Dinâmica não-markoviana: uma abordagem via equação de Langevin

Outline Motiva¸cão Questões Implementa¸cão Numérica Mark × não-mark Não-linearidade Comentários Finais
Dinâmica não-markoviana: uma abordagem via
equa¸cão de Langevin
Leandro A. da Silva
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Departamento de F´ısica Teórica - PPGF
27/11/2012

1 Motiva¸cão
2 Questões
3 Implementa¸cão Numérica
4 Dinâmica Não-markoviana × markoviana
5 Efeitos de não-linearidade
6 Comentários Finais

Um Breve Histórico
Origens da F´ısica fora do equil´ıbrio:
1827: Movimento Browniano observado de forma sistemática
(R. Brown)
1904: Primeira descri¸cão bem fundamentada (A. Einstein) →
eq. Fokker-Planck
1908: Abordagem focada na trajetória da part´ıcula (P.
Langevin) → Inclusão de um termo estocástico na segunda lei
de Newton
Abordagens equivalentes
Abordagens gerais → Processos Markovianos e cont´ınuos
Eq. de Langevin → caso particular de eq. diferencial
estocástica
Aplica¸cões de eqs. tipo Langevin: Biologia, Qu´ımica,
Economia...

Importância dentro da F´ısica
Por que equa¸cões tipo Langevin são importantes na F´ısica?
Sistemas na natureza = isolados
↓
Intera¸cão com um meio (p.ex um banho térmico)
↓
Intera¸cão conduz à dissipa¸cão e efeitos estocásticos
↓
Dinâmica via eq. tipo Langevin

Movimento Browniano
Eq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:
dp
dt
= −
∂V
∂x
− ηp + R(t)
dx
dt
=
p
m
,
Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸cão-dissipa¸cão
clássico
R(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )

Modelos de intera¸cão sistema-banho
Problema: deriva¸cões mais realistas → dissipa¸cão não-Markoviana
(memória e ru´ıdo colorido)
Exemplo 1:

Problema: deriva¸cões mais realistas → dissipa¸cão não-Markoviana
(memória e ru´ıdo colorido)
Exemplo 1:
Modelo de Caldeira-Leggett (1983) :
Sistema (q) em intera¸cão com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :
H =
p2
2
+ V (q) +
1
2
N
α=1
p2
α
mα
+ mαωα xα −
cα
mαω2
α
F(q)
2
Tomando a intera¸cão sistema-banho como sendo linear (∼ qxα
⇒ F(q) = q e eliminando os graus de liberdade do banho:

¨q(t) +
t
0
dt Λ(t − t ) ˙q(t ) + V [q(t)] = ξ(t)
Λ(t − t ) = Θ(t − t )
1
M
N
α=1
c2
α
mαω2
α
cos(ωαt)
⇒ Equa¸cão não-Markoviana (kernel não-local Λ(t − t ), possui
memória da história passada) com ru´ıdo gaussiano e colorido:
ξ(t) ρ
(0)
B
= 0, ξ(t)ξ(t ) ρ
(0)
B
= kBTΛ(t − t )

Exemplo 2 1:
Cosmologia do universo primordial:
S[φ, χ, σ] = d4
x
1
2
(∂µφ)2
−
1
2
m2
φφ2
−
λ
4!
φ4
+
1
2
(∂µχ)2
−
1
2
m2
χχ2
+
1
2
(∂µσ)2
−
1
2
m2
σσ2
−
g2
2
φ2
χ2
− fχσ2
.
φ → campo clássico em cuja dinâmica estamos interessados
χ → campo intermediário que se acopla à σ e φ
σ → campo em equil´ıbrio térmico à temperatura T
1
Rep. Prog. Phys. 72,026901(2009)

Procedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.
Situa¸cões fora do equil´ıbrio → Formalismo de tempo real
Equa¸cão de movimento efetiva (aproxima¸cão homogênea):
d2φc(t)
dt2
+
dVeff(φc)
dφc
+ φc(t)
t
−∞
dt φc(t ) ˙φc(t )Kχ(t − t )
= φc (t) ξ (t) ,
onde
Veff(φc) =
1
2
m2
φφ2
c +
λ
4!
φ4
c

