Formação de Estruturas no Universo segundo a Equação KPZ Cosmológica

Outline Motiva¸cão Eqs Hidrodinâmicas KPZ cosmológica DynRG
Forma¸cão de Estruturas no Universo
Leandro Alexandre da Silva
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
IFADT - PPGF
Processos Estocásticos
17/11/2009
Forma¸cão de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva

1 Motiva¸cão
2 Equa¸cões Hidrodinâmicas
3 Equa¸cão KPZ cosmológica
4 Equa¸cões do Grupo de Renormaliza¸cão

Modelo Cosmológico Padrão
Questão: Como um universo homogêneo descrito pela métrica de
FRLW evoluiu de tal forma a apresentar as estruturas que
observamos?

Princ´ıpio Cosmol´ogico:
Homogeneidade
Isotropia
Elemento de linha
ds2
= dt2
− a(t)2 dr2
1 − kr2
+ r2
(dθ2
+ sin2
θdφ2
)
Gµν =
8π
m2
pl
Tµν
νTµν
= 0

Equa¸c˜oes fundamentais do MCP:
Equa¸c˜ao de Friedmann:
H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
Equa¸cão de Acelera¸cão:
ä
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi )ρi
Equa¸cão de Estado:
pi = ωi ρi

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
Conserva¸c˜ao de Energia
˙ρi = −3H(ρi + pi )
¨a
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi )ρi
pi = ωi ρi

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
˙ρi = −3H(ρi + pi )
Parˆametro de densidade
Ωi = ρi /ρc
¨a
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi )ρi
pi = ωi ρi

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
˙ρi = −3H(ρi + pi )
Parˆametro de densidade
Ωi = ρi /ρc
¨a
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi )ρi
pi = ωi ρi
Densidade Cr´ıtica
ρc =
3m2
pl
8π
H2

Infla¸cão Cósmica
Idéias Básicas:
Corrige falhas do MCP

Idéias Básicas:
Problema: ä(t) > 0
ä
a
= −
4π
3m2
pl
(ρ + 3p) → ω < −
1
3

Idéias Básicas:
ä
a
= −
4π
3m2
pl
(ρ + 3p) → ω < −
1
3
Solu¸cão: usar um campo escalar (inflaton) para prover a
expansão acelerada

Idéias Básicas:
ä
a
= −
4π
3m2
pl
(ρ + 3p) → ω < −
1
3
Solu¸cão: usar um campo escalar (inflaton) para prover a
expansão acelerada
Transi¸cão de fase põe o inflaton em equil´ıbrio instável:

Cold inflation:
Inflaton é um campo livre

Cold inflation:
do MCP: fase de radia¸cão precede a domina¸cão por matéria

Cold inflation:
Problema: sem intera¸cão → sem radia¸cão
Solu¸cão: postula-se uma fase de reaquecimento para conduzir
à domina¸cão por radia¸cão

Cold inflation:
Problema: sem intera¸cão → sem radia¸cão
Solu¸cão: postula-se uma fase de reaquecimento para conduzir
à domina¸cão por radia¸cão
Equa¸cões básicas:
¨φ(t) + 3H(t) ˙φ = −V (φ)
ρφ =
1
2
˙φ2
+ V (φ) , pφ =
1
2
˙φ2
− V (φ)
ωφ ≡
1
2
˙φ2
− V (φ)
1
2
˙φ2 + V (φ)
.

Infla¸cão Cósmica: Forma¸cão de Estruturas
Modelo inflacionário prevê pequenas flutua¸cões de
temperatura no universo primordial
Essas flutua¸cões de origem quântica são “sementes” das
estruturas que hoje observamos

Modelo para Forma¸cão de Estruturas
Forma¸cão de estruturas no universo pode ser visto como um
problema de crescimento de superf´ıcie
Olhar a distribui¸cão inicial de massa como uma superf´ıcie 3D
plana
Enrugamento dessa superf´ıcie corresponde a forma¸cão de
estruturas

Modelo para Forma¸cão de Estruturas
Forma¸cão de estruturas no universo pode ser visto como um
problema de crescimento de superf´ıcie
Olhar a distribui¸cão inicial de massa como uma superf´ıcie 3D
plana
Enrugamento dessa superf´ıcie corresponde a forma¸cão de
estruturas
⇓
equa¸cão KPZ cosmológica

Revisão: Crescimento de Superf´ıcie (Kardar-Parisi-Zhang)
Equa¸cão de KPZ: modelo para a evolu¸cão do perfil de uma
superf´ıcie.

superf´ıcie.
Crescimento determin´ıstico → possui solu¸cão anal´ıtica e exibe
padrões de relaxa¸cão não triviais
Crescimento estocástico → estudado via técnicas de grupos de
renormaliza¸cão e via mapeamento para a equa¸cão de Burgers.

