1. Chương 1
Đồng Luân
1.1 Các định nghĩa
1. Một cặp tô-pô (X , A) gồm một không gian tô-pô X và một không gian con
A ⊂ X . Nếu A = thì ta qui ước (X , ) chính là X .
2. Cho (X , A) và (Y, B ) là hai cặp tô-pô. Một ánh xạ liên tục f : (X , A) → (Y, B )
đó là một ánh xạ liên tục f : X → Y sao cho f (A) ⊂ B .
3. Cho I = [0; 1] và (X , A) là một cặp tô-pô. Ta ký hiệu (X , A) × I đó là cặp
(X ×I , A ×I ). Cho X ⊂ X . Hai ánh xạ liên tục f 0 , f 1 : (X , A) → (Y, B ) bằng nhau
trên X nghĩa là f 0 X = f 1 X . Khi đó ta nói f 0 đồng luân với f 1 đối với X
nếu tồn tại một ánh xạ F : (X , A) × I → (Y, B ) sao cho F (x , 0) = f 0 (x ), F (x , 1) =
f 1 (x ) và F (x , t ) = f 0 (x ) ∀x ∈ X ; ∀t ∈ I .
• Một ánh xạ F như thế được gọi là phép đồng luân đối với X từ f 0 tới
f 1 và được ký hiệu là: F : f 0 f 1 rel X . Nếu X = thì ta nói ánh xạ F
là phép đồng luân từ f 0 tới f 1 .
• Rõ ràng nếu F : f 0 f 1 rel X thì F : f 0 f 1 rel X với mọi X ⊂ X .
• Một ánh xạ f : X → Y được gọi là đồng luân 0 nếu nó đồng luân với
một ánh xạ hằng.
1.2 Các ví dụ về đồng luân
Ví dụ 1: Cho X = Y = n, xác định hai hàm số f 0 , f 1 như sau:
f 0 (x ) = x ; f 1 (x ) = 0 ∀x ∈ X
Xây dựng ánh xạ F : n ×I → n được xác định bởi F (x , t ) = (1 − t )x ta có:
F : f0 f 1 rel 0.
1

2. 2 CHƯƠNG 1. ĐỒNG LUÂN
Ví dụ 2: Cho X = Y = I , xác định hai hàm số f 0 , f 1 như sau:
f 0 (t ) = t ; f 1 (t ) = 0 ∀t ∈ I
Xây dựng ánh xạ F : I × I → I được xác định bởi F (t , t ) = (1 − t )t ta có:
F : f0 f1 rel 0
.
Ví dụ 3: Cho X = Y = E 2 với E 2 = z ∈ |z = r e i θ , 0 r 1 và đặt A = B = S 1 với
S 1 = z ∈ |z = e i θ
xác định hai hàm số f 0 , f 1 từ (X , A) vào (Y, B ) như sau:
f 0 (z ) = z ∀z ∈ X và f 1 (r e i θ ) = r e i (θ +π)
Xây dựng ánh xạ F : (X , A) × I → (Y, B ) được xác định bởi
F (r e i θ , t ) = r e i (θ +t π)
ta có: F : f 0 f 1 rel 0.
Ngoài ta ta cũng có thể xây dựng đồng luân F : (X , A) × I → (Y, B ) được xác
định bởi
F (r e i θ , t ) = r e i (θ −t π)
ta có: F : f 0 f 1 rel 0.
Ví dụ 4: Cho X là một tập hợp tùy ý và Y là một tập con lồi của n , hai ánh xạ
f 0 và f 1 bằng nhau trên tập con X nào đó của X . Khi đó f 0 f 1 rel X vì
ánh xạ F : X × I → Y xác định bởi F (x , t ) = t f (x ) + (1 − t )f 0 (x ) là phép đồng
luân đối với X từ f 0 đến f 1 .
1.3 Tính chất
Định lý 1.3.1 Quan hệ đồng luân đối với X là một quan hệ tương đương trong
tập hợp các ánh xạ từ (X , A) vào (Y, B ).
Chứng minh
• Phản xạ: Với f : (X , A) → (Y, B ) ta xác định đồng luân F : f f bởi F (x , t ) =
f (x ).
• Đối xứng: Cho F : f 0 f 1 rel X ta xác định F : f 1 f 0 rel X như sau:
F (x , t ) = F (x , 1 − t ).