ξ(t)ξ(t ) = 2g4 d3q
(2π)3
1
4ω2
χ(q)
{2nχ [1 + nχ] +
+ [1 + 2nχ + 2n2
χ] cos 2ωχ|t − t | +
+ 2βΓχ(q)nχ[1 + nχ][1 + 2nχ] sin[2ωχ|t − t |] ×
× e−2Γχ(q)|t−t |
+ O g4
Γ2
χ
T2
≡ N(t, t ) .

Outras aplica¸cões:
Colisão de ´ıons-pesados, f´ısica hadrônica (Physics Reports 292,
3-4, (1998))
Problema de decoerência em sistemas de dois n´ıveis (qubits) (Phys.
Rev. A 73, 012111 (2006), Phys. Rev. A 71, 022109 (2005))
Descri¸cão de processos difusivos anômalos (Phys. Rev. Lett. 93,
180603 (2004), Phys. Rev. E 53, 5872-5881 (1996) )
etc

Primeira quest˜ao:
Esse tipo de equa¸c˜ao pode ser facilmente resolvida?

Primeira questão:
Esse tipo de equa¸cão pode ser facilmente resolvida?
Resposta: Não
↓
Aproxima¸cão markoviana

Aproxima¸cão Markoviana
Equa¸cão de movimento não-markoviana:
d2
dt2
φ(t) + V (φ) + φn
(t)
t
t0
dt K(t − t )φn
(t ) ˙φ(t )
= φn
(t)ξ(t) .
Aproxima¸cão markoviana:
φn
(t)
t
t0
dt K(t − t )φn
(t ) ˙φ(t ) φ2n
(t) ˙φ(t)
t
t0→−∞
dt K(t − t )
→ Q φ2n
(t) ˙φ(t) .
Equa¸cão de movimento markoviana:
¨φ(t) + Q φ2n
(t) ˙φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= φn
(t) ξ(t)

Questões que surgem:
É poss´ıvel desenvolver uma abordagem numérica para estudar
a equa¸cão de movimento não-markoviana?
Integradores padrões (p.ex Runge-Kutta) podem ser usados
para tratar esse problema estocástico?
A aproxima¸cão markoviana é suficiente para descrever a
dinâmica do sistema?
A escolha do conjunto de parâmetros do sistema-banho
determina o quão boa é a aproxima¸cão?
A discrepância entre as duas dinâmicas (caso exista) é
dependente do tempo?

Tipos de ru´ıdo
KOU (t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: exponencial
pura
KH(t − t ) ≡ Kernel harmˆonico: exponencial multiplicando
termo oscilat´orio

Tipos de ru´ıdo
pura
termo oscilat´orio
KOU (t − t ) + KH(t − t )

Tipos de ru´ıdo
pura
termo oscilat´orio
KOU (t − t ) + KH(t − t )
Equa¸c˜ao de movimento mais geral:
¨φ(t) + V (φ) =
1
n=0 l
φn
(t) ξl(t) −
t
t0
dt Kl(t − t )φn
(t ) ˙φ(t ) .
Ru´ıdo colorido:
ξl(t)ξl(t ) = TKl(t − t ) ,

Tipos de ru´ıdo
Caso harmônico:
Parte estacionária da solu¸cão de
¨ξH(t) = −2γ ˙ξH(t) − m2
ξH(t) + m2
2TQζ(t) , (1)
com
ζ(t) = 0
ζ(t)ζ(t ) = δ(t − t ) .
↓
KH(t−t ) =
Qm2
2γ
e−γ(t−t )
cos[Ω1(t − t )] +
γ
Ω1
sin[Ω1(t − t )] ,

Tipos de ru´ıdo
Caso OU:
Parte estacion´aria da solu¸c˜ao de
˙ξOU (t) = −γ ξOU (t) − 2TQζ(t) , (2)
com
ζ(t) = 0
ζ(t)ζ(t ) = δ(t − t ) .
↓
KOU (t − t ) = γQe−γ(t−t )
,

