1) O documento descreve um experimento realizado para verificar a Lei de Hooke usando uma mola.
2) Foram medidas as deformações da mola ao aplicar diferentes pesos e usado o método dos mínimos quadrados para encontrar a constante elástica da mola.
3) A constante elástica encontrada foi 13,511 N/m, confirmando que a força elástica da mola varia proporcionalmente à deformação.
1. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
ENGENHARIA CIVIL
LEI DE HOOKE
VICTOR MAGALHÃES SILVA (201210108)
ILHÉUS – BAHIA
2012
2. 2
VICTOR MAGALHÃES SILVA (201210108)
LEI DE HOOKE
Relatório apresentado como parte dos
critérios de avaliação da disciplina CET788
– FÍSICA EXPERIMENTAL I.
Professor: José Rafael León.
ILHÉUS – BAHIA
2012
4. 4
1 INTRODUÇÃO
Em diversos problemas, percebe-se a necessidade de ajustar uma equação
teórica aos resultados de um experimento. Para isso, utiliza-se o ajuste linear, que é
uma forma de prever os valores de uma variável dependente de outra, que por sua vez
não depende da primeira. Então, a partir da equação de ajuste:
y = ax + b Eq. 1
tem-se que x é a variável independente e y a variável dependente (nesse caso, de x).
Para calcular o ajuste, é necessário, primeiro, encontrar os valores dos
coeficientes angular (a) e linear (b) da Eq. 1, onde a é a tangente do ângulo formado
entre a reta e o eixo das ordenadas e b indica onde a reta corta o eixo das abscissas
no gráfico. Por serem grandezas (calculadas ou aferidas), esses coeficientes possuem
incertezas associadas a elas ( e ). Esses valores podem ser calculados através
das seguintes equações:
Eq. 2
Eq. 3
Eq. 4
Eq. 5
Eq. 6
5. 5
Graficamente, após os coeficientes e seus respectivos erros terem sido
devidamente representados, a reta de ajuste linear deverá passar entre a maior
quantidade de pontos possível.
Um exemplo de necessidade do ajuste linear é a determinação dos valores das
variáveis relacionadas à força elástica exercida sobre uma mola.Não são conhecidos
corpos perfeitamente rígidos, uma vez que todos os corpos experimentados até hoje
sofreram deformações relativamente consideráveis. Ao estudar as deformações de
molas e as forças aplicadas, Robert Hooke (1635-1703) verificou que a deformação da
mola aumenta proporcionalmente à força. Daí, estabeleceu-se a seguinte lei (chamada
Lei de Hooke):
Fel = k.Δx Eq. 7
onde Fel é a força elástica, k é a constante elástica da mola e x a deformação dela.
Relacionando a Eq. 7 com a Eq. 1, pode-se dizer, teoricamente, que Fel = y, k =
a, Δx = x e b = 0.
Além dessas equações citadas, usaremos também equações já vistas em
relatórios anteriores:
Cálculo da Média:
Como sabemos da existência das incertezas associadas, para cada medida
obtida, é preciso conhecer o quanto ela se afasta da média calculada na eq.(8). Para
isso, consideramos o cálculo do Desvio Padrão, através da eq. (9), a seguir:
Em seguida, faz-se necessário calcular o Desvio Padrão do Valor Médio, através
da eq. (10):
Se estabelece ainda a Incerteza Padrão, isto é, a Incerteza da Média, com o
cálculo da eq. (11):
Eq. 11
Por fim, para calcular a Propagação da Incerteza das medidas obtidas
indiretamente, é necessário utilizar a fórmula:
6. 6
2 OBJETIVOS
Calcular a Propagação da Incerteza para os coeficientes linear e angular.
Aprender a ajustar os pontos numa reta, construindo um gráfico através
dos coeficientes citados.
Encontrar a equação linear da forma y = ax + b.
3 MATERIAIS E MÉTODOS
3.1 Materiais
Objetos de Metal;
Suporte Universal;
Haste Vertical Graduada;
Fita Métrica;
Mola;
Balança digital.
3.2 Métodos
Com a balança, aferiu-se a massa dos pesos, através de combinações entre
eles. Aferimos a massa de um peso grande, um peso médio, em seguida, de outro
peso grande (cuja massa foi igual a massa do primeiro), um pequeno com um médio,
de dois grandes, de um pequeno com um grande e de todos os quatro pesos juntos.
Em seguida, com a régua (haste vertical, vide figura 1), mediu-se o comprimento da
mola em equilíbrio, esta presa ao suporte, e, após esse procedimento, foi colocada a
primeira combinação de peso pendurado na mola para medir o novo comprimento da
mola. Esse procedimento foi repetido cinco vezes para cada combinação aferida na
7. 7
balança, visto que o grupo de alunos possuía cinco membros e cada aluno deveria
realizar a medida.
A régua (Figura 1) possui uma incerteza instrumental (desvio sistemático),
representada por , é obtida através da divisão da menor medida realizada pelo
instrumento utilizado, neste caso, 1 mm (ou ), por 2:
Figura 1 – Modelo de haste vertical utilizada em laboratório.
Já a balança apresenta incerteza instrumental, representada por , é obtida
através da divisão da menor medida realizada pelo instrumento utilizado, neste caso,
0,1 g (ou ), por 2:
.
8. 8
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO
Ao medir o comprimento inicial da mola (sem as massas), na haste vertical,
encontramos 269mm, ou 0,269m (posição de equilíbrio da mola). Relacionando a sua
incerteza, pode-se expressar . Os comprimentos aferidos (com as
massas dependuradas) e a incerteza instrumental estão expressos na Tabela 1 abaixo,
onde
é a variação do deslocamento da mola com os objetos, sendo
. Cada medição foi repetida cinco vezes.
