O documento discute a supercondutividade e apresenta:
1) Breve histórico da supercondutividade, desde sua descoberta em 1911 até a teoria BCS de 1957.
2) Características fundamentais do Modelo de London, que descreve a supercondutividade por meio de dois fluidos e prevê a decaimento exponencial do campo magnético dentro do material.
1. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Supercondutividade
Leandro Alexandre
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
Eletromagnetismo
28 de agosto de 2007
Supercondutividade Leandro Alexandre
2. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
1 Introdu¸c˜ao
2 Modelo de London
3 Modelo de Ginzburg-Landau
Supercondutividade Leandro Alexandre
3. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Superfluidez na Natureza:
´Atomos num BEC: He4 com T < 2, 17K, Na23, Rb87
Supercondutividade Leandro Alexandre
4. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Superfluidez na Natureza:
´Atomos num BEC: He4 com T < 2, 17K, Na23, Rb87
F´ermions neutros: He3 com T < 1mK, f´ermions atˆomicos
(Li6, K40), nˆeutrons em estrelas de nˆeutrons.
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5. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Superfluidez na Natureza:
´Atomos num BEC: He4 com T < 2, 17K, Na23, Rb87
F´ermions neutros: He3 com T < 1mK, f´ermions atˆomicos
(Li6, K40), nˆeutrons em estrelas de nˆeutrons.
F´ermions carregados: supercondutores (el´etrons num metal,
pr´otons em estrelas de nˆeutrons)
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6. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Breve Hist´orico da Supercondutividade (SC)
1911: Onnes descobre a supercondutividade
Supercondutividade Leandro Alexandre
7. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Breve Hist´orico da Supercondutividade (SC)
1911: Onnes descobre a supercondutividade
1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interior
do SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜ao
pr´oxima a sua superf´ıcie.
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8. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Breve Hist´orico da Supercondutividade (SC)
1911: Onnes descobre a supercondutividade
1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interior
do SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜ao
pr´oxima a sua superf´ıcie.
1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livre
de um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagem
termodinˆamica)
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9. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Breve Hist´orico da Supercondutividade (SC)
1911: Onnes descobre a supercondutividade
1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interior
do SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜ao
pr´oxima a sua superf´ıcie.
1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livre
de um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagem
termodinˆamica)
1935: Modelo dos irm˜aos London (modelo fenomenol´ogico -
abordagem eletromagn´etica)
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10. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Breve Hist´orico da Supercondutividade (SC)
1911: Onnes descobre a supercondutividade
1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interior
do SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜ao
pr´oxima a sua superf´ıcie.
1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livre
de um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagem
termodinˆamica)
1935: Modelo dos irm˜aos London (modelo fenomenol´ogico -
abordagem eletromagn´etica)
1950: Teoria de Gizburg-Landau → fun¸c˜ao de onda complexa
como parˆametro de ordem
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11. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Breve Hist´orico da Supercondutividade (SC)
1911: Onnes descobre a supercondutividade
1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interior
do SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜ao
pr´oxima a sua superf´ıcie.
1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livre
de um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagem
termodinˆamica)
1935: Modelo dos irm˜aos London (modelo fenomenol´ogico -
abordagem eletromagn´etica)
1950: Teoria de Gizburg-Landau → fun¸c˜ao de onda complexa
como parˆametro de ordem
1957: Teoria BCS → forma¸c˜ao de estado ligado
el´etron-el´etron (teoria padr˜ao da supercondutividade)
BCS → Bardeen-Cooper-Schrieffer
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12. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Fatos Experimentais: Resistividade
ρ(T) ∼ T2
, para f´ermions normais
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13. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Fatos Experimentais: Calor Espec´ıfico
CV ∼ exp −
a
T
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14. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Fatos Experimentais: Efeito Meissner
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15. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Fatos Experimentais: H aplicado
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16. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Tentativa de explicar o efeito Meissner → foco nas