Novas variáveis
Definindo
wln(t) ≡ −
t
t0
dt Kl(t − t )φn
(t ) ˙φ(t ) ,
a equa¸cão de movimento se torna
¨φ(t) + V (φ) =
1
n=0 l
[φn
(t) (ξl(t) + wln(t))] . (3)
Definindo outra variável
uHn(t) ≡
t
0
dt ˙KH(t − t ) − 2γKH(t − t ) φn
(t ) ˙φ(t ) ,
e tomando sua derivada e de wln(t), particularizando para os casos
n = 0, n = 1, l = OU e l = H, e juntando as equa¸cões
diferenciais para os termos de ru´ıdo ξOU e ξH, obtemos:

Sistema local
˙φ = y
˙y = −V (φ) + ξH + wH+ + ξ0U + wO+
+ φ[ξH + wHX + ξOU + wOX]
˙wO+ = −γwO+ − KOU (0)y
˙wH+ = uH+ − 2γwH+ − KH(0)y
˙wOX = −γwOX − KOU (0)φy
˙wHX = uHX − 2γwHX − KH(0)φy
˙uH+ = −m2
wH+ + ˙KH(0)y − 2γKH(0)y
˙uHX = −m2
wHX + ˙KH(0)φy − 2γKH(0)φy
˙ξH = zH
˙zH = −2γzH − m2
ξH + m2
2TQζ
˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζ

Sistema local
Em resumo:
Podemos mapear uma equa¸cão não-markoviana
através de um sistema de equa¸cões markovianas

Testes da abordagem num´erica
Solu¸c˜ao anal´ıtica via transformada de Laplace:
Considerar V (φ) linear.
Considerar o ru´ıdo como sendo aditivo, somente.

¨φ(t) + m2
φφ(t) +
t
0
dt K(t − t ) ˙φ(t ) = ξ(t) .

¨φ(t) + m2
φφ(t) +
t
0
dt K(t − t ) ˙φ(t ) = ξ(t) .
L{φ(t)} = ˜φ(s) ≡
∞
0
dt exp(−st)φ(t) ,
φ(t) = L−1
{˜φ(s)} = φ(t) +
t
0
dt g(t − t )ξ(t ) ,

onde
ϕ(t) = L−1



˙φ(0) + s + ˜K(s) φ(0)
s2 + m2 + s ˜K(s)



,
e
g(t − t ) = L−1 1
s2 + m2 + s ˜K(s)
.
Tomando a m´edia, φ(t) = ϕ(t) e
φ2
(t) = ϕ2
(t) + T
t
0
dt g(t − t )
t
0
dt g(t − t )K(t − t ) .

Caso OU:(a) para γ = 0, 5, (b) para γ = 1, 0 e (c) para γ = 5, 0

Caso H:(a) para γ = 0, 1, (b) para γ = 0, 3 e (c) for γ = 0, 5.

φ2
(t) : caso OU e H
Figure: Evolu¸cão temporal para φ2
(t) no caso OU (painel esquerdo) e
harmônico (painel direito). Os parâmetros utilizados foram: γ = 0, 5,
m = 1, 0, mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.

∆φ: caso OU e H
∆φ = ϕanalitico − ϕnumerico
Figure: A diferen¸ca ∆φ no caso OU (painel esquerdo) e harmˆonico
(painel direito). Os parˆametros usados foram: γ = 0, 5, m = 1, 0,
mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.

∆φ2
: caso OU e H
∆φ2
= φ2
analitico − φ2
numerico .
Figure: A diferen¸ca ∆φ2
no caso OU (painel esquerdo) e harmˆonico
(painel direito). Os parˆametros usados foram: γ = 0, 5, m = 1, 0,
mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.