superf´ıcie.
Crescimento determin´ıstico → possui solu¸cão anal´ıtica e exibe
padrões de relaxa¸cão não triviais
Crescimento estocástico → estudado via técnicas de grupos de
renormaliza¸cão e via mapeamento para a equa¸cão de Burgers.
∂h(x, t)
∂t
= ν 2
h(x, t) +
λ
2
( h(x, t))2
+ η(x, t) (1)
η(x, t) = 0
η(x, t)η(x , t) = Dδd
(x − x )δ(t − t )

Edward e Wilkinson → estudaram uma eq. tipo KPZ sem o
termo n˜ao-linear. Kardar, Parisi e Zhang mostraram que sem
esse termo, as propriedades interessantes de crescimento n˜ao
aparecem.

Edward e Wilkinson → estudaram uma eq. tipo KPZ sem o
termo não-linear. Kardar, Parisi e Zhang mostraram que sem
esse termo, as propriedades interessantes de crescimento não
aparecem.
Termo não-linear → presente sempre quando crescimento
lateral é permitido!

Mapeamento:
Equa¸c˜ao de Difus˜ao:
W (x, t) = exp
λ
2ν
h(x, t)
∂W (x, t)
∂t
= ν 2
W (x, t) +
λ
2ν
η(x, t)W (x, t) (2)

Mapeamento:
Equa¸cão de Difusão:
W (x, t) = exp
λ
2ν
h(x, t)
∂W (x, t)
∂t
= ν 2
W (x, t) +
λ
2ν
η(x, t)W (x, t) (2)
Equa¸cão de Burgers:
v = − h
∂v
∂t
= ν 2
v − λ|v| |v| − η (3)

KPZ determin´ıstica (η(x, t) = 0) → estudo da forma¸cão de
dendritos. Solu¸cão instável, conduz a uma superf´ıcie plana
dependendo das C.I.
Para h(x, 0) = h0(x),
h(x, t) =
2ν
λ
ln
∞
−∞
dd ξ
(4πνt)
d
2
exp −
(x − ξ)2
4νt
+
λ
2ν
h0(ξ)

KPZ determin´ıstica (η(x, t) = 0) → estudo da forma¸cão de
dendritos. Solu¸cão instável, conduz a uma superf´ıcie plana
dependendo das C.I.
Para h(x, 0) = h0(x),
h(x, t) =
2ν
λ
ln
∞
−∞
dd ξ
(4πνt)
d
2
exp −
(x − ξ)2
4νt
+
λ
2ν
h0(ξ)
KPZ estocástica (η(x, t) = 0) → estudo via grupo de
renormaliza¸cão

Equa¸cões Hidrodinâmicas
Ponto de partida: Equa¸cões hidrodinâmicas não-relativ´ısticas.
Distâncias envolvidas na forma¸cão de estruturas de matéria
após o desacoplamento são menores que o raio de Hubble →
Efeitos da RG são desprez´ıveis.
Campo de velocidade da matéria c , e a matéria
não-relativ´ıstica tem papel predominante sobre a radia¸cão
durante a forma¸cão de estruturas.

Evolu¸cão do fator de escala a(t):
H2
=
8πG
3
b −
K
a2
+
Λ
3
, b = 0a−3
, (4)
b → densidade de matéria
Campos fundamentais:
ou o contraste de densidade δ := ( / b) − 1
velocidade peculiar u ≡ uphys − Hr
acelera¸cão peculiar gravitacional g = gphys + 1
3 (4πGρb − Λ) r

Os campos , u e g obedecem as seguintes equa¸cões
hidrodinâmicas:
Equa¸cão de continuidade:
∂
∂t
+ 3H +
1
a
· ( u) = 0 ; (5)
Equa¸cão de Euler:
∂u
∂t
+
1
a
(u · )u + Hu = g −
1
a
p + s ; (6)
Equa¸cão de campo newtoniana:
· g = −4πGa( − b) , × g = 0 . (7)

Hipótese fenomenológica: p = p( )
Termo de noise s → dá conta de processos escondidos devido
a descri¸cão “Coarse-grained” do sistema.
s = 0
si (x, t)sj (x , t ) = 2Dij (x, x , t, t )

→ Estudo do sistema de equa¸cões hidrodinâmicas é bastante
complicado:
hipótese de paralelismo:
g = F(t)u , (8)
→ Impor que a velocidade peculiar se mantém paralela à
acelera¸cão gravitacional peculiar

→ Estudo do sistema de equa¸cões hidrodinâmicas é bastante
complicado:
hipótese de paralelismo:
g = F(t)u , (8)
→ Impor que a velocidade peculiar se mantém paralela à
acelera¸cão gravitacional peculiar
Equa¸cão de Euler se torna:
∂u
∂t
+
1
a
(u · )u + (H − F)u = −
p ( )
a
+ s , (9)