Tabela 1 – Medidas de Comprimento e Incerteza Instrumental
0,281 0,298
0,281 0,298
0,281 0,298
0,280 0,298
0,281 0,298
0,271 0,313
0,272 0,313
0,272 0,313
0,271 0,313
0,271 0,313
0,281 0,296
0,281 0,296
0,281 0,295
0,280 0,296
0,281 0,295
9. 9
0,278
0,278
0,279
0,278
0,278
Para determinar as médias e suas incertezas, foram aplicadas as equações de acordo
com as medidas obtidas. Assim, para a média do comprimento e a sua incerteza, bem
como a média da massa e sua incerteza, foi aplicada a equação (8), seguida das
equações (9), (10), (11) e (12). Abaixo segue a tabela com as médias:
Tabela 2 – Medidas de Comprimento Médios e Peso (g = 9,8 m/s²)
0,2808 0,0118 0,0238 0,2332
0,2714 0,0024 0,0104 0,1019
0,2808 0,0118 0,0238 0,2332
0,2782 0,0092 0,0203 0,1989
0,2980 0,0290 0,0476 0,4665
0,3130 0,0440 0,0679 0,6654
0,2956 0,0266 0,0441 0,4322
Para construir o gráfico Fel x ∆x, são necessários valores de Fel já obtidos e
encontrar os valores médios do ∆x dos 5 alunos para cada peso. Esses valores
estão citados na tabela 2, apresentada anteriormente.
10. 10
Gráfico 1 – Força Elástica x Deformação
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
No gráfico, o eixo y corresponde a Força Elástica, enquanto que o eixo x
corresponde a deformação da mola. O gráfico apresentou apenas 6 pontos, pois
aconteceu de a massa de 2 objetos serem iguais, consequentemente o peso
deles também foi igual. Podemos perceber também que os pontos seguem uma
certa linearidade, ou seja, eles tendem a uma reta. Para encontrar essa reta, foi
necessário o uso do método dos mínimos quadrados, cuja equação foi
apresentada ainda na introdução.
Utilizando o método dos mínimos quadrados expresso nas equações (2) e (3),
foram encontrados os valores dos coeficientes a e b. Esse método é de extrema
importância, pois nos permite calcular os valores dos coeficientes angulares e
lineares.
12. 12
Fazendo a substituição dos valores corretamente, encontraremos:
13,511 0,073
Desta forma, podemos finalmente explicitar a equação da reta, ou seja, a
equação do ajuste linear:
Obs.: o coeficiente angular (a) é negativo pois a força elástica está no sentido
oposto ao peso .
Gráfico 2 – Força Elástica x Deformação
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
O valor do coeficiente angular , também pode ser interpretado como
o valor da constante elástica da mola, isto é, o valor que o peso varia,
proporcionalmente em função do deslocamento . Assim, pode-se perceber que a Lei
de Hooke comporta-se como uma equação de reta, por isso, pode-se considerar,
graficamente, a Fel, que, nesse experimento, é o peso, como uma reta. Nesse caso, as
variáveis a e b da equação da reta podem ser substituídas pelas variáveis k e x da Lei
de Hooke e, com essa substituição, as Eq. 2, 3, 5 e 6 também se aplicam a k e x.
Portanto, pode-se considerar o valor encontrado de a como sendo a constante
elástica k da mola.
Com os dados obtidos, pode-se construir um gráfico, sendo seus pontos pares
ordenados de deformação da mola e peso (∆x;P). Utilizando o método de ajuste linear
através dos mínimos quadrados, pode-se traçar uma reta que passa pela maior parte
13. 13
dos pontos e o mais próximo da origem. Essa reta será a relação P x ∆X, que
caracteriza a constante de deformação da mola (dada por N/m).
Vale ressaltar ainda que, o valor encontrado de b = -0,073, na prática, seria igual
a zero, pois quando a mola está vazia, ou seja, sem nenhum objeto de metal
exercendo a força peso sobre ela, o deslocamento inicial é zero. Assim, podemos
pensar também que quando o deslocamento é igual a zero, o peso também será igual
a zero. Essa discrepância nos valores serve para mostrar a importância do uso do
método dos mínimos quadrados, visto que eles servem pra calcular uma tendência a
um comportamento de valores. Logo a equação encontrada mostrará numa reta o
comportamento dos valores, para que através de uma equação linear esse gráfico seja
demonstrado matematicamente.
5 CONCLUSÃO
A Lei de Hooke estuda o exercício de uma força elástica sobre uma mola,
durante o deslocamento da mesma. Na posição de equilíbrio, o peso de um corpo
dependurado verticalmente em uma mola equivale à força elástica da mola. Dessa
forma, percebe-se a importância desta lei, visto que ela explica o comportamento da
mola em relação à força que é exercida sobre ela.
Vale lembrar ainda que o método dos mínimos quadrados é fundamental, pois o
mesmo possibilitou encontrar uma equação que explicasse a tendência da variação do
deslocamento da mola em função do peso. Ao representar graficamente, os valores
irão fornecer uma reta que representa o ajuste linear.
14. 14
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
PIACENTINI, João J. [et. al]. Introdução ao laboratório de física. 3.ed. Florianópolis:
Ed. UFSC, 2008. 124p.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física I: mecânica. 12.ed. São Paulo:
Pearson, 2008. 401p.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. (org.); BIASI, R. S. (tradução e revisão
técnica). Fundamentos da física, volume 1: mecânica. 8ª ed. LTC – Livros Técnicos e
Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro: 2008
