los átomos se unen para formar un sólido,
dejan un momento magnético atómico neto, y la interacción de
canje entre esos m atómicos es la causa de ferromagnetismo
Se emplea la permeabilidad relativas μr= μ / μ0=(1+χ) más que
la susceptibilidad para caracterizar las propiedades magnéticas
Por que los materiales ferromagnéticos en ciertas condiciones
no presentan magnetización? => por existencia de dominios
magnéticos (zonas > 0,1 μm donde todos los momentos están
esencialmente alineados, separados entre si por “paredes”
(regiones de 10 a 100 nm), donde la magnetización rota, que se
compensan entre si

36. La magnetización dentro de los dominios magnéticos es paralela
a los ejes cristalográficos
La dependencia de M con los ejes cristalográficos se denomina
anisotropía magnetocristalina y se simboliza con K (J/m3)
E energía de 1s
M masa
Tomando un átomo de H con el modelo de Bohr para estimar
valores
2/12
)/2(/)2/( Μ==≈= EvrvreIAm ωππω
24
1027,9 −
≈== IAmm B Si en material magnético n≅1029
at/m3, c/u con I circulando
TMBmAmnM 1/10 0
6
≈=⇒≈= μ
Por comparación, si todos los momentos están alineados
TNiyCoFeMB sS )(6,0)(7,1);(2,20 ≈= μ
Dominios magnéticos
Am2

37. Superparamagnetismo:
Comportamiento magnético asociado a tamaño de partículas
ferromagnéticas; Si el volumen es muy pequeño => la energía de
canje puede ser menor que la energía térmica y el dominio puede
estar alternando su magnetización en las direcciones fáciles
incluso sin Hex
Paramagnetismo: cada partícula tiene un m=MSV que tiende a
alinearse con Hex mientras que la energía térmica tiende a
desalinearlo. Momento magnético de átomo o ión es de algunos
mB
Pero una partícula esférica de Fe de 50 A tiene alrededor de
6000 átomos y su M es de unos 12000 mB !!
(superparamagnetismo)

38. Dominios ferromagnéticos
Fuerte interacciones magnéticas (de canje) entre m atómicos
producen alienaciones totales en regiones llamadas “dominios
magnéticos” (~10-6 m hasta mm) aun sin campo exterior (Los
dominios tienen tamaños entre 10-12 y 10-8 m3 y contienen entre
1021 y 1027 átomos.
Bext=0, dominios orientados al azar
Bext lo suficientemente intenso como para
producir alineación total de dominios
Bext≠ 0, crecen dominios con orientaciones
favorables a expensas de los otros (des-
plazamiento de paredes de dominios)

39. Rotación de
paredes de
dominios
Curva de Histéresis

41. 1.13 y 1.14 curvas

42. Si M de material magnetizado en toroide colapsa porque se pone
en cc los bornes de la bobina
l
iN
r
iN
HdBAd ===
π
φ
2
dBVolHdBAlHdUm
==
∫=
Δ
dBH
Vol
Um
Energía disipada en cada ciclo por unidad de volumen es
proporcional al área encerrada por la curva de histéresis
0=−=+ dti
dt
d
NdUdtidU mm
φ
ε
Energías involucradas en procesos de alineación

43. Material
BHmax
(MG Oe) Br (G)
Hc
(Oe)
Acero Cromo2 0.20 10000 50.3
Oxido de Hierro-
cobalto3
0.60 2000 905
Alnico 124 1.51 6000 955
Alnico 25 1.71 7000 563
Alnico 56 4.52 12500 553
Platino-Cobalto
(77%Pt, 23%Co)
6.53 6000 3644
En la siguiente tabla se presentan propiedades de materiales
magnéticos de uso común. Se utilizan unidades no SI para
comparar con las tablas de materiales comerciales modernos
que presentamos más abajo (recordar que 1T = 10-4G y 1A/m =
4πx10-3Oe):