A equa¸cão de campo se torna:
F · u + 4πGa( − b) = 0 ,
o que nos dá
= −
F
4πGa
2
u .
Finalmente,
∂u
∂t
+
1
a
(u · )u + (H − F)u = ν 2
u + s . (10)
ν ≡
F(t)p ( )
4πGa(t)2
> 0 → viscosidade cinemática

Equa¸cão KPZ cosmológica
Introduzindo um potencial ψ(x, t) tal que u ≡ − ψ,
∂ψ
∂t
−
1
2a
( ψ)2
+ (H − F)ψ =
=
1
a b
dy
p (y)
y
− s . (11)
assume-se que s ≡ − η, η = 0 e
η(x, t)η(x , t ) = 2D(x, x , t, t ) .
Se o noise possu´ısse termo não potencial, geraria vorticidade
no campo de velocidade, o que destruiria a hipótese de
paralelismo.

Obtemos ent˜ao
∂ψ
∂t
−
1
2a
( ψ)2
+ (H − F)ψ =
=
1
a
δ
0
dy
p ( b(1 + y))
1 + y
+ η . (12)
Reescrevendo a equa¸c˜ao de campo em termos do novo potencial e
do contraste δ, obtemos
δ(x, t) =
F(t)
4πGa(t) b(t)
2
ψ(x, t) .

Finalmente,
∂ψ
∂t
−
1
2a
( ψ)2
+ (H − F)ψ =
=
1
a
F
4πGa b
2ψ
0
dy
p ( b(1 + y))
1 + y
+ η . (13)
Temos uma EDP com 2 fontes de n˜ao-linearidade:
o termo ( ψ)2 e
o termo integral

Qual p( )? → Modelo politr´opico: p = κ γ

Qual p( )? → Modelo politrópico: p = κ γ
Para o caso particular p = κ 2, obtemos
∂ψ
∂t
−
1
2a
( ψ)2
+ (H − F)ψ =
Fp ( b)
4πGa2
b
2
ψ + η . (14)
(H − F)ψ nos mostra a competi¸cão entre o amortecimento
das perturba¸cões devido à expansão cosmológica (Hψ) e o
aumento das perturba¸cões devido ao colapso gravitacional
(−Fψ).
|H − F|−1 → escala de tempo dependente do tempo que é a
escala de tempo do damping (ou crescimento) das
perturba¸cões em regimes onde a não-linearidade é desprez´ıvel.

O termo proporcional ao laplaciano descreve o amortecimento
das perturba¸cões devido a dispersão da velocidade
O efeito do termo não linear é aumentar os picos do campo ψ
O termo de noise incorpora os efeitos de flutua¸cões de
diversas fontes e conduz ao enrugamento espa¸co-temporal do
campo ψ à medida que ele evolui.

O termo proporcional ao laplaciano descreve o amortecimento
das perturba¸cões devido a dispersão da velocidade
O efeito do termo não linear é aumentar os picos do campo ψ
O termo de noise incorpora os efeitos de flutua¸cões de
diversas fontes e conduz ao enrugamento espa¸co-temporal do
campo ψ à medida que ele evolui.
A equa¸cão obtida é uma generaliza¸cão da equa¸cão KPZ da matéria
condensada:
possui coeficientes dependentes do tempo → consequência da
expansão cosmológica
termo proporcional a ψ

É poss´ıvel reescrever a eq. KPZ cosmológica com coeficientes
constantes? Sim!

É poss´ıvel reescrever a eq. KPZ cosmológica com coeficientes
constantes? Sim!
∂ψ
∂t
= f1(t)ν 2
ψ +
1
2
f2(t)λ( ψ)2
+
f3(t)
T
ψ + η , (15)
f1(t) =
1
ν
F(t)p ( b(t))
4πGa2(t) b(t)
,
f2(t) =
1
λa(t)
,
f3(t) = [F(t) − H(t)]T .

