1. Rapporti
e
proporzioni

2. Definizione di rapporto
l Il rapporto è il risultato della divisione tra due
numeri (il secondo deve essere diverso da zero).
l Il primo numero si chiama antecedente,
l Il secondo numero si chiama conseguente.

3. Rapporto diretto e rapporto inverso
l Il rapporto diretto o semplicemente rapporto tra due
numeri a e b è a:b (=a/b).
l Il rapporto inverso tra due numeri a e b è b:a (=b/a).
Esempi: il rapporto (diretto) tra 5 e 3 è il numero 5/3;
il rapporto (diretto) tra 3 e 2 è 3/2, cioè 1,5;
il rapporto inverso tra 4 e 3/5 è 3/5 : 4 = 3/20.

4. Rapporti tra grandezze omogenee
l Il rapporto tra due grandezze omogenee, cioè con la
stessa unità di misura, è un numero puro (privo di unità
di misura).
Esempio: il rapporto tra il prezzo della wii U (290 euro) e il
prezzo del libro DIGIMAT 2. LA GEOMETRIA (10,44 euro) è:
290 euro : 10,44 euro = 27,(7).
Che cosa significa? Una Wii U costa (circa) come 28 libri di
Geometria.
Il rapporto, che è circa 28, è un numero puro.
Le due unità di misura (dell'antecedente e del conseguente) si
sono semplificate.

5. Rapporti tra grandezze non omogenee
l Il rapporto tra due grandezze non omogenee non è un
numero puro, ma una grandezza la cui unità di misura è
il rapporto tra le unità di misura delle due grandezze
date.
Esempio: il rapporto tra lo spazio che percorro per venire a
scuola (35 km) e il tempo che impiego (0,5 ore) è
35 km : 0,5 h = 70 km/h
Ottengo una nuova grandezza che (in questo caso) è una
velocità.
Esempio: il rapporto tra il peso (kg) e il volume (dm3) è una
grandezza che si chiama peso specifico e si misura il kg/
dm3.

6. Rapporti tra grandezze non omogenee
Esempio: l'indice di massa corporea (IMC) è anch'esso un
rapporto tra grandezze non omogenee.
È definito così: rapporto tra la massa (espress in kg) e il
quadrato dell'altezza (espressa in m) di una persona.
Se peso 62 kg e sono alta 1,67 m, il mio IMC è:
IMC = 62 kg / (1,67 m)2 = 62 kg / 2,7889 m2 = 22,23...

7. Definizione di proporzione
l Una proporzione è l'uguaglianza tra due rapporti.
La seguente proporzione
a:b=c:d
ha significato solo se b e d non sono nulli.
Esempio: 2 : 4 = 6 : 12 è una proporzione perché i rapporti 2:4
e 6:12 sono uguali (corrispondono entrambi alla frazione ½ o
al numero decimale 0,5).
Controesempio: 3 : 4 = 15 : 16 non è una proporzione perché i
rapporti non sono uguali. Infatti la frazione 3/4 non è
equivalente alla frazione 15/16 perché 3/4 = 12/16.

8. Termini
Nella proporzione
a:b=c:d
a e c sono gli antecedenti
b e d sono i conseguenti
b e c sono i medi
a e d sono gli estremi

9. Proprietà fondamentale
l Secondo la proprietà fondamentale delle proporzioni:
Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Perché?
Ragioniamo sull'esempio 2 : 3 = 10 : 15, che è una
proporzione.

10. Proprietà fondamentale: interpretazione
2 : 3 = 10 : 15
Significa che le due frazioni 2/3 e 10/15 sono uguali.
Uno dei metodi rapidi per confrontare due frazioni è
proprio quello che avevamo chiamato “prodotto
incrociato” ed equivale esattamente alla proprietà
fondamentale delle proporzioni!
30 30
2 10
=
3 15

11. Quindi...
l ...per verificare che una certa uguaglianza sia una
proporzione si può procedere in due modi:
- con la definizione: verificando che i due rapporti siano uguali;
- con la proprietà fondamentale: verificando che il prodotto dei
medi sia uguale al prodotto degli estremi.