47. pared
Formación espontánea de dominios en materiales ferromag-
néticos de manera de reducir la energía asociada con la pérdida
de flujo magnético en el espacio circundante
Proceso continua hasta
que la energía necesaria
para formar nuevos domi-
nios (energía de las pare-
des) es mayor que que la
reducción de energía que
se logra
Por que se forman los dominios magnéticos?
2
0
2
1
Bu M μ=

48. En cristales cúbicos el proceso tiende a ser más complicado
pues existen 3/4 ejes fáciles (dependiendo del signo de K1). En
este caso
el flujo puede cerrarse dentro del material
no se forman polos superficiales o interiores por lo que la
energía magnetoelástica es cero
se forman dominios triangulares llamados dominios de clausura

49. δ: ancho de la pared o longitud de canje magnético δ~10-100 nm
Desagregación de un volumen magnético
1 cm3 de material: ~ 1010 cristales
cristal: 106 dominios
dominio: 1015 átomos; > 0,1μm
Paredes separan dominios orientados a 180°

50. Existe una temperatura para cada material ferromagnético (TC;
Temperatura de Curie) por encima de la cual se vuelve
paramagnético Temperatura de Curie
Fe 770 ºC
Co 1127 ºC
Ni 358 ºC
Ga 16 ºC
Di -168 ºC
Ferritas
NiFe2O4 585ºC
CuFe2O4 455ºC
NiAlFeO4 198ºC
M
T
Ferr
Para
Magnetización espontanea en Materia-
les FM desaparece a la Tc, o sea la ali-
neación de m individuales es destruida
con la energía térmica kTc. Se define un
parámetro de canje magnético A como
una medida de la intensidad del acopla-
miento magnético entre momentos
separados por el espaciamiento a de la
red a Tc
a
Tk
A C
=
En materiales útiles
A no varía más que
un factor 4

51. 1-10 Am-1 materiales muy blandos
>106 Am-1materiales duros SmCo5
Magnetos blandos: núcleos en campos alternativos
Magnetos duros: imanes permanentes
Memorias magnéticas: histéresis rectangular

52. Ejes de fácil magnetización
En presencia de H, M depende de la intensidad de H y dirección
cristalográfica en que éste se aplica: dependencia de propiedades
magnéticas de direcciones cristalográficas se conoce como
anisotropía magnetocristalina (K joule/m3)
Con H suficientemente grandes M →Ms, que es igual para todas
las direcciones cristalográficas (m han rotado y son // a H)
Dirección cristalográfica en la cual se alcanza Ms con el menor H
son direcciones de fácil magnetización
Ejes de fácil magnetización son los ejes de magnetización espon-
tánea de dominios en ausencia de H

53. [100]
[110]
[111]
[0001]
[1010]
J es B
bcc
fcc

54. Materiales ferromagnéticos extensos (D → ∞ )
Disminución
de DEje
fácil
Libre rotación de los
dominios por agitación
térmica
partículas finas con dominios
monodominio
régimen superparamagnético
Influencia del tamaño de grano

55. Influencia del tamaño de grano

56. Antigua ley de la metalurgia: si tamaño de grano decrece las
propiedades magnéticas blandas del material se deterioraban.
HC muestra fuerte dependencia con el tamaño de los granos en
los sistemas policristalinos

57. Técnicas de Observación de Dominios
Técnica Bitter: suspensión coloidal de finas partículas de
magnetita (Fe3O4)
dominio pared dominio
M M M
++++

58. Efectos Magneto-ópticos
•Por rotación de la polarización de la luz
•reflejada (efecto Kerr), para superficies
•transmitida (efecto Faraday), para volúmenes
(películas delgadas)
-ϕ
M M
i r r i
+ϕ

59. Microscopía electrónica de transmisión (TEM)
(películas delgadas hasta 1000 A)

60. La energía libre total (ET) de un material ferromagnético se
compone de varios términos
ET=EK+EM+Eσ+EPD
EK: energía de anisotropía magnetocristalina
EM: energía de anisotropía de forma o energía magnetoestática
Eσ: energía magnetoelástica
EPD: energía de las paredes de los dominios
Energía asociada a la magnetización