propriedades magn´eticas do SC
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17. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Tentativa de explicar o efeito Meissner → foco nas
propriedades magn´eticas do SC
Utiliza as equa¸c˜oes de Maxwell usuais, complementadas por
condi¸coes espec´ıficas para o SC
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18. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Tentativa de explicar o efeito Meissner → foco nas
propriedades magn´eticas do SC
Utiliza as equa¸c˜oes de Maxwell usuais, complementadas por
condi¸coes espec´ıficas para o SC
Id´eia b´asica: descrever a SC por meio de 2 fluidos
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19. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Tentativa de explicar o efeito Meissner → foco nas
propriedades magn´eticas do SC
Utiliza as equa¸c˜oes de Maxwell usuais, complementadas por
condi¸coes espec´ıficas para o SC
Id´eia b´asica: descrever a SC por meio de 2 fluidos
Impor que mesmo quando T < Tc, nem todos os el´etrons de
condu¸c˜ao do material participam da Scorrente
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20. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Tentativa de explicar o efeito Meissner → foco nas
propriedades magn´eticas do SC
Utiliza as equa¸c˜oes de Maxwell usuais, complementadas por
condi¸coes espec´ıficas para o SC
Id´eia b´asica: descrever a SC por meio de 2 fluidos
Impor que mesmo quando T < Tc, nem todos os el´etrons de
condu¸c˜ao do material participam da Scorrente
n ≡ n´umero total de el´etrons por unidade de volume
nS (T) ≡ n´umero de el´etrons da Scorrente por unidade de volume
nS (T)
n
≡ fra¸c˜ao de el´etrons na Scorrente
n − nS (T) ≡ n´umero de el´etrons de condu¸c˜ao normal
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21. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
T Tc, ns(T) → 0
T Tc, ns(T) → n
Densidade de corrente no material:
J = Jn + JS + JD
Jn = sE
JS → densidade de Scorrente
JD =
∂D
∂t
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22. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Aplicando E a um material Scondutor:
el´etrons Scondutores: acelerados livremente
el´etrons de condu¸c˜ao normal: sujeitos a um termo dissipativo
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23. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Aplicando E a um material Scondutor:
el´etrons Scondutores: acelerados livremente
el´etrons de condu¸c˜ao normal: sujeitos a um termo dissipativo
F =
dp
dt
→ qE = m
dvS
dt
→ −eE = m
dvS
dt
A corrente circulante ´e dada por
i = ρAvaˆ
ρ → densidade de carga por unidade de volume
va → velocidade de arraste das cargas
A → ´area por onde as cargas fluem
ˆ → versor na dire¸c˜ao de E
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24. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
iS = enS AvS
JS =
iS
A
= enS vS
vS = −
JS
enS
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25. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
iS = enS AvS
JS =
iS
A
= enS vS
vS = −
JS
enS
Da equa¸c˜ao de movimento
−eE = m
dvS
dt
,
temos
dJS
dt
=
e2nS (T)
m
E
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26. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Usando a lei de Faraday × E = −∂B
∂t ,
× E =
m
e2nS (T)
×
dJS
dt
×
˙
JS = −
e2nS (T)
m
˙
B
Da lei de Amp`ere-Maxwell sem corrente de deslocamento:
∂
∂t
( × B) = µ0
∂JS
∂t
˙
JS = −
1
µ0
×
˙
B
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27. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Juntando os 2 resultados:
× ( ×
˙
B) = −
µ0e2nS (T)
m
˙
B
( .
˙
B) − 2 ˙
B = −
µ0e2nS (T)
m
˙
B
2 ˙
B =
µ0e2nS (T)
m
˙
B
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28. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
material Scondutor preenche a regi˜ao z > 0 e sendo
˙By = ˙Bz = 0,
2 ˙
B =
µ0e2nS (T)
m
˙
B →
d2 ˙Bx
dz2
=
µ0e2nS (T)
m
˙Bx
An´alise dimensional:
µ0e2nS (T)
m
= L−2
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29. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
material Scondutor preenche a regi˜ao z > 0 e sendo
˙By = ˙Bz = 0,
2 ˙
B =
µ0e2nS (T)
m
˙
B →
d2 ˙Bx
dz2
=
µ0e2nS (T)
m
˙Bx
An´alise dimensional:
µ0e2nS (T)
m
= L−2
l ≡
µ0e2nS (T)
m
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31. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
∴
d2 ˙Bx
dz2
= l2 ˙Bx → ˙Bx = Aelz
+ Be−lz
˙Bx (z) = Be−lz
1
l → distˆancia medida a partir de z = 0 dentro da qual o campo
´e apreci´avel
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32. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Voltando `a eq.
×
˙
JS = −
e2nS (T)
m
˙
B,
∂
∂t
× JS +
e2nS (T)
m
B = 0
∴ × JS +
e2nS (T)
m
B = 0
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33. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Voltando `a eq.
×
˙
JS = −
e2nS (T)
m
˙
B,
∂
∂t
× JS +
e2nS (T)
m
B = 0
∴ × JS +
e2nS (T)
m
B = 0
Efeito Meissner: Campo interno a um SC = 0,
independentemente de como B varie no tempo
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34. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Contribui¸c˜ao dos London: compatibilizar a lei de Farady com
o efeito Meissner
Definindo
λL =
m
µ0e2nS (T)
,
Temos
2
B =
1
λ2
L
B,
que junto com
× JS +
e2nS (T)
m
B = 0,
formam as chamadas equa¸c˜oes de London.