Compara¸cão entre as dinâmicas markoviana e
não-markoviana
Quatro situa¸cões distintas:
ru´ıdo harmônico aditivo
ru´ıdo OU aditivo
ru´ıdo harmônico multiplicativo
ru´ıdo OU multiplicativo
Equa¸cão de movimento markoviana:
¨φ(t) + Q φ2n
(t) ˙φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= φn
(t) ξ(t) ,

Caso OU aditivo:
Equa¸c˜ao de Movimento
¨φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= ξOU (t) −
t
0
dt KOU (t − t ) ˙φ(t ) ,
correspondente sistema local
˙φ = y
˙y = −m2
φφ −
λ
6
φ3
+ ξ0U + wO+
˙wO+ = −γwO+ − KOU (0)y
˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζ .

Caso OU aditivo: (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0

Caso OU aditivo: Teff
Tef(t) = ˙φ2
(t) .

Caso harmˆonico aditivo:
¨φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= ξH(t) −
t
0
dt KH(t − t ) ˙φ(t ) ,
˙φ = y
˙y = −m2
φφ −
λ
6
φ3
+ ξH + wH+
˙wH+ = uH+ − 2γwH+ − KH(0)y
˙uH+ = −m2
wH+ + ˙KH(0)y − 2γKH(0)y
˙ξH = zH
˙zH = −2γzH − m2
ξH + m2
2TQζ .

Caso harmˆonico aditivo: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5

Caso harmˆonico aditivo: Teff
Tef(t) = ˙φ2
(t) .

Caso OU multiplicativo:
¨φ(t)+m2
φφ+
λ
6
φ3
= φ(t) ξOU (t) −
t
0
dt KOU (t − t )φ(t ) ˙φ(t ) ,
˙φ = y
˙y = −m2
φφ −
λ
6
φ3
+ φ[ξOU + wOX]
˙wOX = −γwOX − KOU (0)φy
˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζ .

Caso OU multiplicativo: (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0

Caso OU multiplicativo: Teff
Tef(t) = ˙φ2
(t) .

Caso harmˆonico multiplicativo:
¨φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= φ ξH(t) −
t
0
dt KH(t − t )φ(t ) ˙φ(t ) ,
˙φ = y
˙y = −m2
φφ −
λ
6
φ3
+ φ[ξH + wHX]
˙wHX = uHX − 2γwHX − KH(0)φy
˙uHX = −m2
wHX + ˙KH(0)φy − 2γKH(0)φy
˙ξH = zH
˙zH = −2γzH − m2
ξH + m2
2TQζ .

Caso harmˆonico multiplicativo: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5

Caso harmˆonico multiplicativo: Teff
Tef(t) = ˙φ2
(t) .

Efeitos da não-linearidade
Como a discrepância entre as dinâmicas markoviana
e não-markoviana é afetada pela não-linearidade do
seu potencial?

Efeitos da não-linearidade
Como a discrepância entre as dinâmicas markoviana
e não-markoviana é afetada pela não-linearidade do
seu potencial?
V (φ) = m
φ2
2
+
λ
4
φ4
∆φ = φ non−Markovian − φ Markovian
Fixando η = 1.0, T = 1.0, Ω0 = 1.0, m2
= 1.0 e
γ = 0.5 (EDH case) ou γ = 5.0 (OU case).

Efeitos da n˜ao-linearidade: caso harmˆonico
Figure: Painel esquerdo: ru´ıdo aditivo. Painel direito: ru´ıdo multiplicativo

Efeitos da n˜ao-linearidade: caso OU
Figure: Painel esquerdo: ru´ıdo aditivo. Painel direito: ru´ıdo multiplicativo

Comentários Finais
É poss´ıvel desenvolver uma abordagem numérica para estudar
a equa¸cão de movimento não-markoviana.
Runge-Kutta usual nos oferece uma precisão razoável.
Qualidade da aproxima¸cão markoviana é extremamente
dependente dos parâmetros utilizados e do tipo de ru´ıdo que
caracteriza a dinâmica.
Aproxima¸cão markoviana torna-se menos aplicável quanto
maior for o parâmetro de não-linearidade λ

Obrigado pela aten¸c˜ao!

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