61. EK:Energía de anisotropía magnetocrislalina (existente funda-
mentalmente en materiales cristalinos)
La magnetización en ≠ direcciones cristalográficas tiene aso-
ciada ≠ energías (anisotropanisotropíía magnetocristalinaa magnetocristalina). O sea, exis-
te dependencia de la energía interna con la dirección de
magnetización respecto a la dirección de magnetización
espontanea
Anisotropía magnética se debe al acoplamiento spin-órbita.
Basicamente, cuando Hex tiende a rotar los S de e- también
tiende a rotar sus órbitas, y como las órbitas están fuertemente
acopladas a la red cristalina, esto requiere energía
Spin
reddébil
débil
fuerte
órbita
la energía requerida para rotar un sistema
de spines de un dominio fuera de los ejes
fáciles (EK) es la energía necesaria para
superar la interacción spin-órbita.
Acoplamiento spin-órbita es débil pues
Hex de pocos Oe pueden rotar los spines

62. BmEP
rr
.−=Bm
rrr
∧=τ
( ) ( ) MmHmMHmEMHB
BmdsenBmdE
P
P
rrrrrrrrrr
rr
...
.
0000 μμμμ
θθθτ
−−=+−=Δ⇒+=
−===Δ ∫∫
La variación de la energía del material tiene una
componente que depende de H (cpos. externos) y
otra que depende de M (magnetización del
material). Ésta última a su vez se puede dividir en 2
)
2
21(cos. 2
000
θ
μθμμ senMmMmMmEPMat −−=−=−=Δ
rr
Una parte de esta variación de energía depende del cambio en
la posición del dipolo, mientras que la otra no (-μ0mM)
2
2 2
0
θ
μ senMmEK
=
Energía de anisotropia magnetocristalina,
mínima para situación de equilibrio, lo que
define direcciones preferenciales de m en la
red (θ=0). Ek máxima para π (estado inestable)
S
θ
B
En general

63. MmKsenKsenMmEK 01
2
1
2
0 82
4
1
22 μθθμ ===
K1: Constante cristalográfica del material o coeficiente de anisotropía
Para minimizar esta energía todos los dipolos elementales de un
volumen del material deben alinearse en la dirección preferencial.
Cuando esto ocurre (sin tener en cuenta fluctuaciones por
agitación térmica) se tiene un máximo: MS (Magnetización de
saturación)
Estructuras cristalinas reales tienen expresiones de EK más
complicadas. En el caso del Fe (bcc) el análisis es simple
Direcciones preferenciales de magnetización
espontánea (estados estables para un dipolo
dado: EK mínimo) se encuentran cuando m
está alineado con las aristas de un cubo (θ=0
o cada π/2) e inestabilidad ocurren sobre
diagonales (cada π/4) => EK se modifica
M vs H en
Fe (Diap)54

64. [100]
[110]
[111]
[0001]
[1010]
J es B
bcc
fcc

65. La energía total es el trabajo realizado por H para alinear los di-
polos (o sea al vector MS) más la que está asociada al material
MmHmEP
rrrr
.. 00 μμ −−=
El último término en general ignorado ya
que interesa ΔE cuando rota Ms
( ) HMsenKHME SSP 0
2
100 2
4
1
cos μθθθμ −+−−=
θ
H
MS
θ0
[ ]
)cos()4cos(2
)cos(2)2()2()2cos(2)2cos(
)(
)4(
2
)(2)2cos()2(2
4
001
0012
2
00
1
00
1
θθμθ
θθμθθθθ
θ
θθμ
θθθμθθ
θ
−+=
−+−=
−
+=−+=
HMK
HMsensenK
d
Ed
senHM
sen
K
senHMsen
K
d
dE
S
S
P
S
S
P
Imán: mat. ferrom. magnetizado en dirección preferencial tal que
su M no se vea afectada por Hext, cuya influencia desmagnetiza-
dora es máxima si aplicado a π respecto a M
H necesario para que mínimo de energía deje de serlo? 02
2
=
θd
Ed P