3. 1.3. TÍNH CHẤT 3
• Bắc cầu: Cho F : f 0 f 1 rel X và G : f 1 f 2 rel X ta xay dựng đồng luân H
như sau:
1
F (x , 2t ) 0 t
H (x , t ) = 1
2
G (x , 2t − 1) 2
t 1
Lưu ý: H liên tục vì thu hẹp của nó trên các tập đóng X × [0; 1 ] và X × [ 1 ; 1]
2 2
là liên tục.
Quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương, do đó nó cho phép chia tập
hợp các ánh xạ từ (X , A) vào (Y, B ) thành các lớp tương đương rời nhau. Ta ký
hiệu [X , A; Y, B ]X để chỉ tập hợp các lớp đồng luân này. Với f : (X , A) → (Y, B ) ta
ký hiệu [f ]X để chỉ phần tử của [X , A; Y, B ]X xác định bởi ánh xạ f . Nếu X = ta
sẽ ký hiệu [f ] thay vì [f ]X .
Định lý 1.3.2 Hợp của các ánh xạ đồng luân là đồng luân.
Chứng minh Giả sử f 0 , f 1 : (X , A) → (Y, B ) là các ánh xạ có quan hệ đồng luân
đối với X và g 0 , g 1 : (Y, B ) → (Z ,C ) là các ánh xạ có quan hệ đồng luân đối với Y ,
ở đây f 1 (X ) ⊂ Y . Ta chứng minh g 0 f 0 , g 1 f 1 : (X , A) → (Z ,C ) là các ánh xạ có quan
hệ đồng luân đối với X .
Đặt F : f 0 f 1 rel X và G : g 0 g 1 rel Y .
Hợp thành
F g0
(X , A) × I − (Y, B ) − (Z ,C )
→ →
là quan hệ đồng luân đối với X từ g 0 f 0 đến g 0 f 1 .
Hợp thành
f 1 ×1I G
(X , A) × I −−→ (Y, B ) − (Z ,C )
→
là quan hệ đồng luân đối với f −1 (Y ) từ g 0 f 1 đến g 1 f 1 .
Vì X ⊂ f −1 (Y ) nên g 0 f 0 g 0 f 1 rel X và g 0 f 1 g 1 f 1 rel X .
Theo tính chất bắt cầu của quan hệ đồng luân ta suy ra điều phải chứng minh.
Kết quả này chứng tỏ rằng tồn tại một phạm trù đồng luân của các cặp (các
vật của phạm trù này là các cặp tôpô và các mũi tên của phạm trù này là các
lớp đồng luân đối với ). Phạm trù này chứa phạm trù con là phạm trù đồng
luân các không gian tôpô (các vật của phạm trù này là các không gian tôpô và
các mũi tên của phạm trù này là các lớp tương đương đồng luân của các ánh
xạ liên tục).