12. Intermezzo
Le scale delle carte geografiche sono rapporti.
1 : 25000 significa che 1 cm della carta equivale a 25000 cm
nella realtà.
Quindi, se sulla carta due luoghi distano di 3,5 cm, nella realtà
essi distano 3,5 · 25000 = 87500 cm = 875 m.

13. Intermezzo
La sezione aurea di un segmento è un segmento più corto che
ha questa proprietà:
è medio proporzionale tra l'intero segmento e la parte restante.
a è la sezione
aurea di (a+b)
(a+b) : a = a : b

14. Intermezzo
Il rapporto tra (a+b) ed a
(che corrisponde al rapporto tra a e b)
è il numero

15. Percentuali
Una percentuale è una frazione (un rapporto).
12% = 12/100
Calcolare il 12% di 80 significa calcolare i 12/100 di 80:
80 · 12 / 100 = 8 · 12 / 10 = 9,6
Se ho visto le mie scarpe preferite, che costano 90 euro, in
saldo al 20%, quanto le pagherò?
Calcolo il 20% di 90 e ottengo lo SCONTO!
90 · 20 / 100 = … = 18 euro.
Pagherò le scarpe 90 – 18 = 72 euro.

16. Proprietà delle proporzioni:
invertire e permutare
l Proprietà dell'invertire: data una proporzione,
scambiando ogni antecedente con il proprio
conseguente si ottiene ancora una proporzione.
5 : 12 = 10 : 24 INVERTIRE 12 : 5 = 24 : 10
l Proprietà del permutare: data una proporzione,
scambiando tra loro i medi (o gli estremi) si ottiene
ancora una proporzione.
5 : 12 = 10 : 24 PERMUTARE (medi) 5 : 10 = 12 : 24
5 : 12 = 10 : 24 PERMUTARE (estremi) 24 : 12 = 10 : 5

17. Proprietà delle proporzioni: comporre
l Proprietà del comporre: data una proporzione, puoi
sostituire a ogni antecedente la somma con il suo
conseguente.
a : b = c : d COMPORRE (a+b) : b = (c+d) : d
oppure
a : b = c : d COMPORRE (a+b) : a = (c+d) : c
5 : 12 = 10 : 24 COMPORRE (5+12) : 12 = (10+24) : 24
17 : 12 = 34 : 24
5 : 12 = 10 : 24 COMPORRE (5+12) : 5 = (10+24) : 10
17 : 5 = 34 : 10

18. Proprietà delle proporzioni: scomporre
l Proprietà dello scomporre: data una proporzione,
puoi sostituire a ogni antecedente la differenza con
il suo conseguente.
a : b = c : d SCOMPORRE (a-b) : b = (c-d) : d
oppure
a : b = c : d SCOMPORRE (a-b) : a = (c-d) : c
15 : 12 = 5 : 4 SCOMPORRE (15-12) : 12 = (5-4) : 4
3 : 12 = 1 : 4
15 : 12 = 5 : 4 SCOMPORRE (15-12) : 15 = (5-4) : 5
3 : 15 = 1 : 5

19. Calcolo del termine incognito in una
proporzione
l Può capitare che non si conoscano tutti i termini della
proporzione...
l Se uno non è noto, lo si può calcolare, usando la
proprietà fondamentale:
30 : 12 = x : 4
Dato che 12 · x = 30 · 4, allora
x = 30 · 4 / 12 = 10
La proporzione era 30 : 12 = 10 : 4

20. Calcolo del termine incognito in una
proporzione
l Se non sono noti i due medi e sono uguali...
9:x=x:4
Dato che x · x = 9 · 4, allora
x2 = 9 · 4
quindi
x = √9 · 4 = √36 = 6
La proporzione era 9 : 6 = 6 : 4