66. Para H en contra de MS πθθ +=0
020
00)4(
2
0
012
2
0
1
=−⇒=
=⇒=−⇒=
HMK
d
Ed
senHMsen
K
d
dE
S
P
S
P
μ
θ
θπμθ
θ
S
i
M
K
H
0
12
μ
=
Coercitividad intrínseca: H necesario para desestabilizar la mag-
netización del material y cambiarla de sentido. Depende solo de
la anisotropía magnetocristalina y de la magnetización de satura-
ción M
H
Hi-Hi
+MS
-MS
SM
K
0
12
μ
−
SM
K
0
12
μ
+
1er cuadrante: curva de
magnetización
2do cuadrante: curva intrínseca
de desmagnetización

67. Teniendo en cuenta que B=μ0(H+M), se puede graficar
-Hc
-μ0MS
B
μ0MS
Hi
Hc
H
-Hi
(BH)max
Remanencia ideal: Br=μ0MS;
en realidad es el valor de B
cuando fmm=0
Coercitividad ideal: HC=Ms;
en realidad es la fmm nece-
saria para anular el flujo
magnético en el material.
Ojo: HC<Hi en general
Máximo producto de energía: (BH)max: punto del 2do cuadrante
donde BH máximo, y que indica la mayor densidad de energía
almacenada en el material . En curva ideal a mitad de camino con
2
0max )
2
1
()( SMBH μ=

68. Comportamiento de imanes reales; 2do cuadrante: curva de des-
magnetización

69. La anisotropía magnetocristalina K se define por medio de coefi-
cientes K0, K1 y K2; Ki (J/m3) ctes. de c/material; K2 a veces <<1.
Para cristales cúbicos (Fe, NiFe, FeCo, SiFe) la energía de mag-
netización o magnetocristalina por unidad de volumen para una
dirección dada (αi: cos directores de magnetización respecto a
ejes cristalinos) se define como
...)(])()()[( 2
3212
2
32
2
31
2
2110 +++++= ααααααααα KKKEK
donde los Ki son constantes empíricas que dependen del material
y la temperatura
Para cristales uniaxiales (exagonales: Co y SmCo5, tetragonales:
NdFeBe) la energía de magnetización en dirección θ respecto
eje fácil es
∑ ++=+= ...2
10
2
0 θθ senKKsenKKE i
iK
En todos los casos las series son cortas ya que Ki decrece rápidamente con i.
El orden de magnitud de las energías magnetocristalinas (de los cambios) está
dado por K1 (ref: Akulov 1929, Introduction to Magnetic Materials B. D. Cullity)

70. Valores característicos de la primera constante de anisotropía K1
Material K1 (j m-3)
Fe 4,7x104
Co 4,1x105
Ni 5,1x103
SmCo5 1,1x107
K0 es independiente del
ángulo: en general
ignorado ya que interesa
ΔE cuando rota Ms

71. En cristal cúbico
a b c α1 α2 α3 E
[100] 0 π/2 π/2 1 0 0 K0
[110] π/4 π/4 π/2 1/21/2 1/21/2 0 K0+K1/4
[111] 54,7° 54,7° 54,7° 1/31/2 1/31/2 1/31/2 K0+K1/3+K2/27
...2
10 ++= θsenKKEK
Si K2=0, dirección de fácil imanación determinada por signo de
K1, (coeficiente de anisotropía)
K1>0, E100<E110<E111, <100>: ejes fáciles
K1<0, E111<E110<E100, <111>: ejes fáciles
Fe y ferritas cúbicas con Co tienen K1>0
Ni y ferritas cúbicas sin Co tienen K1<0
Si K2≠ 0, ejes fáciles determinados por K1 y K2 (ref: Cullity).
En general K1>>K2