Deﬁnindo uma nova coordenada temporal τ, um novo potencial
Ψ(x, τ) e um novo noise ˜η(x, τ) via
τ(t) =
t
t0
dyf1(y) , Ψ =
f2
f1
ψ , ˜η =
f2
f 2
1
η , (16)
obtemos
∂Ψ
∂τ
= ν 2
Ψ +
λ
2
( Ψ)2
− m(τ)Ψ + ˜η , (17)
onde
m(τ) =
1
f1(t(τ))
df1(t(τ))
dτ
−
1
f2(t(τ))
df2(t(τ))
dτ
−
−
1
T
f3(t(τ))
f1(t(τ))
. (18)

m(τ) = 0 → KPZ padr˜ao
m(τ) > 0 → damping do crescimento da superf´ıcie
m(τ) < 0 → comportamento inst´avel

Equa¸cões do Grupo de Renormaliza¸cão
Ferramenta que nos mostra como os acoplamentos mudam
com a escala
Prediz que todas as fun¸cões de correla¸cão se comportam
como lei de potência próximo a um ponto cr´ıtico →
comportamento auto-similar
Média sobre os momentos k no intervalo Λ/s ≤ k ≤ Λ
seguida por uma dilata¸cão x → sx
Define uma escala abaixo da qual as caracter´ısticas
moleculares se tornam manifestas → limite hidrodinâmico
torna-se inválido

Calcula-se os expoentes da lei de potência impondo que a
equa¸cão dinâmica se mantenha invariante sob
x → sx t → sz
t, and Ψ → sχ
Ψ,
Eliminando s,
Ψ(x, t)Ψ(x , t ) ∝| x − x |2χ
f
| t − t |
| x − x |z
,
lim
u→∞
f (u) → u2χ/z
,
lim
u→0
f (u) → constante.

A expansão perturbativa da equa¸cão
∂Ψ
∂τ
= ν 2
Ψ +
λ
2
( Ψ)2
− m(τ)Ψ + ˜η , (19)
no espa¸co de Fourier, sujeita aos requerimentos de invariância de
forma conduz às seguintes eqs:

dU0
d log s
= (2 − d)U0 +
U2
0
4dV 3
[d + 3(dV − 2)]
+
U2
θ
4V 3+4θ
sec(2πθ)(1 + 4θ)
+
U0Uθ
4dV 3+2θ
(1 + 2θ) sec(πθ) ×
[2d − 8θ + 3((d − 2ρ)V − 2)] (20)
dUθ
d log s
= (2 − d + 2ρ + 4θ)Uθ +
U0Uθ
4dV 3
(dV − 2)(3 + 2θ)
+
U2
θ
4dV 3+2θ
(1 + 2θ) sec(πθ) ×
[−8θ + ((d − 2ρ)V − 2)(3 + 2θ)]
dV
d log s
= (V − 1)[2 +
1
4dV 3
[(dV − 2)U0
+((d − 2ρ)V − 2)V −2θ
(1 + 2θ) sec(πθ)Uθ]]

com
˜η(k, ω) = 0,
˜η(k, ω)˜η(k , ω ) = 2˜D(k, ω)(2π)d+1
δ(k + k )δ(ω + ω ),
˜D(k, ω) = D0 + Dθk−2ρ
ω−2θ
, (21)
e os acoplamentos adimensionais V = 1 + m2
νΛ2 ,
U0 = λ2D0Kd Λd−2/ν3, e Uθ = λ2DθKd Λd−2−2ρ−4θ/ν3+2ρ.

U0, Uθ → medem a intensidade do efeito de enrugamento
devido ao efeito combinado do noise e da não-linearidade.
V mede a competi¸cão entre os termos de difusão e massa.

Pontos Cr´ıticos
⇒ equa¸cões do RG = 0
quando as constantes de acoplamento atingem seus
correspondentes valores cr´ıticos, a fun¸cão de correla¸cão entra
no regime de lei de potência

Pontos Cr´ıticos
Usando
δ(x, t) =
F
4πGa¯ρ
2
ψ(x, t),
e
Ψ(x, τ) ≡
f2(t(τ))
f1(t(τ))
ψ(x, t(τ)),
obtemos
ξ(|x − y|, t) ≡ δ(x, t) δ(y, t) (22)
=
F
4πGa¯ρ
2
f 2
1
f 2
2
2
x
2
y Ψ(x, t)Ψ(y, t ) |t =t .

Pontos Cr´ıticos
Usando
Ψ(x, t)Ψ(x , t ) ∝| x − x |2χ
f
| t − t |
| x − x |z
,
e
lim
u→0
f (u) → constant.
obtemos
C(|x − y|) ≡ Ψ(x, t)Ψ(y, t) ∼ |x − y|2χ
.
Portanto,
C(r) ∼ r−(d−2+η)
; ˜C(k) ∼ kη−2
(23)
η = 2 − d − 2χ

Pontos Cr´ıticos
Para tempos iguais,
ξ(r) ∼ r−(d+2+η)
, (24)
e
P(k) ∼ k2+η
. (25)
→ ξOBS (r) ∼ r−γ, γ = 4 − 2χ(ρ, θ)
Noise branco não reproduz os dados observacionais
(1.5
<
∼ γ
<
∼ 1.8) para nenhum P
Ru´ıdo colorido consegue reproduzir o resultado observacional
através do ajuste do grau de correla¸cão espacial
(γ = 4 − 2χ(ρ))

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