4. 4 CHƯƠNG 1. ĐỒNG LUÂN
1.4 Phạm trù đồng luân
1.4.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.4.1 Hai không gian tô-pô X và Y được gọi là tương đương đồng
luân (hay còn gọi là cùng một kiểu đồng luân) nếu tồn tại các ánh xạ liên tục
f : X → Y và g : Y → X sao cho g ◦ f đồng luân với ánh xạ đồng nhất idX và f ◦ g
đồng luân với ánh xạ đồng nhất idY .
Cụ thể là: X và Y là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ liên tục
f : X → Y , g : Y → X , và các phép đồng luân H : X × I → X ,G : Y × I → Y , sao cho
H (x ; 0) = x , H (x ; 1) = g f (x ) ∀x ∈ X và G (y ; 0) = y ,G (y ; 1) = f g (y ) ∀y ∈ Y.
Hai không gian tôpô đồng phôi thì chúng cùng một kiểu đồng luân. Điều
ngược lại không đúng. Ví dụ, không đồng phôi với {0} (vì không có song
ánh nào giữa chúng), mặc dù cùng kiểu đồng luân với {0}).
Định nghĩa 1.4.2 Một không gian tôpô được gọi là co rút được nếu nó tương
đương đồng luân với không gian thu gọn về một điểm.
Mệnh đề 1.4.3 Một không gian tôpô X là co rút được khi và chỉ khi một trong
các điều kiện sau đây được thỏa:
1. Tồn tại một điểm x 0 ∈ X và một phép đồng luân C : X × I → X sao cho
C (x , 0) = x và C (x , 1) = x 0 với mọi x ∈ X .
2. Ánh xạ đồng nhất idX của X là đồng luân không.
Chứng minh Xem như bài tập.
1.4.2 Các ví dụ
Ví dụ 1. n co rút được. Đặt X = n, xác định hàm hằng f : X → X như sau:
f (x ) = 0 ∀x ∈ X
Xây dựng ánh xạ F : n ×I → n được xác định bởi F (x , t ) = (1 − t )x ta có:
F : idX f rel 0.
Ví dụ 2. Mọi tập con lồi của n đều co rút được. Giả sử X là một tập con lồi
của n và x 0 ∈ X , xác định hàm hằng f : X → X như sau:
f (x ) = x 0 ∀x ∈ X
Khi đó idX f vì ánh xạ F : X × I → Y xác định bởi F (x , t ) = t x 0 + (1 − t )x là
phép đồng luân từ idX tới f . Do đó idX là đồng luân không.

5. 1.4. PHẠM TRÙ ĐỒNG LUÂN 5
Ví dụ 3. S n không co rút được.
Bổ đề 1.4.4 Mọi cặp ánh xạ liên tục từ một không gian tôpô tùy ý vào một
không gian co rút được đều đồng luân.
Chứng minh Giả sử X là một không gian tôpô tuỳ ý và Y là một không gian co
rút được, f 0 , f 1 là các ánh xạ liên tục từ X vào Y . Ta chứng minh f 0 f 1 .
Vì Y co rút được nên idX đồng luân với ánh xạ hằng c : Y → Y . Theo định lý 1.3.2
về hợp thành của các ánh xạ đồng luân ta có: idX f 0 c f 0 . Nghĩa là f 0 c f 0 .
Tương tự f 1 c f 1 . Vì c f 0 = c f 1 nên theo tính chất bắc cầu ta suy ra f 0 f 1 .
Hệ quả 1.4.5 Nếu Y co rút được thì mọi cặp ánh xạ hằng từ Y vào chính nó đều
đồng luân và ánh xạ đồng nhất của Y đều đồng luân với mọi ánh xạ hằng của
Y vào chính nó.
Chứng minh Sinh viên chứng minh xem như bài tập.
Hệ quả 1.4.6 Hai không gian co rút được thì cùng một kiểu đồng luân và mọi
ánh xạ liên tục giữa các không gian co rút được thì tương đương đồng luân.
Chứng minh Sinh viên chứng minh xem như bài tập.
Ta ký hiệu:
• Sn = x ∈ n +1 ||x || = 1 là siêu cầu đơn vị trong n +1 .
• E n+1 = x ∈ n +1 ||x || 1 là hình cầu đơn vị trong n +1 .
• ||x || = x 1 + x 2 + . . . x n+1
2 2 2
Định lý sau đây thiết lập mối quan hệ quan trọng giữa tính đồng luân và tính
thác triển liên tục.
Định lý 1.4.7 Cho p 0 là một điểm của S n và f là một ánh xạ liên tục từ S n vào
Y . Ba mệnh đề sau đây là tương đương:
(a) f là đồng luân không.
(b) f có thể thác triển liên tục lên E n+1 .
(c) f là đồng luân không đối với p 0 .
Chứng minh

6. 6 CHƯƠNG 1. ĐỒNG LUÂN
(a) ⇒ (b) Giả sử f là đồng luân không, nghĩa là f đồng luân với ánh xạ hằng
c : S n → Y sao cho c (x ) = y 0 với y 0 cố định thuộc Y bởi phép đồng luân
F : Sn × I → Y .
Ta xây dựng một ánh xạ f : E n +1 → Y như sau:

1
 y0 nếu 0 ||x ||
f (x ) = 2
x 1
 F , 2 − 2||x || nếu x 1
||x || 2
1
Ta xét khi ||x || = thì F (2x , 1) = y 0 nên ánh xạ f được hoàn toàn xác định.
2
1
f liên tục vì thu hẹp của nó trên các tập đóng x ∈ E n +1 0 ||x || và
2
1
x ∈ E n+1 ||x || 1 đều liên tục. Ngoài ra với mọi x ∈ S n ta có f (x ) =
2
F (x , 0) = f (x ) nên f = f , nghĩa là f là thác triển liên tục của f lên E n +1 .
Sn
(b) ⇒ (c) Giả sử f có một thác triển liên tục f lên E n+1 . Ta xét ánh xạ sau đây:
F : S n × I → Y bởi:
F (x , t ) = f (1 − t )x + t p 0
Ta có F (x , 0) = f (x ) = f (x ) và F (x , 1) = f (p 0 ) với mọi x ∈ S n . Vì F (p 0 , t ) = f (p 0 )
với mọi t ∈ I nên F là đồng luân đối với p 0 tù f đến ánh xạ hằng bằng
f (p 0 ).
(c) ⇒ (a) Hiển nhiên.
Kết hợp bổ đề 1.4.4 với định lý 1.4.7 ta có kết qủa sau đây:
Định lý 1.4.8 Mọi ánh xạ liên tục từ S n vào một không gian co rút được đều có
thể thác triển liên tục lên E n+1 .
1.5 Phép co rút và phép co rút biến dạng
Định nghĩa 1.5.1 Một không gian con A của X được gọi là cái co rút của X nếu
tồn tại một ánh xạ liên tục r từ X vào A sao cho r i = idA nghĩa là r (x ) = x ∀x ∈ A .
Ở đây i là phép nhúng của A vào X . Ánh xạ r như vậy được gọi là phép co rút
của X xuống A .
Định nghĩa 1.5.2 Một không gian con A của X được gọi là cái co rút biến dạng
của X nếu tồn tại một ánh xạ liên tục r từ X vào A sao cho r i = idA và i r idX
rel A .

7. 1.5. PHÉP CO RÚT VÀ PHÉP CO RÚT BIẾN DẠNG 7
Định nghĩa 1.5.3 Nếu A là cái co rút biến dạng của X thì tồn tại một phép co
rút r của X lên A và một phép đồng luân R : X × I → X đối với A từ idX tới i r . Một
phép đồng luân như thế gọi phép co rút biến dạng của X xuống A .
Nói cách khác, một phép co rút biến dạng của X xuống A là một phép đồng
luân R : X ×I → X sao cho R(x ; 0) = x , R(x ; 1) ∈ A ∀ x ∈ X , và R(a ; t ) = a ∀a ∈ A, t ∈ I .
Ví dụ 1: Một không gian gồm một điểm bao giờ cũng là cái co rút của một
không gian nhiều hơn một điểm chứa nó.
Ví dụ 2: S 1 là cái co rút nhưng không là cái co rút biến dạng của xuyến S 1 × S 1 .
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng đường tròn (C ) = (x , y ) ∈ : x 2 + y 2 = 1 và hình vành
khăn (A) = (x , y ) ∈ :1 x2 +y 2 2 tương đương đồng luân.
2. Chứng minh rằng một đa tạp đóng đơn liên 3 chiều tương đương đồng
luân với S 3 . KHÓ
3. Chứng minh rằng S n tương đương đồng luân với n+1 {0}.
4. Chứng minh rằng mọi cái co rút A của một không gian Hausdorff X là tập
đóng.
5. Cho X là một tập con lồi của n , A là tập con gồm một điểm của X . Chứng
minh rằng A là cái co rút biến dạng của X .
6. Chứng minh rằng S n là cái co rút biến dạng của n +1 {0}.
7. BÀI TẬP LỚN: Chứng minh rằng mọi ánh xạ liên tục từ một đĩa đóng vào
chính nó có một điểm bất động.
8. BÀI TẬP LỚN: Cho X và Y là hai không gian tôpô. Chứng minh rằng X và
Y là tương đồng luân khi và chỉ khi tồn tại một không gian tôpô Z chứa
cả X và Y sao cho X và Y là các cái co rút biến dạng của Z .
9. Chứng minh rằng cái co rút của một không gian co rút được là một không
gian co rút được.
Còn tiếp