72. Caso de cristal exagonal
E//= K0 M paralelo a eje fácil (θ= 0°)
E⊥= K0 + K1 M perpendicular a eje fácil (θ= 90°)
=> ΔE= E⊥- E// = K1 (J/m3) es energía por unidad de volumen
necesaria para rotar M 90° desde eje fácil.
El campo externo (HK) necesario sale de
S
K
M
K
H
0
12
μ
=
K
HBK
2
1
1
=
Una fórmula similar se deriva para cristales cúbicos
K1 y HK (aunque discutidos a partir de cristales simples) son de
gran importancia en propiedades magnéticas de materiales
policristalinos y de grano orientado
...2
10 ++= θsenKKEK

73. Magnetos permanentes:
Se requiere que la energía de anisotropía magnetocristalina (K)
sea uniaxial y lo más grande posible para que exista una fuerte
preferencia de M a lo largo de una dirección (eje fácil). Esta pre-
ferencia y otros efectos permiten resistir la desmagnetización
Ej.:BaFe12O19,SrFe12O19,SmCo5,Sm2(Co, Fe, Cu, Zr) y NdFeB
Magnetos blandos: se requiere que la energía de anisotropía
magnetocristalina sea lo menor posible para que cambios de M
ocurran a los menores H posibles y tan rápido como se necesite
(50-60 Hz para núcleos de transformadores)
Ej.:SiFe o aleaciones de NiFe (Mumetals, Radiometals, Perma-
lloys)

74. No claro como calcular las constantes de anisotropía de prime-
ros principios
Métodos de medición de la anisotropía magnetocristalina
Curvas de torsión
Resonancia magnética
Curvas de magnetización
Cálculo de EK a partir de curvas de magnetización
EK es la energía almacenada en un cristal cuando está magneti-
zado a saturación en dirección no fácil y es igual al trabajo para
llevar a ese estado
M
H
u
M
KdMHW
S
== ∫0
.

75. EM: Energía de Anisotropía de Forma o Energía magnetostá-
tica
Medida de la diferencia de energía asociada a la magnetización
en las direcciones mayores y menores del cuerpo
Resultado de la interacción entre la magnetización y el campo
demagnetizante (HD) generados por los polos inducidos por la
magnetización no nula del material
Modelo simple: un cilindro largo tiene mayor EM cuando está
magnetizado en dirección perpendicular al eje del cilindro que
cuando está magnetizado en dirección paralela al mismo;
Razón: en dirección paralela los polos magnéticos están muy
separados y EM es baja => los ejes largos son ejes fáciles para
la anisotropía de forma; Vector magnetización tiene siempre
preferencia por los ejes largos fáciles
Polos separados, baja EM
Polos cerca, alta EM
Hex
-
-
+
+
HD
HD

76. a
b
M
Hex
En general
M b
+
-
M
a- +
Dexef
baD
HHH
NNMNH
−=
<<= HD: campo demagnetizante
N: Nro. Polos
Hex HD
HD
Con elipsoide de revolución
0
0,5
DZ-DX
10Relación dimensional a/b
DZ
DX
b
a
0
( ) 2
0
2
1
SXZM MDDE −= μ
Di: factores demagnetizantes,
dependen de la forma de la
muestra; MS: magnetización
de saturación

77. +
+ +
+
+
+
+
+
+ +
d
M
d
M
+ +
dME sM
2
85,0=
dME sM
2
53,0=
dME sM
2
37,0=
M d
Ejemplos

78. Eσ: Energía Magnetoelástica:
Expresa la interacción entre tensiones internas (σ) y la magneti-
zación del material y está intimamente ligada a una propiedad
magnética intrínseca del material: magnetostricción
Magnetostricción
Cuando el estado de magnetización de un MF se cambia por
aplicación de Hex hay un pequeño cambio en las dimensiones (si
parte/todo el cambio se debe a rotación de M)
Efecto complejo, anisotrópico y dependiente de H
Tipicamente ~10-5; para TbFe2 λ≈200 10-5. λs: saturación
Valores de λS >,=,< 0
En cristales λS depende fuertemente de direcciónes en que se
mide Δl y en que se aplica Hex
l
lΔ=λ

79. λs
Δl/l
H
l+Δl
Δl/2
Δl/2
H≠0H=0l
(a) (b)
λS>0
l
lΔ=λ
λ: Constante lineal de magnetostricción
l: longitude de la muestra
Δl: cambio magnetostrictivo
λS: Cte magnetostricción a saturación