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35. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Aplicando × `a restri¸c˜ao de London, obtemos:
2
JS =
1
λ2
L
JS .
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36. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Aplicando × `a restri¸c˜ao de London, obtemos:
2
JS =
1
λ2
L
JS .
A densidade de Scorrente circula pelo material at´e uma
profundidade λL
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37. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Novamente,
Bx (z) = B exp −
µ0e2nS (T)
m
z
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38. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Caracter´ısticas Fundamentais
Novamente,
Bx (z) = B exp −
µ0e2nS (T)
m
z
T Tc, nS (T) → 0. ∴ B(z) = B = cte
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39. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Exemplo:
Fio cil´ındrico muito longo de raio R, portando uma Scorrente I
Para ρ > R:
Bf =
µ0I
2πρ
ˆφ
Hf =
I
2πρ
ˆφ
Para ρ < R: lei de Amp`ere n˜ao aplic´avel diretamente
2
JS =
1
λ2
L
JS
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40. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Exemplo:
Simetrias do problema:
Bd = Bφ(ρ)ˆφ,
o que simplifica a eq de London
2
B =
1
λ2
L
B.
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41. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Exemplo:
Simetrias do problema:
Bd = Bφ(ρ)ˆφ,
o que simplifica a eq de London
2
B =
1
λ2
L
B.
→
d2Bφ
dρ2
+
1
ρ
dBφ
dρ
−
1
ρ2
+
1
λ2
L
Bφ = 0
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42. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Exemplo:
Simetrias do problema:
Bd = Bφ(ρ)ˆφ,
o que simplifica a eq de London
2
B =
1
λ2
L
B.
→
d2Bφ
dρ2
+
1
ρ
dBφ
dρ
−
1
ρ2
+
1
λ2
L
Bφ = 0
α =
ρ
λL
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43. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Exemplo:
→
d2Bφ
dα2
+
1
α
dBφ
dα
− 1 +
1
α
Bφ = 0
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44. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Exemplo:
→
d2Bφ
dα2
+
1
α
dBφ
dα
− 1 +
1
α
Bφ = 0
↑
eq de Bessel modificada
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45. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Exemplo:
→
d2Bφ
dα2
+
1
α
dBφ
dα
− 1 +
1
α
Bφ = 0
↑
eq de Bessel modificada
Bd = aJ1
iρ
λL
ˆφ
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46. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Exemplo:
Contorno:
ˆρ × Bf = ˆρ × Bd
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47. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Exemplo:
Contorno:
ˆρ × Bf = ˆρ × Bd
ˆρ ×
µ0I
2πρ
ˆφ = ˆρ × aJ1
iρ
λL
ˆφ
a =
µ0I
2πR
1
J1
iR
λL
∴ Bd =
µ0I
2πR
1
J1
iR
λL
J1
iρ
λL
ˆφ
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48. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Exemplo:
J1
iρ
λL
= iI1
ρ
λL
para ρ
λL
1,
I1 →
1
Γ(2)
ρ
λL
ρ → 0, Bd → 0
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49. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Considera¸c˜oes Iniciais
Energia livre (F) como um funcional de um campo ψ
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50. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Considera¸c˜oes Iniciais
Energia livre (F) como um funcional de um campo ψ
ψ deve descrever as poss´ıveis fases do sistema
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51. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Considera¸c˜oes Iniciais
Energia livre (F) como um funcional de um campo ψ
ψ deve descrever as poss´ıveis fases do sistema
ψ → parˆametro de ordem do sistema:
ψ = 0 na fase de alta temperatura (T > Tc)
ψ = 0 para T < Tc
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52. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Considera¸c˜oes Iniciais
Modelo de Ising:
H(σ, . . . , σN) = −I σi σj − µB σi ; σk = ±1
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53. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Considera¸c˜oes Iniciais
Modelo de Ising:
H(σ, . . . , σN) = −I σi σj − µB σi ; σk = ±1
campo m´edio:
σi σk = σi σk + σk σi − σi σk + (σi − σi )(σk − σk )
HMF
(σ, . . . , σN) = I
q
2
N σ 2
− µ(BMF
+ B) σi
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54. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Considera¸c˜oes Iniciais
Modelo de Ising:
H(σ, . . . , σN) = −I σi σj − µB σi ; σk = ±1
campo m´edio:
σi σk = σi σk + σk σi − σi σk + (σi − σi )(σk − σk )
HMF
(σ, . . . , σN) = I
q
2
N σ 2
− µ(BMF
+ B) σi
σ → parˆametro de ordem
T > Tc, σ = 0 : fase de maior simetria do sistema
T = Tc, simetria quebrada
T < Tc, σ = 0
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55. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau
Considera¸c˜oes Iniciais
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