простейшие применения принципа_сжатых_отображени1

1. Простейшие применения принципа сжатых отображений.
Пусть f – функция, определенная на [a,b], удовлетворяющая условию Липшица
f(x2)-f(x1) Kx2-x1
с константой K<1 и отображающая сегмент [a,b] в себя. Тогда f - есть сжатое
отображение и последовательность )(),(, 12010 xfxxfxx  - сходится к единственному
корню уравнения x = f(x).
В частности, условие сжатости выполнено, если функция имеет на [a,b] производную f’(x),
причем
f’(x)K<1
`
x3 x 2 x3 x
f’(x)>0
y
y=x
y
xx0 x 2 x3 x1
f’(x)<0
Пусть есть уравнение F(x) = 0 F(a) < 0; F(b) > 0
Введем f(x) = x -  F(x) и будем искать x = f(x)
f’ = 1-F’(x) 1-K2 f’(x)  1 - F’(x) - необходимо подобрать  так, чтобы действовал
метод.
Рассмотрим отображение A n-мерного пространства в себя, задаваемое системой
линейных уравнений
nibxay ij
n
j
iji ,...,2,1
1
 
Если A – сжатое отображение, то это можно использовать для решения x=Ax.
ii
i
yxyy  max),(
jj
j
ij
i
jj
j
ij
i
j
jjij
i
ii
i
xxaxxa
xxayyyy
"'maxmax"'max
)"'(max"'max)",'(





2. 

n
j
ija
1
1


n
i
ii yxyx
1
),(
)",'(max"'max
"')"'("')",'(
xxaxxa
xxaxxayyyy
i
ij
j
jj
j
ij
i
j
jj
j
ij
ii j
jjij
i
ii



 


1
0


n
i
ija
 




i i j
ij
j
yjij
n
i
ii
xxaxxayy
yxyx
)",'()())"'(()",'(
)(),(
2222
1
2


 
i j
ija 1
Если выполнено хотя бы одно из условий, то существует одна и только одна точка x,
такая, что
ijij
n
j
i bxax  1
Эти условия достаточные.
Если
h
aij
1
 - метод последовательных приближений не применим.
Пусть дано уравнение
),( yxf
dx
dy

y(x 00 ) y
f(x,y)- определена и непрерывна в некоторой области G содержащей (x0, y0) и
удовлетворяет условию Липшица [точка(x0, y0)G]
f(x1, y1) – f(x1, y2)My1 – y2
Докажем что тогда на некотором сегменте x – x0d существует, и притом только одно,
решение y = (x). (Теория Пикара)
Уравнение эквивалентно интегральному уравнению

3. (x) = dttutfy
x
x
))(,(
0
0 
В силу непрерывности f f(x)K в G (G’<G), где x0G.
Выберем так, чтобы
1. (x,y)G’,если x – x0d ; y – y0Kd
2. Md<1
Обозначим через C* пространство непрерывных функций y, определенных на сегменте x
– x0d , и таких, что (x) – y0Kd с метрикой (1,y)= max y1(x) – y2(x)
Пространство C* полно, т.к. оно является замкнутым подпространством полного
пространства всех непрерывных функций на ],[ 00 dxdx  . Рассмотрим отображение
=Ay,
Определяемое формулой
dtttfyx
x
))(,()(
0
0  
где x – x0d. Это отображение переводит полное пространство C* в себя и является в нем
сжатым. Действительно суть C*
, x – x0d . Тогда
Kddtttfyx
x
x
  ))(,()(
0
0 
и следовательно, A(C*)C*. Кроме того
)()(max)(,()(,()()( 21212
0
xxMddtttfttfxx
x
x
  
Т.к Md < 1, то отображение A сжатое.
Пример решения задачи методом последовательных приближений






1)0(
11.0
y
xy
dx
dy






1)0(y
y
df
dy
),(11.0 yxfxy
dx
dy

122121 ))()(( yyMyxfyxf 
M=0.1
10  xx
dxxyy n
x
n )11.0(1 1
0
 

4. y0 = 1 2
0
1
2
1.0
1)11.0( xxdxxy
x
 
x
x
xdxy
x
  2
1.0
11.11
2
0
1
y   dxxxx
x
)
2
1.0
1(1.0 2
0
2
=1+ x + 432
42
01.0
3
1.0
2
1.0
xxx


Принцип сжатых отображений для интегральных уравнений.
Применим принцип сжатых отображений для доказательства существования и
единственности решения неоднократно линейного интегрального уравнения Фредгольма 2
рода.
f(x)= )()(),( xdyyfyxK
b
a

где K (ядро) и  - суть данные функции, f – искомая функция,  - произвольный параметр.
Предположим, что K(x,y) и  (x) – непрерывны при x[a,b], y[a,b] и, следовательно,
K(x,y)M. Рассмотрим отображение q=Af полного пространства C[a,b] в себя,
задаваемое формулой
)()(),()( xdyyfyxKxg
b
a
  
Имеем
)()(max)()()(max),( 212121 xfxfabMxgxggg  
Следовательно, при
)(
1
abM 
 - отображение A сжатое.
Из принципа сжатых отображений заключаем, что для всякого  с
)(
1
abM 

уравнения Фредгольма имеет единственное непрерывное решение. Последовательность
приближения имеет вид
f ),()(),()( 10 xdyyfyxKx n
b
a
   где f0(x) - любая непрерывная функция.