80. Magnetostricción: relacionada con interacción spin-órbita
(Cullity)
Energía magnetoelástica (Eσ ) expresa la interacción entre
tensiones internas (σ) y magnetostricción del material
En cristal cúbico ( ) ( )∑∑ =≠
−=
3
1
111
3
1
22
100
3
2
3
ji
jijiiiS
γγαασλγασλλ
λS en direc. γ
αi cos directores de Ms
λijk: λS en <ijk>
Con magnetostricción isotrópica
∑−=
==
i
iiiS
S
E
2
111100
2
3
ασλ
λλλ
σ
σii :i-esima componente del tensor
de tensiones diagonalizado; αi:cos
director de MS respecto a la i-esima
coordenada

81. Si σii es una tensión uniaxial (σ)
[ ]32
/),,:(,cos
2
3
mJME SS σφφσλσ ∠−=
φ = 0 (λS > 0)
eje fácil
φ =90 (λS < 0)
M σ M σ
λ > 0 λ < 0

82. Si tensión mecánica en material magnético de λs≠ 0, la
imanación espontánea M tiende a rotar en dirección de la
tensión aplicada si λs > 0, y en dirección contenida en el plano
transversal al determinado por la dirección de la tensión si λs <
0.
La aplicación de esa carga mecánica produce un almacena-
miento de dos tipos de energía: una mecánica (elástica) y otra
magnética (magneto-elástica).
De acuerdo con la ley de Hook, la energía elástica viene dada
por la ecuación:
2
2
1
εEEelast =
E (=σ/ε) módulo de Young
ε (=Δl/l) deformación específica en
sentido de tensión σ
φσλ 2
2
3
senE SM =
Y la energía magnética por

83. Efecto ΔE
l
M 0
E je F ác il de Im anac ió n
(M ue stra co n
anis o tro pía trans ve rs al
y λ s > 0 )
θ
M 0
M
l+ Δ l
σ > 0
ii) σ > 0i) σ = 0
Con tensión aplicada, la energía elástica aportada al material
tendrá una componente mecánica y otra magnética, o sea, dos
contribuciones a la deformación del material: emec y emag
).(. magmec
EE εεεσ +== Si λ s > 0 εmag positivo
λ s < 0 εmag negativo
ε (=Δl/l) deformación específica en sentido de tensión σ

84. λs >0λs =0
Deformación (ε)
Tensión(σ)
εmec εmag
ε
M=M s
Ej.: λs > 0: contribución magnética a la deformación del material
emag resulta en una reducción del valor de E.
El comportamiento magnetoelástico de los materiales se ve cla-
ramente a través de ensayos de tracción (tensión-deformación;
σ-ε )
Curva con λs >0 posee
pendiente (módulo de
Young) menor. Este efecto
es conocido como efecto
ΔE (diferencia entre el
módulo de Young del
material en el estado
desimanado y un estado
determinado de imanación,
como por ejemplo el
imanado a saturación Es,
es decir Δ E =Es-E0 )

85. El efecto ΔE puede expresarse (Chikazumi,Physics of Magn)
i
SSS E
E
EE
E
E
σ
λ
5
2
0
0 −
=
−
=
Δ ES: Mod. Young de
material imanado a
saturación (M= MS)
E0: idem desimanado
σi: tensiones internas
Tensiones internas del material pueden reducirse mediante
tratamientos térmicos. Se puede medir E en función de la
temperatura de recocido (Trec) para el material desimanado y así
tener E vs. σ
( ) 1
)(
21
.
)(
11
5
2
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
−
rec
S
Srecq
S
q
qrec
TETE
ETE
σ
λ
σσ
λ
Materiales amorfos y nanocristalinos quedan muy tensionados
por el método de producción por lo que este tipo de tratamientos
se torna crucial

86. EPD:Energía de las paredes de los dominios
Rotación de m entre dominios a 180° implica una incremento de
energía. Se puede estimar que la energía de las paredes de los
dominios debido a esa rotación por unidad de área es
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
a
KTk
KA C 12
1
1 44γ
a
Tk
A C
≈Donde A es el parámetro
de canje magnético
Importante porque si hay pequeñas variaciones de A o K1 dentro
del material (por bordes de grano, segundas fases, inclusiones o
defectos) => δ dependerá de la posición de la pared

87. 2
1
1
2
1
1
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=
Ka
Tk
K
A Cππδ
Si K1 aumenta δ dsiminuye por lo que lo magnetos permanentes
tienen dominios con paredces delgadas
Propiedades magnéticas intrínsecas aproximadas de un magneto
duro (SmCo5) y uno blando (Fe)
Propiedad SmCo5 Fe Unidad
Polarización de saturación (μ0M) 1 1 T
Coeficiente de anisotropía K1 1,1 107 4,7 104 J m-3
Campo de anisotropía HA 2 107 5 104 A m-1
Parámetro de interacción de canje A 2 10-11 2 10-11 J m-1
Se puede demostrar que
Energía de la pared γ 5 10-2 5 10-3 J m-2
Ancho de la pared δ 5 10-9 5 10-8 m

88. Circuitos magnéticos
N L
A
i
Líneas de B confinadas dentro del ma-
terial ferromagnético si μ sufic. alto
lj
Si material compuesto por varias
partes de long lj y permeabilidad μj
∫ ∑ ==
j
jj
iNlHldH
rr
.
∫∫ ∫∫ ====⇒= cteAHABAdBAdB μφ
rrrr
.0.
jj
j
A
H
μ
φ
= ∑ =
j
j
jj
iNl
Aμ
φ
mm
fR =φ
fmm: fuerza magnetomotriz
R: reluctancia
Con geometría de
las piezas polares
se puede contro-lar
intensidad de B
A
B
φ
=
Despreciando efectos de borde
A
L
A
l
iN
AB
0
μμ
+
=
En nuestro caso

89. mm
fR =φ Ec. formalmente igual a la de Ohm; R (reluctancia;
∝1/μ) mide la resistencia del material al flujo mag-
nético => lineas de campo se concentran en las
zonas de mayor permeabilidad
∑=
S
l
R
j
j
μ
Rf
A
l
iN mm
j jj
j
φ
μ
φ =⇒∑=
Se puede usar la misma
metodología de cálculo que
se emplea en circuitos
μ

90. ∫=
=
S
dl
Ni
fR mm
μ
φ
φ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∫ ∫ ++=⇒=⇒∑=
1 2 21C C
mm
j jj
j
S
dl
S
dl
NiRf
S
l
iN
μμ
φφ
μ
φ
Reluctancias en serie
Reluctancias en serie

91. ( )
( )
2
232131
33313
2
3
333132
3
232131
2221
3
2
2222132
321
3311
2211
)(
)(
R
RRRRRR
NiRR
R
R
RRNi
R
RRRRRR
NiRR
R
R
RRNi
RRNi
RRNi
++
=⇒++=++=
++
=⇒++=++=
+=
+=
+=
φφφφφφφ
φφφφφφφ
φφφ
φφ
φφ
3322 RR φφ =⇒
∫=
=
S
dl
Ni
fR mm
μ
φ
φ
Reluctancias en paralelo

92. Imanes permanentes Al quitar i el material queda magnetizado
H=0
H=0
H=0
M=0
B
B=0
B=0
M
M=0
Con entrehierro, M en material no cambia y en e-h M=0; B producido por im
que se redujo en Δim=(Δθ/2π)im) cambia poco en el material si Δθ es chico
respecto al valor anterior (μ0M) y fuera idem, salvo distorsión
B
M
a
b
B
h
Que pasa con H en el material?

93. Condiciones de borde
∫∫ →⇒= 00. aSdB
rr
21 nn BB =
B1
B2
a
∫∫ →⇒=⇒∃ 00. aldHi
rrH1
H2a
21 nn HH =

94. B
M
a
b
B
h
( )
( )
000
0
0
2
2/)(02
..0.
BByHB
hr
h
HH
barhHhrH
ldHldHldHNi
nMat
mat he
==
−
−=
+==+−
∫ ∫ ∫+=== −
μ
π
π
rrrrrr
Como no hay i y material magnetizado
En e-h H0 tiene la misma dirección que B, por lo que en el ma-
terial tiene sentido contrario
M M=0
B’≅B
H’
B=μ0H
H
Imán
NS M
B
H

95. Si material magnetizado hasta Ms y se corta i, =>H=0 y B=Br
Si ahora
entre-hierro
h
h
M
r
h
HM
r
h
hr
h
hr
hH
H
M
r
h
HH
hr
h
M
HM
hr
hH
HMHBB
hr
hH
HhHHhrldH
ππππ
ππ
π
μμ
π
π
2
)
2
1(
22
)
2
1()
2
1(
2
)(
2
)2(0.
0
00
0
0
0000
0
0
−=⇒−
−
−=
−
−=
−=⇒
−
+=
=+
−
−⇒=+⇒=
∫
−
−=⇒+−==
rr

96. H
h
hr
BH
h
r
HMHBH
h
r
M
−
−=⇒−=+=⇒−=
π
μ
π
μμ
π 2
)
2
()(
2
000
Esta relación se llama “Recta de Carga” o
“de trabajo” y su pendiente es (-) ya que B
y H tienen sentido contrario en el material.
La existencia del e-h hace que B se corra
de Br hasta P. Cuanto menor sea h más
vertical sera esta recta y más cerca estará
P de Br.. En cambio e-h grandes
disminuirán el flujo en el material ya que
existirá mucho flujo disperso en el e-h
0
2
0 →∞→
−
−== hcon
h
hr
trabajoderectatg
H
B π
μ

97. ∫∫∫ −−=⇒−==
=∫∫∫−=⇒−=
dVol
r
h
MUM
r
h
HHB
BMdVolBMUBm
dVol
dU
)
2
1()
2
1(
1),cos(.
0
2
000
π
μ
π
μ
rr
Fuerza de imanes
h
Shr
r
h
MUShrVol
m
m )2)(
2
1()2( 2
0 −−−=⇒−= π
π
μπ
Si material se deforma Δh por fuerza entre polos U, hay un ΔU
Vol
r
h
MVol
r
h
MVol
r
hh
MUU
mmm
)
2
()
2
1()
2
1( 2
0
2
0
2
0
π
μ
π
μ
π
μ
Δ
−−−=
Δ−
−−=Δ−
ΔU: trabajo de la fuerza entre polos a lo largo de Δh
0
2
2
0
2
0
2
2
2
μ
μ
π
μ
π
μ
SB
SM
r
VolM
F
hFVol
r
h
MU
m
m
o
≈≈=
Δ=
Δ
=Δ
Expresión aproximada
0
2
μ
SB
F =

98. Ejemplo: i necesaria para levantar u n coche de P= 3 Tn?
A= 0,6 m, l1= 1 m, l2= 0,7 m, h= 0,01 m, N= 2000,
μr1= 3000, μr2= 1000, S= 100 cm2
Ah
lla
NS
P
I
P
S
hlla
INS
RS
IN
rr
o
9,112
2
2
22
22
2
2
1
1
2
0
0
2
2
2
1
10
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
+
=
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
μμ
π
μ
μ
μμμ
πμ
02
2
1
1
02
2
1
1
22
22
μμμ
π
μμμ
π
hlla
IN
RS
IN
B
S
h
S
l
S
la
RRNIfmm
++
+
==
++
+
=Φ==
en los 2 e-h de altura h
material paramagnético
P
SB
=
0
2
2
μ

99. Alnico (Aleación de Al, Ni, Co y Fe) Diversas variantes comerciales
Imanes se producen por
fundición y moldeo, o por
conformado a partir de polvos
y sinterizado
(BH)max de 1,5 a 7,5 MGOe
Baja Hc
Alta resistencia térmica; hasta
550 C